Dirac Gl. relativistischer Fall

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1 Dirac Gl. relativistischer Fall Freie Dirac Gleichung ohne Feld: ħ = c = iħ Ψ t α = Lösungsansatz: Ψx = = [ α p + mβ]ψ σ, β = σ 2 2 Pauli Matrizen ϕp χp pos. Energie e ipx iet p x neg. Energie Lösungen e ipx pos. Energie: [ ] [ i ϕ e ipx σ p = t χ σ p + m m ] ϕ χ e ipx E m ϕ σ pχ = E + m χ σ p ϕ = χ = σ p ϕ; σ p = E + m gekoppelte Gl. für ϕ, χ p z p x + ip y p x ip y p z

2 2 Obere Gl. damit automatisch erfüllt: σ p E mϕ σ p E + m ϕ = }{{} p 2 ϕ = E2 m 2 ϕ = E mϕ Wähle ϕ = N ; ϕ 2 = N ; Lsg. der Dirac-Gl.: u pe ipx, u 2 pe ipx u p = N, u 2p = N p z p x +ip y p x ip y p z Lösungen negativer Energie E = E < : v pe +ipx, v 2 pe +ipx E m ϕ + σ pχ = E + m χ + σ pϕ = ϕ = σ p E + m χ v p = N Hier: wähle χ = N p x ip y p z, v 2p = N, χ 2 = N p z p x +ip y

3 Normierung: Ψ + Ψ u + u,v + v 3 Beliebteste Möglichkeiten für N: a N Bjorken,Drell = 2m u + u = E m = im Ruhesystem b N Eichtheorien = E + m u + u = 2E =2m im Ruhesystem Komplette Lösungen: Ψ + x = u,2 pe iet e +i p x Ψ x = v,2 pe +iet e i p x Problem: neg. Energie!

4 Interpretation der Lösungen negativer Energie: Dirac-See: Alle negativen Energieniveaus besetzt See von Elektronen 4 erklärt γ e + e Paarerzeugung E γ > 2m e c 2 Entdeckung der Positronen 932 durch C.D. Anderson

5 2 Feynman - Stückelberg Interpretation um 934 Wellenfunktion Energie<, Teilchen e, läuft rückwärts in der Zeit Wellenfunktion Energie<, Antiteilchen e +, läuft vorwärts in der Zeit 5

6 Moderne Schreibweise der Diracgl. mit γ Matrizen Vierervektoren: kontravariante wie x µ und kovariante wie x µ 6 p µ = E,p x,p y,p z = E,p,p 2,p 3 = E, p, µ =,, 2, 3 p µ = E, p p µ p µ = E 2 p 2 = m 2 Lorentz-invariant Metrischer Tensor g µν : g µν = g µν = µ Lorentz invariantes Skalarprodukt von 4-Vektoren: ab = a µ b µ = a µ b µ = a µ g µν b ν = a b a b a 2 > zeitartig, a 2 = lichtartig, a 2 < raumartig p µ = g µν p ν := 3 ν= g µνp ν Einsteinsche Summenkonvention

7 Lorentz-Trafo: x ν = a ν µx µ LT in z-richtung: a ν µ = γ γβ γβ γ 7 Beispiele für Vierervektoren: Zeit-Ort Energie-Impuls x µ = t, x p µ = E, p elektromagn. Viererpotential A µ = Φ, A Viererstromdichte j µ = ρ, j Gradient µ = t, weil µ = x µ

8 Diracgleichung und γ-matrizen 8 γ = β, γ = βα, γ 2 = βα 2, γ 3 = βα 3 Dirac-Pauli Darstellung: γ =, γ i σ i =, i =, 2, 3 σ i β Diracgleichung ħ = c = i β Ψ { +i Ψ Ψ Ψ + βα 2 + βα 3 x x 3 t + βα [ γ t + γ + γ 2 + γ 3 x x 2 x 3 γ µ = γ,γ,γ 2,γ 3 + x 3 ] mβ 2 Ψ = } m Ψ = Achtung! Ist kein 4-Vektor, γ µ sind in jedem Lorentzsystem gleich iγ µ µ mψx = Diracgleichung

9 Eigensch. der γ-matrizen: 9 γ µ γ ν + γ ν γ µ = 2g µν γ + = γ γ k + = γ k, k =, 2, 3 γ 2 = γ k 2 = γ µ + = γ γ µ γ Weitere Abkürzungen: a γ µ a µ dagger, slash i mψ = Diracgleichung

10 Dirac Gl. mit elektromagnetischem Feld A µ p µ = i µ p µ qa µ = i µ qa µ Eichtheorie µ µ + iqa µ iγ µ µ mψx = gγ µ A µ Ψx i mψ = q AΨ Adjungierter Spinor und Vierer-Stromdichte: Def. Ψ ψ + γ adjungierter Spinor Warum nützlich? Ψ + Ψ = ρ, Wahrs.Dichte, transformiert bei LT E ΨΨ ist ein Skalar, s. Übungsblatt 2. Def. j µ = Ψγ µ ψ j = Ψγ Ψ = Ψ + γ γ Ψ = Ψ + Ψ = ρ, j k }{{} k=,2,3 Diracgleichung für den adjungierten Spinor Ψ: i µ Ψγ µ + m Ψ = = Ψγ k Ψ = Ψ + γ γ k Ψ = Ψ + ββα k Ψ = Ψ + α k Ψ

11 Fragen und Antworten von der Stunde 3.4.2: Man kann Teilchen mit a negativer Energie die sich rückwaerts in der Zeit ausbreiten behandeln wie b Antiteilchen mit positiver Energie die sich vorwärts in der Zeit ausbreiten. Frage: ist es besser a oder b zu benutzen und gibt es irgenwelche Unterschiede? Antwort: a und b sind absolut äquivalent und es gibt keine Unterschiede. Das sieht man z.b. wenn man das Skalarprodukt von einem auslaufenden Teilchen mit negativer Energie φ f = e ie f t i p f x mit einem einlaufenden Zustand mit positiver Energie φ i = e ie it+i p i x bildet: Z Z φ f φ i = d 3 xφ f xφ i x = d 3 xe ie f t+ p f x e ie it+i p i x Z d 3 xe +i E it i p i x e ie f t+ p f x φ iei E i, p i p i φ f Ef E f, p f p f D.h. Ein- und Auslaufen von Teilchen und Antiteilchen kann man gegeneinander austauschen wenn man Energie und Impuls umdreht. Nebenbei: Physikalische Observable werden immer durch solche Skalarprodukte Matrixelemente beschrieben. Mehr dazu im Schmüserbuch Kapitel 3., S29 ff! σ Wo kommt es her, dass S = Die Paulimatrizen sind Repraesentanten der SU2 σ Drehgruppe und charakterisieren in der Quantenmechanik den Spin von Spin /2 Teilchen s. http : //en.wikipedia.org/wiki/pauli matrices Für die Diracspinoren müssen wir das noch auf die Vierervektoren verallgemeinern, d.h. die Teilchen und Antiteilchen gleichzeitig beschreiben. Beweis, dass µ = x µ = t, sich wie kontravarianter Vierervektor verhält d.h. wie x µ. Wenn wir als Beispiel nehmen µ S mit S = x ν x ν = x x x x x 2 x 2 x 3 x 3 S ist ein Lorentzskalar, d.h. invariant unter LTs finden wir sofort: µ S = 2x µ = 2x, x, x 2, x 3 d.h. verhält sich wie kontravarianter Vektor x µ. Formaler Beweis auch über LT von x µ möglich.