8 Spontane Symmetriebrechung

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1 8 SPONTANE SYMMETRIEBRECHUNG Spontane Symmetriebrechung 8.1 Gebrochene diskrete Symmetrie Betrachte die φ 4 -Theorie eines reellen Skalarfeldes mit der Lagrangedichte L = 1 ( µφ)( µ φ) 1 m φ λ 4! φ4. (8.1) Ersetzt man den Parameter m durch µ, so entsteht: L = 1 ( µφ)( µ φ) 1 µ φ λ 4! φ4 = T V (8.) mit V (φ) = 1 µ φ λ 4! φ4. (8.3) Das Potential und somit auch die Lagrangedichte besitzen eine diskrete Symmetrie V φ φ. Das Potential V hat zwei Minima bei φ 0 = ± v = ± 6 λ µ. Man nennt v den Vakuumerwartungswert von φ. Nun kann man V um eines der beiden Minima, etwa φ = v, entwickeln, v v φ φ(x) = v σ(x). (8.4) Setzt man (8.4) in (8.) ein, ergibt sich für die Lagrangedichte bis auf eine Konstante L = 1 ( µσ)( µ σ) 1 λ (µ )σ 6 µσ3 λ 4! σ4. (8.5) Das Hinzunehmen der Konstante hat keine Konsequenzen für die Euler-Lagrange-Bewegungsgleichungen. Diese Lagrangedichte beschreibt ein massives Skalarfeld mit Masse µ und σ 3 - bzw. σ 4 - Wechselwirkung. Sie ist offensichtlich nicht mehr invariant unter der Symmetrie σ σ. Man sagt, die diskrete Symmetrie sei spontan gebrochen, d.h. während die Theorie die Symmetrie aufweist, respektiert der Grundzustand diese nicht. 8. Das lineare Sigma-Modell Anstatt des reellen Skalarfeldes betrachte nun das relle N-plet φ = φ 1. φ N.

2 8 SPONTANE SYMMETRIEBRECHUNG 11 Die zugehörige Lagrangedichte sei 19 L = 1 ( µ φ i )( µ φ i ) 1 µ φ λ 4 (φ ) (8.6) i mit dem Skalarprodukt N φ = (φ i ). (8.7) i=1 Diese ist invariant unter SO(N)-Transformationen φ R φ, φ i R i jφ j, (8.8) wo R eine orthogonale N N-Matrix ist. Das Potential V (φ) = 1 µ φ λ 4 (φ ) ist minimal für Felder φ 0 mit φ 0 = µ λ. Für N = hat es das rechtsstehende, sombrerohafte Aussehen. Eines dieser Felder ist gegeben durch: φ 0 = v Φ 1 Φ Φ 1 mit v = µ λ. (8.9) Stellt man ein beliebiges φ dar in der Form: π 1 (x) φ(x) =. π N 1 (x), (8.10) v σ(x) so erhält man durch Einsetzen die Lagrangedichte in Abhängigkeit von den Feldern {π k } N 1 k=1 und σ L = 1 N 1 ( µ π k )( µ π k ) 1 ( µσ)( µ σ) 1 ( µ )σ k=1 λ µ σ 3 λµπ σ λ 4 σ4 λ π σ λ 4 π4, (8.11) wobei eine Konstante weggelassen wurde. Diese Lagrangedichte beschreibt ein massives Feld σ der Masse µ und N 1 masselose Felder {π k } N 1 k=1. Die SO(N)-Symmetrie ist verborgen; offensichtlich ist nur eine SO(N 1)-Symmetrie der Felder π k. Das Verhalten des Grundzustands, nicht die volle Symmetrie der Lagrangedichte zu besitzen, bezeichnet man als spontane Symmetriebrechung. Im obigen Beispiel sagt man, die Symmetrie sei spontan von SO(N) auf SO(N 1) gebrochen. 19 Beachte: Anstatt 4! steht hier im Bruch unter λ nur 4, um in den weiteren Ergebnissen keinen Faktor 6 mitschleppen zu müssen. V

3 8 SPONTANE SYMMETRIEBRECHUNG Das Goldstone-Theorem Betrachte eine Theorie mit N Feldern {φ a } N a=1 und eine Lagrangedichte der Form L = (Ableitungsterme) V (φ). (8.1) Es sei φ 0 ein konstantes Feld, welches V minimiert, d.h. φ a V = 0, (8.13a) φ=φ0 φ a φ b V =: m ab ist positiv semi-definit. (8.13b) φ=φ0 Entwicklung von V um das Minimum φ 0 führt auf V (φ) = V (φ 0 ) 1 m ab (φ φ 0) a (φ φ 0 ) b.... (8.14) a,b Betrachte nun eine allgemeine, einparametrige Symmetrietransformation φ l(α, φ), l(0, φ) = φ (8.15) mit der Entwicklung φ φ α φ O(α ). (8.16) Hierbei sind die Komponenten von φ gegeben durch φ a = ξ l a (ξ, φ) ξ=0 = i b T a b φ b (1 a N) mit dem Generator der Symmetrietransformation T = (T a b). Dabei soll Symmetrietransformation heißen, dass L invariant unter (8.15) ist. Spezialisiert man sich auf konstante Felder, so verschwinden die Ableitungsterme, und V muß invariant unter (8.15) sein, d.h. die Bedingung der Invarianz kann geschrieben werden als [ ] φ a V (φ) φ a = 0. (8.17) a Durch Differenzieren nach φ c und Einsetzen von φ = φ 0 ergibt sich 0 = ( ) ( V φ a T a c φ a ) V φ0 a φ 0 }{{} φ a φ c. (8.18) φ 0 =T a b(φ 0) b }{{} =m ac Der erste Term verschwindet, da φ 0 ein Minimum von V ist. Also muß auch der zweite Term verschwinden. Läßt die Symmetrietransformation φ 0 invariant, d.h. φ 0 ist im Kern von T a b, kann man keine weiteren Schlüsse ziehen. Ist aber φ φ0 0, d.h. der Grundzustand φ 0 besitzt nicht die Symmetrie der Lagrangedichte, so ist φ a ein nichtverschwindender Eigenvektor der Massenmatrix m ac = m ca zum Eigenwert 0. Goldstone-Theorem: Für jede spontan gebrochene kontinuierliche Symmetrie erhält man ein Feld, welches ein masseloses Teilchen beschreibt. Dieses Teilchen nennt man Goldstone-Boson.

4 8 SPONTANE SYMMETRIEBRECHUNG Spontan gebrochene Eichsymmetrie (Higgs-Mechanismus) Es geht darum, zu studieren, was passiert, wenn eine Eichsymmetrie, d.h. eine lokale Symmetrie, gebrochen wird. (i) Higgs-Mechanismus für die abelsche Eichtheorie Der einfachste Fall ergibt sich bei der Betrachtung einer abelschen Eichgruppe, also bei der Invarianz der Lagrangedichte unter lokalen U(1)-Transformationen φ e iλ(x) φ. (8.19) Als Lagrangedichte wählt man mit L = (D µ φ)(d µ φ) µ φ φ λ(φ φ) 1 4 F µνf µν (8.0) D µ = µ i e A µ, wobei gegenüber der Lagrangedichte der (skalaren) QED das Vorzeichen von m geändert und der Term λ(φ φ) hinzugefügt wurde. In Abwesenheit des Eichfeldes A µ ist die Vakuumkonfiguration von φ derart, dass µ φ = λ =: v. (8.1) φ ist darin wieder nicht eindeutig bestimmt; wir wählen das Feld der Vakuumkonfiguration reell, d.h. φ = v/. Nun ist es üblich, das komplexe Feld φ durch die rellen Felder σ und ξ auszudrücken, i ξ(x)/v v σ(x) φ(x) = e = 1 (v σ(x) i ξ(x)...). (8.) Wenn man dies in die Lagrangedichte einsetzt, sieht man, dass ξ ein masseloses Feld ist. Dies ist ein Möchte-Gern-Goldstone-Boson, denn wäre die U(1) Symmetrie global, wäre ξ das Goldstone-Boson. Nun führen wir eine Eichtransformation mit eben diesem ξ durch, φ(x) φ (x) = e i ξ(x)/v φ(x) = v σ(x), A µ (x) A µ(x) = A µ (x) 1 e v µ ξ(x). (8.3) Mit diesen neuen Feldern lautet die Lagrangedichte, L = 1 4 F µν F µν 1 µ σ µ σ 1 e v A µ Aµ 1 e (A µ ) σ (v σ) 1 σ (3λv µ ) λv σ 3 1 }{{} 4 λσ4. (8.4) =µ Man kann zwei wichtige Resultate ablesen:

5 8 SPONTANE SYMMETRIEBRECHUNG 115 (1) Es erscheint hier das Feld ξ nicht mehr; es wurde mit (8.3) weggeeicht. Man sagt auch, das Feld ξ wurde vom Eichfeld A aufgegessen. () Das Eichfeld A erhält durch den dritten Term 1 e v A µ A µ Masse. Man beachte, dass die Zahl der Freiheitsgrade erhalten bleibt: Zwar fehlt das Feld ξ, aber das massiv gewordene Vektorfeld verfügt nun zusätzlich über eine longitudinale Polarisationsrichtung. Der oben vorgestellte Mechanismus trägt den Namen Higgs-Mechanismus. Wir wollen den Unterschied zur gebrochenen globalen Symmetrie noch kurz herausstellen: Globale U(1)-Symmetrie massive Skalarfelder 1 massives Skalarfeld 1 masseloses Skalarfeld Lokale U(1)-Symmetrie massive Skalarfelder 1 Photon 1 massives Skalarfeld 1 massives Photon Der hochgestellte Stern soll jeweils andeuten, dass es sich nicht wirklich um massive Felder handelt, sondern dass der der Parameter m das falsche Vorzeichen hat. (ii) Higgs-Mechanismus für nicht-abelsche Symmetrien Exemplarisch soll ein SO(3)-Modell betrachtet werden. Ausgangspunkt ist die Lagrangedichte L = 1 (D µ φ) (D µ φ) µ mit den reellen Feldern φ = φ 1 φ φ 3, den Eichbosonenfeldern A µ = Aµ 1 A µ, A µ 3 der eichkovarianten Ableitung D µ = µ g A µ L, wo die L i die Generatoren der SO(3) sind, explizit L 1 = L x = i , L = L y = i , φ φ λ( φ φ) 1 4 F µν F µν (8.5)

6 8 SPONTANE SYMMETRIEBRECHUNG 116 L 3 = L z = i und den Feldstärketensoren , F µν = µ Aν ν Aµ g A µ A ν. Das Vakuum ist wieder entartet, wir wählen das Feld für den Grundzustand φ 0 = 0 0 mit v = µ v λ. Wiederum ist es vorteilhaft, die Felder {φ i } 3 i=1 durch die Felder ξ 1, ξ und σ auszudrücken, { } 0 i φ(x) = exp v (ξ 1(x)L 1 ξ (x)l ) 0, (8.6) v σ(x) Nun führen wir wieder eine Eichtransformation durch, welche, wie sich zeigen läßt, die ξ-felder beseitigt, wobei φ φ = Ω φ, A µ L A µ L = Ω A µ L Ω 1 i g ( µω)ω 1, (8.7) Ω = exp { i } v (ξ 1 L 1 ξ L ). (8.8) Die Terme der Lagrangedichte mit den Eichbosonenfeldern lauten dann L (A) = 1 4 F µν F µν 1 g v (A 1 µ A 1µ A µ A µ ) (8.9) Die Felder A 1 und A haben Masse erhalten, A 3 nicht. Dies bringt zum Ausdruck, dass das (willkürlich festgelegte) Vakuum keine Drehsymmetrie bzgl. der 1- bzw. -Achse mehr aufweist, aber die Drehsymmetrie bzgl. der 3-Achse erhalten bleibt. In der übrigen Lagrangedichte L (σ) = 1 µσ µ σ m σ λσ 4 (8.30) höhere Terme in σ Konstanten treten die Felder ξ 1 und ξ nicht mehr auf. Auch hier halten wir den Unterschied zu einer gebrochenen globalen Symmetrie fest. Globale SO(3)-Symmetrie 3 massive Skalarfelder 1 massives Skalarfeld masselose Skalarfelder Lokale SO(3)-Symmetrie 3 massive Skalarfelder 3 Eichfelder 1 massives Skalarfeld massive Vektorfelder 1 masseloses Vektorfeld

7 8 SPONTANE SYMMETRIEBRECHUNG 117 Man beachte auch, dass die Zahl der Freiheitsgrade wieder konstant bleibt, d.h. die zwei weggegessenen Freiheitsgrade der ξ-felder erscheinen nun als zusätzliche longitudinale Polarisationsrichtungen der Felder A 1 bzw. A. (iii) Ein makroskopisches Modell für den Higgs-Mechanismus: Supraleitung Die makroskopische (effektive) Beschreibung eines Typ II Supraleiters erfolgt durch die Ginzburg-Landau-Theorie. Die supraleitende Phase wird beschrieben durch ein komplexes Ordnungsparameterfeld φ, das die Cooper-Paare beschreibt. Ausgangspunkt ist eine die U(1)-eichkovariante Lagrangedichte für ein Skalarfeld φ im stationären Fall, d.h. alle Zeitableitungen seien Null. Man betrachtet also ( ) ( ) L = i e A φ i e A φ m φ λ φ 4 1 ) A. (8.31) ( Bemerkungen: (1) Der letzte Term ergibt sich aus dem Quadrat des Feldstärketensors: () Die Größe 1 4 F µνf µν = 1 ( ) A im statischen Fall L = 1 ( ) ( ) A i e A φ m φ λ φ 4 heißt Ginzburg-Landau freie Energie. (3) In der Nähe der kritischen Temperatur T c gilt: m = a (T T c ). Die Symmetriebrechung erfolgt also für T < T c. Für m < 0 ist das Minimum der freien Energie gegeben durch: φ = m λ > 0. (8.3) Der Grundzustand kann beispielsweise reell gewählt werden, d.h. er bricht die lokale U(1)- Symmetrie. Dies führt zu einem Massenterm für A in der Lagrangedichte. Für konstante Felder φ folgen letztlich Bewegungsgleichungen für A ( µ ) A = 0, (8.33) welche auf ein exponentielles Verhalten von A führen: A(x) e µ x A0. Dies impliziert insbesondere auch ein exponentielles Abfallen von: B = A, also den Meissner-Effekt.

8 8 SPONTANE SYMMETRIEBRECHUNG Allgemeine Systematik beim Higgs-Mechanismus Betrachte eine Theorie mit einer N-dimensionalen Eichgruppe G. Ausgangspunkt ist die Lagrangedichte L = 1 4 F a µν F µν a 1 ( µ i g A a µ T a)φ( µ i g A µ b T b )φ V (φ), (8.34) wobei V so beschaffen sein soll, dass Symmetriebrechung erfolgt. Ferner ist φ ein L-Tupel von reellen Skalarfeldern. 0 Sei φ = φ 0 eine Wahl von φ, die V minimiert. Dieses Vakuum φ 0 sei invariant unter einer M-dimensionalen Untergruppe H von G, d.h. wählt man ohne Einschränkung als Generatoren von H die letzten M Generatoren von G: {T a } N a=n M1, so ist φ 0 invariant unter { } N φ 0 exp i α a T a φ 0 = φ 0 (8.35) a=n M1 für beliebige α a. Das Skalarfeld φ wird zweckmäßig parametrisiert durch: { } ) N M i N φ = exp ξ a T a (φ 0 σ a (x) v a=1 a=n M1 mit linear unabhängigen σ a und v = φ 0. Durch die folgende Eichtransformation werden die ξ-felder eliminiert, { φ φ = exp i v N M a=1 (8.36) ξ a T a } φ = U φ. (8.37) Setzt man diese Parametrisierung in die Lagrangedichte ein, so kann man Massenterme für die Vektorfelder aufsammeln, 1 Aa µ (M ) ab A µ b = 1 (g T a φ 0 g T b φ 0 )A a µ Aµ b, (1 a, b N M) (8.38) wo mit den Klammern ( ) das Skalarprodukt der L-komponentigen Spalten T a φ 0 bzw. T b φ 0 gemeint ist. Das Objekt (m ) ab ist die Massenmatrix für die Eichbosonen. Sie ist von der Form m ab = u a u b (8.39) mit u a = g T a φ 0. Sie ist symmetrisch und somit diagonalisierbar. Die Diagonalelemente sind durch das Betrags-Quadrat der (transformierten) u-vektoren gegeben, somit ist (m ) ab positiv definit. Somit gibt es N M massive Vektorfelder, die übrigen M Stück bleiben masselos. Fazit: Spontane Symmetriebrechung bei einer N-dimensionalen Eichgruppe G, wobei das Vakuum invariant ist unter der M-dimensionalen Symmetriegruppe H G, läßt sich wie folgt zusammenfassen: { L massive Skalarfelder N masselose Eichfelder } = L N M massive Skalarfelder M masselose Vektorfelder N M massive Vektorfelder 0 Wir können uns auf reelle Felder beschränken, da komplexe Felder immer in Real- und Imaginärteil zerlegt werden können, und SU(n) SO(n).