Übersicht über das Quarkmodell. Lunchclub-Seminarvortrag am Pascal Gunkel

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1 Übersicht über das Quarkmodell Lunchclub-Seminarvortrag am Pascal Gunkel

2 Gliederung Einleitung Globale Transformationen in der QCD SU(3)-Flavor-Symmetrie Poincaré Invarianz SU(3)-Color-Symmetrie Zusammenfassung

3 Historische Entwicklung 1932: Entdeckung des Neutrons (Chadwick) 1932: Einführung Isospin (Heisenberg) 1961: Eightford Way als Teilchenklassifikation (Gell-Mann) 1964: Postulierung des Quarkmodells (Gell-Mann, Zweig) 1968: Inelastische Streuversuche am SLAC Proton nicht punktförmig 1969: Postulierung einer Substruktur des Nukleons (Feynmann) Quarks etablieren sich als die Elementarteilchen

4 Gruppentheoretische Betrachtung SU(N) als Symmetriegruppe von Symmetrietransformationen U die den Hamiltonian invariant lassen ( U, H = 0) U = e i G SU(N) Spektrum der zugehörigen Symmetrieoperatoren G entsprechen allen Zuständen der Hadronen U = U 1 G = G det(u)=1 tr G = 0 G definiert im Vektorraum, aufgespannt durch die Generatoren t a G = N 2 1 a=1 ε a t a Generatoren formen die Basis einer Lie-algebra: t a, t b =i f abc t c t a, t b = 1 N δ ab + d abc t c

5 Fundamentale Darstellung Generatoren der SU(2) t a = τ a 2 (Pauli-Matrizen): τ 1 = , τ 2 = 0 i i 0, τ 3 = Generatoren der SU(3) t a = λ a 2 (Gell-Mann-Matrizen): λ 1 = λ 4 = λ 7 = , λ 2 =, λ 5 =, λ 8 = 0 i 0 i i i , λ 3 =, λ 6 = ,,

6 Eigenschaften der SU(N) Gruppe hat Rang N-1 und N 2 1 Generatoren N-1 Casimiroperatoren, welche die irreduzible Darstellung der SU(N) kennzeichnen N-1 kommutierende Generatoren, die die Cartan Subalgebra bilden und die Zustände in den Multipletts kennzeichnen Multipletts : geometrische Strukturen in N-1 Dimensionen Visualisierung der D dimensionalen irreduziblen Darstellung Visualisierung durch Nutzung der Eigenwerte der kommutierenden Generatoren als Koordinaten

7 Anschauungsbeispiele Eigenschaften SU(2) [Spin/ Isospin] SU(3) [flavor/color] # Generatoren 3 (t a = J a ) 8 Rang 1 2 Casimiroperatoren t a t a = J 2 t a t a und d abc t a t b t c Cartan Subalgebra t 3 = J 3 = J z I 3 = t 3 und Y = 2 t 3 8 Fundamentale Darstellung t a = τ a 2 (Pauli-Matrize) t a = λ a 2 (Gell-Mann-Matrize) Leiteroperatoren J ± = J 1 ±i J 2 t ± = t 1 ±i t 2, v ± = t 4 ±i t 5, u ± = t 6 ±i t 7 Gaphische Konstruktion Linear Planar

8 Symmetrien in der QCD Noether Theorem: Invarianz der Wirkung unter kontinuierlicher Symmetrietransformation δs = S φ, μ φ S φ, μ φ = 0 mit S= L φ, μ φ dv, φ = U ε a t a φ = e iε at a φ φ + δφ einen erhaltenen Strom für jeden Generator t a ε a j μ a = L ( μ φ) δφ Zugehörige Ladung ist eine Erhaltungsgröße Q a t : = dvj a 0 (x) Quantisierte Ladungsoperatoren bilden die Ladungsalgebra: Q a, Q b = i f abc Q c Und erfüllen die Heisenberg Gleichung: d Q a d t = i H QCD, Q a

9 Flavor Symmetrien Quark Anteil des QCD Lagrangian L = Ψ i M Ψ + gψⱥψ Spinorfelder (Ψ, Ψ) transformieren unter der fundamentalen Darstellung der SU(N f ): Massenmatrix: M = Ψ x = UΨ x, Ψ x = Ψ x U m u m d 0 = m u + m d + m s I + m 0 0 m 3 u m d s Globale Transformationen der Quarkfelder: t 3 + m u + m d 2m s 3 t 8 U = e iεi U 1 V, U = e i ε at a SU(N f ) V U = e iγ 5ε U 1 A, U = e iγ 5 ε a t a SU N f A

10 Noether Ströme Die Berechnung der Ströme erfolgt durch j a μ = 1 ε a L δψ mit L = ( μ Ψ) ( μ Ψ) iψγμ und δψ = δψ δε=u(ε)ψ Ψ δε Aus den Transformationen resultierende Ströme U 1 V : V μ =Ψγ μ Ψ, SU(N f ) V : V a μ =Ψγ μ t a Ψ U 1 A : A μ =Ψγ μ γ 5 Ψ, SU N f A : A a μ =Ψγ μ γ 5 t a Ψ Nutzung der Diracgleichung um die Erhaltung der Ströme zu überprüfen: i Ψ = (M gⱥ) Ψ und iψ = Ψ(gȺ M)

11 U(1) V -Symmetrie: Quantenzahlen μ V μ =0 Lagrangian invariant unter globaler Phasentransformation (Ψ = e iε Ψ) Zugehörige Ladung ist eine Erhaltungsgröße: Q V t = d 3 xψ Ψ = n u + n d + n s = const Baryonenzahlerhaltung: U(1) A -Symmetrie: B: = QV 3 = n u + n d + n s 3 μν F μν a μ A μ = 2iΨMγ 5 Ψ + g2 N f F 32π 2 a Symmetrie klassisch erhalten für M=0 U(1) A -Anormaly nach Quantisierung

12 SU(N f ) A -Symmetrie: μ A a μ = iψ M, t a γ 5 Ψ Quantenzahlen Symmetrie explizit gebrochen von M 0 Ströme sind erhalten im chiralen Limes (m q 0, q) Erhaltende Ladung im chiralen Limes Q a A t = d 3 xψ γ 5 t a Ψ Führt zur chiralen Symmetrie: SU(N f ) V SU(N f ) A SU(N f ) L SU(N f ) R Gebrochen durch spontane chirale Symmetriebrechung Elektrische Anomalie durch Berücksichtigung der elektromagnetischen Wechselwirung im Lagrangian μ A a μ = e2 (4π) 2 εαβμν F αβ F μν Tr F t a Q 2 Tr C 1

13 SU(N f ) V -Symmetrie: Quantenzahlen μ V μ a =iψ M, t a Ψ Symmetriebrechung durch M mi (N 2 f 1) Ströme erhalten falls Lagrangian invariant Ströme der Cartan subalgebra (t 3, t 8 ) erhalten Resultierende erhaltende Ladungen: Q 3 V t = d 3 x Ψ t 3 Ψ = n u n d 2 = const Q 8 V t = d 3 x Ψ t 8 Ψ = n u + n d 2n s 2 3 = const Isospin: I 3 : = Q 3 V t = n u n d 2

14 Hypercharge: Strangeness: Ladung: Quantenzahlen Y: = 2 3 Q 8 V t = n u + n d 2n s 3 S = Y B = n s Q = I 3 + Y 2 = 2 3 n u 1 3 n d 1 3 n s Symbol I 3 S Q B Y Masse u d s ,3±0,7 4,8±0,5 1275±25

15 SU(3)-Flavorsymmetrie Darstellung im Koordinatensystem der Quantenzahlen Herleitung der Multipletts Leiteroperatoren um zwischen den Zuständen zu wechseln Darstellung: u = Y und I 3 labeln die Zustände, d = 0 1 0, s = 0 0 1

16 Informationen aus den Young-Diagrammen Herleitung der Mutipletts und Wellenfunktionen erfordert Symmetrieinformationen Wellenfunktion Ψ antisymmetisch für Baryonen Ψ = Spacetime Spin Flavor Color Young-Diagramme liefern Anzahl und Multiplizität der Multipletts Symmetrieinformationen der Multipletts Mögliche Kombination der Flavors (u, d, s) für N Teilchensysteme in einem Multiplett Nur farblose Teilchen aufgrund von Confinement Mesonen (qq) Baryonen (qqq) Tetraquarks (qqqq)

17 Mesonen Young-Diagramme: 3 3 = 8 1 Multiplettkonstruktion Quarkinhalt

18 Mesonen Young-Diagramme: 3 3 = 8 1 Oktett K 0 = ds, K + = us, K = su, K 0 = sd, η 8 = 1 ( uu + dd 2 ss ) 6 π = du, π 0 = 1 ( uu dd ), π + = ud 2 Singullett η 1 = 1 3 ( uu + dd + ss )

19 Baryonen Young-Diagramme: = 10 S A

20 Poincaré-Invarianz Invarianz unter Poincaré-Transformation 2 Quantenzahlen (Eigenwerte der Caismiroperatoren) Masse M und Gesamtdrehimpuls J SU(2) zur Beschreibung von Spin Young-Diagramme: = 3 S 1 A 2 = 4 S 2 2 Erinnerung: Wellenfunktion ergibt sich aus: Ψ = Spacetime Spin Flavor Color Symmetrie-Kombinationen: S = D D = aa + ss oder S = S S oder S = A A A = D D = aa ss oder A = S A D = D D = as + sa aa ss oder D = SD oder D = A D = A s a

21 Color Kombination von Spin und Flavor für Baryonen im Grundzustand (L=0): Spin: = 4 S 2 2 Flavor: = 10 S A Nur symmetrische Kombinationen von Spin und Flavor für das Decuplett und Octett möglich Decuplett: Dirac Flavor = 4 S 10 S S = S S Octett: Dirac Flavor = 2 8 S = D D weitere Symmetrieeigenschaft (Color) Antisymmetrisch unter Vertauschung zweier Quarks Ladung der starken Wechselwirkung Wegen Confinement nur farblose Zustände

22 Baryonen: Young-Diagramme: SU(3)-Color-Symmetrie = 10 S A Ψ C = 1 ( RGB RBG + BRG BGR + GBR GRB ) 6 Mesonen Young-Diagramme: Allgemein Young-Diagramme: 3 3 = 8 1 Ψ C = 1 3 ( RR + BB + GG ) N c N c N c mal = 1 und N c N C = 1

23 Zusammenfassung Quarkmodell liefert: Klassifizierung der Teilchen mittels Symmetrieeigenschaften Reduktion des Teilchenzoos auf wenige Elementarteilchen Vorhersage der Quantenzahlen noch nicht entdeckter Teilchen Ω Aus Quantenzahlerhaltung Vorhersagen für Zerfallsprozesse möglich Qualitative Aussagen zu Magnetischen Momenten etc.