Projektarbeit Quantenmechanik II

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1 Projektarbeit Quantenmechanik II Konzepte der Quantenmechanik Kets, Bras und Operatoren Gruppe Born Stefan Brünner, Corinna Gressl, Barbara Krebl Stefan Sattler, Hans-Peter Zach Sommersemester 2008 Abstract Die Mathematik der Quantenmechanik ist die Funktionalanalysis. In dieser Schreibweise identifizieren wir die Zustände mit Vektoren (Kets und Bras) in einem Vektorraum und die Obervablen mit Operatoren, die auf diese Vektoren wirken. In deisem Abschnitt erinnern wir an die wichtigsten Ideen der Funktionalanalysis.[6] Inhaltsverzeichnis 1 Kets, Bras und Operatoren Vektorräume Definition eines Vektorraums Wichtige Vektorräume Ket- und Braspace Kets Eigenkets Eigenzustände Braspace und Dual Correspondence Inneres Produkt Operatoren Äußeres Produkt Das assoziative Axiom Kets, Bras und Operatoren 1.1 Vektorräume Unsere Überlegungen haben gezeigt, dass unsere eingeführten Zustände Elemente eines komplexen Vektorraumes V sind: α V 1

2 In diesem Kapitel werden wir die für die Quantenmechanik wichtigen Vektorräume einführen. Es sind dies der Ket - Raum und dessen Dualraum der Bra - Raum (bra-c-ket vom engl. bracket). Die mit diesen Räumen verbundene neue Notation wurde von P.A.M. Dirac erdacht. Bevor wir uns eingehender mit dieser neuen Notation beschäftigen, soll hier noch einmal das Wichtigste über Vektorräume wiederholt werden Definition eines Vektorraums Sei X eine Abelsche Gruppe und A ein Zahlenkörper (Elemente sind Skalare), so heißt X Vektorraum V wenn für x, y X und α, β A gilt: 1. x + y = y + x 2. x + 0 = x, 0 X 3. α(x + y) = αx + αy 4. (α + β)x = αx + βx 5. α(βx) = (αβ)x Wichtige Vektorräume Für die Quantenmechanik von besonderem Interesse sind die Hilberträume. Als einen Prähilbertraum bezeichnet man einen Vektorraum mit definiertem Skalarprodukt. Ist dieser auch noch vollständig so spricht man von einem Hilbertraum. Der Raum der Quantenzustände ist ein Hilbertraum. Weiters soll nun besonders in Hinblick auf den Bra- und Ket-Raum der sogenannte Dualraum eingeführt werden. Der Dualraum zum über den Körper A definierten Vektorraum V wird als V bezeichnet. Er besteht aus der Menge aller linearen Abbildungen von V nach A und ist selbst wieder ein Vektorraum über dem Körper A. In der Physik wird auch häufig die Bezeichnungen kontravariant für Elemente aus V und kovariant für Elemente aus V verwendet. Ein Beispiel für einen Vektorraum und dessen Dualraum ist wie bereits erwähnt der Ket-Raum als V und der Bra-Raum als V Ket- und Braspace Als Ket bzw. Braspace betrachten wir einen komplexen Vektorraum, dessen Dimension der Maximalzahl linear unabhängiger Elemente entspricht. Wir sprechen vom bereits erklärten Hilbertraum. Der Braspace ist der zum Ketspace duale Raum, was bedeutet, daß es zu jedem Ket einen entsprechenden Bra gibt. Weiters existiert der Braraum nicht als Teil des Hilbertraums der Kets, sondern ist ein eigener Hilbertraum H. Dargestellt werden Bra und Ket mittels der sogenannten Dirac-Notation: BRA α KET β 2

3 1.2 Kets Ein Zustandsvektor, der alle Informationen zum physikalischen Zustand des betrachteten Systems enthält. Definierte Verknüpfungen von Kets in H 1. Addidtion: α + β = β + α Die Summe ist wieder ein Ket, das Element von H ist. 2. Multiplikation mit komplexer Zahl c C: c α = α c = cα - der sich ergebende Ket ist natürlich wieder Element von H - es gibt kein Unterschied zwischen den oben angeführten 3 Möglichkeiten Wie auch im Vektorraum gilt die Assoziativität und Distributivität, es existiert ein Nullvektor und ein inverses Element bezüglich der Addition. Physikalisch betrachtet repräsentieren c α mit c 0 und α denselben Zustand, was bedeutet, daß nur die Richtung zählt. Daraus ergibt sich das man es mathematisch gesehen eher mit Zeigern als mit Vektoren zu tun hat Eigenkets Die Eigenkets zu den Eigenwerten einer Observablen, kann man sich als Eigenvektoren zu den Eigenwerten einer Matrix vorstellen. Als Observablen betrachtet man z.b. den Impuls, den Ort, etc. Sie werden als Operatoren dargestellt, die rechnerisch als Matrizen behandelt werden. Operatoren wirken von links auf Zustände und erzeugen damit wieder ein neues Ket:  ( α ) =  α Wie später noch zu sehen sein wird, ist der Operator nicht als Konstante zu verstehen, sodaß Â α gleich einem Vielfachen von α wäre. Die Eigenkets eines Operators  γ 1, γ 2, γ 3,... haben die Eigenschaft  γ 1 = γ 1 γ 1  γ 2 = γ 2 γ 2. mit γ n als Eigenwerte des Operators Â. Anwendung des Operators  auf einen seiner Eigenkets produziert also einen Ket, der dem Vielfachen des benutzen Eigenkets entspricht. 3

4 1.2.2 Eigenzustände Der physikalische Zustand zum Eigenket wird nun als Eigenzustand bezeichet. Er beinhält den Eigenwert, sowie den Eigenket. Ein Beispiel aus dem Stern-Gerlach Versuch: S z S z ; + = 2 S z; + S z S z ; = 2 S z; S z...operator S z ;...Eigenkets des Operators S z ± 2...Eigenwerte also: Operator wirkend auf den Eigenket = Eigenwert mal Eigenket Die n Eigenkets eines Operators  spannen einen n-dimensionalen Raum auf, in dem sich ein Ket α > folgendermaßen darstellen lässt: α = n c n γ n Die Eigenkets sind zueinander orthogonal bzw. wenn normiert orthonormal. 1.3 Braspace und Dual Correspondence Wie bereits erwähnt ist der Braspace der duale Raum zum Ketspace. Die oben erwähnten Rechenregeln gelten in gleichem Maß für den Braspace. Die Verbindung zwischen Bra und Ketspace kann man mit der sogenannten dual correspondence (DC) beschreiben. 1. Zu jedem Ket existiert auch ein Bra α DC α 2. Der Braraum wird durch Eigenbras aufgespannt, zu denen es auch entsprechende Eigenkets gibt und umgekehrt γ 1, γ 2,... DC γ 1, γ 2, Addition und Multiplikation mit komplexer Zahl α + β DC α + β c 1 α + c 2 β DC c 1 α + c 2 β... der Faktor ist komplex zu konjugieren Den Bra zum Ket und umgekehrt erhält man durch komplexe Konjugation Inneres Produkt Ein Inneres Produkt wird immer aus einem Bra und einem Ket gebildet und hat folgende Form: α β Im allgemeinen ergibt sich daraus eine komplexe Zahl Mathematische Regeln zum Inneren Produkt 1. α β = β α 2. α α 0, = 0 wenn a ein Nullket 4

5 3. Orthogonalität die KETS a und b sind orthogonal wenn α β = β α = 0 4. Norm eines Ket α α..wird als Norm eines Kets analog zum Betrag eines Vektors im euklidischen Raum bezeichnet Der normierte Ket - analog zum normierten Vektor - hat folgende Form: 1 α n = ( ) α α α es folgt α n α n = 1 Im Euklidischen Raum wird das Innere Produkt auch Skalarprodukt genannt a b = b a In der Quantenmechanik muss allerdings strikt zwischen α β und β α unterschieden werden. Das Wort Skalar wird hier lediglich für eine unter Rotation im 3R invariante Größe benutzt. 1.4 Operatoren Wie wir sehen werden werden in der Quantenmechanik Observablen durch Operatoren beschrieben welche auf Zustände, kets wirken (z.b. Impulsoperator, Ortsoperator,...). Ein Operator wirkt auf einen Ket von links, also  ( α ) =  α und das Ergebnis ist wieder dein Ket. Dagegen wirkt ein Operator auf einen Bra von rechts und das Ergebnis ist wieder ein Bra. An dieser Stelle seien ein paar wichtige Eigenschaften der Operator-Rechnung zusammengefasst: 1. Zwei Operatoren Â, B sind dann gleich wenn gilt:  α = B α 2. Ein Operator  für denn gilt:  α = 0 heißt Null-Operator. 3. Für die Operatoren Â, B, Ĉ gilt:  + B = B +   + ( B + Ĉ) = ( + B) + Ĉ  B B Â( B B) = ( B)Ĉ Â( B α ) = ( B) α =  B α ( β Â) B = β ( B) = β  B ( B) = B  5

6 4. Für lineare Operatoren (fast alle Operatoren in der QM sind linear) gilt: Â(c α α + c β β ) = c α  α + c β  β 5. Für Adjungierte Operatoren gilt: Ψ ÂΦ Â = Ψ Φ 6. Ein Operator heißt Selbstadjungierter Operator wenn gilt:  = Â... Ψ V, Φ V Selbstadjungierte Operatoren haben weiters die schöne Eigenschaft, dass sie reele Eigenwerte haben und ihre Eigenvektoren orthogonal zueinander sind. Das heißt aber, dass somit die Eigenvektoren eine vollständige, orhogonale Basis aufspannen.  a (i) = a (i) a (i) mit a (i) R a (i) a (j) = δ ij Wie wir gesehen haben bildet ein Operator ein Objekt aus einem Vektorraum in einen anderen ab. Für den diskreten Fall ist der Operator durch eine Matrix darstellbar: Âdagger β  α = β Âα = β α Oder in Komponentenschreibweise:  α = Âkjα j β  = β kâkj = ( kj β k) = β   = β Es gilt also: ( ) ij =  ji  im Bra-Raum wirkt! Der Operator  wirkt im Ket-Raum, während der Operator Äußeres Produkt Neben dem Inneren Produkt zwischen zwei Zuständen α und β existiert auch noch ein Äußeres Produkt: α β Dieses Äußeres Produkt ist selbst ein Operator, da: α β γ = α c = c α mitc C Wie leicht zu erkennen ist gilt für einen selbstadungierten Operator: Und weiter:  = α β  = β α ɛ  δ = ɛ α β δ ( ɛ  δ ) = ( ɛ α β δ ) = δ β α ɛ = δ  ɛ 6

7 1.4.2 Das assoziative Axiom Wie bereits im vorangegangenen Abschnitt gezeigt wurde, sind Multiplikationsoperationen gegenüber Operatoren assoziativ. Dieses Postulat wird von Dirac als assoziatives Axiom der Multiplikation bezeichnet. Um dieses Axiom zu zeigen, nehmen wir zuerst ein äußeres Produkt an, dass auf ein Ket wirkt: Wendet man hierauf das assoziative Axiom an, erhält man ( β α ) γ. (1) β ( α γ ), (2) wobei α γ lediglich eine Zahl ist. Das äußere Produkt, das auf ein Ket wirkt ergibt wieder ein Ket. Anders gesagt, β α kann als Operator betrachtet werden. Weil Gleichung 1 und 2 identisch sind, können wir auf die verwendeten verzichten und β α γ steht schließlich für den Opterator β α der auf γ wirkt, oder, analog zur vorherigen Beziehung, die Zahl α γ multipliziert mit β. Bemerkung: Der Operator β α dreht γ in die Richtung von β. Es ist leicht nachzuvollziehen, dass wenn dann X = β α, X = α β ist. Für eine zweite wichtige Illustration des assoziativen Axiom nehmen wir an, dass ( β ) (X α ) = ( β X) ( α ). (3) }{{}}{{}}{{}}{{} Bra Ket Bra Ket Da beide Seiten der Gleichung gleich sind, kann sie in eine kompakte Form gebracht werden β X α. Diese Form steht auf beiden Seiten der Gleichung 3. Wir erinnern uns, dass X das zu X α duale Bra ist, dann gilt: β X α = β (X α ) = (( α X ) β ) = α X β wobei hier zusätzlich zum assoziativen Axiom, die Eigenschaften des inneren Produkts angewandt wurden. Für einen hermit schen Operator X gilt: [3, Übersetzung angelehnt] β X α = α X β 7

8 Literatur Literatur [1] Gruppe Born. Vorlesungsmitschrift Quantenmechanik Prof. C.B. Lang. Sommersemester Universität Graz [2] HEBENSTREIT, Florian. Vorlesungsmitschrift Quantenmechanik Prof. C.B. Lang. Sommersemester Universität Graz [3] SAKURAI, J.J. Modern Quantum Mechanics. (Addison-Wesley, Reading: 1994) [4] T. Fließbach: Quantenmechanik (Spektrum Verlag Heidelberg: 1995) [5] LANG, C.B. Mathematische Methoden in der Physik (Springer-Verlag: 1997) [6] 8