Experimente zur Physik Jenseits des Standardmodells

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1 Experimente zur Physik Jenseits des Standardmodells Notizen zur Vorlesung im Sommersemester 2014 Peter Schleper 3. April 2014 Institut für Experimentalphysik, Universität Hamburg

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3 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis 1 Das Standardmodell Übersicht Fundamentale Graphen QED QCD: starke Wechselwirkung Schwache Wechselwirkung A Lagrange-Formalismus 11 A.1 Wellengleichungen A.1.1 Schrödinger-Gleichung A.1.2 Klein-Gordon-Gleichung A.1.3 Dirac Gleichung A.2 Lagrange-Formalismus A.2.1 Für klassische Teilchen A.2.2 Für die Klein-Gordon Gleichung A.2.3 Für die Dirac- Gleichung A.3 Globale Symmetrien und Noether- Theorem B Quanten-Elektrodynamik 15 B.1 Lokale Eichinvarianz B.2 Wechselwirkung B.3 Vektorfelder B.4 QED: Zusammenfassung C Elektro-schwache Wechselwirkung 18 C.1 SU(2) L und schwacher Isospin C.2 SU(2) L U(1) Y C.3 Eichbosonen C.3.1 Wechselwirkung von W Bosonen mit Fermionen 22 C.3.2 Mischung von Photon und Z C.3.3 Elektromagnetismus C.3.4 Wechselwirkungen des Z 0 mit Fermionen.. 24 C.4 Spontane Symmetrie-Brechung C.4.1 Der Higgs- Mechanismus im Standard-Modell 26 C.4.2 Eichboson - Higgs Wechselwirkung C.4.3 Fermion-Higgs Kopplung und Fermion-Massen 31 D Lagrange-Dichte des Standard-Modells

4 1.1 Übersicht 1 Das Standardmodell 1.1 Übersicht Das Standard Modell lokale Eichtheorien starke WW SU(3)c QED U(1)e elektro-schwache WW U(1)Y SU(2)L B o W o W +- spontane Symmetrie Brechung g γ Z o W +- Leptonen ν ν µ ντ e e µ τ Higgs Mesonen: π, K,... Baryonen: p,n,... Quarks u c t d s b Wechselwirkungen Abb. 1.1 Schema des Standard-Modells mit allen Teilchen. Grüne Pfeile stellen Wechselwirkungen dar. Die folgende Lagrange-Dichte beinhaltet, bis auf die Mischung zwischen verschiedenen Generationen von Quarks und von Leptonen, das komplette Standard-Modell. L = 1 4 Bµν B µν 1W µν 4 a W aµν γ, Z 0, W ± : E kin und Selbstwechselwirkung 1 4 Gµν a G aµν Gluon:E kin und Selbstwechselwirkung + ψ L ψl iγ µ ( µ + ig σa 2 W µ a + ig Y 2 Bµ )ψ L Fermion:E kin und + ψ R ψr iγ µ ( µ + ig Y 2 Bµ )ψ R WW mit W ±, γ, Z 0 + q qiγ µ( µ + ig s λ a 2 G µ a) q Quarks: WW mit Gluonen + ( µ + ig σa 2 W µ a + ig Y 2 Bµ ) φ 2 Higgs E kin Higgs WW mit Z,W ψ c ψ ( ψl φ ψ R + ψ R φ ψ L ) Z 0, W ± Masse, Fermion: Masse, WW mit Higgs (µ 2 φ 2 + λ φ 4 ) Higgs Masse und Selbst-WW 4

5 1.2 Fundamentale Graphen 1.2 Fundamentale Graphen Aus der Eichtheorie und der Quantenfeldtheorie folgt die Vorhersage fundamentaler Vertizes zwischen Fermionen und Boson beziehungsweise mehrerer Bosonen. Zudem folgt aus der Dirac-Gleichung, dass einlaufende Teilchen durch auslaufende Anti-Teilchen ersetzt werden können, und umgekehrt. Zusätzlich werden die erlaubten Graphen durch Erhaltungssätze für Energie, Impuls und Ladungen eingeschränkt. Die daraus folgenden Feynman-Graphen zeigen alle erlaubten Prozesse in der Natur QED Fundamentaler Graph. Abb. 1.2 fundamentaler Graph für alle el. geladenen Teilchen, Teilchen ändert 4-er Impuls, Teilchensorte bleibt unverändert, Amplitude el. Ladung Hieraus lassen sich folgende weitere Graphen ableiten: Abb. 1.3 Ersetze Teilchen im Endzustand durch Anti-Teilchen im Anfangszustand (Konvention: Anti-Teilchen mit Pfeil rückwärts) Abb. 1.4 Zeitumkehr Reale Prozesse. Für sich allein sind diese fundamentalen Vertizes als reale Prozesse wegen Energie und Impulserhaltung verboten. Reale Prozesse setzen sich daher aus 2 oder mehr dieser fundamentalen Vertizes zusammen. Abb. 1.5 s-kanal Paar-Erzeugung neuer Teilchen reelle Teilchen im Anfangs- und Endzustand, virtuelle Teilchen im Zwischenzustand, erlaubt, falls p u + pū = p t + p t Schwellenenergie E CMS 2m t 5

6 1.2 Fundamentale Graphen Abb. 1.6 t-kanal keine Schwellenenergie QCD: starke Wechselwirkung Fundamentale Graphen. Abb. 1.7 Quark strahlt Gluon ab: Kopplung = g s, gleich für alle Quarks Abb Gluon Vertex Gluon tragen selber Farbe: Gluon Selbst- Wechselwirkung Kopplung = g s, wie für Quarks Abb Gluon Vertex Kopplung = g s, wie für Quarks Reale Graphen. Abb Abb

7 1.2 Fundamentale Graphen Abb Schwache Wechselwirkung Fundamentale Graphen. Abb Lepton strahlt W ab und ändert seinen Typ Kopplung = g, gleich für alle Leptonen Abb Quark strahlt W ab und ändert seinen Typ Kopplung = g, gleich für alle Quarks Abb Quark oder Lepton strahlt Z ab, keine Änderung des Fermion-Typs Kopplung unterschiedlich für ν e, e, d, u Abb W und Z tragen schwache Ladung W, Z Selbstwechselwirkung Abb W ist elektrische geladen und strahlt γ ab Kopplung = e Abb W Vertex, Kopplung = g 2 Fundamentale Graphen mit Higgs. 7

8 1.2 Fundamentale Graphen Abb Lepton oder Quark strahlt Higgs ab, keine Änderung des Typs Kopplung Masse des Fermions W, Z strahlt Higgs ab Kopplung Masse von W, Z Abb Higgs- Selbstwechselwirkung Abb Higgs- Selbstwechselwirkung Reale Graphen. Abb Muon-Zerfall µ e ν e ν µ über ein virtuelles W. Das µ strahlt zunächst ein W ab und geht in ein Muon- Neutrino über. Das W zerfällt in Elektron und Elektron-Neutrino. Abb d-zerfall d ue ν e über ein virtuelles W. Das W zerfällt in Elektron und Elektron-Neutrino. e ν Abb Neutron-Zerfall n pe ν e. d u Eines der d Quarks zerfällt, die anderen Quarks nehmen nicht direkt am Zerfall teil. Quark-Fluss-Diagramm d d u e u Abb Z-Austausch ( neutraler Strom ) in der Neutrino-Quark-Streuung ν µ d ν µ d. Abb W -Zerfall. Realer Prozess möglich auch für ein reelles W, da M W > m τ + m τ 8

9 1.2 Fundamentale Graphen Abb Z-Zerfall. Realer Prozess möglich auch für ein reelles Z, da M Z > 2m b, b 9

10 1.2 Fundamentale Graphen. 10

11 A.1 Wellengleichungen A Lagrange-Formalismus A.1 Wellengleichungen A.1.1 Schrödinger-Gleichung QM- Wellengleichung für nicht-relativistische Teilchen. Benutzt wird die nicht-relativistische Energie-Impuls Beziehung für freie Teilchen: E = p2 2m Quantisierung: Ersetzt man Energie und Impuls eines Teilchens durch die Operatoren E i t, p i und wendet das Resultat auf eine Wellenfunktion ψ(x, t) an, so folgt die Schrödinger-Gleichung, i t ψ = 1 2m 2 ψ (in natürlichen Einheiten, = 1). Lösungen sind ebene Wellen: ψ = ψ 0 e i(et p r), so dass mit t ψ = ieψ, ψ = i pψ und 2 ψ = p 2 ψ die Energie- Impuls Beziehung wieder erfüllt ist: A.1.2 Eψ = p2 2m ψ Klein-Gordon-Gleichung Relativistische Wellengleichung für Spin-0 Teilchen. Anders als bei der Schrödingergleichung startet man von der relativistischen Energie-Impuls Beziehung E 2 = p 2 + m 2 oder p µ p µ = m 2 Ersetzt man Energie und Impuls durch die gleichen Operatoren wie im nicht-relativistischen Fall, so erhält man den relativistischen 4-er Impulsoperator: E i t, p i oder p µ i µ. Dies setzt man in die Energie-Impulsbeziehung ein und wendet die Operatoren auf eine Wellenfunktion Φ(x, t) an: 2 t Φ = 2 Φ + m 2 Φ oder ( µ µ + m 2) Φ = 0, 11

12 A.1 Wellengleichungen denn µ µ = 2 t 2. Dies ist die Klein-Gordon Gleichung für relativistische Spin-0 Teilchen. Lösungen sind wieder ebene Wellen, Φ(x) = Φ 0 e i(et p r) = Φ 0 e i pν x ν mit der Lorentz-invarianten Phase p ν x ν. Da z.b. t p ν x ν = p 0 = E ist folgt auch µ (p ν x ν ) = p µ, µ (p ν x ν ) = p µ so dass Einsetzen der Wellenfunktion in die Klein-Gordon Gleichung wieder die relativistische Energie-Impuls Beziehung liefert. A.1.3 Dirac Gleichung Relativistische Wellengleichung für Spin 1/2 Teilchen. In relativistischen Wellengleichungen können Ort- und Zeit- Ableitungen nur gleichberechtigt, d.h. in der Form µ auftreten. Eine Gleichung linear in den Ableitungen ist die Dirac-Gleichung (iγ µ µ m) ψ = 0 Bestimmt man die Größen γ µ so, dass für eine ebene Welle ψ die relativistische Energie-Impuls Beziehung E 2 = p 2 + m 2 erfüllt sein muß, so folgt: Jedes γ µ (µ = 0, 1, 2, 3) ist eine 4x4 Matrix. Hinter m in der Dirac-Gleichung steht also (nicht ausgeschrieben) eine 4x4 1er-Matrix im Spinor-Raum. ψ ist ein 4-Spinor mit den 4 Komponenten ψ k = ψ 1, ψ 2, ψ 3, ψ 4. Hier ist k kein Lorentz-Index sondern der Spinor-Index (Römische Buchstaben). Der Spinor hat also 4 Freiheitsgrade: (Teilchen, Antiteilchen) x (2 Spineinstellungen) Die Dirac-Gleichung gilt also für Spin 1/2 Teilchen und sagt die Existenz von Anti-Materie voraus. Die 4x4 γ-matrizen beinhalten nur Zahlen und lassen sich durch die 2x2 Pauli-Matrizen darstellen. In der Dirac-Pauli Notation lauten sie: γ 0 = ( ) 1 I 0 = 0 I 1 1 1, γi = ( ) 0 σi, γ 5 = σ i 0 Die zusätzliche γ 5 Matrix ist nicht Teil der Dirac-Gleichung, wird aber später benötigt. Die Pauli-Matrizen σ = (σ x, σ y, σ z ) = (σ 1, σ 2, σ 3 ) lauten in der Dirac-Darstellung ( ) 0 1 σ x =, σ 1 0 y = ( 0 i i 0 ), σ z = ( ) ( ) 0 I I 0 12

13 A.2 Lagrange-Formalismus A.2 Lagrange-Formalismus A.2.1 Für klassische Teilchen Klassisch und nicht-relativistisch ist die Lagrange-Funktion für ein Teilchen eine Funktion der Ortskoordinaten und deren Zeitableitungen, L( x, t x) = T V = p2 2m V = 1 2 m( t x) 2 V ( x) oder mit verallgemeinerten Koordinaten q, t q, L = L(q, t q) Aus den Euler-Lagrange-Gleichungen L q(t) L t ( t q(t)) = 0 folgen die Bewegungsgleichungen. A.2.2 Für die Klein-Gordon Gleichung Felder sind nicht durch einzelne Koordinaten beschrieben, sondern sind Funktionen vor Ort und Zeit. Man geht daher zur Lagrange- Dichte L über, die mit der Lagrange-Funktion und der Wirkung über L = d x L, S = d 4 x L zusammenhängt. Da die Wirkung dimensionslos sein soll und Längen die Dimension [GeV 1 ] haben ist die Dimension der Lagrange- Dichte also [GeV 4 ]. Für ein skalares (Spin 0), reelles Feld Φ(x) als Funktion von Ort und Zeit-Koordinaten ist die Lagrange-Dichte eine Funktion der Felder Φ und deren Änderungen µ Φ, L = L(Φ, µ Φ) Die Euler-Lagrange-Gleichung lautet dann L Φ L µ ( µ Φ) = 0 Die Klein-Gordon Gleichung lässt sich aus der Lagrange-Dichte ableiten. L = 1 2 ( µφ)( µ Φ) 1 2 m2 Φ 2 13

14 A.3 Globale Symmetrien und Noether- Theorem 14 A.2.3 Für die Dirac- Gleichung Die Dirac- Wellenfunktionen bestehen auc 4 komplexen Feldern ψ. Anstatt Real- und Imaginär- Teile zu betrachten benutzt man equivalent die Funktionen und ihre komplex konjugierten, ausgedrückt durch die adjungierten Spinoren ψ = ψ γ 0, wobei wie üblich komplex konjugiert und transponiert bedeutet: ψ 1 ψ = ψ 2 ψ 3 ψ = (ψ1, ψ2, ψ3, ψ4) ψ 4 Bei Variation der Lagrange- Dichte fungieren alle Komponenten von ψ und ψ und ihre Ableitungen als getrennte Variablen, L = L(ψ, µ ψ, ψ, µ ψ) Die Lagrange- Dichte der Dirac- Gleichung lautet für ein freies Teilchen L = ψ(iγ µ µ m)ψ. A.3 Globale Symmetrien und Noether- Theorem Invarianz unter Translation, Zeit-Verschiebung und Rotation führen zu den Erhaltungssätzen für Impuls, Energie und Drehimpuls. Im Gegensatz zu diesen äußeren Symmetrien geht es im Folgenden um innere Symmetrien, deren Transformationen mit den Raum- Zeit Transformationen vertauschen. Für eine Wellenfunktion ψ(x) ist die globale Phasentransformation (=Eichtransformation, gauge transformation) definiert durch ψ ψ = e iα ψ Global heist, das der Parameter α nicht von Ort und Zeit abhängen soll. Solche Transformationen mit reellem Parameter α bilden die Gruppe U(1) der unitären Transformationen mit einem kontinuierlichen Parameter. Da µ ψ µ ψ = e iα µ ψ ψ ψ = e iα ψ ist die Lagrange- Dichte der Dirac- Gleichung invariant unter globalen Eichtransformationen. Die Gruppe U(1) ist eine sog. Abel sche Gruppe, da ihre Elemente vertauschen, U(α)U(β) = U(β)U(α). Das Theorem von Noether: Aus Symmetrien folgen Erhaltungssätze. Aus der inneren Symmetrie folgt eine Kontinuitätsgleichung für einen 4-er Strom und Ladungs- Erhaltung.

15 B.1 Lokale Eichinvarianz B Quanten-Elektrodynamik B.1 Lokale Eichinvarianz Die Quanten-Elektro-Dynamik (QED) ist die bis jetzt gültige Theorie zur Beschreibung aller elektromagnetischen Prozesse. Theoretisch wird sie motiviert durch eine Verallgemeinerung der globalen Eichsymmetrie zu einer lokalen Eichsymmetrie. Während die Schrödinger- Gleichung, die Klein-Gordon- Gleichung und die Dirac-Gleichung bereits invariant unter globalen Eichtransformationen sind (siehe Abschnitt A.3), folgt aus der Forderung nach lokaler Eichinvarianz die Existenz von neuen Vektorfeldern (z.b. dem Photon) die Existenz von neuen Wechselwirkungen zwischen diesen Vektorfeldern und Teilchen mit Ladung. Im Folgenden wird lokale Eichinvarianz für U(1) Phasentransformationen diskutiert. Bei der globalen Eichinvarianz war die Phase α eine konstante, also unabhängig von Ort und Zeit. Observablen wie < Ψ Ψ > sind aber auch invariant unter lokalen Eichtransformationen, bei der die Phase von Ort und Zeit abhängt. Allgemein sollten physikalische Gesetze vermutlich nicht globalen Symmetrien unterliegen, da deren Transformationen überall gleichzeitig wirken müssten, was dem Prinzip der Kausalität wiederspricht. Es wird daher postuliert, dass die Eichsymmetrie U(1) auch lokal gelten soll, d.h. eine kontinuierliche Funktion von Raum und Zeit sein kann: ψ(x) ψ (x) = e iqα(x) ψ(x) ψ(x) ψ (x) = e iqα(x) ψ(x). Hier ist q eine zunächst beliebige, reelle Konstante und α(x) = α(t, x 1, x 2, x 3 ) eine reelle Funktion. Für ein freies Spin 1/2 Teilchen ist damit die transformierte Lagrange- Dichte der Dirac- Gleichung L = ψ iγ µ µ ψ m ψ ψ Der Massenterm ist offenbar eich-invariant. m ψ ψ = m ψψ, Das gilt aber nicht für die Ableitung µ ψ = e iqα(x) ( µ ψ + iq ψ µ α(x)) 15

16 B.3 Vektorfelder B.2 Wechselwirkung Damit das Postulat erfüllt sein kann muss die Lagrange- Dichte offenbar verändert werden. Dies kann erreicht werden, wenn man anstelle der normalen Ableitung µ ψ eine kovariante Ableitung D µ ψ einführt und die kovariante Ableitung definiert als D µ µ + iqa µ (x), wobei man ein neues Vektorfeld A µ (x) einführen muss. Die Lagrangedichte ist dabei invariant genau dann, wenn eine simultane Transformation ψ (x) = e iqα(x) ψ(x) A µ = A µ µ α(x) durchgeführt wird. Die letzte Gleichung ist bekannt als Eichtransformation des elektromagnetischen Potentials. Damit ist die neue (noch nicht endgültige) Lagrange- Dichte L = ψ iγ µ D µ ψ m ψψ = ψ iγ µ µ ψ }{{} m }{{ ψψ } q ψγ µ A µ ψ }{{} kin.t erm Massen T erm Neue W echselwirkung Der letzte Term ist ähnlich wie der für die elektromagnetische WW in der Schrödinger-Gleichung. Die Forderung nach lokaler Eichinvarianz verlangt also ein neues Vektorfeld und sagt die Form der neuen Wechselwirkung voraus. das Vektorfeld A µ entspricht dem Photon, das Dirac- Feld ψ entspricht z.b. einem Elektron (oder Myon, Tau, Quark), die Konstante q entspricht der Kopplung zwischen Photon und z.b. dem Elektron, d.h. der elektrischen Ladung. B.3 Vektorfelder Genau wie das Dirac- Feld ψ(x) muss das Vektorfeld A µ (x) als neuer Freiheitsgrad der Theorie aufgefasst werden, kann also auch Energie aufnehmen und sollte demnach mit Massen- Term und kinetischem Term in der Lagrange- Dichte auftreten. Ein Massenterm der Form m 2 A µ A µ ist jedoch nicht eich- invariant, m 2 A µ A µ = m 2 (A µ A µ + 2A µ µ α + µ α µ α). Das Vektorfeld muss masselos sein 1. 1 In der Tat sind das Photon der U(1) und die Gluonen der SU(3) masselos. Die schwachen Eichbosonen W ±, Z 0 der SU(2) erhalten jedoch durch die spontane Symmetrie- Brechung im Higgs- Mechanismus eine Masse. 16

17 B.4 QED: Zusammenfassung Ein kinetischer Term für A µ muss Ableitungen der Form µ A ν beinhalten, die einzeln nicht eich- invariant sind. Der Feldstärke- Tensor F µν = µ A ν ν A µ, ist jedoch eichinvariant. Eine Lorentz- invariante Lagrange- Dichte für das freie Vektorfeld ist demnach L A = 1 4 F µν F µν. Aus den Euler- Lagrange Gleichungen für jede einzelne Komponente des Feldes A α folgen die Maxwell-Gleichungen. B.4 QED: Zusammenfassung Die komplette Lagrange-Dichte der QED lautet damit L = ψ iγ µ µ ψ }{{} m }{{ ψψ } kin.t erm Massen T erm q ψγ µ A µ ψ }{{} Neue W echselwirkung 1 4 F µν F µν }{{} kin.energie des γ Insgesamt folgern wir also aus der Lorentz-Invarianz der speziellen Relativitätstheorie und aus der globalen Phaseninvarianz der Quantenmechanik die Erhaltung einer Ladung und eines Teilchen- Stroms. Fordert man außerdem lokale Phaseninvarianz, so ergibt sich die Existenz eines Vektorfeldes, das masselos ist, Spin 1 hat und mit einer konstanten Ladung an den Vektorstrom des Teilchens koppelt. Man kann jedoch nicht die Existenz des geladenen Teilchens selber oder die Größe seiner elektrischen Ladung ableiten. Die Ladung und die Masse des Fermions sind demnach Naturkonstanten. Für jedes weitere Fermionen kann man die entsrechenden (ersten drei Terme) hinzuaddieren. 17

18 C.1 SU(2) L und schwacher Isospin C Elektro-schwache Wechselwirkung Im Folgenden wird die Lagrangedichte der elektroschwachen Wechselwirkung abgeleitet und die daraus folgenen Vorhersagen diskutiert. Zugrunde liegt eine Eichtheorie, die auf der SU(2) L U(1) Y Symmetrie beruht. Für die U(1) Y ist die Lagrangedichte exakt die der QED, wobei nur die Kopplungskonstante der QED durch die Kopplungskonstante g und die elektrische Ladung der Fermionen durch die Hyperladung Y ersetzt wird. Die SU(2) L hingegen ist eine nicht-abel sche Eichtheorie. Der Formalismus entspricht damit exakt dem der QCD, wobei die Farben der Quarks bei allen Fermionen durch den schwachen Isospin ersetzt wird und die λ a Matrizen durch die Pauli-Matrizen. Hinzu kommen allerdings Paritätsverletzung in der SU(2) L, Mischung zwischen den Eichbosonen der SU(2) L und der U(1) Y und die spontane Symmetriebrechung mit dem Higgs-Feld zur Beschreibung der Masse aller Teilchen. C.1 SU(2) L und schwacher Isospin Zur Beschreibung der schwachen WW mit Paritätsverletzung wird eine SU(2) Symmetrie angenommen, die nur für linkshändige Fermionen gelten soll: SU(2) L. In einer solchen Theorie sind prinzipiell Massen der Fermionen verboten, da sie nicht Eichinvariant sind. Die Fermion-Massen können daher erst später durch den Higgs-Mechanismus eingeführt werden. Betrachtet man zwei freie, linkshändige Dirac-Teilchen mit Masse m = 0, so lautet die Lagrangedichte Sei L L = ψ 1,L (iγ µ µ ) ψ 1,L + ψ 2,L (iγ µ µ ) ψ 2,L ψ L = ( ψ1,l ψ 2,L ein Doublett im Raum des schwachen Isospin. Damit lässt sich die Lagrangedichte schreiben als ) L L = ψ L (iγ µ µ ) ψ L Wir betrachten unitäre Transformationen im Isospin-Raum, ψ L = Uψ L ψ R = ψ R wobei U ein Element der Symmetriegruppe SU(2) L ist, das durch eine 2 2 Matrix mit U U = 1 und det U = 1 dargestellt werden kann. Die rechtshändigen Singletts ψ R werden nicht transformiert. 18

19 C.1 SU(2) L und schwacher Isospin Als Konstruktionsprinzip für Naturgesetzte werden im Folgenden wie in der QED und QCD lokale Eichtransformationen betrachtet, unter denen die Larangedichte invariant bleiben soll. Diese Transformationen verändern ortsabhängig und zeitabhängig - sowohl die Komponenten der Doubletts als auch deren Phasen. Sie können immer in der Form ψ L ψ L = Uψ L = e ig αa(x) Ta ψ L dargestellt werden. Die 2 2 Matrizen T a müssen linear unabhängig, spurlos und hermitesch sein. Es gibt höchstens drei solche Matrizen. Als Generatoren T a der SU(2) L können z.b. die T a = σ a 2 a = 1, 2, 3. gewählt werden, wobei die σ a die bekannten Pauli-Matrizen sind. Die α a (x) sind willkürliche relle Funktionen von Ort und Zeit und Summation über a ist implizit. Die relle und beliebige Konstante g wird später als Kopplungskonstante der W Bosonen interpretiert werden. Die T a befolgen die Kommutator-Relationen [T a, T b ] = if abc T c wobei im Fall der SU(2) gilt: f abc = ɛ abc (ɛ = Levi-Chivita Tensor). Die Lagrangedichte L L soll invariant unter lokalen SU(2) L Transformationen sein. Dies ist genau dann der Fall, wenn µ durch D µ = µ + ig T a W µ a ersetzt wird, die W µ a drei neue Vektorfelder (Eichfelder) sind, eins für jeden Generator. Diese müssen sich transformieren wie W µ a W µ a = W µ a µ α a (x) gf abc α b (x)w µ c ein Tensor der Form W µν a = µ W ν a ν W µ a gf abc W µ b W ν c wird definiert um die kinetische Energie der neuen Eichfelder zu beschreiben. Damit ergibt sich die gesammte, eich-invariante Lagrange-Dichte zu L L = ψ L (iγ µ D µ ) ψ L 1 4 W aµνw µν a = ψ L (iγ µ µ ) ψ }{{ L } ψ L E kin (Propagator) g ψ L (γ µ T a W a µ ) ψ }{{ L } ψ L = ( ) ν e koppelt mit Stärke g an drei Felder W a µ 1 W 4 aµνw a µν }{{} W 2 ˆ=E kin g W 3 ˆ=3-fach Vertex g 2 W 4 ˆ=4-fach Vertex 19

20 C.1 SU(2) L und schwacher Isospin Die Vertizes der Theorie umfassen damit (wie in der QCD) neben dem Fermion- Boson Vertex auch 3-Bosonen und 4-Bosonen Vertizes, alle mit der gleichen Kopplungskonstante g (oder g 2 ). Erfolge der SU(2) L - Theorie Diese SU(2) L Theorie beschreibt die Umwandlung von Teilchen: e ν e t b Sie sagt drei neue Eich-Bosonen voraus: W µ a, a = 1, 2, 3 Sie legt durch Symmetrie die Form der WW zwischen allen Fermionen und den neuen Bosonen fest und verlangt dafür nur eine neue Naturkonstante: g. Sie sagt Selbst-WW der Bosonen voraus und deren Stärke, g. Ursache hierfür ist, dass bei einer nicht- Abelschen Symmetrie die Eichtransformationen nicht kommutieren: 20 [T a, T b ] = if abc T c Paritätsverletzung wird beschrieben, denn nur die linkshändigen Teilchen, nicht die rechtshändigen, nehmen an der WW teil. Probleme der SU(2) L Theorie Massen der Fermionen können nicht beschrieben werden, wie oben diskutiert. Masse der Eichbosonen: Ein Masseterm L mw = m 2 W W a µ W aµ ist nicht eichinvariant und damit wäre die Theorie nicht renormierbar sondern divergent. Daher muss m W = 0 gelten. Experimentell findet man aber zwei verschiedene sehr große Werte, m W = 80, 4 GeV und m Z = 90 GeV. Paritätsverletzung und Kopplung beim Z 0 In diesem Modell würden alle drei Eichbosonen mit der gleichen Stärke an alle linkshändigen Fermionen koppeln. Experimentell findet man hingegen, dass das Z 0 zwar linkshändige Fermionen bevorzugt, aber auch an rechtshändige koppelt. Auch hat das Z 0 andere Kopplungskonstanten als das W, und diese sind nicht gleich

21 C.2 SU(2) L U(1) Y sind für Neutrinos, geladene Leptonen und unterschiedlich geladene Quarks. C.2 SU(2) L U(1) Y Die Kombination (Vereinheitlichung) der beiden Eichtheorien SU(2) L und U(1) Y soll wieder mit Hilfe der schwachen Isospin-Doubletts und Singletts formuliert werden. Die U(1) Y wird ganz analog zur U(1) des Elektromagnetismus formuliert, allerdings tritt anstelle der elektrischen Kopplung die Kopplung g und für jedes Teilchen anstelle der elektrischen Ladung Q die sogenannte Hyperladung Y. Die Lagrangedichte wird Paritätsverletzung beschreiben und masselose W ±, Z 0 und γ beinhalten. Die Lagrangedichte ist zunächst einfach die Summe der Formeln für die SU(2) L und U(1) Y. L = 1 4 W a µν W aµν 1 4 Bµν B µν + ψl iγ µ D µ L ψ L + ψr iγ µ D µ R ψ R Die Summen laufen hier über alle linkshändigen Doubletts ψ L und rechtshändigen Singletts ψ R der Quarks und Leptonen des Standardmodells. Die kovarianten Ableitungen D µ unterscheiden sich für die Doubletts und die Singletts, da die Singletts nicht an die SU(2) L Bosonen koppeln: für linkshändige ψ L : D µ L ψ L = ( µ + igt a W µ a + ig Y 2 Bµ ) ψ L für rechtshändige ψ R : D µ R ψ R = ( µ + ig Y 2 Bµ ) ψ R Wie vorher sind g, g sind die Kopplungen der SU(2) L, U(1) Y. Y ist die U(1) Y Ladung ( Hyperladung ) der Fermionen B µ ist das Eichfeld der U(1) Y (nicht das Photon). W µ a sind die drei Eichfelder (a = 1, 2, 3) der SU(2) L. Setzt man in den Ausdruck für D µ L die Generatoren und damit die Pauli-Matrizen T a = σ a /2 explizit ein, so findet man: D µ L = µ + igt a W a µ + ig Y 2 Bµ = µ + ig (( ) ( ) ( ) 0 1 W µ 0 i 1 + W µ i = µ + ig ( ) µ W3 W 1 iw 2 + ig Y ( B 0 2 W 1 + iw 2 W B In L sind die Wechselwirkungsterme zwischen Eich- Bosonen und z.b. der ersten Generation der linkshändigen Leptonen gegeben durch: ) ( νe W µ 3 ) µ ) + ig Y 2 Bµ L L = ψ L iγ µ D µ L ψ L = ( ν e, ē) L iγ µ D µ L e L 21

22 C.3 Eichbosonen Offenbar erzeugen in D µ L nur die nicht-diagonalen Elemente der ersten Matrix eine Wechselwirkung, bei der gleichzeitig e und ν e beteiligt sind. Für solche Flavour- und Ladungs- ändernden WW macht es daher Sinn entsprechende Eichbosonen W +, W zu definieren: W ± = 1 (W 1 iw 2 ) 2 In dieser neuen Basis für die Boson-Felder ist die SU(2) L U(1) Y Wechselwirkung dann: D µ L = µ + g ( ) 0 W + µ 2 W + 1 ( ) gw3 + g µ Y B gw 3 + g Y B = µ + D µ W + D µ W 3 B Hierbei wurden die Flavour-ändernden nicht-diagonal Elemente der SU(2) L von den Flavour-erhaltenden Diagonalelementen getrennt. Die einzelnen Terme in der Lagrangedichte L = ψiγ µ D µ L ψ haben folgende Bedeutung: ψiγ µ µ ψ ist die kinetische Energie der Fermionen. Die Fermionen haben wie diskutiert keinen Masseterm. ψiγ µ D µ W ψ beschreibt die Wechselwirkungen von W ± Bosonen mit Fermionen. ψiγ µ D µ W 3 Bψ beschreibt wie unten gezeigt die Wechselwirkungen von γ und Z 0 mit Fermionen. C.3 Eichbosonen C.3.1 Wechselwirkung von W Bosonen mit Fermionen Angewendet auf die linkshändigen Doubletts z.b. der ersten Lepton- Generation ergibt sich aus D µ W die Lagrangedichte ) L L = 1 ( 0 W ig ( ν e, ē) L iγ µ + 2 W 0 µ ( ) νe e L = 1 2 g ( ν el γ µ W + µ e L + ē L γ µ W µ ν el ) Der erste Term beschreibt die Umwandlung eines e L in ein ν L unter Abstrahlung eines W Bosons. Der zweite Term beschreibt den umgekehrten Prozess. 22

23 C.3 Eichbosonen C.3.2 Mischung von Photon und Z 0 Der Term mit D µ W 3 B beschreiben neutrale WW mittels der W 3 und B Eichbosonen, die die Flavour und die Ladung nicht ändern. Zur obigen Lagrange-Dichte L L für die linkshändigen Fermionen muss der Term für rechtshändige WW zwischen Fermionen und B hinzu addiert werden. Da rechtshändige Fermionen nicht an der SU(2) L WW teilnehmen gilt z.b. für die erste Generation der Leptonen: T 3 ν L >= 1 2 ν L >, T 3 e L >= 1 2 e L > T 3 ν R >= 0, T 3 e R >= 0 Damit lässt sich dieser Teil der Lagrange-Dichte schreiben als L γ,z = L W3,B + L R = ψ L iγ µ i(gt 3 W µ 3 + g Y 2 Bµ )ψ L + ψr iγ µ i (g Y 2 Bµ ) ψ R = ψ=e L,e R,ν L,ν R ψ R =e R,ν R ψiγµ i (gt 3 W µ 3 + g Y 2 Bµ ) ψ Die beiden Eichbosonen W 3 und B koppeln in dieser Schreibweise beide an die gleichen Teilchen. Es ist daher jederzeit möglich auch hier einen Basis-Wechsel vorzunehmen in der Form ( W µ ) 3 = B µ ( cos θw ) ( ) sin θ W Z µ sin θ W cos θ W ohne das sich die Physik ändert 2. Dies ist offenbar eine Rotation um den sogenannten Weinberg-Winkel θ W. Damit ergibt sich: C.3.3 A µ L γ,z = i ψiγ µ (g sin θ W T 3 + g Y 2 cos θ W ) A µ ψ eν }{{} KopplungF ermion P hoton + i ψiγ µ (g cos θ W T 3 g Y sin θ µ W ψ }{{ 2} Kopplung Fermion-Z 0 )Z Elektromagnetismus Verlangen wir nun, dass das Feld A µ das Photon des Elektromagnetismus ist, ergibt sich für die elektrische Ladung Q eines Teilchens, eq = g sin θ w T 3 + g Y cos θ W 2 Y = e T 3 + e 2 2 Diese Ersetzung wird erst später notwendig, wenn durch den Higgs Mechanismus dem Z- Boson eine Masse zugeordnet wird, dem Photon A µ aber nicht. 23

24 C.3 Eichbosonen Q T 3 Y T 3 sin 2 θ W Q 2c V 2c A ν el e L sin2 θ W sin 2 θ W 1 ν er e R sin 2 θ W sin 2 θ W 1 u L sin2 θ W sin2 θ W sin2 θ W sin2 θ W 1 d L u R sin2 θ W sin2 θ W 1 d R sin2 θ W sin2 θ W 1 Mit der Definition Q = T 3 + Y 2 erhält man als Beziehung zwischen Weinbergwinkel und den Kopplungskonstanten e = g sin θ W = g cos θ W Die Y Werte in der Tabelle der Quantenzahlen wurden gerade so gewählt, dass die Gleichung Q = T 3 + Y/2 erfüllt ist. C.3.4 Wechselwirkungen des Z 0 mit Fermionen In der Kopplung der Fermionen an das Z 0 g Z = g cos θ W T 3 g sin θ W Y 2 kann man die U(1) Y Konstanten g und Y zugunsten der Parameter e und Q des Elektromagnetismus eliminieren: g Z = e sin θ W cos θ W (T 3 sin 2 θ W Q) so dass D µ γz = ieqaµ + ig Z Z µ Die Lagrange-Dichte ist somit: L γ,z = eν i ψ iγ µ (eqa µ + g Z Z µ ) ψ Da das Z 0 eine Mischung von W 3 (linkshändig) und B (links und rechthändig) ist koppelt es sowohl an links- als auch an rechtshändige Fermionen. Man führt daher die Konstanten c V und c A ein, die 24

25 C.3 Eichbosonen die relative Stärke der Vektor und Axialvektor- WW beschreiben sollen: 1 2 (c V c A γ 5 )ψ = 1 2 g L(1 γ 5 )ψ g R(1 + γ 5 )ψ = g L ψ L + g R ψ R = 1 ( (gl + g R ) (g L g R )γ 5) ψ 2 Damit ist c V = g L + g R V ektorkopplung c A = g L g R Axialvektorkopplung 25

26 C.4 Spontane Symmetrie-Brechung C.4 Spontane Symmetrie-Brechung Die bis hier abgeleitete Lagrangedichte beschreibt alle experimentellen Befunde zur elektroschwachen Wechselwirkung mit Ausnahme der Massen von W, Z und γ. Ausserdem verbietet die chirale Struktur der SU(2) L Massen der Fermionen. Explizite Brechung der Symmetrien führt zwangsweise zu einer Theorie, die nicht renormierbar ist und damit in bestimmten Wechselwirkungen unendlich hohe Wirkungsquerschnitte vorhersagt, die physikalisch nicht sinnvoll sind. Diese Unzulänglichkeiten der Theorie lassen sich mit neuen Symmetrie- Argumenten für die Lagrange-Dichte und die WW nicht beheben. Im Standard-Modell wird daher angenommen, dass nur der Grundzustand (das Vakuum) die Symmetrie bricht. Dieser Mechanismus wird spontane Symmetriebrechung genannt. Bei lokalen Eichtheorien entspricht dies dem Higgs Mechanismus. Als anschauliches Beispiel für eine spontane Symmtriebrechung dient ein senkrecht stehender Stab. Dieser Zustand ist invariant unter Rotationen um die Stabachse. Setzt man nun den Stab mit einer Kraft von oben unter Spannung (Potential), so wird er sich spontan in eine beliebige Richtung biegen. Für diesen neuen Grundzustand ist die Symmetrie gebrochen und die Auslenkung des Stabs hat einen Wert, der von Null verschieden ist. Ein weiteres Beispiel ist ein Ferromagnet, der zunächst ungeordnete Ausrichtungen der Spins enthält. Dieser Zustand hat keine ausgezeichnete Richtung, ist also Rotations-invariant. Spontan können sich jedoch Weis sche Bezike ausbilden und damit der Ferromagnet insgesamt seinen Grundzustand ändern, so dass eine von Null verschiedene Magnetisierung entsteht. C.4.1 Der Higgs- Mechanismus im Standard- Modell Im Standard-Modell wird zur Beschreibung der Masse aller Fermionen und der Masse der SU(2) L Eichbosonen ein neues, komplexes skalares Feld postuliert. Dieses soll ein SU(2) L Doublett sein und 26

27 C.4 Spontane Symmetrie-Brechung Hyperladung Y = 1 haben 3. Aus Q = T 3 + Y folgt die elektrische 2 Ladung der beiden Komponenten wie angegeben. ( ) φ + φ = φ 0 T 3 Y Q φ φ Tatsächlich wurde Y hier so gewählt, dass eine Komponente keine Ladung hat, so dass später das Vakuum auch elektrisch neutral sein kann. Dieses Higgs Doublett ist das einzige elementare Spin-0 Feld im Standard-Modell. Da φ 0 und φ + komplex sein sollen hat dieses Doublett 4 Freiheitsgrade, ( ) ( ) φ + φ1 + iφ 2 φ = = φ 0 φ 3 + iφ4 Für Ausdrücke, die symmetrisch in allen vier Komponenten sein sollen, ist eine einfache Notation z.b. ( ) φ φ 2 = φ φ = (φ +, φ 0 ) + = φ φ 0 2 = φ φ φ φ 2 4 φ 0 (Hier sind + und zu unterscheiden.) Die gesamte Lagrangedichte dieses Spin-0 Doubletts gehorcht der Klein-Gordon Gleichung L φ = D µ φ 2 V (φ) (D µ φ) (D µ φ) V (φ) wobei D µ die bekannte kovariate Ableitung der SU(2) L U(1) Y ist, D µ = µ + igt a W µ a + ig Y 2 Bµ Das Potential V (φ) wird hier ebenfalls neu postuliert und nicht wie die anderen Wechselwirkungen aus einer Eichsymmetrie abgeleitet. Es soll ebenfalls invariant unter Eichtransformationen sein, d.h. invariant unter Änderungen der komplexen Phase und invariant unter Rotationen zwischen φ + und φ 0. Das Potential muss daher symmetrisch in allen vier Komponenten sein und kann daher nur von φ 2 abhängen. Als Ansatz für das Potential wird gewählt: Es gilt: V (φ) = µ 2 φ 2 + λ φ 4 µ 2 und λ sind neue, reelle Naturkonstanten. µ hat die Dimension einer Masse. Der φ 4 Term beinhaltet eine Selbstwechselwirkung des Higgs-Feldes. Dabei muss λ > 0 sein, damit das Potential im limes großer Felder φ positiv ist, das Vakuum also nicht instabil ist. 3 Diese Wahl ist die einfachste, mit der man alle Massen erklären kann. Auch komplexere Modelle z.b. mit zwei Higgs-Doubletts sind in Erweiterungen des Standard-Modells möglich. 27

28 C.4 Spontane Symmetrie-Brechung Terme φ n mit n > 4 sind nicht möglich, da die Theorie sonst nicht renormierbar wäre. Terme mit φ 3 lassen sich immer durch eine Umdefinierung von φ wegtransformieren. Terme mit φ 1 sind nicht physikalisch. Damit ist die angegebene Form von V die allgemeinst mögliche Wahl. Frei ist noch das Vorzeichen von µ 2. Für µ 2 > 0 bleibt der Grundzustand bei φ = 0, die Symmetrie ist nicht spontan gebrochen. Anders ist es bei µ 2 < 0. Die Graphik zeigt das entprechende Potential als Funktion von zwei der vier Komponenten von φ. Das Potential ist nicht minimal bei φ min = 0, sondern entwickelt ein Minimum bei φ = v mit dem Vakuums-Erwartungswert v = µ 2 Tatsächlich gibt es in vier Dimensionen ein Kontinuum von entarteten Grundzuständen und die Lagrangedichte ist ungebrochen. Spontane Symmetriebrechung wird durch die Wahl eines bestimmten Zustands als Vakuum eingeführt. Da experimentell das Vakuum natürlich elektrisch neutral ist wählen wir als Grunzustand: λ φ V ak = 1 ( ) 0 2 v 28 d.h. nur die relle Komponnete φ 3 des neutralen Feldes bleibt. Hierzu wird eine Eichung durchgeführt φ(x) e igαa(x)ta φ(x) bei der die drei beliebigen Funktionen α(x) in der Eichtransformation so gewählt werden, dass die drei anderen Komponenten φ 1, φ 2 und φ 4 Null sind. Da die Lagrangedichte invariant unter diesen Transformation ist ändert sich dadurch die Bewegungsgleichung nicht. Zur Quantisierung entwickelt man das Potential um das Minimum v, φ = 1 ( ) 0 2 v + H(x)

29 C.4 Spontane Symmetrie-Brechung Hier stellt H(x) das Feld des physikalischen Higgs-Teilchens dar. Setzt man dies in das Potential ein, so ergibt sich V (φ) = 1 2 µ2 (v + H) λ(v + H)4 4 = (µ 2 + λv 2 )vh + 1 ( µ 2 + 3λv 2) H 2 + λvh λh4 so dass mit v = µ 2 /λ: V (φ) = µ 2 H 2 + λvh λh4 gilt. Dies kann wie folgt interpretiert werden: Der Term mit H 2 beschreibt die Masse des Higgs: m H = 2µ 2 Die Terme mit H 3 und H 4 beschreiben die Selbstwechselwirkung des Higgs, also einen 3er- und einen 4er- Vertex. C.4.2 Eichboson - Higgs Wechselwirkung Die Terme in der Lagrange-Dichte, in denen das Higgs-Feld und die Eichbosonen gemeinsam auftreten, sind gegeben durch: L φ = D µ φ 2 V (φ) = ( µ + D µ W + Dµ γz ) φ 2 V (φ) = ( µ + ig(t + W + + T W ) µ + ieqa µ + ig Z Z µ) φ 2 V (φ) Da das Higgs elektrisch neutral ist, Qφ = 0, entfallen alle Terme mit dem Photon Feld A µ, d.h. das Photon koppelt nicht an das Higgs und das Photon wird masselos bleiben. Bildet man für den Rest D µ φ 2, so bleiben Realteil und Imaginärteil separat. Da außerdem bei obiger Entwicklung φ + = 0 ist gibt es auch keine Mischterme zwischen W ± und Z 0. Daher gilt mit µ (v + H(x)) = µ H(x): L φ = µ φ 2 + D µ W φ 2 + D µ Z φ 2 V (φ) = 1 2 ( µh)( µ H) g2 W + µ W µ (v + H) g2 ZZ µ Z µ (v + H) 2 V (φ) Die einzelnen Terme können wie folgt interpretiert werden: 1 2 ( µh)( µ H) Dies ist die kinetische Energie für ein einzelnes reelles, skalares Feld H. Das Anregungsquant dieses Feldes ist das Higgs- Teilchen. m 2 W W + W m2 Z Z µz µ Da g und v konstant sind können die entsprechenden Terme mit v 2 als Massenterme interpretiert werden. Der Zahlenwert 29

30 C.4 Spontane Symmetrie-Brechung der Massen wird demnach nur von der schwachen Kopplungskonstanten und dem Higgs-Potential festgelegt und ist m W = 1 2 gv m Z = 1 2 v g 2 + g g2 vw + W H + g 2 Z vzzh Dies sind WW zwischen Higgs und W, Z. Mit den obigen Massentermen folgt, dass die Kopplungen an das Higgs proportional zu den W, Z massen sind. 1 4 g2 W + W HH g2 Z ZZHH Dies sind 4-er Vertizes zwischen den Bsonen mit jeweils zwei Higgs-Teilchen. Das Higgs Potential ergibt die Higgs-Masse und Selbstwechselwirkungen m H = 2µ 2 Die Masse des Higgs ist also nicht vorhergesagt. Ausserdem ergibt sich M Z = 1 2 g Zv = M W cos θ W v = 246GeV cos θ W = M W = 80, 4 M Z 91, 2 tan θ W = g g Wechselwirkungen des Higgs 30

31 C.4 Spontane Symmetrie-Brechung C.4.3 Fermion-Higgs Kopplung und Fermion- Massen Die Lagrangedichte für freie Fermionen L = ψ(iγ µ µ m)ψ beinhaltet wie beschrieben Massen-Term L m = m ψψ = m ψ (P L + P R ) ψ = m( ψ R ψ L + ψ L ψ R ) die linkshändige Doublett -Komponenten ψ L und rechtshändige Singletts ψ R kombinieren. Diese transformieren sich unterschiedlich, so dass die Massenterme die SU(2) L Symmetrie verletzen. Mit dem Higgs steht jedoch ein Doublett zur Verfügung, dass mit den Fermion- Doubletts und Singlettts so verbunden werden kann, dass das Resultat eichinvariant ist. Für das Beispiel der Quarks der ersten Generation ( ) ul ψ L = Q L = ; u R, d R d L und dem Higgs-Doublett φ lässt sich z.b. für das d Quark schreiben: L = c d ( QL φ d R + d R φ Q L ) Setzt man das Higgs-Feld nach spontaner Symmetrie-Brechung φ = 1 ( ) 0 2 v + H(x) ein so ergibt dies so dass L = c d 1 2 ( dl (v + H) d R + d R (v + H)d L ) = c d v 2 ( dl d R + d R d L ) cd 1 2 H ( dl d R + d R d L ) L = m d d d m d v H d d mit der Masse des d-quarks m d = c d v 2 Man beachte, Die Masse der Fermionen wird somit als Kopplungskonstante zwischen Fermionen und Higgs erklärt. Diese Kopplung selber ist aber nicht vorhergesagt, so dass auch die Massen unbekannt sind. 31

32 C.4 Spontane Symmetrie-Brechung Alle Massen im Standard-Modell skalieren mit dem Vakuumserwartungswert des Higgs. Dies ist der einzige Parameter im SM mit der Dimension [GeV]. Das Higgs koppelt vornehmlich an die schwersten Teilchen Der letzte Term entspricht den Prozessen d R + H d L d L d R + H In diesen Prozessen ist sowohl T 3 als auch Y erhalten. Im Gegensatz zu den γ µ Kopplungen der Eichwechselwirkungen ändert sich bei diesen sogenannten Yukawa-Kopplungen c d die Chiralität der Fermionen. Für ähnliche Prozesse mit dem u- Quark wird ein Higgs-Doublett mit Y = 1 benötigt. Dies lässt sich als ladungskonjugierter Zustand erzeugen, ( ) (φ φ C = iσ 2 φ = 0 ) (φ + ) Damit kann man schreiben: L = c u ( QL φ C u R + ū R φ C Q L Nach spontaner Symmetrie-Brechung φ = 1 ( ) v + H(x) 2 0 erhält man ) L = m u ū u m u v H ū u mit der Masse des u-quarks m u = c u v 2 Der letzte Term entspricht den Prozessen u R + H u L u L u R + H Für die anderen Quark-Generationen und die Lepton-Generationen ergeben sich ganz ähnliche Ausdrücke. 32

33 C.4 Spontane Symmetrie-Brechung D Lagrange-Dichte des Standard- Modells Insgesamt ergibt sich nun als Formel für das Standard-Modell L = 1 4 Bµν B µν 1W µν 4 a W aµν γ, Z 0, W ± : E kin und Selbstwechselwirkung 1 4 Gµν a G aµν Gluon:E kin und Selbstwechselwirkung + ψ L ψl iγ µ ( µ + ig σa 2 W µ a + ig Y 2 Bµ )ψ L Fermion:E kin und + ψ R ψr iγ µ ( µ + ig Y 2 Bµ )ψ R WW mit W ±, γ, Z 0 + q qiγ µ( µ + ig s λ a 2 G µ a) q Quarks: WW mit Gluonen + ( µ + ig σa 2 W µ a + ig Y 2 Bµ ) φ 2 Higgs E kin Higgs WW mit Z,W ψ c ψ ( ψl φ ψ R + ψ R φ ψ L ) Z 0, W ± Masse, Fermion: Masse und WW mit Higgs (µ 2 φ 2 + λ φ 4 ) Higgs Masse und Selbst-WW Diese Lagrange-Dichte beinhaltet, bis auf die Mischung zwischen verschiedenen Generationen von Quarks und von Leptonen, das komplette Standard-Modell. 33