Elektroschwache Sudakov-Logarithmen

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1 DPG-Frühjahrstagung in Mainz Elektroschwache Sudakov-Logarithmen Neue Ergebnisse für den Formfaktor in einem massiven U(1)-Modell und in einem U(1) U(1)-Modell mit Massenlücke Bernd Feucht Institut für Theoretische Teilchenphysik, Universität Karlsruhe In Zusammenarbeit mit Johann H. Kühn, Alexander A. Penin und Vladimir A. Smirnov I II III IV Wofür logarithmische Zweischleifenrechnungen in elektroschwacher Physik? Massiver U(1)-Formfaktor: Evolutionsgleichung & Zweischleifenergebnisse U(1) U(1)-Modell mit Massenlücke: Faktorisierung der IR-Singularitäten Zusammenfassung & Ausblick

2 Bernd Feucht, Sudakov-Logarithmen 2/10 I Wofür logarithmische Zweischleifenrechnungen? Elektroschwache Präzisionsphysik experimentell bisher bei Energieskalen bis M W,Z untersucht kommende Beschleunigergeneration (LHC, LC) TeV-Energiebereich Elektroschwache Strahlungskorrekturen Kühn et al. 00, 01; Fadin et al. 00; bei hohen Energien s TeV M W,Z Denner et al. 01, 03; B.F. et al. 03; Pozzorini 04 große negative Korrekturen in exklusiven Wirkungsquerschnitten Einschleifenkorrekturen 10% Zweischleifenkorrekturen 1% müssen unter Kontrolle sein Elektroschwache Korrekturen dominiert durch Sudakov-Logarithmen α n ln 2n (s/ W )

3 Bernd Feucht, Sudakov-Logarithmen 3/10 Formfaktor F des Vektorstroms: = ū(p 2 ) γ µ u(p 1 ) F +... Hochenergieverhalten Sudakov-Limes Impulsübertrag q 2 Q 2 Fermionmassen vernachlässigt logarithmische Näherung: ohne Terme, die mit einem Faktor /Q 2 unterdrückt sind gute Näherung für Zweischleifen-n f -Beiträge, deren exaktes Resultat in M/Q bekannt ist B.F., Kühn, Moch 03 Vereinfachte Modelle Standardmodell U(1) M U(1) λ -Modell massives U(1)-Modell SU(2) L U(1) M W M Z, M γ = 0 2 abelsche Wechselwirk. Massenlücke M λ 0 abelsch ( QED) Eichbosonmasse M

4 Bernd Feucht, Sudakov-Logarithmen 4/10 II Massiver U(1)-Formfaktor Formfaktor in Störungstheorie: F = 1 + α F 1 + α 2 F große Strahlungskorrekturen bei Q TeV Aufsummieren der großen Logarithmen zu allen Ordnungen in α Evolutionsgleichung in logarithmischer Näherung: Sen 81; Collins 89; Korchemsky 89;... [ F (Q 2 ) Q 2 ln Q 2 = dx x γ( α(x) ) + ζ ( α(q 2 ) ) + ξ ( α( ) ) ] F (Q 2 ) Lösung Resummation (schematisch): F = 1 + α (ln 2 + ln + const) + α 2 (ln 4 + ln 3 + ln 2 + ln + const) +... ( 1 + α const + α 2 const +... ) ( ) exp α (ln 2 + ln) + α 2 (ln 3 + ln 2 + ln) +... Anomale Dimensionen γ, ζ, ξ aus 1-Schleifenrechnung & masselosem 2-Schleifenergebnis NNLL-Näherung von F 2 bekannt: α 2 (ln 4 + ln 3 + ln 2 )

5 Bernd Feucht, Sudakov-Logarithmen 5/10 Massiver U(1)-Formfaktor in Zweischleifennäherung Bekannt aus Resummation & kompletter Rechnung des n f -Beitrags: (n f = # Fermionen) ( α ) 2 α 2 F 2 = [+ 1 ( ) ( ) ( ) Q 2 4 Q 4π 2 ln4 9 n f + 3 ln 3 2 ( n f + 2 ) ( ) Q 3 π2 + 8 ln 2 2 ( ) ( ) ( 34 Q n f +... ln + 27 π ) ] n f anwachsende Koeffizienten mit alternierenden Vorzeichen: 0.4 n f ln n f ln n f ln n f ln 4 3 ln ln 2... ln +... Q 1 TeV +ln 4 ln 3 +ln 2 beträchtliche Kompensationen zwischen logarithmischen Termen Kühn, Moch, Penin, Smirnov 01 B.F., Kühn, Moch 03 Vollständige Zweischleifenkorrekturen in logarithmischer Näherung notwendig.

6 Bernd Feucht, Sudakov-Logarithmen 6/10 Massiver U(1)-Formfaktor in Zweischleifennäherung: Rechnung (n f = 0) vollständige Zweischleifenkorrekturen Schleifenrechnung (unabhängig von der Evolutionsgleichung) Zweischleifen-Vertexdiagramme (masselose Fermionen, massive Bosonen): Korrekturen an äußeren Beinchen + Einschleifen Einschleifen-Korrekturen Berechnung der skalaren Schleifenintegrale: Expansion by Regions Beneke, Smirnov 97 Algorithmen in FORM & Mathematica

7 Bernd Feucht, Sudakov-Logarithmen 7/10 Massiver U(1)-Formfaktor in Zweischleifennäherung: Ergebnis (n f = 0) ( α ) [ 2 α 2 F 2 = 4π + 1 ( ) Q 2 2 ln4 M ( 2 ) Q 3 ln 3 2 M ( 2 ) ( ) 2 Q + 3 π2 + 8 ln 2 2 ( ) ( Q 24ζ 3 + 4π ln ( ) Li 4 2 Ubereinstimmung ) LL (ln 4 ) NLL (inkl. ln 3 ) NNLL (inkl. ln 2 ) NNNLL (inkl. ln 1 ) vollständig (inkl. ln 0 ) Q [GeV] ln π2 ln π4 + 80ζ π M = 80 GeV, α/(4π) = 0.003, n f = 0 ] neu! Größe der Koeffizienten: +0.5 ln 4 3 ln ln ln bei Q = 1 TeV:

8 Bernd Feucht, Sudakov-Logarithmen 8/10 III U(1) U(1)-Modell mit Massenlücke Elektroschwaches Modell: massive und masselose Eichbosonen betrachte U(1) M U(1) λ -Modell mit 2 verschiedenen Massen M λ 0 reine U(1) M : Formfaktor F (α, Q, M) reine U(1) λ : Formfaktor F (α, Q, λ) aus dem massiven U(1)-Ergebnis bekannt (M λ, α α ) IR-Singularitäten regularisiert durch λ U(1) M U(1) λ kombiniert: ˆF (α, α, Q, M, λ) für Q M λ 0 Faktorisierung der IR-Singularitäten: ˆF (α, α, Q, M, λ) = F (α, Q, λ) F (α, α, Q, M) }{{}}{{} IR-singulär IR-endlich ) + O (αα λ2

9 Bernd Feucht, Sudakov-Logarithmen 9/10 Faktorisierung des U(1) U(1)-Formfaktors: Ergebnis (n f = 0) ˆF (α, α, Q, M, λ) = F (α, Q, λ) F (α, α, Q, M) + O F (α, α, Q, M) = lim λ 0 ˆF (α, α, Q, M, λ) F (α, Q, λ) (αα λ2 ) = lim ε 0 ˆFε (α, α, Q, M, 0) F ε (α, Q, 0) λ = 0 setzen und ˆF ε (α, α, Q, M, 0) in dimensionaler Regularisierung berechnen Berechnung von Zweischleifendiagrammen mit 1 massiven und 1 masselosen Eichboson F (α, α, Q, M) = F (α, Q, M) [ ( {1 + αα (4π) 2 48ζ 3 4π 2 + 3) } {{ } 21.2 ( ) Q 2 ln Interferenzterme sind IR-endlich IR-Singularitäten faktorisieren π4 84ζ ]} 3 π2 2 }{{} 22.0

10 Bernd Feucht, Sudakov-Logarithmen 10/10 IV Zusammenfassung & Ausblick Massiver U(1)-Formfaktor einfaches Modell mit massiven Eichbosonen vollständiges Zweischleifenergebnis in logarithmischer Näherung Strahlungskorrekturen präzise unter Kontrolle U(1) U(1)-Modell mit Massenlücke Modell mit massiven & masselosen Eichbosonen Schritt Richtung Standardmodell Faktorisierung der IR-Singularitäten explizit gezeigt Ausblick Verallgemeinerung auf nicht-abelsche Modelle: SU(2), SU(N) Effekte spontaner Symmetriebrechung: Higgs-Beiträge, M Z > M W Vierfermion-Streuamplitude vollständiges elektroschwaches Standardmodell