Geometrische Algebra
|
|
|
- Andreas Gärtner
- vor 9 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Geometrische Algebra Florian Jung Institut für Physik, WA THEP Universität Mainz Klausurtagung des Graduiertenkollegs Bullay, 13. September 2006 Florian Jung: Geometrische Algebra 1 / 24
2 Gliederung Grundlagen Was ist Geometrische Algebra? Mathematischer Formalismus Spiegelungen und Drehungen Spiegelung an einer Ebene Von Spiegelungen zu Drehungen Anwendungen Klassische Physik Quantenmechanik Florian Jung: Geometrische Algebra 2 / 24
3 Gliederung Grundlagen Was ist Geometrische Algebra? Mathematischer Formalismus Spiegelungen und Drehungen Spiegelung an einer Ebene Von Spiegelungen zu Drehungen Anwendungen Klassische Physik Quantenmechanik Florian Jung: Geometrische Algebra 3 / 24
4 Was ist Geometrische Algebra (GA)? H. Grassmann: Äußere Algebra Verallgemeinerung von Vektoren Florian Jung: Geometrische Algebra 4 / 24
5 Was ist Geometrische Algebra (GA)? H. Grassmann: Äußere Algebra Verallgemeinerung von Vektoren W. R. Hamilton: Quaternionen Invertierbarkeit ( Division) Florian Jung: Geometrische Algebra 4 / 24
6 Was ist Geometrische Algebra (GA)? H. Grassmann: Äußere Algebra Verallgemeinerung von Vektoren W. R. Hamilton: Quaternionen Invertierbarkeit ( Division) W. K. Clifford: Geometrische Algebra Universelle Sprache der Geometrie Florian Jung: Geometrische Algebra 4 / 24
7 Was ist Geometrische Algebra (GA)? H. Grassmann: Äußere Algebra Verallgemeinerung von Vektoren W. R. Hamilton: Quaternionen Invertierbarkeit ( Division) W. K. Clifford: Geometrische Algebra Universelle Sprache der Geometrie M. Riesz, P. Lounesto, D. Hestenes: Weiterentwicklung und Anwendungen Florian Jung: Geometrische Algebra 4 / 24
8 Motivation Universelle Sprache der Geometrie! Florian Jung: Geometrische Algebra 5 / 24
9 Motivation Universelle Sprache der Geometrie! GA taucht (versteckt) überall in der Physik auf Florian Jung: Geometrische Algebra 5 / 24
10 Motivation Universelle Sprache der Geometrie! GA taucht (versteckt) überall in der Physik auf Erlaubt geometrische Interpretation Florian Jung: Geometrische Algebra 5 / 24
11 Motivation Universelle Sprache der Geometrie! GA taucht (versteckt) überall in der Physik auf Erlaubt geometrische Interpretation Sehr nah an der klassischen Vektoranalysis, aber in beliebigen Dimensionen gültig. Florian Jung: Geometrische Algebra 5 / 24
12 Definition der Geometrischen Algebra Grundlage ist ein reeller Vektorraum V mit Skalarprodukt und Normquadrat 2. Die Clifford-Algebra G(V, 2 ) ist eine reelle, assoziative Algebra (wie die Tensor-Algebra). Für Vektoren gilt aber zusätzlich die Kontraktionsregel : a 2 = aa = a 2, oder äquivalent (wie von Pauli-/Dirac-Matrizen bekannt): ab + ba = 2 a b. Florian Jung: Geometrische Algebra 6 / 24
13 Definition der Geometrischen Algebra Grundlage ist ein reeller Vektorraum V mit Skalarprodukt und Normquadrat 2. Die Clifford-Algebra G(V, 2 ) ist eine reelle, assoziative Algebra (wie die Tensor-Algebra). Für Vektoren gilt aber zusätzlich die Kontraktionsregel : a 2 = aa = a 2, oder äquivalent (wie von Pauli-/Dirac-Matrizen bekannt): ab + ba = 2 a b. Notation: Skalare: α, β,... Vektoren: a, b,... Allg. Elemente: A, B,... Was noch fehlt, ist die geometrische Interpretation! Florian Jung: Geometrische Algebra 6 / 24
14 Geometrische Bedeutung der Pauli-Matrizen Die Pauli-Matrizen σ i erfüllen: σ i σ j + σ j σ i = 2δ ij. Kontraktionsregel für eine ONB (σ i ) des 3 : σ i σ j + σ j σ i = 2 σ i σ j = 2δ ij. Algebraisch gibt es keinen Unterschied zwischen σ i und σ i. Die Pauli-Matrizen sind Darstellungen der Basisvektoren des 3! σ 3 σ 1 σ 2 Florian Jung: Geometrische Algebra 7 / 24
15 Universalität des Geometrischen Produkts Im Clifford-Produkt ist die vollständige geometrische Beziehung zweier Vektoren relativ zueinander enthalten! Betrachte zwei Vektoren a, b und deren Produkt P = ab. Florian Jung: Geometrische Algebra 8 / 24
16 Universalität des Geometrischen Produkts Im Clifford-Produkt ist die vollständige geometrische Beziehung zweier Vektoren relativ zueinander enthalten! Betrachte zwei Vektoren a, b und deren Produkt P = ab. Wenn sich b eindeutig aus P und a rekonstuieren ließe, dann folgt die Behauptung. Florian Jung: Geometrische Algebra 8 / 24
17 Universalität des Geometrischen Produkts Im Clifford-Produkt ist die vollständige geometrische Beziehung zweier Vektoren relativ zueinander enthalten! Betrachte zwei Vektoren a, b und deren Produkt P = ab. Wenn sich b eindeutig aus P und a rekonstuieren ließe, dann folgt die Behauptung. In der GA ist der Vektor a invertierbar: a 1 = a a 2 = aa 1 = a2 a 2 = a 2 a 2 = 1. Florian Jung: Geometrische Algebra 8 / 24
18 Universalität des Geometrischen Produkts Im Clifford-Produkt ist die vollständige geometrische Beziehung zweier Vektoren relativ zueinander enthalten! Betrachte zwei Vektoren a, b und deren Produkt P = ab. Wenn sich b eindeutig aus P und a rekonstuieren ließe, dann folgt die Behauptung. In der GA ist der Vektor a invertierbar: a 1 = Damit ergibt sich b mittels: a a 2 = aa 1 = a2 a 2 = a 2 a 2 = 1. a 1 P = a 1 (ab) = (a 1 a)b = b. Florian Jung: Geometrische Algebra 8 / 24
19 Universalität des Geometrischen Produkts Im Clifford-Produkt ist die vollständige geometrische Beziehung zweier Vektoren relativ zueinander enthalten! Betrachte zwei Vektoren a, b und deren Produkt P = ab. Wenn sich b eindeutig aus P und a rekonstuieren ließe, dann folgt die Behauptung. In der GA ist der Vektor a invertierbar: a 1 = Damit ergibt sich b mittels: a a 2 = aa 1 = a2 a 2 = a 2 a 2 = 1. a 1 P = a 1 (ab) = (a 1 a)b = b. Alle weiteren Produkte lassen sich aus Clifford-Produkt ableiten! Florian Jung: Geometrische Algebra 8 / 24
20 Skalar- und Dachprodukt Das Skalarprodukt ist der symmetrische Anteil: a b = 1 2( ab + ba ) = b a. Florian Jung: Geometrische Algebra 9 / 24
21 Skalar- und Dachprodukt Das Skalarprodukt ist der symmetrische Anteil: a b = 2( 1 ) ab + ba = b a. Das Dachprodukt ergibt sich aus dem antisymmetrischen Anteil: a b = 1 ) 2( ab ba = b a. Florian Jung: Geometrische Algebra 9 / 24
22 Skalar- und Dachprodukt Das Skalarprodukt ist der symmetrische Anteil: a b = 2( 1 ) ab + ba = b a. Das Dachprodukt ergibt sich aus dem antisymmetrischen Anteil: a b = 1 ) 2( ab ba = b a. Fundamentale Zerlegung des Clifford-Produkts: ab = a b + a b. Skalar- oder Dachprodukt allein sind nicht invertierbar! Florian Jung: Geometrische Algebra 9 / 24
23 Dachprodukte als orientierte Flächenelemente Das Dachprodukt lässt sich als orientiertes Flächenelement eines k-dim. Untervektorraums (k-spat) auffassen: a b c a a b 0-Spat = Skalar, 1-Spat = Vektor,... Die Antisymmetrie steckt in der Orientierung: a b b = b a a Florian Jung: Geometrische Algebra 10 / 24
24 Mit Hodge-Dualität zu Kreuzprodukt und Determinante a b Hodge-Dualität übersetzt zwischen k-spaten und (n k)-spaten mittels orhogonalem Komplement Der Betrag ist unter erhalten a b Orientierung mit Rechter-Hand-Regel a b c c a b Florian Jung: Geometrische Algebra 11 / 24
25 Mit Hodge-Dualität zu Kreuzprodukt und Determinante a b Hodge-Dualität übersetzt zwischen k-spaten und (n k)-spaten mittels orhogonalem Komplement Der Betrag ist unter erhalten a b Orientierung mit Rechter-Hand-Regel In 3 Dimensionen gilt: (a b) = a b, (a b c) = det(a, b, c). a b c c a b Florian Jung: Geometrische Algebra 11 / 24
26 Mit Hodge-Dualität zu Kreuzprodukt und Determinante a b Hodge-Dualität übersetzt zwischen k-spaten und (n k)-spaten mittels orhogonalem Komplement Der Betrag ist unter erhalten a b Orientierung mit Rechter-Hand-Regel In 3 Dimensionen gilt: (a b) = a b, (a b c) = det(a, b, c). a a b c b c In n 3 Dimensionen ist das Kreuzprodukt nicht definiert! Florian Jung: Geometrische Algebra 11 / 24
27 Beispiel zur Hodge-Dualität Gegeben (σ i ) ONB von 3 Wegen Orthonormalität gilt: σ i σ j = σ i σ j + δ ij Definiere den Pseudoskalar I = σ 1 σ 2 σ 3 = σ 1 σ 2 σ 3 Hodge-Dualität berechnet man mittels: A = A I 1. Damit ergibt sich: (σ 1 σ 2 ) = (σ 1 σ 2 )I 1 = (σ 1 σ 2 )σ 3 σ 2 σ 1 = σ 1 σ 2 σ 2 σ 1 σ 3 = σ 1 σ 1 σ 3 = σ 3 = σ 1 σ 2. Florian Jung: Geometrische Algebra 12 / 24
28 Gliederung Grundlagen Was ist Geometrische Algebra? Mathematischer Formalismus Spiegelungen und Drehungen Spiegelung an einer Ebene Von Spiegelungen zu Drehungen Anwendungen Klassische Physik Quantenmechanik Florian Jung: Geometrische Algebra 13 / 24
29 Spiegelung an einer Ebene s v Wir möchten v an der Ebene senkrecht zum Vektor s spiegeln. S(v) Florian Jung: Geometrische Algebra 14 / 24
30 Spiegelung an einer Ebene s v Wir möchten v an der Ebene senkrecht zum Vektor s spiegeln. Zerlege dazu v = v + v senkrecht und parallel zu s: v v s v = (v s) s 2, v = v v. S(v) Florian Jung: Geometrische Algebra 14 / 24
31 Spiegelung an einer Ebene s v Wir möchten v an der Ebene senkrecht zum Vektor s spiegeln. Zerlege dazu v = v + v senkrecht und parallel zu s: v v s v = (v s) s 2, v = v v. v S(v) Damit ergibt sich der gespiegelte Vektor S(v) = v v zu: s S(v) = v 2(v s) s 2. Florian Jung: Geometrische Algebra 14 / 24
32 Spiegelung an einer Ebene (GA-Version) In der GA lassen sich die Formeln weiter vereinfachen: s v = (v s) s 2 = (v s)s 1, v = v v = (vs v s)s 1 = (v s)s 1. Florian Jung: Geometrische Algebra 15 / 24
33 Spiegelung an einer Ebene (GA-Version) In der GA lassen sich die Formeln weiter vereinfachen: s v = (v s) s 2 = (v s)s 1, v = v v = (vs v s)s 1 = (v s)s 1. Damit erhält man den gespiegelten Vektor: S(v) = v v = (v s v s)s 1 = (s v + s v)s 1 = svs 1. Florian Jung: Geometrische Algebra 15 / 24
34 Spiegelung an einer Ebene (GA-Version) In der GA lassen sich die Formeln weiter vereinfachen: s v = (v s) s 2 = (v s)s 1, v = v v = (vs v s)s 1 = (v s)s 1. Damit erhält man den gespiegelten Vektor: S(v) = v v = (v s v s)s 1 = (s v + s v)s 1 = svs 1. s Viel kompakter als die alte Formel ( S(v) = v 2(v s) s 2 ). Komposition von Spiegelungen ist sehr einfach! Florian Jung: Geometrische Algebra 15 / 24
35 Von Spiegelungen zu Drehungen w n Satz von Cartan Dieudonné: Jede Drehung lässt sich in Spiegelungen zerlegen. Betrachte Drehung, die den Vektor v in w überführt. v nvn 1 Florian Jung: Geometrische Algebra 16 / 24
36 Von Spiegelungen zu Drehungen w n v Satz von Cartan Dieudonné: Jede Drehung lässt sich in Spiegelungen zerlegen. Betrachte Drehung, die den Vektor v in w überführt. Zuerst Spiegelung senkrecht zu n: v nvn 1. nvn 1 Florian Jung: Geometrische Algebra 16 / 24
37 Von Spiegelungen zu Drehungen w n v Satz von Cartan Dieudonné: Jede Drehung lässt sich in Spiegelungen zerlegen. Betrachte Drehung, die den Vektor v in w überführt. Zuerst Spiegelung senkrecht zu n: v nvn 1. Danach Spiegelung senkrecht zu w: nvn 1 R(v) = w( nvn 1 )w 1 = (wn)v(wn) 1 Florian Jung: Geometrische Algebra 16 / 24
38 Von Spiegelungen zu Drehungen R w n v Satz von Cartan Dieudonné: Jede Drehung lässt sich in Spiegelungen zerlegen. Betrachte Drehung, die den Vektor v in w überführt. Zuerst Spiegelung senkrecht zu n: v nvn 1. Danach Spiegelung senkrecht zu w: nvn 1 R(v) = w( nvn 1 )w 1 = (wn)v(wn) 1 = RvR 1, mit dem Rotor R = wn. Florian Jung: Geometrische Algebra 16 / 24
39 Geometrische Relevanz des Halbwinkels Der halbe Drehwinkel des Rotors R (zwischen w und n) hat eine zutiefst geometrische Bedeutung bei der Komposition von Drehungen: Florian Jung: Geometrische Algebra 17 / 24
40 Geometrische Relevanz des Halbwinkels Der halbe Drehwinkel des Rotors R (zwischen w und n) hat eine zutiefst geometrische Bedeutung bei der Komposition von Drehungen: Florian Jung: Geometrische Algebra 17 / 24
41 Geometrische Relevanz des Halbwinkels Der halbe Drehwinkel des Rotors R (zwischen w und n) hat eine zutiefst geometrische Bedeutung bei der Komposition von Drehungen: Florian Jung: Geometrische Algebra 17 / 24
42 Gliederung Grundlagen Was ist Geometrische Algebra? Mathematischer Formalismus Spiegelungen und Drehungen Spiegelung an einer Ebene Von Spiegelungen zu Drehungen Anwendungen Klassische Physik Quantenmechanik Florian Jung: Geometrische Algebra 18 / 24
43 Maxwell-Gleichungen E = ϱ B t E = j B = 0 E + t B = 0 Florian Jung: Geometrische Algebra 19 / 24
44 Maxwell-Gleichungen E = ϱ B t E = j B = 0 E + t B = 0 SRT mit Tensor-Analysis µ F µν = j ν ε µνϱσ ν F ϱσ = 0 Florian Jung: Geometrische Algebra 19 / 24
45 Maxwell-Gleichungen E = ϱ B t E = j B = 0 E + t B = 0 SRT mit Tensor-Analysis µ F µν = j ν ε µνϱσ ν F ϱσ = 0 Geometrische Algebra F = j F = 0 Florian Jung: Geometrische Algebra 19 / 24
46 Maxwell-Gleichungen E = ϱ B t E = j B = 0 E + t B = 0 SRT mit Tensor-Analysis µ F µν = j ν ε µνϱσ ν F ϱσ = 0 Geometrische Algebra F = j F = 0 F = j Florian Jung: Geometrische Algebra 19 / 24
47 Pauli-Schrödinger-Gleichung Die übliche Pauli-Schrödinger-Gleichung lautet: ( ˆπ 2 i t Ψ = 2m ) q + qφ (σ B) Ψ. 2m Kritikpunkte: Viele Räume nebeneinander: ( 3,, ), 2, Mat(2, ) Florian Jung: Geometrische Algebra 20 / 24
48 Pauli-Schrödinger-Gleichung Die übliche Pauli-Schrödinger-Gleichung lautet: ( ˆπ 2 i t Ψ = 2m ) q + qφ (σ B) Ψ. 2m Kritikpunkte: Viele Räume nebeneinander: ( 3,, ), 2, Mat(2, ) Die Bedeutung der komplexen Zahlen ist unklar! Florian Jung: Geometrische Algebra 20 / 24
49 Pauli-Schrödinger-Gleichung Die übliche Pauli-Schrödinger-Gleichung lautet: ( ˆπ 2 i t Ψ = 2m ) q + qφ (σ B) Ψ. 2m Kritikpunkte: Viele Räume nebeneinander: ( 3,, ), 2, Mat(2, ) Die Bedeutung der komplexen Zahlen ist unklar! σ = (σ 1, σ 2, σ 3 ) ist ein formaler Vektor. Florian Jung: Geometrische Algebra 20 / 24
50 Pauli-Schrödinger-Gleichung Die übliche Pauli-Schrödinger-Gleichung lautet: ( ˆπ 2 i t Ψ = 2m ) q + qφ (σ B) Ψ. 2m Kritikpunkte: Viele Räume nebeneinander: ( 3,, ), 2, Mat(2, ) Die Bedeutung der komplexen Zahlen ist unklar! σ = (σ 1, σ 2, σ 3 ) ist ein formaler Vektor. Die Rechenregel: (σ a)(σ b) = (a b) + iσ (a b), ist eben nur eine Rechenregel. Florian Jung: Geometrische Algebra 20 / 24
51 Quantenmechanik mit Geometrischer Algebra? Interpretiere die Pauli-Matrizen σ i als Basisvektoren, dann ist: σ a = σ i a i = a i σ i = ai σ i = a 3 G 3. Florian Jung: Geometrische Algebra 21 / 24
52 Quantenmechanik mit Geometrischer Algebra? Interpretiere die Pauli-Matrizen σ i als Basisvektoren, dann ist: σ a = σ i a i = a i σ i = ai σ i = a 3 G 3. Damit wird die obige Rechenregel (σ a)(σ b) = (a b) + iσ (a b), zu: ab = a b + I(a b) = a b + a b. Das ist die fundamentale Zerlegung des Clifford-Produkts! Die imaginäre Einheit i vermittelt hier die Hodge-Dualität! Florian Jung: Geometrische Algebra 21 / 24
53 Quantenmechanik mit Geometrischer Algebra? Interpretiere die Pauli-Matrizen σ i als Basisvektoren, dann ist: σ a = σ i a i = a i σ i = ai σ i = a 3 G 3. Damit wird die obige Rechenregel (σ a)(σ b) = (a b) + iσ (a b), zu: ab = a b + I(a b) = a b + a b. Das ist die fundamentale Zerlegung des Clifford-Produkts! Die imaginäre Einheit i vermittelt hier die Hodge-Dualität! ( 3,, ) ist unnötig, weil in G 3 enthalten. Florian Jung: Geometrische Algebra 21 / 24
54 Quantenmechanik mit Geometrischer Algebra! Die Pauli-Schrödinger-Gleichung: i t Ψ = ĤSΨ q (σ B)Ψ, 2m wird ersetzt durch die Pauli-Schrödinger-Hestenes-Gleichung: t ψ Iσ 3 = ĤSψ + q 2mc (IB)ψ Iσ 3. Florian Jung: Geometrische Algebra 22 / 24
55 Quantenmechanik mit Geometrischer Algebra! Die Pauli-Schrödinger-Gleichung: i t Ψ = ĤSΨ q (σ B)Ψ, 2m wird ersetzt durch die Pauli-Schrödinger-Hestenes-Gleichung: t ψ Iσ 3 = ĤSψ + q 2mc (IB)ψ Iσ 3. Nur noch reelle Größen mit geometrischer Interpretation! Florian Jung: Geometrische Algebra 22 / 24
56 Quantenmechanik mit Geometrischer Algebra! Die Pauli-Schrödinger-Gleichung: i t Ψ = ĤSΨ q (σ B)Ψ, 2m wird ersetzt durch die Pauli-Schrödinger-Hestenes-Gleichung: t ψ Iσ 3 = ĤSψ + q 2mc (IB)ψ Iσ 3. Nur noch reelle Größen mit geometrischer Interpretation! Die Wellenfunktion ψ ist jetzt ein (verallgemeinerter) Rotor und beschreibt lokal eine Drehstreckung. Florian Jung: Geometrische Algebra 22 / 24
57 Quantenmechanik mit Geometrischer Algebra! Die Pauli-Schrödinger-Gleichung: i t Ψ = ĤSΨ q (σ B)Ψ, 2m wird ersetzt durch die Pauli-Schrödinger-Hestenes-Gleichung: t ψ Iσ 3 = ĤSψ + q 2mc (IB)ψ Iσ 3. Nur noch reelle Größen mit geometrischer Interpretation! Die Wellenfunktion ψ ist jetzt ein (verallgemeinerter) Rotor und beschreibt lokal eine Drehstreckung. Der Faktor Iσ 3 ersetzt i und hängt eng mit dem Spin zusammen. Florian Jung: Geometrische Algebra 22 / 24
58 Zusammenfassung Geometrische Algebra ist eine Universelle Sprache der Geometrie! Andere geometrische Formalismen sind darin enthalten. Florian Jung: Geometrische Algebra 23 / 24
59 Zusammenfassung Geometrische Algebra ist eine Universelle Sprache der Geometrie! Andere geometrische Formalismen sind darin enthalten. Die Pauli-Matrizen lassen sich in der Geometrischen Algebra als Darstellungen der Basisvektoren des 3 auffassen. Florian Jung: Geometrische Algebra 23 / 24
60 Zusammenfassung Geometrische Algebra ist eine Universelle Sprache der Geometrie! Andere geometrische Formalismen sind darin enthalten. Die Pauli-Matrizen lassen sich in der Geometrischen Algebra als Darstellungen der Basisvektoren des 3 auffassen. Es gibt viele fruchtbare Anwendungen (nicht nur) in der Physik. Florian Jung: Geometrische Algebra 23 / 24
61 Danke für die Aufmerksamkeit.
Geometrische Algebra und die Rolle des Clifford-Produkts in der Klassischen und Quantenmechanik
Geometrische Algebra und die Rolle des Clifford-Produkts in der Klassischen und Quantenmechanik Diplomarbeit im Fachbereich Physik Florian Jung März 2006 Institut für Physik Staudingerweg 7, 55128 Mainz,
Musterlösungen Blatt Mathematischer Vorkurs. Sommersemester Dr. O. Zobay. Matrizen
Musterlösungen Blatt 8 34007 Mathematischer Vorkurs Sommersemester 007 Dr O Zobay Matrizen Welche Matrixprodukte können mit den folgenden Matrizen gebildet werden? ( 4 5 A, B ( 0 9 7, C 8 0 5 4 Wir können
Lineare Algebra. Mathematik II für Chemiker. Daniel Gerth
Lineare Algebra Mathematik II für Chemiker Daniel Gerth Überblick Lineare Algebra Dieses Kapitel erklärt: Was man unter Vektoren versteht Wie man einfache geometrische Sachverhalte beschreibt Was man unter
5 Lineare Algebra (Teil 3): Skalarprodukt
5 Lineare Algebra (Teil 3): Skalarprodukt Der Begriff der linearen Abhängigkeit ermöglicht die Definition, wann zwei Vektoren parallel sind und wann drei Vektoren in einer Ebene liegen. Daß aber reale
Seminarvortrag. Spinoren der Lorentzgruppe
Seminarvortrag Spinoren der Lorentzgruppe Juli 2003 Inhaltsverzeichnis 1 Grundbegriffe 3 1.1 Tensoren und Spinoren........................ 3 1.2 Lorentzgruppe............................ 3 2 Spinoren 4
2.2 Kollineare und koplanare Vektoren
. Kollineare und koplanare Vektoren Wie wir schon gelernt haben, können wir einen Vektor durch Multiplikation mit einem Skalar verlängern oder verkürzen. In Abbildung 9 haben u und v die gleiche Richtung,
10.2 Linearkombinationen
147 Vektorräume in R 3 Die Vektorräume in R 3 sind { } Geraden durch den Ursprung Ebenen durch den Ursprung R 3 Analog zu reellen Vektorräumen kann man komplexe Vektorräume definieren. In der Definition
Lineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG
P Grohs T Welti F Weber Herbstsemester 215 Lineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG ETH Zürich D-MATH Beispiellösung für Serie 12 Aufgabe 121 Matrixpotenzen und Eigenwerte Diese Aufgabe ist
L3 Euklidische Geometrie: Längen, Winkel, senkrechte Vektoren...
L3 Euklidische Geometrie: Längen, Winkel, senkrechte Vektoren... (benötigt neue Struktur über Vektorraumaxiome hinaus) Sei Länge von nach Pythagoras: Länge quadratisch in Komponenten! - Für : Skalarprodukt
L3 Euklidische Geometrie: Längen, Winkel, senkrechte Vektoren...
L3 Euklidische Geometrie: Längen, Winkel, senkrechte Vektoren... (benötigt neue Struktur über Vektorraumaxiome hinaus) Sei Länge von nach Pythagoras: Länge quadratisch in Komponenten! - Für : Skalarprodukt
Inhaltsverzeichnis. Teil I Grundlagen. Teil II Symmetrie-Werkzeuge. 1 Einleitung 3
Inhaltsverzeichnis Teil I Grundlagen 1 Einleitung 3 1.1 Was wir nicht herleiten können... 3 1.2 Überblick über das Buch... 5 1.3 Elementarteilchen und fundamentale Wechselwirkungen 8 2 Die Spezielle Relativitätstheorie
, v 3 = und v 4 =, v 2 = V 1 = { c v 1 c R }.
154 e Gegeben sind die Vektoren v 1 = ( 10 1, v = ( 10 1. Sei V 1 = v 1 der von v 1 aufgespannte Vektorraum in R 3. 1 Dann besteht V 1 aus allen Vielfachen von v 1, V 1 = { c v 1 c R }. ( 0 ( 01, v 3 =
12 Übungen zu Gauß-Algorithmus
Aufgaben zum Vorkurs B S. 2 Übungen zu Gauß-Algorithmus 2x x 2 = 7x +, 5x 2 = 7 Aufgabe 6: Aufgabe 7: Aufgabe 8: Aufgabe 9: 2x x 2 = x +2x 2 = 2 2x x 2 = 7x +, 5x 2 =, 5 x 2x 2 = x +x 2 = 5 2x +x 2 = 4
Vektorprodukt. Der Vektor. ist zu a und b orthogonal, gemäß der. Rechten-Hand-Regel orientiert und hat die Länge c = a b
Vektorprodukt Der Vektor c = a b ist zu a und b orthogonal, gemäß der Rechten-Hand-Regel orientiert und hat die Länge c = a b sin( ( a, b)), die dem Flächeninhalt des von den Vektoren a und b aufgespannten
Vektoren und Matrizen
Universität Basel Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Vektoren und Matrizen Dr. Thomas Zehrt Inhalt: 1. Vektoren (a) Einführung (b) Linearkombinationen (c) Länge eines Vektors (d) Skalarprodukt (e) Geraden
Klausur zu. Lineare Algebra II. Viel Erfolg! Fachbereich Mathematik WS 2012/13 Dr. habil. Matthias Schneider. Bonus Note. Aufgabe
Klausur zu Lineare Algebra II Fachbereich Mathematik WS 0/3 Dr. habil. Matthias Schneider Aufgabe 3 4 5 6 7 Bonus Note Punktzahl 4 3 3 3 3 0 erreichte Punktzahl Es sind keine Hilfsmittel zugelassen. Die
Proseminar Lineare Algebra II, SS 11. Blatt
Blatt 1 1. Berechnen Sie die Determinante der Matrix 0 0 4 1 2 5 1 7 1 2 0 3 1 3 0 α. 2. Stellen Sie folgende Matrix als Produkt von Elementarmatrizen dar: 1 3 1 4 2 5 1 3 0 4 3 1. 3 1 5 2 3. Seien n 2
Ausgewählte Lösungen zu den Übungsblättern 9-10
Fakultät für Luft- und Raumfahrttechnik Institut für Mathematik und Rechneranwendung Vorlesung: Lineare Algebra (ME), Prof. Dr. J. Gwinner Dezember Ausgewählte Lösungen zu den Übungsblättern 9- Übungsblatt
49 Tensorprodukt. Diese Abbildung ist offensichtlich bilinear. Sie hat außerdem die folgende universelle Eigenschaft:
49 Tensorprodukt Zusammenfassung Das Tensorprodukt von Vektorräumen erlaubt die Linearisierung von bilinearen und multilinearen Abbildungen zwischen Vektorräumen. Varianten des Tensorproduktes sind das
4.3 Bilinearformen. 312 LinAlg II Version Juni 2006 c Rudolf Scharlau
312 LinAlg II Version 0 20. Juni 2006 c Rudolf Scharlau 4.3 Bilinearformen Bilinearformen wurden bereits im Abschnitt 2.8 eingeführt; siehe die Definition 2.8.1. Die dort behandelten Skalarprodukte sind
Prüfung Lineare Algebra , B := ( ), C := 1 1 0
1. Es seien 1 0 2 0 0 1 3 0 A :=, B := ( 1 2 3 4 ), C := 1 1 0 0 1 0. 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 Welche der folgenden Aussagen ist richtig? A. A und C haben Stufenform, B nicht. B. A und B haben Stufenform,
Lineare Algebra II. Prof. Dr. M. Rost. Übungen Blatt 1 (SS 2011) Abgabetermin: Donnerstag, 21. April.
Lineare Algebra II Prof. Dr. M. Rost Übungen Blatt 1 (SS 2011) Abgabetermin: Donnerstag, 21. April http://www.math.uni-bielefeld.de/~rost/la2 Erinnerungen, Ergänzungen und Vorgriffe zur Vorlesung: Symmetrische
Kapitel 3 Lineare Algebra
Kapitel 3 Lineare Algebra Inhaltsverzeichnis VEKTOREN... 3 VEKTORRÄUME... 3 LINEARE UNABHÄNGIGKEIT UND BASEN... 4 MATRIZEN... 6 RECHNEN MIT MATRIZEN... 6 INVERTIERBARE MATRIZEN... 6 RANG EINER MATRIX UND
3.5 Duale Vektorräume und Abbildungen
3.5. DUALE VEKTORRÄUME UND ABBILDUNGEN 103 3.5 Duale Vektorräume und Abbildungen Wir wollen im Folgenden auch geometrische Zusammenhänge mathematisch beschreiben und beginnen deshalb jetzt mit der Einführung
6.3 Eigenwerte. γ ist Eigenwert von T [T] B B γi ist nicht invertierbar.
![6.3 Eigenwerte. γ ist Eigenwert von T [T] B B γi ist nicht invertierbar.](/thumbs/70/62033901.jpg "6.3 Eigenwerte. γ ist Eigenwert von T [T] B B γi ist nicht invertierbar.")
Um zu zeigen, dass die irreduziblen Teiler eines reellen Polynoms höchstens den Grad 2 haben, fassen wir nun (x γ) und (x γ) zusammen und stellen fest, dass (x (a + b i))(x ((a b i)) = x 2 2a + (a 2 +
Didaktik der Analysis und der Analytischen Geometrie/ Linearen Algebra
A. Filler[-3mm] Didaktik der Analysis und der Analytischen Geometrie/ Linearen Algebra, Teil 8 Folie 1 /27 Didaktik der Analysis und der Analytischen Geometrie/ Linearen Algebra 8. Das Skalarprodukt, metrische
Outline. 1 Vektoren im Raum. 2 Komponenten und Koordinaten. 3 Skalarprodukt. 4 Vektorprodukt. 5 Analytische Geometrie. 6 Lineare Räume, Gruppentheorie
Outline 1 Vektoren im Raum 2 Komponenten und Koordinaten 3 Skalarprodukt 4 Vektorprodukt 5 Analytische Geometrie 6 Lineare Räume, Gruppentheorie Roman Wienands (Universität zu Köln) Mathematik II für Studierende
Lineare Algebra. 1 Lineare Abbildungen
Lineare Algebra Die lineare Algebra ist ein Teilgebiet der Mathematik, welches u. A. zur Beschreibung geometrischer Abbildungen und diverser Prozesse und zum Lösen linearer Gleichungssysteme mit Hilfe
Determinanten. Motivation: Man betrachte das lineare Gleichungssystem =. (1) y = Sei o.b.d.a a 0 und c 0. Dann ist (1) äquivalent zu. = ac ad y.
Determinanten Motivation: Man betrachte das lineare Gleichungssystem [ [ [ a b x u = (1) c d y v Sei obda a und c Dann ist (1) äquivalent zu [ [ ca cb x = ac ad y und ferner zu [ [ ca cb x ad cb y Falls
Lineare Algebra und analytische Geometrie II (Unterrichtsfach) Lösungsvorschlag
MATHEMATISCHES INSTITUT DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN Dr E Schörner SS 0 Blatt 9 9060 Übungen zur Vorlesung Lineare Algebra und analytische Geometrie II (Unterrichtsfach Lösungsvorschlag a Die gegebene Matrix
11. Vorlesung. Lineare Algebra und Sphärische Geometrie.
11. Vorlesung. Lineare Algebra und Sphärische Geometrie. In dieser Vorlesung behandeln wir eine geometrische Anwendung der linearen Algebra. Insbesondere betrachten wir orthogonale Abbildungen. 1. Orthogonale
Übungen zur Vorlesung Lineare Algebra II, SoSe 2016, Blatt 12
Übungen zur Vorlesung Lineare Algebra II, SoSe 2016, Blatt 12 Schriftliche Aufgaben Aufgabe 1. Sei A M(n n, C). Zeigen Sie: (1) exp(a) ist invertierbar mit exp(a) 1 = exp( A). (2) Ist A M(n n, C) selbstadjungiert
1 Lineare Algebra. 1.1 Matrizen und Vektoren. Slide 3. Matrizen. Eine Matrix ist ein rechteckiges Zahlenschema
1 Lineare Algebra 1.1 Matrizen und Vektoren Slide 3 Matrizen Eine Matrix ist ein rechteckiges Zahlenschema eine n m-matrix A besteht aus n Zeilen und m Spalten mit den Matrixelementen a ij, i=1...n und
Projektive Abbildungen, Beziehung zwischen anen und projektiven Räumen, Projektive Unabhängigkeit.
Projektive Abbildungen, Beziehung zwischen anen und projektiven Räumen, Projektive Unabhängigkeit. Agnieszka Wenska 2008-02-19 1 Wir wissen bereits: Was projektive Räume und Unterräume sind Wie man die
2 Euklidische Vektorräume
Sei V ein R Vektorraum. 2 Euklidische Vektorräume Definition: Ein Skalarprodukt auf V ist eine Abbildung σ : V V R, (v, w) σ(v, w) mit folgenden Eigenschaften ( Axiome des Skalarprodukts) (SP1) σ ist bilinear,
Lineare Abbildungen (Teschl/Teschl 10.3, 11.2)
Lineare Abbildungen (Teschl/Teschl.3,.2 Eine lineare Abbildung ist eine Abbildung zwischen zwei Vektorräumen, die mit den Vektoroperationen Addition und Multiplikation mit Skalaren verträglich ist. Formal:
3 Definition: 1. Übungsblatt zur Vorlesung Lineare Algebra I. im WS 2003/2004 bei Prof. Dr. S. Goette
1. Übungsblatt zur Vorlesung Abgabe Donnerstag, den 30.10.03 1 Finden 2 Sei Sie reelle Zahlen a, b, c, so dass a (2, 3, 1) + b (1, 2, 2) + c (2, 5, 3) = (3, 7, 5). (V,, ) ein euklidischer Vektorraum. Zeigen
D-MATH, D-PHYS, D-CHEM Lineare Algebra II SS 011 Tom Ilmanen. Musterlösung 12. a ij = v i,av j (A ist symmetrisch) = Av i,v j
D-MATH, D-PHYS, D-CHEM Lineare Algebra II SS 0 Tom Ilmanen Musterlösung 2. Falls b := (v,,v n ) eine Orthonormalbasis von V ist, dann lassen sich die Komponenten von einem Vektor v = n i= t i v i bezüglich
a b Q = b a 0 ) existiert ein Element p Q, so dass gilt: q 1 q 2 = 2 b 1 b 2 a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 b 1 b 2 a 1 b 2 a 2 b 1 a b p = 1 det(q) C 2 2,
Aufgabe I Es sei Q die folgende Teilmenge von C 2 2 : { ( ) a b Q a, b C b a Hier bezeichnet der Querstrich die komplexe Konjugation Zeigen Sie: (a) Mit den üblichen Verknüpfungen + und für Matrizen ist
Eigenwerte und Diagonalisierung
Eigenwerte und Diagonalisierung Wir wissen von früher: Seien V und W K-Vektorräume mit dim V = n, dim W = m und sei F : V W linear. Werden Basen A bzw. B in V bzw. W gewählt, dann hat F eine darstellende
1 Matrizenrechnung zweiter Teil
MLAN1 1 Literatur: K. Nipp/D. Stoffer, Lineare Algebra, Eine Einführung für Ingenieure, VDF der ETHZ, 4. Auflage, 1998, oder neuer. 1 Matrizenrechnung zweiter Teil 1.1 Transponieren einer Matrix Wir betrachten
Potenzen der Linearen Algebra
Potenzen der Linearen Algebra Stufen der Verallgemeinerung und ihre didaktische Umsetzung in der Lehre Fakultät für Ingenieurwissenschaften Prof. Dr. Dieter Schott E-Post: [email protected] www.et.hs-wismar.de/schott
Übungen zu Einführung in die Lineare Algebra und Geometrie
Übungen zu Einführung in die Lineare Algebra und Geometrie Andreas Cap Wintersemester 2014/15 Kapitel 1: Einleitung (1) Für a, b Z diskutiere analog zur Vorlesung das Lösungsverhalten der Gleichung ax
2 Matrizenrechnung und Lineare Gleichungssysteme
Technische Universität München Florian Ettlinger Ferienkurs Lineare Algebra Vorlesung Dienstag WS 2011/12 2 Matrizenrechnung und Lineare Gleichungssysteme 2.1 Matrizenrechnung 2.1.1 Einführung Vor der
Die wichtigste Klasse von Funktionen zwischen Vektorräumen sind die linearen Abbildungen.
Definition: Lineare Abbildung Lineare Abbildungen Die wichtigste Klasse von Funktionen zwischen Vektorräumen sind die linearen Abbildungen. 8.1 Definition: Lineare Abbildung Eine Funktion f : V Ñ W zwischen
Eigenwerte, Diagonalisierbarkeit, charakteristisches Polynom
Eigenwerte, Diagonalisierbarkeit, charakteristisches Polynom Eine Fragestellung, die uns im weiteren beschäftigen wird, ist das Finden eines möglichst einfachen Repräsentanten aus jeder Äquivalenzklasse
Ausgewählte Lösungen zu den Übungsblättern 4-5
Fakultät für Luft- und Raumfahrttechnik Institut für Mathematik und Rechneranwendung Vorlesung: Lineare Algebra (ME), Prof. Dr. J. Gwinner Ausgewählte en zu den Übungsblättern -5 Aufgabe, Lineare Unabhängigkeit
Aus dem Beispiel lässt sich ablesen (und auch beweisen, siehe Mathematikvorlesung): Die Einheitsvektoren des Koordinatensystems K sind die Spalten der
7 Aus dem Beispiel lässt sich ablesen (und auch beweisen, siehe Mathematikvorlesung): Folgerung: Drehmatrizen haben die Determinante. Folgerung: Drehmatrizen sind orthogonale Matrizen, das heißt D = D
1 Grundlagen zur Darstellungstheorie
Seminar Gruppen in der Physik SS 06 Vortrag 1 Gruppen und ihr Darstellung Matthias Nagl 1 Grundlagen zur Darstellungstheorie In diesem Vortrag wird es nur um lineare Darstellungen endlicher Gruppen in
ω : V V V (Die Vertauschung zweier Vektoren liefert ein extra Minuszeichen.)
Analysis 3, Woche 12 Differentialformen I 121 Multilineare Algebra Sei V ein Vektorraum über R Dann definiert man V als den Vektorraum der stetigen linearen Abbildungen L : V R Allgemeiner kann man multilineare
8 Die Riemannsche Zahlenkugel
8 Die Riemannsche Zahlenkugel Wir untersuchen zunächst Geraden- und Kreisgleichungen in der komplexen Ebene C = R 2. Geradengleichungen Die Parameterdarstellung einer Geraden durch zwei Punkte z 1 z 2
Lineare Algebra I (WS 13/14)
Lineare Algebra I (WS 13/14) Alexander Lytchak Nach einer Vorlage von Bernhard Hanke 29.11.2013 Alexander Lytchak 1 / 13 Wiederholung Der Rang einer linearen Abbildung ist gleich dem Spaltenrang der darstellenden
Lösungsskizze zur Wiederholungsserie
Lineare Algebra D-MATH, HS Prof. Richard Pink Lösungsskizze zur Wiederholungsserie. [Aufgabe] Schreibe die lineare Abbildung f : Q Q 5, x +x +x x x +x +6x f x := x +x +8x x x +x +x. x +x +5x als Linksmultiplikation
Mathematische Werkzeuge R. Neubecker, WS 2016 / 2017
Mustererkennung Mathematische Werkzeuge R. Neubecker, WS 2016 / 2017 Optimierung: Lagrange-Funktionen, Karush-Kuhn-Tucker-Bedingungen Optimierungsprobleme Optimierung Suche nach dem Maximum oder Minimum
Lineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG
P. Grohs T. Welti F. Weber Herbstsemester 5 Lineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG ETH Zürich D-MATH Beispiellösung für Serie Aufgabe. Skalarprodukt und Orthogonalität.a) Bezüglich des euklidischen
β 1 x :=., und b :=. K n β m
44 Lineare Gleichungssysteme, Notations Betrachte das lineare Gleichungssystem ( ) Sei A = (α ij ) i=,,m j=,n α x + α x + + α n x n = β α x + α x + + α n x n = β α m x + α m x + + α mn x n = β m die Koeffizientenmatrix
Klausur zur Vorlesung Lineare Algebra II, SoSe 2016,
Klausur zur Vorlesung Lineare Algebra II, SoSe 6, 6.7.6 Vokabelbuch In diesem Teil soll getestet werden, inwieweit Sie in der Lage sind, wichtige Definitionen und Sätze aus der Vorlesung korrekt zu formulieren
4 Lineare Abbildungen und Matrizen
Mathematik I für inf/swt, Wintersemester /, Seite 8 4 Lineare Abbildungen und Matrizen 4 Kern und Injektivität 4 Definition: Sei : V W linear Kern : {v V : v } ist linearer eilraum von V Ü68 und heißt
Jede symmetrische Bilinearform b definiert eine quadratische Form q durch. q(x) := b(x, x).
1 Kapitel 1 Clifford-Algebren 1 Innere Produkte Sei k {R, C}, V stets ein endlich-dimensionaler k-vektorraum. Fehlende Beweise finden sich in der Literatur ([Art1], [Bou1], [Brie], [Cohn]). Definition.
9 Lineare Algebra 2 (SS 2009)
9 Lineare Algebra 2 (SS 2009) Vorbemerkung: Das Einsetzen von quadratischen Matrizen in Polynome. Im folgenden sei R ein kommutativer Ring und R[T] der Polynomring mit Koeffizienten in R (dies ist wieder
Lösungsskizzen der Klausur zur Linearen Algebra im Herbst 2015
sskizzen der Klausur zur Linearen Algebra im Herbst 5 Aufgabe I. Es sei (G, ) eine Gruppe mit neutralem Element e und M {x G x x e}. Zeigen Sie: (a) Ist G kommutativ, so ist M eine Untergruppe von G. (b)
Wiederholung von Linearer Algebra und Differentialrechnung im R n
Wiederholung von Linearer Algebra und Differentialrechnung im R n 1 Lineare Algebra 11 Matrizen Notation: Vektor x R n : x = x 1 x n = (x i ) n i=1, mit den Komponenten x i, i {1,, n} zugehörige Indexmenge:
D-Math/Phys Lineare Algebra II FS 2017 Dr. Meike Akveld. Clicker Fragen
D-Math/Phys Lineare Algebra II FS 2017 Dr. Meike Akveld Clicker Fragen Frage 1 Wenn eine reelle Matrix einen Eigenvektor hat, so hat es unendlich viele Eigenvektoren Sei u K n einen Eigenvektor von A M
Kurze Geschichte der linearen Algebra
Kurze Geschichte der linearen Algebra Dipl.-Inform. Wolfgang Globke Institut für Algebra und Geometrie Arbeitsgruppe Differentialgeometrie Universität Karlsruhe 1 / 20 Entwicklung Die Historische Entwicklung
Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2015/16): Lineare Algebra und analytische Geometrie 3
Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 205/6): Lineare Algebra und analytische Geometrie 3 3. (Herbst 997, Thema 3, Aufgabe ) Berechnen Sie die Determinante der reellen Matrix 0 2 0 2 2
Viele wichtige Operationen können als lineare Abbildungen interpretiert werden. Beispielsweise beschreibt die lineare Abbildung
Kapitel 3 Lineare Abbildungen Lineare Abbildungen sind eine natürliche Klasse von Abbildungen zwischen zwei Vektorräumen, denn sie vertragen sich per definitionem mit der Struktur linearer Räume Viele
Kapitel 6: Matrixrechnung (Kurzeinführung in die Lineare Algebra)
Kapitel 6: Matrixrechnung (Kurzeinführung in die Lineare Algebra) Matrix: (Plural: Matrizen) Vielfältige Anwendungen in der Physik: - Lösung von linearen Gleichungsystemen - Beschreibung von Drehungen
6 Eigenwerte und Eigenvektoren
6.1 Eigenwert, Eigenraum, Eigenvektor Definition 6.1. Es sei V ein Vektorraum und f : V V eine lineare Abbildung. Ist λ K und v V mit v 0 und f(v) = λv gegeben, so heißt die Zahl λ Eigenwert (EW) von f,
Vorlesung Mathematik für Ingenieure 3 (Wintersemester 2009/10)
Vorlesung Mathematik für Ingenieure 3 (Wintersemester 2009/10) Kapitel 15: Eigenwerte und -vektoren Volker Kaibel Otto-von-Guericke Universität Magdeburg (Version vom 5. November 2009) Diagonalisierbarkeit
Prüfung Lineare Algebra Sei V ein n-dimensionaler euklidischer Raum. Welche der folgenden Aussagen ist wahr?
1. Sei V ein n-dimensionaler euklidischer Raum. Welche der folgenden Aussagen ist wahr? A. Wenn n = 3 ist, sind mindestens zwei der drei Euler-Winkel einer Drehung kleiner oder gleich π. B. Wenn n = 2
1.3 Gruppen. Algebra I 9. April 2008 c Rudolf Scharlau,
Algebra I 9. April 2008 c Rudolf Scharlau, 2002 2008 18 1.3 Gruppen Der Begriff der Gruppe ordnet sich in gewisser Weise dem allgemeineren Konzept der Verknüpfung (auf einer Menge) unter. So ist zum Beispiel
Übungen zu Einführung in die Lineare Algebra und Geometrie
Übungen zu Einführung in die Lineare Algebra und Geometrie Andreas Cap Sommersemester 2010 Kapitel 1: Einleitung (1) Für a, b Z diskutiere analog zur Vorlesung das Lösungsverhalten der Gleichung ax = b
Quaternionen und Drehungen
Im Folgenden werden Drehungen im R mit Hilfe des Kreuzproduktes beschrieben und der Bezug zu den Quaternionen hergestellt. Der Zusammenhang von einer Verkettung von Drehungen und der Quaternionen-Multiplikation
Steilkurs Lineare Algebra 1 einige wichtige Stationen
Steilkurs Lineare Algebra 1 einige wichtige Stationen Für einen Körper K ist ein K-Vektorraum V eine Menge mit einer kommutativen und assoziativen Verknüpfung + : V V V, für die es ein neutrales Element
2.11 Eigenwerte und Diagonalisierbarkeit
2.11. EIGENWERTE UND DIAGONALISIERBARKEIT 127 Die Determinante eines Endomorphismus Wir geben uns jetzt einen endlichen erzeugten K-Vektorraum V und einen Endomorphismus ϕ : V V vor. Wir wollen die Determinante
(1) In dieser Aufgabe kreuzen Sie bitte nur die Antworten an, die Sie für richtig halten. Eine Begründung wird nicht verlangt.
() In dieser Aufgabe kreuzen Sie bitte nur die Antworten an, die Sie für richtig halten. Eine Begründung wird nicht verlangt. a) Es seien A und B beliebige n n-matrizen mit Einträgen in einem Körper K.
44 Orthogonale Matrizen
44 Orthogonale Matrizen 44.1 Motivation Im euklidischen Raum IR n haben wir gesehen, dass Orthonormalbasen zu besonders einfachen und schönen Beschreibungen führen. Wir wollen das Konzept der Orthonormalität
LINEARE ALGEBRA II. FÜR PHYSIKER
LINEARE ALGEBRA II FÜR PHYSIKER BÁLINT FARKAS 4 Rechnen mit Matrizen In diesem Kapitel werden wir zunächst die so genannten elementaren Umformungen studieren, die es ermöglichen eine Matrix auf besonders
3 Matrizenrechnung. 3. November
3. November 008 4 3 Matrizenrechnung 3.1 Transponierter Vektor: Die Notation x R n bezieht sich per Definition 1 immer auf einen stehenden Vektor, x 1 x x =.. x n Der transponierte Vektor x T ist das zugehörige
Technische Universität München
Technische Universität München Michael Schreier Ferienkurs Lineare Algebra für Physiker Vorlesung Montag WS 2008/09 1 komplexe Zahlen Viele Probleme in der Mathematik oder Physik lassen sich nicht oder
Lösung zu Serie [Aufgabe] Zeige: Das folgende Diagramm kommutiert insgesamt genau dann, wenn alle 6 Teilquadrate kommutieren.
![Lösung zu Serie [Aufgabe] Zeige: Das folgende Diagramm kommutiert insgesamt genau dann, wenn alle 6 Teilquadrate kommutieren.](/thumbs/75/71787813.jpg "Lösung zu Serie [Aufgabe] Zeige: Das folgende Diagramm kommutiert insgesamt genau dann, wenn alle 6 Teilquadrate kommutieren.")
Lineare Algebra D-MATH, HS 2014 Prof. Richard Pink Lösung zu Serie 8 1. [Aufgabe] Zeige: Das folgende Diagramm kommutiert insgesamt genau dann, wenn alle 6 Teilquadrate kommutieren. a 1 A 1 a 2 A 2 a 3
Zusammenfassung zum Thema Vektor- und Matrizenrechnung
Zusammenfassung zum Thema Vektor- und Matrizenrechnung Mathematischer Vorkurs für Physiker und Naturwissenschaftler WS 2014/2015 Grundbegriffe der Linearen Algebra Viele physikalische Größen (Geschwindigkeit,
Implizite Funktionen, der Umkehrsatz und Extrema unter Nebenbedingungen
Kapitel XII Implizite Funktionen, der Umkehrsatz und Extrema unter Nebenbedingungen 53 Implizite Funktionen und allgemeine partielle Differenzierbarkeit 54 Der Umkehrsatz 55 Lokale Extrema unter Nebenbedingungen,
Höhere Mathematik II für die Fachrichtung Physik
Karlsruher Institut für Technologie Institut für Analysis Dr. Christoph Schmoeger Michael Hott, M. Sc. SS 6 9.4.6 Höhere Mathematik II für die Fachrichtung Physik Lösungsvorschläge zum. Übungsblatt Aufgabe
Dirac Gl. relativistischer Fall
Dirac Gl. relativistischer Fall Freie Dirac Gleichung ohne Feld: ħ = c = iħ Ψ t α = Lösungsansatz: Ψx = = [ α p + mβ]ψ σ, β = σ 2 2 Pauli Matrizen ϕp χp pos. Energie e ipx iet p x neg. Energie Lösungen
Vektoren - Basiswechsel
Vektoren - Basiswechsel Grundprinzip Für rein geometrische Anwendungen verwendet man üblicherweise die Standardbasis. Damit ergibt sich in den Zahlenangaben der Koordinaten kein Unterschied zu einem Bezug
Definition: Euklidischer Raum mit Skalarprodukt. Die kanonische Basis von Einheitsvektoren sind paarweise orthogonal zueinander:
Definition: Euklidischer Raum mit Skalarprodukt Einsteinsche Summenkonvention (ES): über doppelt vorkommende Indizes wird summiert. Die kanonische Basis von Einheitsvektoren sind paarweise orthogonal zueinander:
Universität Stuttgart Physik und ihre Didaktik PD Dr. Holger Cartarius. Matrizen. a 1,1 a 1,2 a 1,n a 2,1 a 2,2 a 2,n A = a m,1 a m,2 a m,n
Universität Stuttgart Physik und ihre Didaktik PD Dr Holger Cartarius Matrizen Matrizen: Ein rechteckiges Zahlenschema der Form a 1,1 a 1,2 a 1,n a 2,1 a 2,2 a 2,n A a m,1 a m,2 a m,n (a) nennt man eine
Verallgemeinerte Dreiecksungleichungen Michael Kapovich
Verallgemeinerte Dreiecksungleichungen Michael Kapovich Wir alle wissen, dass eine gerade Linie die kürzeste Verbindung von einem Punkt zu einem anderen Punkt ist. Dieses Wissen scheint in den Jahrmillionen
10 Unitäre Vektorräume
10 Unitäre Vektorräume Pink: Lineare Algebra 2014/15 Seite 98 10 Unitäre Vektorräume Die Theorie komplexer Vektorräume mit Skalarprodukt folgt denselben Linien wie die Theorie reeller Vektorräume mit Skalarprodukt;
Definition und gemeinsame Eigenschaften der Symplektischen und Orthogonalen Geometrie
Universität Duisburg-Essen, Campus Essen, Fachbereich Mathematik, IEM AG Zahlentheorie Definition und gemeinsame Eigenschaften der Symplektischen und Orthogonalen Geometrie Proseminar Algebra WS 2008/2009,