Feynman-Regeln kompakt

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1 Feynman-Regeln kompakt Aktuelle Probleme der experimentellen Teilchenphysik WS 2008 / 09 Lehrstuhl für Physik und ihre Didaktik

2 Asymptotische Zustände Asymptotische Zustände werden durch Wellengleichungen der relativistischen QFT beschrieben Spin 0- Teilchen (Skalarfeld): Z.B. Higgs; eine invariante Komponente Spin ½: Z. B. Leptonen, Quarks; mindestens zwei Komponenten (Spinor unter räumlichen Drehungen) Spin 1: Z.B. Eichbosonen; massiv mit drei Komponenten, masselos zwei Komponenten (Polarisationen)

3 Freie Spin-0 Teilchen Klein-Gordon-Gleichung 2 m 2 x =0 Fouriertransformation: Im Impulsraum: x = d 4 p 2 4 e i p x p p 2 m 2 p =0 Zustände auf Massenschale p 0 =E= p 2 m 2 Formal möglich: Zustände negativer Energie, für die die Energie nicht nach unten beschränkt ist, also kein Grundzustand existiert.

4 Anti-Teilchen Asymptotische Zustände werden als nichtwechselwirkend angenommen, daher kann die negative Massenschale dort uminterpretiert werden Ein Zustand mit Impuls +p auf der positiven Massenschale entspricht formal einem Zustand mit Impuls -p auf der negativen Massenschale Konsistente Beschreibung ein- und auslaufender Zustände: In der Zeit vorwärts laufende Anti-Teilchen entsprechen zeitlich rückwärts laufenden Teilchen Zustände auf negativer Massenschale beschreiben nicht Teilchen mit negativer Energie, sondern Anti-Teilchen mit vollständig entgegengesetzten Quantenzahlen

5 Freie Spin-1/2-Teilchen Dirac: Faktorisierung der relativistischen Energie-Impuls Beziehung p p m 2 =0 Lösung mit Hilfe von 4 x 4 Matrizen: p p m 2 = p m p m =0 Nach Ersetzung p i folgt die Dirac-Gleichung für den Dirac-Spinor mit 4 Komponenten: i m =0 2 Lösungen u 1,u 2 der Dirac-Gleichung: p m u=0 (für 2 Spin-Zustände von Fermionen) 2 Lösungen v 1,v 2 der Dirac-Gleichung: (für 2 Spin-Zustände von Anti-Fermionen mit umgekehrten Vorzeichen von p ) p m v=0

6 Fundamentale Eigenschaft: Feynman-Slash: Gamma-Matrizen ={, }=2g a= a = a Dirac-Realisierung der Dirac-Matrizen (mit 2x2 Untermatrizen): = =, 0 i i i 0 Dirac-Adjunktion von Matrizen: A= 0 Ad A 0, = Dirac-Adjunktion von Spaltenvektoren: =Ad 0 Adjungierte Lösung erfüllt p m =0 Sei 5 =i dann: {, 5 }=0

7 Allg. Lösungen der Dirac-Gleichung 2 1 p = k =1 a k p u k p Mit 4 unabhängigen Lösungen 2 2 p = b k p v k p k =1 u 1 p, u 2 p,v 1 p,v 2 p zu p m u k p =0 p m v k p =0 Spin-1/2 Teilchen negativer Energie entsprechen Anti-Teilchen, die sich in umgekehrter Richtung in der Raum-Zeit bewegen. u k p v k p u k p v k p Amplitude für ein Fermion im Anfangszustand Amplitude für ein Anti-Fermion im Endzustand Amplitude für ein Fermion im Endzustand Amplitude für ein Anti-Fermion im Anfangszustand

8 Freie Spin-1-Teilchen Wellenfunktion des Photons erfüllt Klein-Gordon-Gleichung für m = 0: 2 A =0 Polarisationsvektor A x =a exp ip x p charakterisiert den Photonenspin: 2 unabhängie Komponenten des Polarisationsvektors (vgl. Coulomb-Eichung: 0 =0, p=0 ) entsprechend der links- oder rechtszirkularen Polarisation des Photons Massive Spin-1-Teilchen haben 3 Spinzustände (2s +1) Polarisationssummen: = 1, 1 * = g c k c k ck k = k 0,0,0, k 0, c = 1,0,0, 1

9 Lagrange-Formalismus Klassische Lagrange-Funktion: L q, q =T V Bewegungsgleichungen: d dt L q L q =0 Feldtheorie: Felder nicht auf Raumpunkt beschränkt, sondern Funktionen von Raum und Zeit Anstelle der Lagrange-Funktion: Verwendung der Lagrange-Dichte L q, q L, Relativistische QFT: Raum- und Zeitkoordinaten gleichberechtigt Bewegungsgleichungen: L L =0

10 Lagrange-Dichten freier Felder Skalares Feld der Masse m (Klein- Gordon): L= m² 2 Spinor (Spin-1/2) Feld mit Masse m (Dirac): L=i m Massives Vektor (Spin-1) Feld (Proca): L= 1 16 A A A A 1 8 m² A A Lagrange-Dichten nur festgelegt bis auf konstante Vorfaktoren bzw. totale Divergenzen. Unterschiedliche Dimensionen fermionischer und bosonischer Felder.

11 Propagatoren und Vertices Die Greensfunktion (Propagator) beschreibt die Auswirkung der Welle ψ(x,t), die in der Vergangenheit t<t' am Ort x vorlag, auf die zur späteren Zeit t' am Ort x' herrschende Welle ψ(x',t') Zeitliche Propagation aus Anfangszustand in Endzustand, wobei Propagator die zugrundeliegende Wahrscheinlichkeitsamplitude ist. Graphische Repäsentation von Propatoren durch Linien zwischen Wechselwirkungspunkten (Vertices) mit Zeitrichtung von links nach rechts t Pfeilrichtungen an Propagatorlinien beziehen sich auf Teilchen- / Antiteilchen bzw. Quantenzahlen, Zeitpfeil implizit

12 Propagatoren im Impulsraum Beachte QM-Beziehung: p i Bewegungsgleichung freier Spin-0 Teilchen: Propagator: Bewegungsgleichung freier Spin-1/2 Teilchen: Propagator: m 2 =0 i p 2 m 2 i m =0 i p m Bewegungsgleichung masseloser Spin-1 Teilchen (in Lorentz Eichung A =0 ): g A =0 Propagator: i g p 2

13 Propagatoren und Faktoren Äußere Spin-1/2 Teilchen (einlaufend): Äußere Spin-1/2 Teilchen (auslaufend):...u p u p... Äußere Spin-1/2 Anti-Teilchen (einlaufend): Äußere Spin-1/2 Anti-Teilchen (auslaufend): v p......v p Äußere Spin-1 Teilchen (einlaufend): Äußere Spin-1 Teilchen (auslaufend): k cc k Innere Teilchen und Anti-Teilchen mit Impulsvorzeichen immer relativ zur Pfeil (d.h. Ladungs-)Richtung Spin-1/2 Teilchen i p m i Spin-1 Teilchen Spin-0 Teilchen i g 1 k k k² i k² i i p² m² i

14 Vertices und Wechselwirkungsterme QED: Wechselwirkende Elektronen, Positronen und Photonen Wechselwirkungsterm in QED-Lagrangedichte (q: elektrische Ladung): L=q A Zugeordneter Vertexfaktor: iq Kopplungsstärke q

15 Feynman-Regeln (I) Berechnung des (nicht-elastischen) Übergangsmatrixelements it: Zeichne alle Diagramme aus Propagatoren und Wechselwirkungsvertices, die Anfangszustand mit Endzustand verbinden und lege Impulse der äußeren Linien fest. Verwende die Impulserhaltung an jedem Vertex für die Bestimmung der Impulse der inneren Linien Verfolge jede zusammenhängende Fermionlinie entgegen der Pfeilrichtung und schreibe jeweils die Propagatoren und Vertices Vervollständige it durch die verbleibenden Propagatoren und Vertices Addiere die Diagramme mit Vorzeichen, so dass das Ergebnis antisymmetrisch unter dem Austausch von äußeren (Anti-Fermionen) ist.

16 Feynman-Regeln(II) In Diagrammen mit Schleifen sind nicht alle Impulse festgelegt: Beispiel: Über den freien Impuls ist mit zu integrieren. d⁴ p 2 ⁴ Schleifendiagramme haben mehr Vertices und damit eine höhere Ordnung der Kopplungskonstanten im Vergleich zu Tree-Level- Diagrammen In schwach wechselwirkenden Theorien können die Beiträge von Schleifendiagrammen theoretisch in verschiedenen Ordnungen der Störungstheorie berücksichtigt werden.

17 (Differentieller) Wirkungsquerschnitt Allgemeine Formel für 2 nach n Prozess: 1 d = 4 p 1 p 2 2 m m 2 1 n i! q 1 q 2... q n p 1 p 2 q 1 q 2... q n T 2 dq= d3 p p = p 2 m 2 2p 0 Symmetriefaktor entspricht Anzahl identischer Teilchen der Spezies i im Endzustand.

18 QED: e + e - µ + µ - Austauschteilchen bzw. Propagator: Photon Berechnung des Amplitudenquadrates führt auf Spurbildung über γ-matrizen Ergebnis für differentiellen Wirkungsquerschnitt im rel. Grenzfall: d d = cos² 4s

19 Bhabha-Streuung: e + e - e + e - Interferenz aus... t-kanal s-kanal d d = 2 4s 3 cos2 1 cos 2

20 QCD-Vertices Beschreibung der starken Wechselwirkung zwischen Quarks und Gluonen Zugrunde liegende Gruppenstruktur SU(3): Selbstwechselwirkung der Gluonen ig T a SU(3) Generatoren (a=1,...,8)

21 3-Jet-Produktion Zugrunde liegender Prozess (Tree-Level, unterhalb Z-Resonanz): e + + e - q q g

22 SM Teilchen 1. Gen 2. Gen 3. Gen SU(3) T Y Q e R R R e,l e L,L L,L L u R c R t R 3 1 4/3 2/3 d R s R b R 3 1-2/3-1/3 u L d L c L s L t L 3 2 1/3 2/3 b -1/3 L Gell-Mann-Nishilima: Q=T 3 Y 2 Eichbosonen: γ, Z 0, W, g Higgs:

23 SM: Neutrale Ströme Kopplung an Z-Bosonen (und Photonen) Keine Mischung unterschiedlicher Quarkgenerationen Vektorstrom: Axialvektorstrom: g V =T 3 2 Q sin 2 W g A =T 3 i g 2 cos W g V f g A f 5 i Q f

24 Elektroschwache Quarkmischung Elektroschwache Eigenzustände (d',s',b') sind Linearkombinationen der Masseneigenzustände (d,s,b) d ' u d V u s V u b s' V c d V c s V c b s b ' = V V t d V t s V t b d b Einträge der Mischungsmatrix experimentell bestimmt. Grundlage des nuklearen Betazerfalls. Zugrundeliegende Wechselwirkung verletzt Parität (maximal).

25 SM: Geladene Ströme Kopplung von Fermionen an geladene W-Eichbosonen Mischung unterschiedlicher Quarkgenerationen i g 2 V ff ' 1 5 CKM 2 CKM-Matrix (Parametrisierung mit s i sin i, c i cos i ): c 1 s 1 c 3 s 1 s 3 = V CKM s 1 c 2 c 1 c 2 c 3 s 2 s 3 exp i c 1 c 2 s 3 s 2 c 3 exp i s 1 s 2 c 1 s 2 c 3 c 2 s 3 exp i c 1 s 2 s 3 c 2 c 3 exp i

26 Eichboson-Kopplungen Trilineare und quadrilineare Kopplungen möglich Beispiele:

27 Higgs-Kopplungen Higgs koppelt an massive Fermionen und Eichbosonen (außerdem Higgs-Selbstkopplungen) Kopplungen proportional zur Masse

28 Beispiel: Higgs-Strahlung e + e - Z H

29 Literatur D. Griffiths: Introduction to Elementary Particles T. Ohl: Feynmandiagramme für Anfänger, Herbstschule Maria Laach 2008 W. Greiner: Theoretische Physik, Band 7 Quantenelektrodynamik