Virialentwicklung. Janek Landsberg Fakultät für Physik, LMU München. Janek Landsberg. Die Virialentwicklung. Verschiedene Potentiale

Transkript

1 Die Warum Fakultät für Physik, LMU München

2 Die Warum 1 Die Der zweite Virialkoeffizient 2 Hard-Sphere-Potential Lennard-Jones-Potential 3 Warum 4 Bsp. Hard-Sphere-Potential Asakura-Oosawa-Potential Die neue Physik 5

3 Die ideale Gasgleichung Die Warum p k B T = n n = N V Berechnung über die Zustandssumme Vernachlässigung der intermolekularen WW

4 Die Die Warum Die stellt eine Verbesserung der idealen Gasgleichung für reelle Gase dar Intermolekulare WW berücksichtigt Zustandssumme nicht mehr exakt berechenbar WW stärker, je höher die Dichte Entwicklung nach der Dichte p k B T = n + B 2(T )n 2 + B 3 (T )n = k=0 B k (T )n k B k (T ) Virialkoeffizienten

5 Die Die Warum Berechnung der Großkanonischen Zustandsgleichung Ξ(T,V, µ) = Z (T,V,N)e µn/k BT e β µ << 1 N Ξ(T,V, µ) = 1 + Z (T,V,1)e β µ + Z (T,V,2)e 2β µ +... Reihenentwicklung von ln[ξ(t,v, µ)] nach e β µ : ln(ξ) = Z (1)e β µ + [Z (2) 1 2 Z (1)2 ]e 2β µ +... Z 1 Z (1) Z 2 Z (2) 1 2 Z (1)2 = ln(ξ) = pv k B T = Z 1e β µ + Z 2 e 2β µ (1)

6 Die Die Warum Z 1 = V h 3 Λ = e p2 2mk B T d 3 p = V h 3 (2πmk BT ) 3 2 = V Λ 3 h Thermische De-Broglie-Wellenlänge 2πmkB T µ k BT ln(ξ) = µ k BT Gleichung(1) = N N = Z 1 e β µ + 2Z 2 e 2β µ (2) In erster Näherung: N Z 1 e β µ e β µ N Z 1

7 Die Die Warum in Gleichung 2 eingesetzt: in Gleichung 1 eingesetzt: Z 1 e β µ = N 2Z 2 ( N Z 1 ) 2 ( ) pv N 2 k B T = N Z 2 Z 1 = Reihenentwicklung von p nach Potenzen der Dichte n ( ) p = nk B T 1 N Z 2 Z 2 1 p = nk B T [1 + B 2 (T )n + B 3 (T )n ]

8 Der zweite Virialkoeffizient Die Warum B 2 (T ) = V Z1 2 Z 2 = V Z (1) 2 [Z (2) 1 2 Z (1)2 ] Z (2) = 1 2Λ 6 e βω(r12) d 3 r 1 d 3 r 2 B 2 (T ) = V V ( V ) Λ 2 2Λ 6 3 [ = 1 2 [ e βω(r) 1 ] e βω(r) 1 d 3 r }{{} Mayer Funktion ] d 3 r

9 Hard-Sphere-Potential Die Warum { 0 R > d ω(r) = R < d [ d ] = B 2 (T ) = 2π (0 1)R 2 dr + (1 1)R 2 dr = 2π 0 d 3 d 3

10 Lennard-Jones-Potential Die Warum [ ( σ ) 12 ( σ ) ] 6 ω(r) = 4ε R R

11 Lennard-Jones-Potential Die Warum sehr kurzreichweitige Kraft, f (r) 0 nur für r d bzw. r d

12 Lennard-Jones-Potential Die Warum B 2 (T ) = 1 2 = 1 2 [ ] e βω(r) 1 4πr 2 dr d 0 = 2π 3 d }{{} 2 b ( 1)4πr 2 dr 1 2 d d ω(r) k B T 4πr 2 dr } {{ } k 1 B T a >0 [ ] e βω(r) 1 4πr 2 dr } {{ } 1 βω(r) 1 = B 2 (T ) = b 1 k B T a

13 Lennard-Jones-Potential Die Warum B 2 (T ) = b a k B T p = nk B T + (b k B T a )n 2 p + a n 2 = nk B T (1 + b n) nk BT 1 b n (p + a n 2 )( 1 n b ) = k B T υ V ν = (p + a )(υ b) = RT υ2 Van-der-Vaals-Gleichung

14 Lennard-Jones-Potential Die Warum

15 Warum? Die Warum Genauere Beschreibung von Gasen Virialkoeffizienten geben Auskunft über 1 Messung von Druck, Teilchendichte und Temperatur 2 Variation der Teilchendichte 3 Berechnung der Virialkoeffizienten 4 Rückschlüsse auf das Potential Verfahren der wird auch bei Colloid-Lösungen verwendet

16 Die Warum In Colloidlösungen mit großen und kleinen Colloiden kann das Potential variiert werden Die kleinen Colloidteilchen werden rausintegriert und als kurzreichweitiges attraktives Potential beschrieben große Colloid-Teilchen: Größe 100nm bis 10µm kleine Colloid-Teilchen: ca. 10 bis 100 mal kleiner

17 Bsp. Hard-Sphere-Potential Die Warum kleine Colloide als ideales Gas genähert Keine Kräfte außer Hard-Sphere-Abstoßung = Trotzdem attraktives Potential ("Depletion-Force")

18 Bsp. Hard-Sphere-Potential Die Warum Berechnung des Entleerungsvolumen V = 4π 3 (R +r)2 (r x) 2π 3 [ ( ( ))] R + x 2 (R + x)tan arccos ( R + r p = n S k B T = ω(x) = p V

19 Bsp. Hard-Sphere-Potential Die Warum Nur durch Entropie kann ein attraktives Potential erzeugt werden Durch Variation der Teilchendichte kann man das Potential verändern Die kleinen Colloidteilchen werden durch ein effektives Potential ersetzt

20 Asakura-Oosawa-Potential In Colloid-Polymer-Lösungen verwendet man statt dem Hard-Sphere-Potential die Asakura-Oosawa-Näherung Die Warum { [ βω AO RG R (x) = ρ s π(r G x) R ] G x [ R + R ] G x 2 }

21 Die neue Physik Die Warum Es können beinahe beliebige erzeugt werden Durch Wahl der Größe von großen Colloidteilchen und kleinen Colloidteilchen bzw. Polymeren Durch Variation der Dichte der Polymere Durch elektrisch geladene Teilchen = Mit Colloidlösungen kann beinahe jeder Zustand simuliert werden. Es können Gele, Gase, Festkörper und Flüssigkeiten erzeugt werden.

22 Die neue Physik Die Warum Abbildung: Experimental Soft Condensed Matter Group - Prof. D.A. Weitz, Harvard

23 Zusammenfassung Die Warum Die Ist eine Enwicklung der Zustandsgleichung nach der Dichte Beschreibt reale Gase mit Wechselwirkungen Meist reicht die Berechnung des zweiten Virialkoeffizienten Verfahren wird auch bei variablen effektiven n verwendet Wird in der Soft-Matter-Physik oft gebraucht