Theoretische Teilchenphysik II

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1 Theoretische Teilchenphysik II Wintersemester 011/01 Karlsruher Institut für Technologie (KIT) gehalten von Milada Margarete Mühlleitner

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3 Inhaltsverzeichnis 1 Bemerkungen Literatur Eichsymmetrien 3.1 Kopplung an ein Photon Nicht-abelsche Eichgruppen Die Matrizen der SU(N) Darstellung nicht-abelscher Gruppen Nichtabelsche Eichtransformationen Die QCD Lagrangedichte Chirale Eichtheorien Addendum: Mathematische Hintergrundinformationen Gruppen Algebra Clifford-Algebren Liealgebren Spontane Symmetriebrechung Beispiel: Ferromagnetismus Beispiel: Feldtheorie für ein komplexes Feld Das Goldstone Theorem Chirale Symmetriebrechung in der QCD Spontane Brechung einer O(N) Symmetrie Spontan gebrochene Eichsymmetrien Addendum: Goldstone Theorem - klassische Feldtheorie Das Standardmodell der Teilchenphysik Eine kurze Vorgeschichte des Standardmodells der Teilchenphysik Unitarität: der Pfad zu Eichtheorien Eichsymmetrie und Teilcheninhalt Glashow-Salam-Weinberg theory für Leptonen Einführung der W, Z Boson- und Fermionmassen Quarks in der Glashow-Salam-Weinberg Theorie Die CKM Matrix Die Fermion Yang-Mills Lagrangedichte Massenmatrix und CKM Matrix Eichung i

4 ii INHALTSVERZEICHNIS Feynman Pfadintegrale Skalare Felder Grassmann Variablen Eichfixierung Wechselwirkungen φ 4 Theory Fermifelder Erzeugendes Funktional für wechselwirkende Feldtheorien Nicht-abelsche Eichtheorien Greenfunktion in der Störungstheorie Die Feynmanregeln der Quantenchromodynamik Renormierung Klassifizierung lokaler Wechelwirkungen Renormierung der GSW Theorie Renormierungskonstanten Renormierungsbedingungen Schleifen Integrale Hilfreiche Formeln Berechnung der skalaren Integrale Höhere Ordnungen: Physikalische Ergebnisse Fermikonstante Quantenchromodynamik - QCD Einführung der Farbe Gluon Eichfelder Asymptotische Freiheit

5 Kapitel 1 Bemerkungen In den einzelnen Kapiteln der Vorlesung gibt es am Ende Kapitel, die mit Addendum bezeichnet sind. Diese enthalten Zusatzinformationen für den interessierten Leser, sind aber nicht verpflichtend für die Übungen. Kapitel, die aus Zeitgründen in den einzelnen Vorlesungen nicht behandelt werden, werden auf der Webseite explizit genannt. Auf sie kann verzichtet werden. Sie verbleiben im Vorlesungsskript lediglich als zusätzliche Information. Die Vorlesung folgt keinem bestimmten Buch. Die angegebene Literatur ist hilfreich, den Sachverhalt zu vertiefen bzw. nochmals auf andere Weise dargestellt zu sehen oder aber zusätzliche Hintergrundinformationen zu erhalten, die in der Vorlesung aus Zeitgründen nicht alle behandelt werden können. 1.1 Literatur M. E. Peskin and D. V. Schroeder, An Introduction to Quantum Field Theory (Addison- Wesley, 1995) T.-P. Cheng, L.-F. Li, Gauge Theory of Elementary Particle Physics (Oxford University Press) C. Itzykson, J.-B. Zuber, Quantum Field Theory (McGraw-Hill) P. Ramon, Field Theory: a modern primer M. Böhm, A. Denner and H. Joos, Gauge Theories of the Strong and Electroweak Interaction (Teubner, 001) Chris Quigg Gauge Theories of the Strong, Weak and Electromagnetic Interactions (Benjamin/Cummings, 1983) G. Dissertori, I. Knowles, M. Schmeling, Quantum Chromodynamics (Oxford University Press) O. Nachtmann, Elementary Particle Physics (Springer 1990) L. H. Ryder, Quantum Field Theory (nd ed., Cambridge University Press, 1996) 1

6 Bemerkungen R. K. Ellis, W. J. Stirling and B. R. Webber, QCD and Collider Physics (Cambridge University Press 1996) P. H. Frampton, Gauge Field Theories (Benjamin/Cummings) Dabei ist Literatur (unter anderem) über Renormierung C. Itzykson, J.-B. Zuber, Quantum Field Theory (McGraw-Hill) P. Ramon, Field Theory: a modern primer M. Böhm, A. Denner and H. Joos, Gauge Theories of the Strong and Electroweak Interaction (Teubner, 001) W.J.P. Beenakker, Electroweak corrections: techniques and applications Und Literatur über Pfadintegrale z.b. Gert Roepstorff, Path Integral Approach to Quantum Physics (Springer) Weitere Literatur für den interessierten Leser Martinus Veltman Facts and Mysteries in Elementary Particle Physics (World Scientific, 003) V. D. Barger and R. J. N. Phillips, Collider Physics (Addison-Wesley, 1997) Eds. Roger Cashmore, Luciano Maiani, Jean-Pierre Revol Prestigious Discoveries at CERN (Springer, 004)

7 Kapitel Eichsymmetrien Dirac Lagrangedichte für ein freies Fermionfeld Ψ der Masse m lautet L 0 = Ψ(iγ µ µ m)ψ. Diese ist symmetrisch unter U(1), d.h. invariant unter Transformationen (.1) Ψ(x) exp( iα)ψ(x) = Ψ iαψ + O(α ). (.) Und für den adjungierten Spinor Ψ = Ψ γ 0, Ψ(x) exp(iα) Ψ(x). Der mit der Symmetrie verbundene Noether-Strom lautet mit j µ = L δψ ( µ Ψ) δα + δ Ψ δα µ j µ = 0..1 Kopplung an ein Photon (.3) L = i µ Ψ Ψγ µ ( iψ) = Ψγ µ Ψ, (.4) Bei Kopplung an ein Photon lautet die Lagrangedichte (.5) L = Ψγ µ (i µ qa µ )Ψ m ΨΨ = L 0 qj µ A µ, (.6) wobei j µ in Glg. (.4) gegeben ist. Bei Eichtransformation des externen Photonfeldes A µ, A µ (x) A µ (x) = A µ(x) + µ Λ(x) (.7) geht die Lagrangedichte über in L L = L 0 qj µ A µ qj µ µ Λ }{{} q Ψγ µ Ψ µλ. (.8) D.h L ist nicht eichinvariant. Die Felder Ψ und Ψ müssen so geändert werden, daß die Lagrangedichte eichinvariant wird. Dies geschieht durch Einführung eines x-abhängigen Parameters α, also α = α(x). Damit i µ Ψ i µ (exp( iα)ψ) + ( µ α) exp( iα)ψ, (.9) 3

8 4 Eichsymmetrien so daß L 0 L 0 + Ψγ µ Ψ µ α. Dieser Term kanzelliert den zusätzlichen Term in Glg. (.8) falls α(x) = qλ(x). Damit lautet die vollständige Eichtransformation (.10) (.11) Ψ Ψ (x) = U(x)Ψ(x) mit U(x) = exp( iqλ(x)) (U unitär) (.1) Ψ Ψ (x) = Ψ(x)U (x) (.13) A µ (x) A µ (x) + µλ(x) = U(x)A µ (x)u (x) i q U(x) µu (x). (.14) Die Lagrangedichte transformiert sich gemäß L L = Ψγ µ U 1 i µ (UΨ) q ΨU 1 γ µ ( UA µ U 1 i q U µu 1 ) UΨ m ΨU 1 UΨ = Ψγ µ i µ Ψ + Ψγ µ (U 1 i( µ U))Ψ q Ψγ µ ΨA µ + Ψγ µ (i( µ U 1 )U)Ψ m ΨΨ = L + i Ψγ µ µ (U 1 U)Ψ = L. (.15) Minimale Substitution p µ p µ qa µ führt auf i µ i µ qa µ id µ. (.16) Dabei ist D µ (x) die kovariante Ableitung. Der Begriff kovariant bedeutet, daß sie sich genauso wie das Feld transformiert Ψ(x) U(x)Ψ(x) und D µ Ψ(x) U(x)(D µ Ψ(x)). (.17) Das heißt (D µ Ψ) = D µψ = D µuψ! = UD µ Ψ, (.18) so daß sich die kovariante Ableitung transformiert gemäß D µ = UD µu 1 = exp( iqλ)( µ + iqa µ ) exp(iqλ) = µ + iq µ Λ + iqa µ = µ + iqa µ (.19). Damit ist L = Ψγ µ id µ Ψ m ΨΨ (.0) offensichtlich eichinvariant. Die kinetische Energie der Photonen ist gegeben durch L kin = 1 4 F µνf µν mit F µν = µ A ν ν A µ. (.1) Der Feldstärketensor F µν lässt sich mithilfe der kovarianten Ableitung ausdrücken. Wir wählen folgenden Ansatz für den Tensor. Stufe [D µ, D ν ] = [ µ iqa µ, ν iqa ν ] = iq[ ν, A ν ] iq[a µ, ν ] = iq( µ A ν ν A µ ). (.) Damit haben wir für den Feldstärkentensor F µν = i q [Dµ, D ν ]. (.3) Sein Transformationsverhalten ist gegeben durch i q [UDµ U 1, UD ν U 1 ] = i q U[Dµ, D ν ]U 1 = UF µν U 1. (.4)

9 Eichsymmetrien 5. Nicht-abelsche Eichgruppen Wir verwenden die Langrangedichte für N Diracfelder ψ i der Masse m L = ψ j iγ µ µ ψ j m ψ j ψ j. (.5) j=1...n j=1...n Diese ist symmetrisch unter U(N), wobei U(N) die Gruppe der unitären N N Matrizen ist. Betrachte folgende Transformation ψ j U ik ψ k U ik ψ k, (.6) k=1...n wobei die letzte Gleichung bedeutet, daß wir die Einstein sche Summenkonvention verwenden. Das heißt, über gleiche Indizes wird summiert. Wir haben also ψ 1 ψ 1 U 1k ψ k ψ Ψ UΨ mit Ψ =., also ψ. U k ψ k (.7). ψ N ψ N U Nk ψ k und L = Ψiγ µ µ Ψ m ΨΨ ΨU 1 iγ µ µ UΨ m ΨU 1 UΨ = L. (.8) Beispiele: ( p Ψ = n Ψ = ( νe e ) : SU()-Transformationen im Isospinraum, Proton-Neutron-Dublett. ) : SU L (), schwache Wechselwirkung auf linkshändige Fermionen. L Ψ = (q 1, q, q 3 ) T, quarks, SU(3). Dabei ist jedes q i (i = 1,, 3) ein vierkomponentiger Spinor. Die Lagrangedichte ist invariant unter SU(3)-Transformationen..3 Die Matrizen der SU(N) Die Elemente der SU(N) werden allgemein dargestellt durch ) U = exp (iθ a λa mit θ a R. (.9) Dabei sind λ a / die Generatoren der Gruppe SU(N). Für die SU() sind die λ a durch die Pauli-Matrizen σ i (i = 1,, 3) gegeben und θ a ist ein 3-komponentiger Vektor. Für ein Element der Gruppe SU() haben wir also ( U = exp i ω σ ). (.30)

10 6 Eichsymmetrien Für ein allgemeines U gilt ( ( ) ) λ U = exp iθ a a! = U 1 = exp ) ( iθ a λa Die Generatoren müssen also hermitesch sein, d.h. (λ a ) = λ a. Außerdem muß für die SU(N) gelten Mit det(u) = 1.. (.31) (.3) (.33) det(exp(a)) = exp(sp(a)) (.34) ergibt sich det ( exp Daraus folgt Sp(λ a ) = 0. )) ( (iθ a λa = exp iθsp ( )) λ a! = 1. (.35) (.36) Die Generatoren der SU(N) müssen spurlos sein. Die Gruppe SU(N) besitzt N 1 Generatoren λ a mit Sp(λ a ) = 0. Für die SU(3) sind dies die Gell-Mann-Matrizen i λ 1 = λ = i 0 0 λ 3 = λ 4 = λ 7 = i 0 i 0 λ 5 = 0 0 i i 0 0 λ 8 = 1 3 Die Matrizen λ a / sind normiert durch ( ) λ a λ b Sp = 1 δab. Für die Pauli-Matrizen (i = 1,, 3) gilt λ 6 = (.37) (.38) Sp(σ i ) = und Sp(σ 1 σ ) = Sp(iσ 3 ) = 0. (.39) Multipliziert mit 1/ bilden sie die Generatoren der SU(). Die Generatormatrizen genügen der Vollständigkeitsrelation λ a ij λ a kl = 1 (δ il δ kj 1N ) δ ijδ kl, (.40) denn 0! = λa ii λ a kl = 1 δ ilδ ki 1 N δ iiδ kl = 1 δ kl 1 δ kl = 0. (.41)

11 Eichsymmetrien 7.4 Darstellung nicht-abelscher Gruppen Sei G eine Gruppe mit den Elementen g 1, g... G. Eine n-dimensionale Darstellung von G ist gegeben durch die Abbildung G C (n,n), g U(g). D.h. die Abbildung abstrakter Elemente der Gruppe auf komplexe n n Matrizen, so daß U(g 1 g ) = U(g 1 )U(g ) gilt und damit die Gruppeneigenschaften erhalten bleiben. Ein U SU(N) lässt sich schreiben als U = exp(iθ a T a ). Für die SU() also U = exp(i ω J). Die Gruppe SU(N) besitzt N 1 Generatoren T a. Für die SU() sind dies die Drehimpulsoperatoren J i. Die N 1 reellen Parameter θ a sind in der SU() geben durch ω. Die fundamentale Darstellung der SU() lautet J i = σ i / und im allgemeinen Fall T a = λ a /. Die Generatoren genügen der folgenden Kommutatorrelation [T a, T b ] = if abc T c. (.4) Die f abc sind die Strukturkonstanten der SU(N)-Lie-Algebra. Sie sind total antisymmetrisch und definieren (N 1)(N 1)-dimensionale Matrizen Tlk a if lk a if alk. Im Fall der SU() haben wir [J i, J j ] = ɛ ijk J k. (.43) Es gilt ferner ([ ] ) λ a Sp, λb λ c ( λ = if abe e Sp Die Generatoren erfüllen die Jacobi-Identität ) λ c = if abe 1 δec = i f abc. (.44) [T a, [T b, T c ]] + [T b, [T c, T a ]] + [T c, [T a, T b ]] = 0. (.45) Unter Benutzung von (.4) erhält man 0 = ( if b cl)( if a lk) + ( if a lc)( if b lk) + if abl ( if l ck). (.46) Damit 0 = (T b T a ) ck (T a T b ) ck + if abl (T l ) ck. (.47) Damit haben wir eine N 1-dimensionale Darstellung der SU(N) Lie-Algebra erhalten [T a, T b ] = if abc T c. (.48) Dies ist die adjungierte Darstellung. Es gibt folgende SU(N) Darstellungen d = 1: triviale Darstellung (Singulett). d = N: fundamentale Darstellung (λ a /), antifundamentale Darstellung ( λ a /). d = N 1: adjungierte Darstellung.

12 8 Eichsymmetrien.5 Nichtabelsche Eichtransformationen Ausgangspunkt ist die Lagrangedichte L = ψ i (iγ µ µ m)ψ i = Ψ(iγ µ µ m)ψ mit Ψ = ( ψ1, ψ,..., ψ N ). (.49) i=1...n Die Lagrangedichte ist invariant unter einer globalen SU(N) Eichtransformation Ψ Ψ = exp (iθ a T a ) Ψ = ( 1 + iθ a T a + O((θ a ) ) ) Ψ = UΨ und Ψ Ψ = ΨU 1 (.50). Die Generatoren T a sind fundamentale Darstellung: (T a ) ij = ( ) λ a d = N ij adjungierte Darstellung (T a ) bc = if abc d = N 1 triviale Darstellung T a = 0 U(θ) = 1. (.51) Betrachten wir nun lokale Symmetrien, also θ a = θ a (x). Die Transformation von Ψ sei Ψ = UΨ. Wir führen eine kovariante Ableitung ein, D µ = µ iga µ = µ igt a A a µ. (.5) Die T a können verschieden sein, aber A a µ ist identisch in allen D µ. Beispiel Supersymmetrie (SUSY) squark, quark T a = λa (d = N) gluino (T a ) bc = if abc (d = N 1) (.53) Die kovariante Ableitung transformiert sich genauso wie Ψ, also (D µ Ψ) = U(D µ Ψ). Damit (D µ Ψ) = D µψ = D µuψ D µu = UD µ (.54) Ist erfüllt wenn µ iga µ = D µ = UD µu 1 = U( µ iga µ )U 1 = UU 1 µ + U( µ U 1 ) igua µ U 1 (.55) A µ = i g U( µu 1 ) + UA µ U 1. (.56) Wichtig: A a µ ist unabhängig von der Darstellung U. Mit infinitesimalem U = exp(it a θ a ) = 1 + it a θ a + O(θ a ) (.57) haben wir A µ = A b µ T b = U( i)t a ( µ θ a ) U 1 + (1 + iθ a T a )A c µ T c (1 iθ b T b ) }{{} A c µt c +ia c µ (T a T c T c T a ) θ }{{} if acb T b = T b ( 1 g µθ b + A b µ + i( if abc )θ a A c µ ) }{{} A b µ. (.58)

13 Eichsymmetrien 9 Der Feldstärketensor sei definiert durch F µν [D µ, D ν ]. Betrachte den Kommutator [D µ, D ν ] = [ µ igt a A a µ, ν igt b A b ν] = igt b µ A b ν igt a ( ν A a µ) + ( ig) A a µa b ν [T a, T b ] }{{} if abc T c A b µ Ac ν ) = igt a ( µ A a ν νa a µ + g }{{} f bca = igt a Fµν a = igf µν. (.59) } {{ f abc } =:Fµν a Die F a µν sind unabhängig von der Darstellung der T a. Wir haben für das Transformationsverhalten F µν = i g [D µ, D ν ] = i g [UD µu 1, UD ν U 1 ] = UF µν U 1 homogene Transformation (.60). Und mit Glg. (.58) (F a µν) = F a µν + i( if bac )θ b F c µν +... (.61) Transformiert sich homogen unter der adjungierten Darstellung. Ferner folgt daraus, dass F aµν Fµν a = Sp(F µν F µν ) = Sp(F aµν T a Fµν b T b ) = F aµν Fµν b Sp(T a T b ) = F µνa F a µν }{{} 1 δab ist eichinvariant. (.6) Damit haben wir für die kinetische Lagrangedichte L kin,a = 1 4 F aµν F a µν = 1 Sp(F µν F µν ). (.63).6 Die QCD Lagrangedichte Beispiel: Die Quantenchromodynamik (QCD) ist invariant unter der Farb-SU(3). Die 6 Quarkfelder tragen Farbladung und befinden sich in der fundamentalen Darstellung ψ q1 Ψ q = ψ q ψ q3 q = u, d, c, s, t, b. (.64) Sie bilden Tripletts. Die 8 Gluonen G µ befinden sich in der adjungierten Darstellung. Die QCD Lagrangedichte lautet L QCD = 1 4 Gaµν G a µν + ψ q (iγ µ D µ m q )ψ q, (.65) mit q=1...6 G a µν = µ G a ν ν G a µ + gf abc G b µg c ν. (.66) Die Quarkmassen haben die Werte m u MeV m d MeV m s 100 MeV (.67) m c 1.9 GeV m b 4.19 GeV m t 173 GeV. (.68)

14 10 Eichsymmetrien.7 Chirale Eichtheorien Betrachte L f = Ψ(iγ µ D µ m)ψ. In der chiralen Darstellung sind die 4 4 γ-matrizen gegeben durch γ µ = γ 5 = (( ) ( σ, 1 0 σ 0 ( ) 1 0, 0 1 )) = ( 0 σ µ σ µ + 0 ) (.69) (.70) (.71) wobei σ i (i = 1,, 3) die Pauli-Matrizen sind. Mit ( ) χ Ψ = ϕ ergibt sich ( 0 1 und Ψ = Ψ γ 0 = (χ, ϕ ) 1 0 ) = (ϕ, χ ) (.7) ( 0 σ µ ) ( ) Ψiγ µ D µ Ψ = i(ϕ, χ Dµ χ ) σ µ = ϕ iσ + 0 D µ ϕ D µ µ ϕ + χ iσ +D µ µ χ. (.73) }{{} 0 σµ D µ ϕ σ +D µ A µ χ Die Eichwechselwirkung gilt unabhängig für ( ) 0 Ψ L = = 1 ( χ ϕ (1 γ 5)Ψ und Ψ R = 0 ) = 1 (1 + γ 5)Ψ. (.74) Die Ψ L und Ψ R können unterschiedliche Eichdarstellungen haben. Aber ( m ΨΨ χ = m(ϕ, χ ) ϕ ) = m(ϕ χ + χ ϕ) = m( Ψ L Ψ R + Ψ R Ψ L ). (.75) Der Massenterm mischt Ψ L und Ψ R. Daraus folgt Symmetriebrechung falls Ψ L und Ψ R unterschiedliche Darstellungen haben. Wie sieht es mit einem Massenterm für Eichbosonen aus? Betrachte L = 1 4 F aµν Fµν a + m A aµ A a µ }{{} }{{} eichinvariant nicht eichinvariant Zum Beispiel für die U(1). (.76) (A µ A µ ) = (A µ + µ θ)(a µ + µ θ) = A µ A µ + A µ µ θ + ( µ θ)( µ θ). (.77) Der Massenterm für A µ bricht die Eichsymmetrie.

15 Eichsymmetrien 11.8 Addendum: Mathematische Hintergrundinformationen.8.1 Gruppen Sei ein Paar (G, ) mit einer Menge G und einer inneren zweistelligen Verküpfung/Gruppenmultiplikation. : G G G, (a, b) a b heißt Gruppe, wenn folgende Axiome erfüllt sind 1. Die Gruppe ist abgeschlossen. D.h. wenn g, h ɛ G g h ɛ G.. Assoziativität: (g 1 g ) g 3 = g 1 (g g 3 ). 3. Einselement e mit der Eigenschaft g e = e g = g g ɛ G. 4. Zu jedem g gibt es ein Inverses g 1 mit g 1 g = g g 1 = e. Abelsche Gruppe: Eine Gruppe heißt abelsch, wenn g h = h g. Kontinuierliche Gruppen: Sie besitzen unendlich viele Elemente und werden durch n Parameter beschrieben. Bei Liegruppen ist n endlich. Alle einparametrigen Liegruppen sind abelsch. Typisches Beispiel: U(1) mit den Elementen e iφ und φ als Parameter..8. Algebra Ein linearer Raum (Vektorraum) wird zu einer Algebra A, wenn eine binäre Operation (Multiplikation) zweier Elemente m, n existiert, so daß mn A. Es gelten die Linearitätsbeziehungen (k, m, n A) k(c 1 m + c n) = c 1 km + c kn (c 1 m + c n)k = c 1 mk + c nk. (.78) Dabei sind c 1, c reelle (komplexe) Zahlen. Man spricht je nach Fall von reeller (komplexer) Algebra. Eine Algebra heißt kommutativ, wenn mn = nm. Sie heißt assoziativ, wenn k(mn) = (km)n. Sie heißt Algebra mit Einselement, wenn sie ein Einselement 1 besitzt mit 1m = m1 = m. (.79) (.80) (.81) Sei A eine assoziative Algebra mit Einselement und B A eine Menge von Elementen b 1, b etc. Die Algebra heißt von B erzeugt, wenn jedes mɛa durch ein Polynom endlichen Grades in den Elementen b i geschrieben werden kann, p m = c1 + c i1 i...i k b i1 b i...b ik, (.8) i 1,i,...,i k k=1 wobei die Koeffizienten c i1 i...i k komplexe Zahlen sind. Die Elemente der Menge B heißen Generatoren von A. Das Einselement gehört nicht zu den Generatoren.

16 1 Eichsymmetrien.8.3 Clifford-Algebren Eine Clifford-Algebra C N wird von N Generatoren ξ 1, ξ,..., ξ N erzeugt, für die mit a, b = 1,..., N. ξ a ξ b + ξ b ξ a = δ ab Die Dimension der Clifford-Algebra C N ist N. Es existiert ein enger Zusammenhang zwischen Clifford-Algebren und den Quantisierungsbedingungen für Fermionen. Im allgemeinen lassen sich Clifford-Algebren für beliebige symmetrische Metriken g mn definieren. So gilt insbesondere für die pseudoeuklidische Metrik g ab = diag(1, 1,..., 1, 1,..., 1), (.83) }{{}}{{} N M Clifford-Algebra C N,M : {Γ m, Γ n } = g mn 1. Die Anzahl der Generatoren ist d = N + M..8.4 Liealgebren Eine Algebra ist ein Vektorraum, der von den Generatoren A, B, C,... aufgespannt wird: beliebige Linearkombinationen von Generatoren ergeben wieder Generatoren. Eine Algebra verfügt über ein Produkt zwischen den Generatoren. Im Fall der Liealgebra ist das Produkt der Kommutator A B := [A, B], (.84) mit den folgenden Eigenschaften A B = B A (.85) (A B) C + (C A) B + (B C) A = 0. (.86) Liealgebren sind nicht assoziativ. Die Beziehung (.86) heißt Jacobi-Identität.

17 Kapitel 3 Spontane Symmetriebrechung Die Symmetrie einer Lagrangedichte ist spontan gebrochen, wenn die Lagrangedichte symmetrisch ist, aber das physikalische Vakuum nicht der Symmetrie gehorcht. Wir werden sehen, daß wenn die Lagrangedichte einer Theorie invariant unter einer exakten kontinuierlichen Symmetrie ist, welche nicht die Symmetrie des physikalischen Vakuums ist, eines oder mehrere masselose Spin-0 Teilchen auftreten. Diese werden Goldstone Bosonen genannt. Wenn die spontan gebrochene Symmetrie eine lokale Eichsymmetrie ist, führt das Zusammenspiel (induziert durch den Higgsmechanismus) zwischen den Möchtegern-Goldstone Bosonen und den masselosen Eichbosonen zu den Massen der Eichbosonen und entfernt die Goldstone Bosonen aus dem Spektrum. 3.1 Beispiel: Ferromagnetismus Es handelt sich um ein System wechselwirkender Spins, H = i,j J ij Si S j. (3.1) Das Skalarprodukt der Spinoperatoren ist unter Rotation ein Singulett, ist also rotationsinvariant. Im Grundzustand des Ferromagneten (bei genügend niedriger Temperatur, unterhalb der Curie-Temperatur) zeigen alle Spins in dieselbe Richtung. Dies ist der Zustand niedrigster Energie. Der Grundzustand ist nicht mehr rotationsinvariant. Bei Drehung des Systems entsteht ein neuer Grundzustand derselben Energie, der sich aber vom vorigen unterscheidet. Der Grundzustand ist also entartet. Die Auszeichnung einer bestimmten Richtung bricht die Symmetrie. Es liegt spontane Symmetriebrechung (SSB) vor. 3. Beispiel: Feldtheorie für ein komplexes Feld Wir betrachten die Lagrangedichte für ein komplexes Skalarfeld L = ( µ φ) ( µ φ) µ φ φ λ(φ φ) mit dem Potential V = µ φ φ + λ(φ φ). (3.) (Hinzufügen höherer Potenzen in φ führt zu einer nicht-renormierbaren Theorie.) Die Lagrangedichte ist invariant unter einer U(1)-Symmetrie, φ exp(iα)φ. (3.3) 13

18 14 Spontane Symmetriebrechung V (φ) φ + φ 0 Abbildung 3.1: Das Higgspotential. Wir betrachten den Grundzustand. Dieser ist gegeben durch das Minimum von V, 0 = V { 0 für µ φ = µ φ + λ(φ > 0 φ)φ φ = φ φ = µ für µ (3.4) < 0 λ Der Parameter λ muß positiv sein, damit das System nicht instabil wird. Für µ < 0 nimmt das Potential die Form eines Mexikanerhutes an, siehe Fig Bei φ = 0 liegt ein lokales Maximum, bei φ = v = (3.5) λ ein globales Minimum. Teilchen entsprechen harmonischen Oszillatoren für die Entwicklung um das Minimum des Potentials. Fluktuationen in Richtung der (unendlich vielen degenerierten) Minima besitzen Steigung null und entsprechen masselosen Teilchen, den Goldstone Bosonen. Fluktuationen senkrecht zu dieser Richtung entsprechen Teilchen mit Masse m > 0. Sie entsprechen dem(den) Higgs Boson(en). Die Entwicklung um das Maximum bei φ = 0 würde zu Teilchen negativer Masse (Tachyonen) führen, da die Krümmung des Potentials hier negativ ist. µ Entwicklung um das Minimum bei φ = v führt zu (wir haben für das komplexe skalare Feld zwei Fluktuationen ϕ 1 und ϕ ) φ = v + 1 ( (ϕ 1 + iϕ ) = v + 1 ) ϕ 1 + i ϕ (3.6) φ φ = v + vϕ (ϕ 1 + ϕ ). (3.7) Damit erhalten wir für das Potential V = λ(φ φ v ) µ4 mit v = µ (3.8) 4λ λ ( vϕ1 V = λ + 1 ) (ϕ 1 + ϕ ) µ4 4λ. (3.9) Vernachlässige den letzten Term in V, da es sich nur um eine konstante Nullpunktsverschiebung handelt. Damit ergibt sich für die Lagrangedichte L = 1 ( µϕ 1 ) + 1 ( µϕ ) λv ϕ 1 vλϕ 1 (ϕ 1 + ϕ ) λ 4 (ϕ 1 + ϕ ). (3.10)

19 Spontane Symmetriebrechung 15 Die in den Feldern quadratischen Terme liefern die Massen, die in den Feldern kubischen und quartischen Terme sind die Wechselwirkungsterme. Es gibt ein massives und ein masseloses Teilchen, m ϕ1 = v λ und m ϕ = 0. (3.11) Bei dem masselosen Teilchen handelt es sich um das Goldstone Boson. 3.3 Das Goldstone Theorem Seien N = Dimension der Algebra der Symmetriegruppe der vollständigen Lagrangedichte. M = Dimension der Algebra der Gruppe, unter welcher das Vakuum nach der spontanen Symmetriebrechung invariant ist. Es gibt N-M Goldstone Bosonen ohne Masse in der Theorie. Das Goldstone Theorem besagt, daß es für jeden spontan gebrochenen Freiheitsgrad der Symmetrie ein masseloses Goldstone Boson gibt. Sei φ i (x) ein Satz von Operatoren mit nichttrivialem Transformationsverhalten unter einer Symmetriegruppe G. Das Transformationsverhalten ist gegeben durch [Q a, φ i (x)] = Tijφ a j (x) mit Q a = d 3 yj 0a (y) und µ j µa = 0. (3.1) Die T a sind die Darstellungsmatrizen der Generatoren. Ist der Vakuumerwartungswert (VEV) < 0 φ j (x) 0 > eines dieser nichttrivial transformierenden Felder ungleich null, dann existieren masselose Anregungen. Beweis: Falls < 0 φ j 0 > 0 gibt es ein T a mit 0 < 0 Tijφ a j 0 >, da der Satz von Generatoren T a linear unabhängig ist. Damit gilt 0 < 0 T a ijφ j 0 >=< 0 [Q a, φ i ] 0 >. (3.13) Es existiert also ein Ladungsoperator Q und ein Feld φ(x), für die < 0 [Q, φ(x)] 0 > 0. Daraus ergibt sich Q 0 > 0. Das Vakuum hat also eine Ladung 0. Es transformiert sich nichttrivial unter Symmetrietransformationen. Da es auf x nicht ankommt, wähle den Nullpunkt. Damit dq dt = 0 d [Q(t), φ(0)] = 0. (3.14) dt Und damit also < 0 [Q(t), φ(0)] 0 >= C 0. (3.15) Es ist j 0 (y) = exp( ip y)j 0 (0) exp(ip y), (3.16)

20 16 Spontane Symmetriebrechung wobei P µ der Impulsoperator ist. Sei die Translationssymmetrie spontan gebrochen, C = d 3 y < 0 exp( ip y)j 0 (0) exp(ip y) n >< n φ(0) 0 > n < 0 φ(0) n >< n exp( ip y)j 0 (0) exp(ip y) 0 > = d 3 y[< 0 j 0 (0) exp(ip n y) n >< n φ(0) 0 > n < 0 φ(0) n >< n exp( ip n y)j 0 (0) 0 >] = (π) 3 n [< 0 j 0 (0) n >< n φ(0) 0 > exp(ie n t) < 0 φ(0) n >< n j(0) 0 > exp( ie n t)]δ (3) ( P n ). (3.17) Hier wurde d 3 y exp(±i P n y) = (π) 3 δ (3) ( P n ) (3.18) verwendet. Da exp( ie n t) = exp( im n t) (3.19) kann der Beitrag zu C = const. nur von M n = 0 kommen. Der Vakuumzustand n >= 0 > trägt nicht bei, da sich beide Terme wegheben. Das heisst Es gibt einen Zustand n > 0 > mit M n = 0 und < n φ(0) 0 > 0 < n j 0 (0) 0 > (3.0). Der Beweis verlangt Manifeste Lorentz-Kovarianz Vollständigkeit der physikalischen Zustände. Diese Bedingung kann von Eichtheorien nicht erfüllt werden. Um beispielsweise die Elektrodynamik zu quantisieren, muß zwischen dem Lorentz-kovarianten Gupta-Bleuler Formalismus mit unphysikalischen indefiniten metrischen Zuständen oder der Quantisierung in einer physikalischen Eichung, wo manifeste Lorentz-Kovarianz verloren geht, gewählt werden. Für Eichtheorien gilt das Goldstone Theorem nicht: Masselose skalare Freiheitsgrade werden von den Eichbosonen absorbiert, um ihnen Masse zu geben. Das Goldstone Phänomen führt zum Higgs Phänomen. 3.4 Chirale Symmetriebrechung in der QCD Die Masse der Pionen ist sehr klein, 0 m π 10 1 m P. Es stellt sich die Frage, warum. Da Pionen nur u und d-quarks enthalten, betrachten wir nur diese beiden Quark-Flavours. Für die Masse der u, d-quarks haben wir m u,d O(5 MeV) Λ QCD. Betrachten wir nun die Lagrangedichte für verschwindende u und d-quarkmassen, L = ūid/u + did/d. (3.1)

21 Spontane Symmetriebrechung 17 Mit ψ = (u, d) T können wir die Lagrangedichte ich einen links- und rechtshändigen Anteil aufspalten, Also ψ L = 1 (1 γ 5)ψ und ψ R = 1 (1 + γ 5)ψ. (3.) L = s=l,r ū s id/u s + dd/id s. (3.3) Sie ist invariant unter einer SU()-Symmetrie ( ) ( ul exp iθ d L σ ) ( ) ( ) ul ur L d L d R ( exp iθ R σ ) ( ur d R ). (3.4) Die Lagrangedichte ist separat symmetrisch für die links- und rechtschiralen Terme. Sie ist also symmetrisch unter einer SU() L SU() R. Es gibt die erhaltenen Ströme (ū, d)γ µ σ ( ) 1 u (1 + γ 5) und (ū, d d)γ µ σ ( ) 1 u (1 γ 5) (3.5) d Addition und Subtraktion der Ströme führt auf Vektor- (V µ ) und Axialvektorstrom (A µ ) ( ) ( ) Vµ i σ i u = (ū, d)γ µ und A i σ i u µ = (ū, d)γ d µ γ 5 i = 1,, 3. (3.6) d Damit verbunden sind 6 erhaltene Ladungen. Die Felder selbst können keinen von null verschiedenen VEV haben. (Farbneutralität des QCD-Vakuums). Allerdings kann das Kondensat aus Quark und Antiquark einen nichtverschwindenden VEV besitzen, < 0 ū(x)u(x) 0 >=< 0 d(x)d(x) 0 > 0. (3.7) Dieser erhält zwar die SU()-Symmetrie, bricht aber die axiale Symmetrie spontan. Diese SSB führt auf drei masselose Goldstonebosonen, die Pionen π +, π und π 0. Es handelt sich um pseudoskalare ( spontane Brechung der axialen Symetrie) Mesonen. Dabei π + = 1 (π 1 + iπ ) und π = 1 (π 1 iπ ). (3.8) Ferner (i, j = 1,, 3) < 0 A i µ (y) πj (k) > 0 = < 0 exp(ip y)a i µ (0) exp( ip y) πj (k) > = < 0 A i µ (0) exp( ik y) πj (k) > = exp( ik y) < 0 A i µ(0) π j (k) > = if π δ ij exp( iky)k µ. (3.9) Dies ist die Grundlage, um die Lebensdauer für Pionen auszurechnen. Dabei ist f π Zerfallskonstante des Pions. Die Dimension von SU() L SU() R ist d i = 6. Diese wurde heruntergebrochen auf die SU() mit Dimension d f = 3. Die Anzahl der Goldstone Bosonen entspricht der Anzahl der spontan gebrochenen Generatoren d i d f = 3. Wir haben also drei masselose Pionen. In Wirklichkeit sind die u- und d-quarks nicht masselos. Die chirale Symmetrie ist also nicht nur spontan, sondern auch explizit gebrochen. Da die betroffenen Quarkmassen jedoch sehr klein sind, ist auch die Masse der Pionen recht klein. die

22 18 Spontane Symmetriebrechung 3.5 Spontane Brechung einer O(N) Symmetrie Wir betrachten die Lagrangedichte für N reelle skalare Felder L = ( ) ( 1 ( µφ)( µ φ) V φ i mit V i=1...n i=1...n i=1...n φ i ) = V ( φ φ). (3.30) Die Lagrangedichte ist symmetrisch bezüglich einer O(N) Transformation φ i O ij φ j (i, j = 1...N). Bei O handelt es sich um orthogonale N N Matrizen. Das Minimum von V sei bei φ = v 0, z.b. V = λ(φ v ). Wir entwickeln φ um das Minimum. O.B.d.A., 0 φ = 0. 0 v Und + ϕ 1 ϕ. ϕ N 1 ϕ N φ = v + vϕ N + i=1...n = ϕ 1 ϕ. ϕ N 1 v + ϕ N (3.31) ϕ i. (3.3) Die Richtung N bzw. ϕ N ist damit ausgezeichnet. Die restlichen N 1 Felder sind nach wie vor invariant unter einer N 1-dimensionalen Rotation. Für das Potential erhalten wir ( V = λ vϕ N + ) ( ) = 4λv ϕ N + 4λvϕ N ϕ i + λ ϕ i. (3.33) i=1...n ϕ i i=1...n i=1...n Die in den Feldern kubischen und quartischen Terme beschreiben die Wechselwirkungen. Der in ϕ N quadratische Term ist der mit ϕ N assoziierte Massenterm. Die Masse zum Quadrat ist m ϕ N = 8λv. (3.34) Es handelt sich hier um ein massives Higgs Boson, welches einen nichtverschwindenden VEV v besitzt. Die übrigen N 1 Felder sind masselos, m i = 0 für i = 1...N 1. Es handelt sich um die Goldstone Bosonen. Die ursprüngliche Symmetrie O(N) mit N(N 1)/ Generatoren wurde heruntergebrochen auf die Symmetrie O(N 1) mit (N 1)(N )/ Generatoren. Die Anzahl der Goldstone Bosonen d G entspricht der Anzahl der gebrochenen Generatoren, also 1 [N(N 1) (N 1)(N )] = N 1. (3.35) Wir haben also N 1 Goldstone Bosonen. 3.6 Spontan gebrochene Eichsymmetrien Wir betrachten als Beispiel die Lagrangedichte eines komplexen skalaren Feldes Φ, welches an ein Photonfeld A µ koppelt, die invariant ist unter U(1). Die lokalen Transvormationen sind gegeben durch Φ exp( ieλ(x))φ(x) und A µ A µ + µ Λ. (3.36)

23 Spontane Symmetriebrechung 19 Die Lagrangedichte lautet L = [( µ iea µ )Φ ][( µ + iea µ )Φ] µ Φ Φ λ(φ Φ) 1 }{{} 4 F µνf µν. (3.37) V (Φ) (Bemerkung: Um die Lagrangedichte zu quantisieren muß noch ein Eichfixierungsterm eingeführt werden.) Für µ < 0 kommt es zu spontaner Symmetriebrechung der U(1). Dann hat das Feld einen nichtverschwindenden VEV, µ < 0 Φ 0 >= v = λ. (3.38) Die Fluktuationen um das Minimum (Entwicklung um das Minimum) sind gegeben durch Φ = v + 1 ( (ϕ 1 + iϕ ) = v + H(x) ) ( ) ( i χ(x) exp v + 1 ) (H(x) + iχ(x)) (3.39). v Damit D µ Φ = ( µ + iea µ )Φ(x) = 1 ( µ ϕ 1 + i µ ϕ ) + iea µ v + ( ) χ = exp i [ µ + ie v e A µ ( ϕ + iϕ 1 ) ( A µ + )] ( µχ v + H ) ev. (3.40) Um bilineare Mischterme in den Feldern zu vermeiden, führen wir folgende Eichtransformation durch, ( ) χ A µ = A µ + µ. (3.41) ev Damit ergibt sich für die kinetische Energie (nenne A ab jetzt A) (D µ Φ) (D µ Φ) = 1 ( µh)( µ H) + e A µ A (v µ + H ) = 1 ( µh)( µ H) + (e v ) A }{{} µ A µ 1 m A ( ) vh + e A µ A µ H +. (3.4) }{{} Wechselwirkungsterme Und die gesamte Lagrangedichte lautet L = = 1 ( µh)( µ H) + 1 ( ) vh m AA µ A µ + e A µ A µ H F µνf µν λv H vλh 3 λ 4 H4. (3.43) }{{} 1 m H Hierbei wurde der konstante Term λv 4, welcher lediglich den Nullpunkt des Vakuums verschiebt, weggelassen. Die Massen des Higgsteilchens H und des Photons ergeben sich zu m A = e v m H = 4λv. (3.44) (3.45)

24 0 Spontane Symmetriebrechung Es tritt also ein massives Photon (Eichboson) und ein massives skalares Feld, das Higgsteilchen, auf. Das Goldstone Boson tritt als Freiheitsgrad nicht in Erscheinung. Die Anzahl der Freiheitsgrade ist aber erhalten geblieben. Denn bei ungebrochener U(1)-Symmetrie ist das Photon masselos und besitzt physikalische Freiheitsgrade, die zwei transversalen Polarisationen. Die unphysikalische skalare und longitudinale Polarisation tragen im Gupta-Bleuler- Formalismus nicht bei. Das komplexe skalare Feld (entspricht einem geladenen Teilchen) Φ besitzt Freiheitsgrade. Bei gebrochener U(1)-Symmetrie haben wir ein massives Photon mit 3 Freiheitsgraden (mit longitudinaler Polarisation) und ein massives reelles Higgs Boson mit einem Freiheitsgrad. Das Goldstone Boson wurde aufgegessen, um dem Photon Masse zu geben, um den longitudinalen Freiheitsgrad des massiven Eichteilchens zu liefern. Nochmal: In Eichtheorien treten die Goldstone Bosonen nicht in Erscheinung. Sie sind Möchtegern (im Englischen would-be) Goldstone Bosonen. Bei SSB werden sie direkt in die longitudinalen Freiheitsgrade der massiven Eichbosonen absorbiert. Es gilt bei Eichtheorien: Seien N = Dimension der Algebra der Symmetriegruppe der vollständigen Lagrangedichte. M = Dimension der Algebra der Gruppe, unter welcher das Vakuum nach der spontanen Symmetriebrechung invariant ist. n = Die Anzahl der skalaren Felder Es gibt M masselose Vektorfelder. (M ist die Dimension der Symmetrie des Vakuums.) Es gibt N M massive Vektorfelder. (N M ist die Anzahl der gebrochenen Generatoren.) Es gibt n (N M) skalare Higgsfelder. 3.7 Addendum: Goldstone Theorem - klassische Feldtheorie Proof of the Goldstone theorem in classical field theory: The Lagrangian L = 1 ( ϕ) V (ϕ) (3.46) is invariant under the rotation ϕ e iαara ϕ a = 1,..., N, (3.47) which can infinitesimally be written as ϕ ϕ iαrϕ (3.48) From the invariance it follows that δv = V δϕ = iα V Rϕ = 0 α, ϕ (3.49) ϕ ϕ so that V V Rϕ + ϕ ϕ ϕ R = 0 (3.50)

25 Spontane Symmetriebrechung 1 After spontaneous symmetry breaking we have the ground state V ϕ = 0 for ϕ = v 0 (3.51) from which follows the Goldstone equation: and V ϕ ϕ M V ϕ ϕ is the mass matrix of the system. Expanding ϕ about the ground state = 0 for ϕ = v (3.5) (3.53) ϕ = v + ϕ (3.54) we have 0 L = 1 {}}{ V ( ϕ) [V (v) + ϕ ϕ + 1 V ϕ ϕ ϕ ϕ +...] = 1 ( ϕ ) 1 V ϕ ϕ ϕ ϕ +... (3.55) The Goldstone equation is thus the condition equation for the masses M Rv = 0 (3.56) The equation is fulfilled if the generators R a, a = 1,,..., M leave the vacuum invariant: R a v = 0. The remaining generators R a, a = M + 1,..., N form a set of linearly independent vectors R a v. These are eigen-vectors of the zero-eigenvalues of the mass matrix M. The zero-eigenvalue is hence N M times degenerated. Q.e.d.

26 Spontane Symmetriebrechung

27 Kapitel 4 Das Standardmodell der Teilchenphysik Das Standardmodell (SM) der Teilchenphysik beschreibt die uns heute bekannten grundlegenden Bausteine der Materie und (bis auf die Gravitation) ihre Wechselwirkungen untereinander. Diese umfassen die elektromagnetische und die schwache (zusammenfassend die elektroschwache) und die starke Wechselwirkung. Zunächst soll ein kurzer historischer Abriss der Schritte gegeben werden bis zur Entwicklung der elektroschwachen Theorie von Sheldon Glashow, Abdus Salam und Steven Weinberg (1967). 4.1 Eine kurze Vorgeschichte des Standardmodells der Teilchenphysik - Schwache Wechselwirkung: β Zerfall [A. Becquerel 1896, Nobelpreis ] Antoine Henri Becquerel ( ) war ein französischer Physiker, Nobelpreisträger und einer der Entdecker der Radioaktivität entdeckte Becquerel eher zufällig Radioaktivität, als er die Phosphoreszenz von Uran Salzen untersuchte. In 1903 teilte er sich den Nobelpreis mit Marie and Pierre Curie in recognition of the extraordinary services he has rendered by his discovery of spontaneous radioactivity. N N + e verletzt Energie- und Drehimpulserhaltung Lise Meitner and Otto Hahn zeigten 1911, daß die Energie der emittierten Elektronen kontinuierlich ist. Da aber die freiwerdende Energie konstant ist, hatte man ein diskretes Spektrum erwartet. Um diesen offensichtlichen Energieverlust (und auch die Verletzung der Drehimpluserhaltung) zu erklären, schlug Wolfgang Pauli 1930 die Teilnahme eines neutralen extrem leichten Teilchens vor, das er Neutron nannte. Enrico Fermi änderte diesen Namen 1931 in Neutrino, die verkleinerte Form des nahezu zeitgleich entdeckten Neutrons. Lise Meitner ( ) war eine österreichische Physikerin, die Radioaktivität und Kernphysik untersuchte. Otto Hahn ( ) war ein 1 geteilt mt Marie und Pierre Curie 3

28 4 Das Standardmodell der Teilchenphysik deutscher Chemiker und erhielt 1944 den Nobelpreis in Chemie. Wolfgang Ernst Pauli ( ) war ein österreichischer Physiker. - Die Neutrino Hypothese: [W. Pauli 1930, Nobelpreis 1945] N P + e + ν e Spin = 1/, Masse 0 Der erste experimentelle Nachweis des Neutrinos gelang Clyde Cowan und Frederick Reines 1956 in einem der ersten großen Kernreaktoren. Clyde Lorrain Cowan Jr ( ) war der Mitentdecker des Neutrinos, zusammen mit Frederick Reines. Frederick Reines ( ) war ein amerikanischer Physiker und erhielt 1995 den Nobelpreis für Physik in beider Namen. - Die Fermi-Theorie: [E. Fermi, Nobelpreis 1938] Enrico Fermi entwickelte eine Theorie der schwachen Wechselwirkungen analog zur Quantenelektrodynamik (QED), in der vier Fermionen direkt miteinander wechselwirken: L eff = G F J µ J µ [Für kleine Impulsüberträge können die Reaktionen durch eine punktartige Wechselwirkung genähert werden.] Enrico Fermi ( ) war ein italienscher Physiker. Er bekam 1938 den Nobelpreis für Physik für seine Arbeit über induced radioactivity. Bei der Fermi-Wechselwirkung wechselwirken 4 Fermionen direkt miteinander. Diese Wechselwirkung kann beispielsweise ein Neutron (oder ein down-quark) in ein Elektron, ein Antineutrino und ein Proton (oder up-quark) splitten. Baumgraphen Feynmandiagramme beschreiben die Wechselwirkung bemerkenswert gut. Allerdings können keine Schleifendiagramme berechnet werden, da die Fermi-Wechselwirkung nicht renormierbar ist. Die Lösung besteht darin, die 4-Fermion-Kontaktwechselwirkung durch eine vollständigere Theorie zu ersetzen - mit einem Austausch eines W oder eines Z Bosons wie in der elektroschwachen (EW) Theorie. Diese ist renormierbar. Bevor die EW Theorie konstruiert wurde konnten George Sudarshan und Robert Marshak, und unabhängig auch Richard Feynman und Murray Gell-Mann die korrekte Tensorstruktur (Vektor- minus Axialvektor V A) der 4-FermionWechselwirkung bestimmen. - Die Yukawa Hypothese: [H. Yukawa, Nobelpreis 1949 für his prediction of mesons based on the theory of nuclear forces ] Die punktartige Fermikopplung ist der Grenzfall des Austausches eines schweren Photons W boson. G F punktartige Kopplung g m W +Q g m W mit Austausch eines W Bosons Hideki Yukawa ( ) war ein japanischer theoretischer Physiker und der erste Japaner, der den Nobelpreis gewann. Hideki Yukawa establierte die Hypothese, daß Kernkräfte durch den Austausch neuer hypothetischer Teilchen zwischen den Nukleonen erklärt werden können, in der gleichen Art und Weise, in der die elektromagnetische Kraft zwischen Elektronen durch den

29 Das Standardmodell der Teilchenphysik 5 Austausch von Photonen beschrieben werden kann. Dieses Teilchen, das die Kernkraft übermittelt, sollte aber im Gegensatz zu den Photonen nicht masselos sein, sondern eine Masse von 100 MeV haben. Dieser Wert kann aus der Reichweite der Kernkräfte abgeschätzt werden. Je größer die Masse des Teilchens, desto kleiner ist die Reichweite der Wechselwirkung, die von dem Teilchen vermittelt wird. - Paritätsverletzung in der schwachen Wechselwirkung [T.D. Lee, C.N. Yang, Nobelpreis 1957, und C.-S. Wu] Das τ θ Rätsel: Ursprünglich waren zwei verschiedene positive geladene Mesonen mit strangeness (S 0) bekannt. Diese konnten aufgrund ihrer Zerfallsprozesse unterschieden werden: Θ + π + π 0 P π = +1 τ + π + π + π P 3π = 1 Die Endzustände dieser beiden Zerfälle haben unterschiedliche Parität. Da zu dieser Zeit angenommen wurde, daß die Parität in allen Reaktionen erhalten ist, hätten τ und θ zwei verschiedene Teilchen sein müssen. Präzisionsmessungen ihrer Masse und Lebensdauer wiesen jedoch keinen Unterschied zwischen den beiden Teilchen auf. Die Lösung dieses θ τ Rätsels war, die Paritätsverletzung der schwachen Wechselwirkung. Da beide Mesonen über die schwache Wechselwirkung zerfallen, erhält diese Reaktion nicht die Parität im Gegensatz zur ursprünglichen Annahme. Damit konnten beide Zerfälle vom selben Teilchen kommen, welches dann K + genannt wurde. Θ + = τ + = K + P verletzt. (π hat negative Parität.) Tsung-Dao Lee (geboren ) ist ein chinesisch-amerikanischer Physiker erhielt Lee mit C. N. Yang den Nobelpreis für Physik für ihre Arbeiten über Paritätsverletzung in der schwachen Wechselwirkung, die Chien-Shiung Wu experimentell nachwies. Lee and Yang waren die ersten chinesischen Nobelpreisgewinner. Chien- Shiung Wu (* 31. Mai 191 in Liuho, Province Jiangsu, China ; Februar 1997 in New York, USA) war eine chinesisch-amerikanische Physikerin. V A Theorie: Die Parität ist maximal verletzt. Dies bedeutet, daß die Axialkopplung die gleiche Stärke hat wie die Vektorkopplung c V = c A. Tatsächlich ist c V = c A. Deshalb nennt man die Theorie V A Theorie. - Nachweis des Neutrinos: N P + e + ν e ν e + P N + e + Das Neutrino konnte 1956 experimentell von Clyde L. Cowan und Frederick Reines im inversen β-zerfall ( ν e + P e + + N) in einem Kernreaktor nachgewiesen werden. (Nobelpreis 1995 nur an Reines, da Cowan 1974 gestorben war.) Das muon Neutrino wurde 196 von Jack Steinberger, Melvin Schwartz und Leon Max Lederman entdeckt. Alle drei Physiker erhielten 1988 den Nobelpreis für ihre grundlegenden Experimente über Neutrinos. Das tau-neutrino wurde 000 im DONUT-Experiment entdeckt. - CP-Verletzung [Cronin, Fitch, Nobelpreis1980] K 0 L 3π CP = K 0 S π CP = +

30 6 Das Standardmodell der Teilchenphysik Details: Nach der Entdeckung der Paritätsverletzung wurde weitgehend angenommen, daß CP erhalten ist. Bei CP Symmetrie wären die physikalischen Kaon-Zustände durch CP Eigenzustände gegeben. Die starken Eigenzustände K 0, K0 sind jedoch keine CP Eigenzustände, da die beiden Teilchen ihr jeweiliges Antiteilchen sind. CP Eigenzustände sind also Linearkombinationen dieser beiden Zustände. K 0 1 >= 1 ( K 0 > K 0 > with CP K 0 1 >= K 0 1 > (4.1) K 0 >= 1 ( K 0 > + K 0 > with CP K 0 >= K0 > (4.) Nimmt man CP Symmetrie an, so können diese Zustände nur unter CP Erhaltung zerfallen. Für die neutralen Kaonen führt dies auf zwei verschiedene Zerfallskanäle für K 1 und K, mit sehr unterschiedlichen Phasenräumen und also sehr unterschiedlichen Lebensdauern: K 0 K 0 1 π (schnell, da großer Phasenraum) (4.3) 3π (langsam, da kleiner Phasenraum) (4.4) Es wurden tatsächlich zwei verschiedene Arten neutraler Kaonen gefunden, die sehr verschiedene Lebensdauern haben. Diese heißen KL 0 (long-lived, durchschnittliche Lebensdauer (5.16±0.04) 10 8 s) und KS 0 (short-lived, durchschnittliche Lebensdauer (8.953±0.006) s). Die durchschnittliche Lebensdauer des long-lived Kaon ist etwa einen Faktor 600 größer als die des short-lived Kaon. CP Verletzung: Augrund der angenommenen CP war es natürlich, K1, 0 K 0 mit KS 0, K0 L zu identifizieren. Damit würde KL 0 immer in drei und nie in zwei Pionen zerfallen. Aber James Cronin and Val Fitch fanden 1964 heraus, daß das KL 0 mit einer kleinen Wahrscheinlichkeit (etwa 10 3 ) auch in zwei Pionen zerfällt. Die physikalischen Zustände sind also keine reinen CP Eigenzustände, sondern erhalten jeweils eine kleine Menge ɛ von dem anderen CP Eigenzustand. Man hat (ohne Normierung): K 0 S >= ( K0 1 > +ɛ K0 K 0 L >= ( K0 > +ɛ K0 1 >) (4.5) >) (4.6) Dieses Phänomen wurde sorgfältig in den Experimenten überprüft und CP Verletzung durch Mischung genannt, da es durch die Mischung der CP Eigenzustände zu den physikalischen Zuständen gegeben ist. Cronin and Fitch erhielten 1980 den Nobelpreis für die Entdeckung. Da auf diese CP Verletzung nur indirekt durch die Beobachtung der Zerfälle geschlossen werden kann, nennt man diese auch indirekte CP Verletzung. Auch die direkte CP Verletzung, also eine Verletzung direkt in dem beobachteten Zerfall, ist auch beobachtet worden. Die direkte CP Verletzung ist für Kaonen einen weiteren Faktor 000 kleiner als die indirekte und wurde experimentell erst 3 Jahrzehnte später nachgewiesen. Val Logsdon Fitch (* in Merriman, Nebraska), amerikanischer Physiker. Fitch erhielt 1980 zusammen mit James Cronin den Physik Nobelpreis. James Watson Cronin (* in Chicago), US-amerikanischer Physiker. - Glashow-Salam-Weinberg Theorie (GSW): [S.L. Glashow, A. Salam, S. Weinberg, Nobelpreis 1979]

31 Das Standardmodell der Teilchenphysik 7 Sheldon Lee Glashow (* in New York) ist ein US-amerikanischer Physiker und Nobelpreisgewinner. Er erhielt 1979 zusammen mit Abdus Salam und Steven Weinberg den Physik Nobelpreis für ihre Arbeit an der theory of the unification of the weak and electromagnetic interaction between elementary particles, die unter anderem das Z Boson und die neutralen schwachen Ströme vorhersagt. Abdus Salam (* in Jhang, Pakistan; - 1. November 1996 in Oxford, England) war ein pakistanischer Physiker und Nobelpreisgewinner. Steven Weinberg (* in New York City) ist ein US-amerikanischer Physiker und Nobelpreisgewinner. Die elektroschwache Wechselwirkung ist die vereinigte Theorie der Quantenelektrodynamik und der schwachen Wechselwirkung. Zusammen mit der Quantenchromodynamik bildet sie die Säulen des Standardmodells der Physik. Die Vereinigung wurde ursprünglich theoretisch von S.L. Glashow, A. Salam and S. Weinberg 1967 beschrieben. Experimentell wurde die Theorie 1973 indirekt durch die Entdeckung der neutralen Ströme bestätigt und 1983 durch den experimentellen Nachweis der W und Z Bosonen. Eine Besonderheit der elektroschwachen Wechselwirkung ist die Paritätsverletzung. 4. Unitarität: der Pfad zu Eichtheorien Die Fermi-Theorie beschreibt die µ, β Zerfälle, geladene Strom (charged current CC) Reaktionen by kleinen Energien. L eff = G F jλ jλ j λ = ēγ λ (1 γ 5 )ν e + (µ) + (q) G F = /GeV CC Streuung bei hohen Energien: σ LL (ν µ e µ ν e ) = G F s π s-wellen Unitarität σ LL < 4π s Gültigkeitsbereich/Unitaritätsbeschränkung: s < < 600 GeV 4 Schritte sind nötig, um aus der Fermi-Theorie eine konsistente Feldtheorie zu konstruieren, welche die 4-Punktkopplung dämpft. Man nimmt an, daß die schwache Wechselwirkung wie die QED durch Vektorboson-Austausch vermittelt wird. Das intermediäre schwache Boson muß die folgenden 3 Eigenschaften haben: (i) Es trägt Ladung ±1, da die Manifestationen der schwachen Wechselwirkung (wie z.b. β-zerfall) Ladungs-ändernd sind. (ii) Es muß recht massiv sein, um die kurze Reichweite der schwachen Kraft zu reproduzieren. (iii) Seine Parität muß indefinit sein.

32 8 Das Standardmodell der Teilchenphysik 1.) Einführung der geladenen W ± Bosonen [Yukawa]: Wechselwirkungsreichweite m 1 W E : σ G F m W π Partialwellenunitarität ist erfüllt; G F = g W /m W..) Einführung eines neutralen Vektorbosons W 3 [Glashow]: Die Einführung des intermediären geladenen Bosons schwächt die Divergenz der s-wellen Amplitude des obigen Prozesses. Sie ruft jedoch eine neue Divergenz in anderen Prozessen hervor: Produktion von longitudinal polarisierten W s in ν ν Kollisionen. ɛ L λ = ( k λ E m W, 0, 0, m W ) k λ m W im Limes hoher Energien σ(ν ν W L W L ) g4 W s ( s m W ) 4 g4 W s m 4 W verletzt die Unitarität für s > 1 TeV. Lösung: Einführung eines neutralen W 3, das an Fermionen und W ± koppelt: Bedingung für das Verschwinden der linearen s Singularität: I a ik Ib kj Ib ik Ia kj if abci c ij = 0 [I a, I b ] = if abc I c Die Fermion-Boson Kopplungen bilden eine Lie-Algebra [assoziiert mit einer nicht-abelschen Gruppe]. Fermion-Boson Kopplung g W Darstellungsmatrix Boson-Boson Kopplung g W Strukturkonstanten 3.) 4-Punkt-Kopplung: W L W L W L W L } g W universell.

33 Das Standardmodell der Teilchenphysik 9 Amplitude g W f s m 4 W 4.) Higgsteilchen: [Weinberg, Salam] +... kompensiert durch: gw f s : m 4 W 4-Boson Vertex: gw f f Die verbleibende lineare s Divergenz wird durch den Austausch eines skalaren Teilchens mit Kopplung Masse der Quelle kanzelliert. ( s ) 4 Amplitude (g W m W ) 1 s m W g s W m W Der gleiche Mechanismus kanzelliert die verbleibende Singularität in f f W L W L (f massiv!) Nach Summationn der Eichdiagramme verbleibt gw skalares Diagramm ( ) ( s ) m s g f 1 W (g m W s W m W ) m W g W Zusammenfassung: m f s m W smf Eine Theorie massiver Eichbosonen und Fermionen, die bis zu sehr hohen Energien schwach koppeln, verlangt, aus Unitaritätsgründen, die Existenz eines Higgsteilchens. Das Higgsteilchen ist ein skalares 0 + Teilchen, das an andere Teilchen proportional zu der Masse der Teilchen koppelt. m W Nicht-abelsche Eichtheorien mit spontaner Symmetriebrechung. 4.3 Eichsymmetrie und Teilcheninhalt Die dem SM zugrundeliegende Eichsymmetrie ist die SU(3) C SU() L U(1) Y. Die SU(3) C beschreibt die QCD, und die SU() L U(1) Y den elektroschwachen Sektor. Die mit der QCD verbundene erhaltene Ladung ist die Farbladung. Die mit dem elektroschwachen Sektor verbundenen Ladungen sind der schwache Isospin und die schwache Hyperladung. Die entsprechenden Eichbosonen sind in der QCD die 8 Gluonen und im elektroschwachen Sektor die W +, W, Z Bosonen und das Photon γ. Die Massen der Teilchhen werden durch Spontane

34 30 Das Standardmodell der Teilchenphysik Symmetrie Brechung generiert. Dazu wird ein komplexes Higgsdublett (d D = 4 Freihheitsgrade) mit Higgspotential V hinzugefügt. Die SSB bricht die SU() L U(1) Y (d EW = 4) herunter auf die elektromagnetische U(1) em (d em = 1). Die elektromagnetische Ladung ist also nach wie vor erhalten. Mit der SSB sind d EW d em = 4 1 = 3 would-be Goldstone Bosonen verbunden, die aborbiert werden, um den W und Z Bosonen Masse zu geben. Das Photon bleibt masselos. Ferner verbleibt nach SSB d D (d EW d em ) = 4 (4 1) = 4 3 = 1 Higgsteilchen im Spektrum. Die Materiefelder sind durch 6 Quarks und 6 Leptonen gegeben. Es gibt 6 verschiedene Quark-Flavours: up (u), down (d), charm (c), strange (s), top (t) und bottom (b). Diese sind in 3 Familien (Generationen) angeordnet, u, d sowie c, s und t, b. Die Leptonen sind gegeben durch das Elektron (e), das Myon (µ), das Tauon (τ) und die assoziierten Neutrinos ν e, ν µ, ν τ. Je ein Lepton und sein zugehöriges Neutrino bilden eine der drei Leptonfamilien. Die 3 Lepton- und 3 Quarkfamilien haben jeweils identische Quantenzahlen und werden durch ihre Massen unterschieden. Bei der Betrachtung der Eichwechselwirkung ist es deshalb ausreichend, nur eine Familie zu betrachten. Noch eine Bemerkung: Inzwischen wissen wir, daß die Neutrinos Masse haben. Bei der Formulierung des SM hier werden wir aber ihre Masse vernachlässigen und als masselos annehmen. Für die Behandlung massiver Neutrinos wird auf die entsprechende Literatur verwiesen. 4.4 Glashow-Salam-Weinberg theory für Leptonen Ohne Beschränkung der Allgemeinheit betrachten wir die erste Leptongeneration, d.h. e, ν e. Wir haben die elektromagnetische Wechselwirkung: L int = e 0 jµ elm A µ mit (4.7) jµ elm = ēγ µ e, (4.8) wobei e 0 die Elementarladung bezeichnet, mit α = e 0/4π. Und wir haben die schwache Wechselwirkung: L W = 4G F j µ jµ+ (4.9) in der Fermiform für geladene Ströme, mit j µ + 1 γ 5 = ν e γ µ e = ν el γ µ e L (left-chiral) (4.10) jµ = (j µ + ) (4.11) G F bezeichnet die Fermi-Kopplungskonstante, G F = 10 5 /m P. Die nächsten Schritte sind

35 Das Standardmodell der Teilchenphysik 31 Auflösen der 4-Fermionkopplung durch Austausch eines sehr schweren Vektorbosons. Abgesehen von der Vektorbosonmasse ist die Struktur der Theorie der schwachen Wechselwirkung ähnlich zu der der Elektrodynamik. Formulierung der Theorie als Eichfeldtheorie mit spontaner Symmetriebrechung, um Renormierbarkeit zu gewährleisten. Analyse der physikalischen Konsequenzen aus der Symmetrie und ihrer Brechung. Die freie Lagrangedichte für Elektronen und linkshändige Neutrinos ist durch folgenden Ausdruck gegeben, der berücksichtigt, daß die Teilchen bei chiraler Invarianz masselos sind, L 0 = ēi /e + ν el i /ν el = ē L i /e L + ē R i /e R + ν el i /ν el, (4.1) wobei f R,L = 1 (1 ± γ 5)f (4.13) Die freie Lagrangedichte L 0 ist SU() L symmetrisch. Die damit verbundene erhaltene Ladung ist der schwache Isospin: ( νe e ) L : Isodublett mit I(ν el ) = I(e L ) = 1 e R : Isosingulett mit I(e R ) = I 3 (e R ) = 0 Die Lagrangedichte L 0 = ( νe e ) i / L ( νe e ) L ist invariant unter der globalen Isospin Transformation ( ) ( ) νe e i g α τ νe e e L e R e R and I 3 (ν el ) = + 1 I 3 (e L ) = 1 (4.14) + ē R i /e R (4.15) L (4.16) Die Theorie wird lokal SU() L invariant durch die Einführung eines Isovektors W µ von Vektorfeldern mit minimaler Kopplung: Dublett : i / i / g τ W/ Singulett : i / i / } aus: i / i / g I W/ (4.17) Das Goldhaber Experiment (1957) hat gezeigt, daß Neutrinos in der Natur nur linkshändig vorkommen. Es ist damit eine Bestätigung der V A Theorie welche die Paritätsverletzng der schwachen Wechselwirkung vorhersagt.

36 3 Das Standardmodell der Teilchenphysik Die sich ergebende Wechselwirkungslagrangedichte für die Lepton-W -Kopplung lautet: wo L int = g ( νe e ) γ µ τ L ( νe e ) L W µ = g ν eγ µ (1 γ 5 )ew +µ + h.c. g 4 { ν eγ µ (1 γ 5 )ν e ēγ µ (1 γ 5 )e}w 3µ (4.18) W ± = 1 (W 1 iw ) (4.19) eingeführt wurde. Aus Glg. (4.18) sehen wir Der geladene Leptonstrom hat per Konstruktion die richtige Form. W 3 µ, das neutrale Isovektorfeld kann nicht mit dem Photonfeld A µ identifiziert werden, da der elektromagnetische Strom keine ν s enthält und außerdem einen reinen Vektorcharakter hat (also kein γ 5 ). Dies führt auf die Formulierung der Minimalen SU() L U(1) Eichtheorie: Die Lagrangedichte L 0, Eq. (4.18), hat eine zusätzliche U(1) Eichsymmetrie (nach der Kopplung von W ) und damit verbunden die schwache Hyperladung. Die Quantenzahlen sind so definiert, daß sich der richtige elektromagnetische Strom ergibt: (Um den Elektromagnetismus miteinzuschließen definiert man die schwache Hyperladung.) j elm µ = ēγ µ e = ē L γ µ e L ē R γ µ e R = 1 ( ) ( ) νe νe γ e µ τ 3 1 ( ) ( ) νe νe γ e L L e µ 1 ē e R γ µ e R L L }{{}}{{} Isovektor Strom, Isosinguletts, für die Konstruktion koppelt an Wµ 3 des Hyperladungsstroms (4.0) Die Hyperladungsquantenzahlen sind Y (ν el ) = Y (e L ) = 1 (4.1) Y (e R ) = (4.) aus der Forderung, daß die Gell-Mann Nishijima Beziehung 3 erfüllt ist: Q = I Y (4.3) Lokale Eichinvarianz wird durch die minimale Kopplung eines Vektorfeldes erreicht, i / i / g Y B/. (4.4) 3 Ursprünglich ging dies Gleichung aus empirischen Beobachtungen hervor. Sie wird jetzt als Resultat des Quarkmodells verstanden.

37 Das Standardmodell der Teilchenphysik 33 Dies führt auf die Lagrangedichte L int = g ν el γ µ e L W +µ + h.c. g { ν elγ µ ν el ē L γ µ e L }W 3µ Aus der Lagrangedichte Glg. (4.5) kann man ablesen: Die geladenen Ströme bleiben unverändert. + g { 1 ν elγ µ ν el + 1 ēlγ µ e L + ē R γ µ e R }B µ (4.5) Es kann eine Mischung zwischen W 3 und B so eingeführt werden, daß eine reine Paritäts-invariante Elektron-Photon-Wechselwirkung erzeugt wird. Es bleibt eine neutrale Stromwechselwirkung mit der orthogonalen Feldkombination übrig: A µ = cos θ W B µ + sin θ W Wµ 3 Z µ = sin θ W B µ + cos θ W Wµ 3 } } B µ = cos θ W A µ sin θ W Z µ Wµ 3 = sin θ W A µ + cos θ W Z µ (4.6) Hier bezeichnet θ W den Weinbergwinkel. Umschreiben der Lagrangedichte mithilfe von A µ und Z µ führt auf die A µ Kopplung A µ { ν el γ µ ν el { g sin θ W + g cos θ W } + ē L γ µ e L { g sin θ W + g cos θ W } + ē R γ µ e R g cos θ W } Das Neutrino ν kann durch tan θ W = g g (4.8) eliminiert werden. (Das Photon koppelt nur an geladene Teilchen!) Die korrekte e-kopplung ergibt sich durch } g cos θ W = e 0 1 = 1 g sin θ W = e 0 g + 1 (4.9) g Die Lepton-Boson-Wechselwirkung lautet also e 0 L int = g ν eγ µ (1 γ 5 )ew +µ + h.c. g { ν e γ µ (1 γ 5 )ν e ēγ µ (1 γ 5 )e + 4 sin θ W ēγ µ e}z µ (4.30) 4 cos θ W + e 0 ēγ µ ea µ Die erste Zeile beschreibt die geladenen Stromwechselwirkungen, die zweite die neutralen Stromreaktionen und die dritte Zeile die elektromagnetischen Wechselwirkungen. (4.7) Die Kopplungskonstanten der Theorie sind: [g, g ] or [e 0, sin θ W ].

38 34 Das Standardmodell der Teilchenphysik wird innerhalb des Elektromagne- Die elektromagnetische Kopplung e 0 = 4πα 1 3 tismus festgelegt. Der zweite Parameter ist nicht durch die schwachen Wechselwirkungen festgelegt, da der geladene Strom nur die Beziehung G F g festlegt. Mit der Notation j µ + 1 γ 5 = ν e γ µ e ( ) jµ 3 νe τ 3 = γ e µ L j em µ = ēγ µ e ( νe e ) L = 8m W läßt sich die Wechselwirkungslagrangedichte schreiben als wobei g = e 0 sin θ W. L int = g j µ W +µ + h.c. g {jµ 3 cos θ sin θ W jµ em }Zµ (4.3) W e 0 jµ em Aµ (4.31) Diese Lagrangedichte enthält aber noch keine Massenterme für die Fermionen und die Eichbosonen. Die Theorie muß so modifiziert werden, daß die Teilchen ihre Masse erhalten ohne in Konflikt mit der der Theorie zugrundeliegenden Eichsymmetrie geraten. 4.5 Einführung der W, Z Boson- und Fermionmassen Wiederholen wir. Mit den Strömen j µ ± = l L γ µ τ ± l L where l L = (ν e, e) L jµ 3 = l 1 L γ µ τ 3 l L µ = ēγ µ e j em kann die Wechselwirkungslagrangedichte geschrieben werden als L int = g j µ + W +µ + h.c. (4.33) (4.34) g {jµ 3 cos θ sin θ W jµ em }Zµ (4.35) W e 0 j em µ Aµ und die Kopplungen erfüllen die Relationen g = tan θ W g G F g = 8m W e 0 = g sin θ W. (4.36) (4.37)

39 Das Standardmodell der Teilchenphysik 35 Die Erzeugung der Massen für die 3 Vektorfelder, also die Absorption der 3 Goldstonebosonen, ist nicht möglich mit 3 skalaren Feldern. Die minimale Lösung ist die Einführung eines komplexen Dubletts mit 4 Freiheitsgraden, ( ) φ+ φ + = 1 φ = with (φ 1 + iφ ) φ 0 φ 0 = 1 (4.38) (φ 3 + iφ 4 ) Die Lagrangedichte des Dublettfeldes φ lautet L φ = µ φ µ φ µ φ φ λ(φ φ) (4.39) Sie ist SU() U(1) invariant. Das Feld φ transformiert sich gemäß φ e i g α τ e i g β.φ (4.40) Nach spontaner Symmetriebrechung ist der Vakuumerwartungswert des skalaren Feldes < φ >= 1 ( ) 0 v = v (4.41) v Dieser bricht die SU() L U(1) Y Symmetrie, aber ist invariant unter der U(1) em Symmetrie, welche durch den elektrischen Ladungsoperator erzeugt wird. Da jedes (would-be) Goldstoneboson mit einem Generator assoziiert ist, der das Vakuum bricht, gibt es 4 1 = 3 Goldstonebosonen. Die Quantenzahlen des Feldes φ sind I 3 (φ + ) = + 1 Y (φ + ) = +1 I 3 (φ 0 ) = 1 Y (φ 0 ) = +1 } Q(φ+ ) = 1 Q(φ 0 ) = 0 (4.4) (Das Feld Φ transformiert sich wie ein SU() L Dubett und muß daher die Hyperladung Y φ = 1 haben.) Die Eichfelder werden durch die minimale Kopplung eingeführt, i µ i µ g τ W µ g B µ. (4.43) Entwickelt man um das Minimum des Higgspotentials φ + (x) 0 φ 0 (x) 1 [v + χ(x)] χ = χ (4.44) so erhält man aus dem kinetischen Teil der Lagrangedichte des skalaren Feldes L m = [(i g ( )] τ W + i g 0 B) v W 1 g W 1 = 1 v W g W 4 W 3 g gg W 3 (4.45) B gg g B mit den Eigenwerten der Massenmatrix m 1 = m = g v 4 m 3 = (g + g )v 4 m 4 = 0 Also sind die Massen der Eichbosonen (4.46)

40 36 Das Standardmodell der Teilchenphysik Sie erfüllen die folgenden Massenbeziehungen: m γ = 0 (4.47) m W = 1 4 g v (4.48) m Z = 1 4 (g + g )v (4.49) (i) W Boson Masse: Wir haben e 0 = g sin θ W = 4 G F sin θ W m W, woraus folgt m W = πα GF 1 sin θ W (4.50) mit α α(m Z ) (effektive Strahlungskorrektur). Mit sin θ W 1/4 ist die W Boson Masse m W 80 GeV. (ii) Z Boson Masse: Mit m W = cos θ m W Z erhalten wir (4.51) sin θ W = 1 m W m Z (4.5) Schließlich erhält man mit Eq. (4.48) für den Higgs Vakuumerwartungswert 1 v = und also g 4m W = G F (4.53) v = 1 GF 46 GeV (4.54) Der Vakuumerwartungswert v ist die charakteristische Skala der elektroschwachen Symmetriebrechung. Der Higgsmechanismus für geladene Leptonmassen: Die Fermionen koppeln über die eichinvariante Yukawakopplung an das Higgsfeld φ: Die Wechselwirkungslagrangedichte lautet ( ) νe L(eeΦ) = f e φe e R + h.c. (4.55) L

41 Das Standardmodell der Teilchenphysik 37 Sie ist invariant unter SU() L U(1) Y. Nach Entwicklung des Higgsfeldes um den VEV erhält man L(eeΦ) = f e v [ē L e R + ē R e L ] +... = f e v ēe +... = m e ēe +... (4.56) Die Elektronmasse ist gegeben durch m e = f ev (4.57) 4.6 Quarks in der Glashow-Salam-Weinberg Theorie In diesem Kapitel wird der hadronische Sektor in das Standardmodell der schwachen und elektromagnetischen Wechselwirkungen implementiert. Dies wird im Kontext des Quarkmodells getan. Da Quarks und Leptonen sich ähneln, ist die Konstruktion auf Quarkniveau zwar klar, aber nicht trivial. Aus den vorigen Kapiteln wissen wir, daß die Leptonströme aus Multipletts aufgebaut sind. ( νe e ) L e R ( νµ µ ) L µ R ( ντ τ ) L τ R (4.58) Dies kann auf die Quarkströme verallgemeinert werden. Für die Quarkströme für u, d, s haben wir: 1) Der elektromagnetische Strom, nach Summation über alle möglichen Ladungen, ist gegeben durch j elm µ = Q q Q q qγ µ q = 3ūγ µu 1 3 dγ µ d 1 3 sγ µs (4.59) ) Aus Niederenergieexperimenten (Pion-, Kaonzerfällen) weiß man, daß der linkshändige schwache Strom, d.h. der Cabibbo-Strom, gegeben ist durch j µ = cos θ c ūγ µ 1 (1 γ 5)d + sin θ c ūγ µ 1 (1 γ 5)s = ūγ µ 1 (1 γ 5)[cos θ c d + sin θ c s] (4.60) mit sin θ c Wir definieren die Cabibbo-gedrehten Quarks d c = cos θ c d + sin θ c s s c = sin θ c d + cos θ c s (4.61)

42 38 Das Standardmodell der Teilchenphysik Hier, d, s sind verschiedene Richtungen im (u, d, s) Raum der Quarks, charakterisiert durch unterschiedliche Massen, d.h. sie sind in der Massenbasis. d c, s c sind Richtungen im Quarkraum, die charakterisiert sind durch die schwache Wechselwirkung; sie stellen die Strombasis dar. Der Strom j ± µ kann ausgedrückt werden in der Form j µ = Q L γ µ τ ± Q L mit den Multiplett Definitionen ( u d c ) L s cl u R d cr s cr (4.6) 3) Der entsprechende neutrale Isovektor-Strom ist dann gegeben durch j 3 µ = Dubletts Q L γ µ 1 τ 3 Q L ū L γ µ u L d cl γ µ d cl = ū L γ µ u L cos θ c dl γ µ d L sin θ c s L γ µ s L sin θ c cos θ c [ d L γ µ s L + s L γ µ d L ] (4.63) Die erste Zeile ist ein diagonaler neutraler Strom. Die zweite Zeile ist ein Strangeness ändernder neutraler Strom mit der Stärke sin θ c, wie der Strangeness ändernde geladene Strom. Dies ist im eklatanten Widerspruch zu dem experimentellen Nicht-Vorhandensein von Strangeness ändernden neutralen Stromreaktionen. Es existieren strikte experimentelle Grenzen an die Zerfallsraten, die durch Strangeness ändernde neutrale Ströme vermittelt werden, wie etwa [ ] Γ(K µ + µ ) GF sin θ c = 1 exp Γ(K µν µ ) G F sin θ c [ ] Γ(K πe + e ) GF sin θ c = 1 exp < 10 4 (4.64) Γ(K πeν e ) G F sin θ c m(k L ) m(k S ) G F sin θ c m K m(k) 10 8 exp Der Prozess K L µ + µ kann im Rahmen der QED und der bekannten Übergangsrate K L γγ verstanden werden und läßt wenig Raum für einen elementaren sd µ + µ Übergang. Ein ähnlicher Schluß kann aus der Kleinheit der Observablen gezogen werden, die einer S = Übergangsamplitude entsprechen, wie etwa die K L K S Massendifferenz. Deshalb ist es wichtig, in dem Weinberg-Salam Modell, oder allgemeiner in Modellen, die neutrale Stromreaktionen zulassen, die proportional sind zu der dritten Komponente des schwachen Isostroms, das Auftreten von Strangeness ändernden neutralen Strömen zu unterbinden. Eine elegante Lösung des Problems von flavour-ändernden neutralen Strömen wurde von Glashow, Iliopoulos und Maiani vorgeschlagen. Wir benötigen also einen natürlichen Mechanismus, d.h. hervorgerufen durch eine Symmetrie, stabil gegen Störungen, der 8 Größenordnungen unterdrückt. Dies kann erreicht werden

43 Das Standardmodell der Teilchenphysik 39 durch die Einführung eines vierten Quarks, das Charm Quark c. [Glashow, Iliopoulos, Maiani, PRD(70)1985] Die neue Multiplett-Struktur ist dann ( u d c ) L ( c s c ) L u R d cr c R s cr (4.65) (a) Der Isovektorstrom lautet nun: jµ 3 = 1 Q L γ µ τ 3 Q L = 1 [ū Lγ µ u L d L γ µ d L + c L γ µ c L s L γ µ s L ] (4.66) doublets Das Hinzufügen des Charm Quarks c diagonalisiert den neutralen Strom (GIM Mechanismus) und eliminiert ( S 0, NC) Reaktionen. (b) Der elektromagnetische Strom ist gegeben durch: j em µ = 3 [ūγ µu + cγ µ c] 1 3 [ dγ µ d + sγ µ s] (4.67) (c) Der geladene Strom lautet: jµ 1 = ūγ µ (1 γ 1 5)[cos θ c d + sin θ c s] + cγ µ (1 γ 5)[ sin θ c d + cos θ c s] (4.68) Der erste Term ist der Cabibbo Strom, der zweite der Charm-Strom mit starker (c, s) Kopplung. 4.7 Die CKM Matrix Die Fermion Yang-Mills Lagrangedichte Wenn man die Down-artigen Quarks in der Strombasis nimmt, so ist die Matrix für die schwache Wechselwirkung der Fermionen diagonal (siehe auch Glgen und 4.68). Mit den Definitionen U = E = u c t e µ τ D = N L = d s b ν el ν µl ν τl, (4.69) wo die Felder in der Strombasis bezeichnen, bekommen wir für die Yang-Mills Fermion Lagrangedichte ( ) L Y M F = (ŪL, D L)iγ µ ( µ + igwµ a τ a + UL ig Y L B µ ) D L ( ) + ( N L, ĒL)iγ µ ( µ + igwµ a τ a + NL ig Y L B µ ) E L + Ψ R iγ µ ( µ + ig Y R B µ )Ψ R Ψ R =U R,D R,E R = Ūi /U + D i /D + Ēi /E + N L i /N L + L int. (4.70)

44 40 Das Standardmodell der Teilchenphysik Die Wechselwirkungslagrangedichte lautet L int = ej µ ema µ e J µ NC sin θ W cos θ Z e µ (J µ W µ + + h.c.). (4.71) W sin θw Der elektromagnetische Strom ist gegeben durch J µ em = Q u Ūγ µ U + Q d D γ µ D + Q e Ēγ µ E, (4.7) der neutrale schwache Strom durch J µ NC = (ŪL, D L)γ µ τ ( ) 3 UL D L + ( N L, ĒL)γ µ τ 3 ( NL E L ) sin θ W J em µ = 1 ŪLγ µ U L 1 D Lγ µ D L + 1 N L γ µ N L 1 ĒLγ µ E L sin θ W J µ em (4.73) und der geladene schwache Strom durch J µ = (ŪL, D L)γ µ τ ( ) 1 + iτ UL D L + ( N L, ĒL)γ µ τ ( ) 1 + iτ NL E L = ŪLγ µ D L + N L γ µ E L. (4.74) (Letzterer ist rein linkshändig und diagonal im Generationenraum.) 4.7. Massenmatrix und CKM Matrix Vorbemerkung: Seien χ 1, χ SU() Dubletts. Dann gibt es zwei Möglichkeiten, ein SU() Singulett zu bilden: 1) χ 1χ und χ χ 1 ) χ T 1 ɛχ und χ T ɛχ 1, wobei ( ) 0 1 ɛ =. 1 0 Beweis: Führe eine SU() Transformation durch χ 1 (x) U(x)χ 1 (x) χ 1 χ 1U 1 χ (x) U(x)χ (x) χ χ U 1, (4.75) wobei U(x) = e iωa(x)τ a /. (4.76) 1) ist invariant unter dieser Transformation. ) Hier haben wir (Uχ 1 ) T ɛuχ = χ T 1 U T ɛuχ = χ T 1 ɛχ (4.77) denn mit U = e ia = (ia) n 0 n! U T = n (ia T ) n n!, A = ω a (x) τ a. (4.78)

45 Das Standardmodell der Teilchenphysik 41 Und da (τ a ) T ɛ = ɛτ a, erhalten wir U T ɛu = ɛu 1 U = ɛ, so daß ) auch invariant ist. (4.79) Die Yukawa Lagrangedichte: Wir schreiben die allgemeinste, renormierbare, SU() L U(1) Y invariante Hermitesche Fermion-Fermion-Boson Lagrangedichte auf. Mit den SU() Dubletts ( ) ( ) ( ) UL NL φ +,, Φ = (4.80) D L E L und den SU() Singuletts U R, D R, E R φ 0 (4.81) können wir SU() invariante Wechselwirkungen konstruieren, ( ) Φ ψ1l = (φ + ) ψ ψ 1L + (φ 0 ) ψ L (4.8) L und Φ T ɛ ( ψ1l ψ L ) = φ + ψ L φ 0 ψ 1L, (4.83) so daß wir für die Yukawa Lagrangedichte bei Erhaltung der Hyperladung erhalten: ( ) ( ) Φ νel e L Φ T ul ɛ ( ) d ( L ) L Y uk = (ē R, µ R, τ R )C E Φ νµl ( µ L + (ū R, c R, t R )C U Φ T cl ɛ ) s ( L ) Φ ντl Φ τ T tl ɛ L b L ( ) Φ ul d ( L ) ( d R, s R, b R)C D Φ cl s + h.c.. (4.84) ( L ) Φ tl b L Die C E, C U, C D sind beliebige komplexe Matrizen. Wir machen durch die folgenden unitären Transformationen einen Übergang in eine äquivalente Feldbasis (Felder sind keine Observablen!) N L (x) V 1 N L (x) U L (x) V U L (x) E L (x) V 1 E L (x) D L(x) V D L(x) E R (x) U 1 E R (x) U R (x) U U R (x) D R (x) U 3D R (x), (4.85) wobei U 1, U, U 3, V 1, V unitäre 3 3 Matrizen sind. Da sich Lepton und Quarkdubletts auf dieselbe Weise transformieren, ändert dies nicht die Yang-Mills-, die Higgs- und die Yang- Mills Fermion Lagrangedichte. Lediglich die C Matrizen werden verändert: C E U 1C E V 1 C U U C U V C D U 3C D V. (4.86)

46 4 Das Standardmodell der Teilchenphysik Indem man die U 1 und V 1 Matrizen geeignet wählt, kann C E diagonalisiert werden, h e U 1C E V 1 = h µ with h e, h µ, h τ 0. (4.87) h τ Genauso, U C U V = h u h c with h u, h c, h t 0. (4.88) h t Glg. (4.88) legt die Matrix V fest. Indem man U 3 geeignet wählt, erhält man U 3C D V = h d h s h b V with h u, h c, h t 0. (4.89) wobei V eine unitäre Matrix bezeichnet. Wir transformieren D R durch D R V D R und erhalten C D V h d h s h b V. (4.90) Wir entwickeln Φ um den Vakuumerwartungswert ( ) 0 Φ = v+h(x) (4.91) wobei H(x) ein reelles Feld ist, und erhalten ( d R, s R, b R)V = ( d R, s R, b R)V h d h d h s h s Nach einer Basistransformation d d s = V s b b haben wir schließlich ( d R, s R, b R ) h d h s h b h b h b V V ( Φ ul ( d L Φ cl ( s L Φ tl b L ) ) ) 1 (v + H(x))d L 1 (v + H(x))s L 1 (v + H(x))b L 1 (v + H(x)) d L s L b L. (4.9) (4.93). (4.94)

47 Das Standardmodell der Teilchenphysik 43 Die Yang-Mills und die Higgs-Lagrangedichte ändern sich nicht unter der Transformation (4.93). Aber die Yang-Mills Fermion Lagrangedichte wird with L Y M F = Ūi /U + Di /D + Ēi /E + N L i /N L ej ema µ µ e J µ NC sin θ W cos θ Z e µ (J µ W µ + + h.c.). (4.95) W sin θw J µ = ŪLγ µ D L + N L γ µ E L = ŪLγ µ V D L + N L γ µ E L. (4.96) Die unitäre 3 3 Matrix V wird CKM (Cabibbo-Kobayashi-Maskawa) Mischungsmatrix genannt. Die Matrix V ist unitär, d.h. V V = V V = 1. Schauen wir die Anzahl der freien Parameter an. Für eine n n komplexe Matrix haben wir n freie Parameter. Da die Matrix unitär ist, ist die Anzahl freier Parameter um n Bestimmungsgleichungen reduziert. Außerdem können die Phasen durch eine Redefinition der Fermionfelder absorbiert werden, so daß die Anzahl der freien Parameter um weitere (n 1) Bedingungen reduziert ist: Parameter: n n komplexe Matrix: n Unitarität: n freie Phasenwahl: n 1 (n 1) freie Parameter In der Euler Parametrisierung bekommen wir 1 Drehwinkel: n(n 1) Phasen: (n 1)(n ) 1 So finden wir für n =, 3 n Winkel Phasen So finden wir, daß in einer Familien Theorie Cabibbo: keine CP Verletzung mit L Strömen 3 Familien Theorie KM: komplexe Matrix CP Verletzung Vorhersage einer 3-Familien Struktur Als nächstes schauen wir uns an, wie wir die Matrix parametrisieren können: (i) Ästhetische Parametrisierung: mit V CKM = R sb (θ )U(δ)R sd (θ 1 )R sb (θ 3 ) (4.97) 0 θ i π/ π δ +π (4.98)

48 44 Das Standardmodell der Teilchenphysik und R sb (θ ) = cos θ sin θ 0 sin θ cos θ etc. U = (ii) Günstige Parametrisierung (Wolfenstein): V = 1 1 λ λ Aλ 3 (ρ iη) λ 1 1 λ Aλ Aλ 3 (1 ρ iη) Aλ 1 Die Bestimmung der Parameter erfolgt durch e iδ (4.99) (4.100) (a) Cabibbo theory: λ = 0.1 ± 0.00 (b) b c decays: V cb = Aλ A = 0.78 ± 0.06 (c) b u decays: V ub /V cb = 0.08 ± 0.0 (ρ + η ) 1/ = 0.36 ± 0.09 (d) t Matrixelemente durch Unitarität (e) CP Verletzung: Die Unitarität der CKM Matrix führt uns zu dem Unitaritäts-Dreieck VudV td + VusV ts + VubV tb = 0 Aλ 3 (1 ρ iη) Aλ 3 + Aλ 3 (ρ + iη) = 0 (ρ + iη) + (1 ρ iη) = 1 (4.101) Wir haben also das Unitaritäts-Dreieck mit den Ecken (0, 0), (1, 0), (ρ, η) (in der komplexen Ebene) und den Winkeln α, β, γ. Die Bestimmung erfolgt durch (i) (ii) (iii) ρ + η, Kreis um 0, aus b u/b c Zerfällen. η > 0 aus der CP Verletzung im K System. B d B d Oszillationen: (iv) 1 ρ iη = 1.03 ± 0. β aus CP Verletzung in B J/ΨK α aus CP Verletzung in B ππ γ aus CP Verletzung in B ρk

49 Das Standardmodell der Teilchenphysik Eichung In Eichtheorien haben wir das Problem, daß die eichinvariante Lagrangedichte die Eichfelder nicht eindeutig festlegt. Aufgrund der Eichsymmetrie haben viele Feldkonfigurationen dieselbe Wirkung. Dies wird gelöst, indem die die Eichung festgelegt wird. Im folgenden werden wir im Detail untersuchen, wie die Eichfixierungsbedingung in die Lagrangedichte eingebaut werden kann Feynman Pfadintegrale Die Lagrangefunktion L ist das fundamentale Objekt in der klassischen Mechanik. Davon ausgehend wird die klassische Wirkung konstruiert, S t t 1 dtl(q, q), (4.10) wobei q(t) die verallgemeinerte Koordinate und q(t) dq/dt die verallgemeinerte Geschwindigkeit ist. Die Bewegungsgleichungen folgen aus dem Hamilton-Prinzip der kleinsten Wirkung, nach der die Variation t δs = δ dtl(q, q) = 0 (4.103) t 1 unter der Nebenbedingung, daß die Variationen der verallgemeinerten Koordinaten an den Endpunkten t 1 und t verschwinden. Der physikalische Pfad ist also die spezielle Trajekorie, die q 1 q(t 1 ) und q q(t ) verbindet und entlang derer die Wirkung stationär ist. Eine wichtige Verallgemeinerung auf die Quantenmechanik als eine gewichtete Summe über die Pfade ist von Feynman entwickelt worden. Wir haben in der Quantenmechanik < t t 1 > Dq exp is (4.104) In der Quantenfeldtheorie ist die Theorie bestimmt durch das Pfadintegral W S = Dφe is (4.105) d 4 xl (4.106)

50 46 Das Standardmodell der Teilchenphysik Das Integral wird über alle φ Feldwerte an jedem Punkt x ausgeführt, { W lim Π α dφ α exp i } ɛ 4 L(φ β ) ɛ 0 β (4.107) Quantenmechanik: Ohne Beschränkung der Allgemeinheit diskutieren wir Quantenmechanik in 1 Dimension. Sei q die Raumkoordinate. Ein Zustand im Heisenberg-Bild und im Schroedinger-Bild sind verbunden durch ψ, t > S = exp ( i Ĥt ) ψ > H. (4.108) Der Raumoperator im Heisenberg-Bild ist durch den im Schroedinger-Bild gegeben durch ˆQ H (t) = e iĥt ˆQS e iĥt. (4.109) Wir definieren: q, t >= exp Damit ( ) i Ĥt q >. (4.110) ψ(q, t) =< q ψ, t > S =< q exp( i/ Ĥt) ψ > H=< q, t ψ > H. (4.111) Wir interessieren uns für den Zustand am Ort q f zur Zeit t f, ψ(q f, t f ) = < q f, t f ψ > H = dq i < q f, t f q i, t i >< q i, t i ψ > H = dq i K(q f, t f ; q i, t i )ψ(q i, t i ). (4.11) Die gesamte Information über die Dynamik des Systems steckt im Integranden K(q f, t f ; q i, t i ). Man nennt diesen Propagator. Wir betrachten nun das Übergangsmatrixelement (im folgenden ist = 1 gesetzt) S < q, t q, t > S = H < q e iĥ(t t) q > H. (4.113) Wir teilen es in (n + 1) Teilintervalle τ = (t t)/(n + 1). Wir benutzen die Vollständigkeitsrelation 1 = dq q >< q und erhalten für Glg. (4.113) (im Folgenden werden die Indizes H, S vernachlässigt): dq n...dq 1 < q, t q n, t n >< q n, t n q n 1, t n 1 >... < q 1, t 1 q, t >. (4.114)

51 Das Standardmodell der Teilchenphysik 47 Wir betrachten ein Matrixelement genauer < q j+1, t j+1 q j, t j > = < q j+1 e iĥτ q j >=< q j+1 1 iĥτ + O(τ ) q j > = δ(q j+1 q j ) iτ < q j+1 Ĥ q j > +O(τ ). (4.115) Mit dem Hamilton-Operator Ĥ = ˆP /(m) + V ( ˆQ) erhalten wir < q j+1 ˆP m q j > = = dpdp < q j+1 p >< p ˆP m p >< p q j > dpdp 1 q j+1 pq j ) p π ei(p m δ(p p ) = dp π eip(q j+1 q j ) p m.(4.116) Und < q j+1 V ( ˆQ) q j >= V (q j ) < q j+1 q j >= V (q j )δ(q j+1 q j ) = dp π eip(q j+1 q j ) V (q j ).(4.117) Damit bekommen wir für das Matrixelement dp < q j+1 Ĥ q j >= π eip(q j+1 q j ) H(p, q j ). (4.118) Und schließlich < q j+1, t j+1 q j, t j >= dpj π eip j(q j+1 q j ) e iτh(p j,q j ). (4.119) Damit haben wir für das Übergangmatrixelement (4.113) < q, t q, t >= lim Π n dp j ( ) j=0 Π n n π j=1 dq j e i P n j=0 [p j(q j+1 q j ) τh(p j,q j )]. (4.10) Mit der symbolischen Notation lim Π n a=1 dq aπ n dp b b=0 n π = Dq(t) Dp(t), (4.11) welches die Defintion des Funktionalintegrals (= Integration über Funktionen ) ist, haben wir < q, t b q, t a >= Dq(t) Dp(t) e i R t b ta dt[p q H(p,q)], (4.1) wobei q(t a ) = q und q(t b ) = q. Das quantenmechanische Übergangsmatrixelement ist durch das -dimensionale Integral über die klassischen Pfade gegeben. Falls H = p + V (q) m kann die Integration über p ausgeführt werden. Mit der Formel erhalten wir dx e ax +bx+c = e b 4a +c π a < q, t b q, t a >= lim n ( 1 π ) n+1 ( ) n+1 πm iτ Π n j=1 dq j e i P j [τ m (4.13) qj+1 q j V τ τ]. (4.14)

52 48 Das Standardmodell der Teilchenphysik Im Kontinuumlimes erhalten wir < q, t b q, t a >= N Dq e i R t b ta dt L(q, q), (4.15) wobei N ein Normierungsfaktor ist. In einer analogen Rechnung erhalten wir für < q, t ˆQ(t 0 ) q, t >= Dq Dp q(t 0 )e i R t t dτ[p q H]. (4.16) Denn < q j, t j q j q j 1, t j 1 > = < q j q j exp( iĥ(t j t j 1 )) q j 1 > = < q j ˆQ exp( iĥ(t j t j 1 )) q j 1 > = < q j exp( iĥt j) exp(iĥt j) ˆQ exp( iĥ(t j t j 1 )) q j 1 > = < q j, t j ˆQ(t j ) q j 1, t j 1 >. (4.17) Betrachen wir A =< q, t ˆQ(t 1 ) ˆQ(t ) q, t >. If t 1 > t : A = (Πdq j ) < q, t q n, t n >< q n, t n q n 1, t n 1 >... < q j1, t j1 ˆQ(t 1 ) q j1 1, t j1 1 >... < q j, t j ˆQ(t ) q j 1, t j 1 >... < q 1, t 1 q, t >. (4.18) Und wir erhalten (Rechnung wie oben) A = Dq Dp q(t 1 )q(t ) e i R t t dτ[p q H]. (4.19) } {{ } P Wenn t > t 1 then P corresponds to P =< q, t ˆQ(t ) ˆQ(t 1 ) q, t >. (4.130) Die Pfadintegralformel entspricht also dem Matrixelement des zeitgeordneten Produkts T [ ˆQ(t 1 ) ˆQ(t )]. Wir haben dann im allgemeinen < q, t T [ ˆQ(t 1 )... ˆQ(t N )] q, t >= Dq Dp q(t 1 ) q(t )...q(t N ) e i R t dτ[p t q H]. (4.131) Wir wollen nun die Vakuum-nach-Vakuum-Amplitude bei Anwesenheit einer Quelle J haben, welche die Erzeugung und Vernichtung von Teilchen beschreibt. Wir ersetzen die Lagrangedichte durch L L + J(t) q(t) ( = 1), (4.13)

53 Das Standardmodell der Teilchenphysik 49 wobei J die Quelle bezeichnet. Unser Ziel ist, < 0, t = 0, t = > J zu erhalten. Wir haben die Pfadintegralformel < Q, T Q, T > J = N Dq e i R T T dt[l+jq] = dq dq < Q, T q, t > J=0 < q, t q, t > J 0 < q, t Q, T > J=0 (4.133). N ist ein Normierungsfaktor, der von der p Integration kommt. Wir haben < Q, T q, t > J=0 =< Q e iĥt e iĥt q >= m φ m (Q )φ m(q )e iem(t t ), (4.134) wo wir 1 = E Energie >< Energie eingefügt haben. Und analog < q, t Q, T > J=0 = n φ n (q)φ n (Q)e ien(t t). (4.135) Wir benützen einen Trick und rotieren die Zeitachse ein wenig, t te iδ, und bilden die Limites T e iδ und T e iδ. Dies bedeutet, daß in der Summe nur die Beiträge des Grundzustandes E 0 < E i übrig bleiben, so daß wir lim T + e iδ T e iδ < Q, T Q, T > J = φ 0(Q)φ 0 (Q )e ie 0(T T ) dq dq φ 0(q, t )φ 0 (q, t) < q, t q, t > J (4.136) erhalten. Dieses Integral ist äquivalent zu < 0, t 0, t > J. Wir bilden nun auch t, t und erhalten < 0, 0, > J = lim T + e iδ mit T e iδ < Q, T Q, T > J = N < Q, T Q, T > J φ 0 (Q)φ 0(Q )e ie 0(T T ) Dq e i R T T dt [L(q, q)+j(t)q(t)] (4.137) Bemerkung: Anstatt die t-achse zu rotieren, kann der Grundzustands-Beitrag auch durch H H i ɛ q, ɛ > 0, ɛ 0, i.e. L L + i ɛq isoliert werden. Damit haben wir schließlich < 0, 0, > J Z[J] erzeugendes Funktional wobei Z[J] Dq e i R dt [L+J q+ i ɛq ] (4.138)

54 50 Das Standardmodell der Teilchenphysik Wir definieren die Funktionalableitung für ein Funktional F [f] das C n (M) C abbildet, wobei der Funktionenraum durch M = R, C gegeben ist: δf [f(x)] δf(y) lim ɛ 0 F [f(x) + ɛδ(x y)] F [f(x)] ɛ. (4.139) Wir haben dann z.b., δf(x) δf(y) = δ(x y). (4.140) Für die n-fache Ableitung von Z[J] nach J bekommen wir δ n Z[J] δj(t 1 )...δj(t n ) = (i) n J= Skalare Felder Dq q(t 1 )...q(t n )e i R dt [L+ i ɛq ] (i) n < 0 T [ ˆQ(t 1 )... ˆQ(t n ) 0 > (4.141) Ein 1-dimensionales quantenmechanisches System entspricht einer Feldtheorie in 0 Raumdimensionen. (In der Quantenmechanik haben wir die Operatoren ˆQ(t), ˆP (t), Ĥ(t).) In der skalaren Feldtheorie haben wir die skalaren Felder ˆφ( x, t) und den Impuls ˆΠ( x, t) und die Hamilton- und Lagrangedichte Ĥ( ˆφ, ˆΠ), ˆL( ˆφ, µ ˆφ). Wir betrachten als Beispiel die klassische Lagrangedichte der φ 4 Theorie L = 1 µφ µ φ m φ λ 4! φ4. (4.14) Die Vakuum-nach-Vakuum Amplitude der Quantenfeldtheorie bei Anwesenheit einer Quelle J(x) ist gegeben durch < 0, 0, > J Z[J] (4.143) mit Z[J] = Dφ e i R d4 x [L(x)+ 1 iɛφ (x)+j(x)φ(x)]. (4.144) Die Felder φ sind klassische Felder. Und Dφ = Π x,t dφ( x, t). (4.145) Um die Funktionalintegrale genau zu definieren, diskretisieren wir Raum und Zeit. Wir haben die partielle Ableitung φ = φ(x n + a, y n, z n, t n ) φ(x n, y n, z n, t n ). (4.146) x a ( xn,t n)

55 Das Standardmodell der Teilchenphysik 51 Für das Integral über die Lagrangedichte erhalten wir d 4 x L(φ) a 4 L(φ( x n, t n )). (4.147) Gitterpunkte Das Maß Π x dφ(x) wird Dφ = Π N 4 j=1 dφ(x j). (4.148) Das Funktionalintegral Z[J] wird dann ein N 4 dimensionales, also gewöhnliches endlich dimensionales Integral (das z.b. auf einem Computer bestimmt werden kann numerische Simulationen der Gitterfeldtheorie). Schließlich bilden wir die Limites a) L, i.e. N = L unendlicher Volumen-Limes a b) a 0 Kontinuum-Limes. (4.149) Wir erhalten die Green s Funktion der skalaren Quantenfeldtheorie durch die Funktionalableitung (*): 1 δ n Z[J] i n δj(x 1 )...δj(x n ) = 1 J=0 N Dφ φ(x 1 )...φ(x n )e i R d 4 x [L+ iɛ φ ] = < 0, T [ ˆφ(x 1 )... ˆφ(x n )] 0, > J=0 (4.150) mit N = Dφ e i R d 4 x [L+ iɛ φ]. (4.151) Um (*) zu zeigen, benötigen wir zunächst einige Formeln für die Funktionalintegration über c-zahl Funktionen. Wir betrachten zuerst Integrale über endliche Dimensionen: 1) 1-dimensionale Gauß Formel, xɛr: e 1 ax dx = ( ) 1/ π. (4.15) a ) Reelles Integral über n Dimensionen: Π n j=1dx j e 1 P n k=1 a k x k = (π) n/ Πk a k. (4.153) Sei A = a 1 a.., (4.154) a n

56 5 Das Standardmodell der Teilchenphysik und wir benützen für das Skalarprodukt die Notation x 1. a k x k = ( x, A x) x =. k.. (4.155) x n Wir definieren das Maß (dx) dn x (π) n/. Dann haben wir (4.156) e 1 ( x,a x) (dx) = 1 det A. (4.157) Die Formel gilt für jede reelle, symmetrische positive Matrix A. 3) Verallgemeinerung auf beliebige quadratische Formen der Art Q( x) = 1 ( x, A x) + ( b, x) + c, (4.158) wobei A eine positive Matrix ist. Q kann geschrieben werden als Q = Q( x 0 ) + 1 ( x x 0, A( x x 0 )) (4.159) mit x 0 = A 1 b. Damit haben wir e [ 1 ( x,a x)+( b, x)+c] (dx) = e 1 ( b,a 1 b) c det A. (4.160) 4) Komplexe Variablen. Sei z = x + iy ɛ C und z = x iy. Damit dx dy = 1 i dz dz. Unter Verwendung von e a(x +y ) dx dy = π (4.161) a erhalten wir e az z dz π i dz π i } {{ } (dz )(dz) = 1 a. (4.16) Mit n komplexen Variablen z, A als einer positiv definiten Hermiteschen Matrix und der Definition des Maßes (dz) dn z, analog (dz ), haben wir (π i) n/ (dz ) (dz) e ( z,a z) = 1 det A. (4.163)

57 Das Standardmodell der Teilchenphysik 53 Wir verallgemeinern die Gleichungen (4.157),(4.160),(4.163) auf unendlich-dimensionale Funktionalintegrale x = (x i ) ɛ R n φ(x) ɛ F(M 4 ), (4.164) x ist ein kontinuierlicher Index, φ eine reelle Funktion. Das Skalarprodukt ist definiert als (φ 1, φ ) = d 4 x φ 1 (x) φ (x). (4.165) Die Verallgemeinerung von Glg. (4.157) ist ( ) dφ(x) Π x e 1 R d 4 y φ(y) A φ(y) = π 1 det A, (4.166) wobei A ein positiver Operator ist und φ eine reelle Funktion. Falls φ(x) eine komplexe Funktion ist, dann ( ) dφ (x) dφ(x) Π x e R d 4 y φ (y) A φ(y) = 1 πi πi det A, (4.167) Die Verallgemeinerung der Glgen. (4.157),(4.160),(4.163) ist, genauer aufgeschrieben, im Fall von komplexen Feldern (analog für reelle Felder) ( ) dφ (x) dφ(x) Π x e R d 4 x 1 d 4 x φ (x 1 ) A(x 1,x ) φ(x ) = 1 πi πi det A, (4.168) wobei A(x 1, x ) ein positiver Operator ist, der unabhängig von φ ist. Wir wenden dies nun auf die reelle skalare Feldtheorie an. Sei die klassische Lagrangedichte L 0 = 1 ( µφ µ φ m φ ). (4.169) Das normierte erzeugende Funktional ist Z[J] = 1 Dφ e i R d 4 x [L 0 + iɛ φ +Jφ]. (4.170) N Der Exponent ist d 4 x [ i φ( + i m iɛ)φ + ijφ] + dn µ φ µ φ Rand von M }{{ 4 } =0 falls φ(x) schnell genug abfällt.. (4.171) Wir benützen Eq. (4.160), verallgemeinert auf Funktionalintegrale: Setze A = i( +m iɛ), b = ij, c = 0 Z 0 [J] = 1 N e i R J(x)( +m iɛ) 1 J(y)d 4 x d 4y [det i( + m iɛ)] 1/ }{{} R Πx dφ(x) π e i R d 4 x φ( +m iɛ)φ (4.17)

58 54 Das Standardmodell der Teilchenphysik Bemerkungen: 1) Die Faktoren 1/ π im Zähler und N eliminieren sich. ) Da Z 0 [0] = 1, haben wir N = [det i( + m iɛ)] 1/. 3) Das Inverse des Differentialoperators ( + m iɛ) ist ( + m iɛ) 1 = F (x y), (4.173) wo F der Feynman-Propagator (=kausale -Punkt Green s Funktion) ist, der definiert ist als Also ( x + m iɛ) F (x y) = δ 4 (x y). (4.174) F (x y) = lim ɛ 0 Damit haben wir schließlich d 4 k (π) 4 1 k m + iɛ e ik (x y). (4.175) Z 0 [J] = e i So ist z.b. die -Punkt Green s Funktion < 0 T [ ˆφ(x) ˆφ(y)] 0 > = 1 δ Z[J] i δj(x) δj(y) = 1 i δ δj(x) R J(x) F (x y) J(y)d 4 xd 4y. (4.176) [( i J=0 d 4 x F (y x ) J(x ) i ) ] d 4 x 1 J(x 1 ) F (x 1 y) e i R... J=0 = 1 i F (x y) = i F (x y), (4.177) wo wir F (x y) = F (y x) benutzt haben Grassmann Variablen Im folgenden werden wir antikommutierende Felder im Pfadintegralformalismus behandeln. Dafür benötigen wir antikommutierende Zahlen. Diese werden Grassmann-Variablen genannt. Wir betrachten zunächst ihre Eigenschaften, bevor wir sie benützen. Gewöhnliche Zahlen: x i mit [x i, x j ] = 0 kommutierend Grassmann Zahlen: η i mit {η i, η j } = 0 antikommutierend Die Grassmann-Zahlen sind also über die Algebra {η i, η j } = η i η j + η j η i = 0 für alle i, j, definiert. Dies führt direkt zur Nilpotenz der Grassmann-Variablen, η i = 0 Eigenschaften: 1) Funktionen f(η i ) der Grassmann-Variablen. Sei f eine analytische Funktion, dann enthält die Taylor-Entwicklung von f(η i ) nur eine endliche Anzahl von Termen. Zum Beispiel f(η) = f 0 + f 1 η da η = 0. f(η 1, η ) = f 0 + f 1 η 1 + f η + f 1 η 1 η (4.178) ) Ableitungen Die Ableitung (=Links-Ableitung) einer Grassmann-Variablen ist definiert durch

59 Das Standardmodell der Teilchenphysik 55 η i η j = δ ij, η i a = 0 wobei a eine c Zahl ist. (4.179) Zu beachten: Die Ableitungsoperatoren sind antikommutierend untereinander und mit Grassmann- Variablen ( / η j, η j ). Zum Beispiel η i (η 1 η ) = δ i1 η δ i η 1. (4.180) Bemerkung: Manchmal ist es geeignet, auch eine Rechts-Ableitung zu definieren. R (η 1 η ) = (η 1 η ) = η 1 δ i η δ i1. (4.181) η i η i Da der Ableitungsoperator selbst antikommutierend ist, haben wir { η i, η j } = 0 η i ( ) = = 0, (4.18) η i was bedeutet, daß die Ableitungen nilpotent sind genau wie η i. Dies impliziert, daß das Integral über Grassmann-Variablen nicht definiert werden kann als Inverses der Ableitung, da die Ableitung kein Inverses hat. 3) Integration Das Integral ist so definiert, daß es dasselbe liefert wie die Ableitung. a) 1 Grassmann-Variable η Sei f eine analytische Funktion von η, f(η) = a 0 + a 1 η. Dann haben wir d dη f = a 1 und d dη f(η) = 0. Die Integrationsregeln sind also definiert durch dη a = 0, für eine c-zahl a dη aη = a (4.183) dηf(η) = dη(a 0 + a 1 η) = a 1 b) n Variablen η i dη j = 0, dη j η i = δ ij (4.184) c) Seien η, η unabhängige Grassmann-Variablen, d.h. dη = d η = 0 dηη = d η η = 1. (4.185)

60 56 Das Standardmodell der Teilchenphysik Wir haben e ηη = 1 ηη + ( ηη) +... = 1 ηη } {{} 0, da η = η =0 d η dη e ηη = d η dη d η dη ηη = 0 + d η η dη η = +1. (4.186) d) Verallgemeinerung auf mehrere Variablen Sei η = dann ( η1 η ) ( ηη) = η 1 η 1 η η und höhere Potenzen Also ( ) η1 η = η and ηη = η 1 η 1 + η η (4.187) (4.188) ( ηη) P = 0 für p 3 (4.189) e ηη = 1 ( η 1 η 1 + η η ) + η 1 η 1 η η. (4.190) Mit der Definition d ηdη d η 1 dη 1 d η dη finden wir d η dη e ηη = 0 + Variablenänderung Sei (4.191) d η 1 dη 1 d η dη η 1 η 1 η η = +1. (4.19) η = Bc und η = ch (4.193) wobei B, H c-zahl Matrizen sind, mit det H 0, det B 0. (η, c sind Grassmann- Zahlen.) Wir haben η 1 η = (B 11 c 1 + B 1 c )(B 1 c 1 + B c ) = (B 11 B B 1 B 1 )c 1 c = det B c 1 c (4.194) Wir müssen fordern, daß dη 1 dη = (det B) 1 dc 1 dc (4.195) so daß die Integrationsregel dη 1 dη η 1 η = dc 1 dc c 1 c (4.196) erhalten bleibt. Damit finden wir (det(bh)) 1 d cdc e chbc = 1 (4.197) Sei A = HB. Dann det A = det HB = det BH und damit

61 Das Standardmodell der Teilchenphysik 57 d c dc e cac = deta (4.198) Dies kann sofort auf n Variable c j, c j verallgemeinert werden. d c dc e P ij c ia ij c j = deta d c dc d c 1 dc 1... d c n dc n (4.199) Bemerkung: Für komplexe Zahlen x, y haben wir dx dy e xqy = (detq) 1 dx dz e xz (det Q) 1. (4.00) Eichfixierung Im folgenden betrachten wir die Eichgruppe SU(N) mit den Eichfeldern A a µ(x), a = 1,..., N 1. In Bezug auf die Eichinvarianz gibt es in der Pfadintegralformulierung ein Problem: Wir betrachten das Eichfeld Āµ(x) = Āa µ (x)t a. Der so genannte Orbit Āµ ist definiert als der Satz von Funktonen {ĀU µ } mit Ā U µ = UĀµU 1 i g U µu 1, (4.01) wobei U(x) = exp{iω a (x)t a } ɛ SU(N). (4.0) Das bedeutet, daß der gesamte Eichfeldraum in Äquivalenzklassen {ĀU µ } zerlegt werden kann, mit Āµ als Repräsentant. Wir betrachten das Pfadintegral DA µ e is (4.03) mit DA = Π N 1 a=1 Π3 µ=0 Π xda a µ (x). (4.04) Die Wirkung S ist unter lokalen Eichtransformationen invariant, d.h. S[ĀU µ ] = S[Āµ] (4.05) Und für das Integrationsmaß haben wir (schematisch) DA = DĀ DU, (4.06)

62 58 Das Standardmodell der Teilchenphysik so daß wir für das Pfadintegral DA e is[a] = DĀ eis[ā] DU (4.07) erhalten. Letzteres ergibt. Und den unendlichen Faktor zu vermeiden, schränken wir die Eichfreiheit ein. D.h. wir führen die Eichfixierungsbedingung F (A) = 0 ein. Eichfixierung, Fadeev-Popov Trick Wir wollen die Eichfixierungsbedingung F a (A b µ) = 0 in das Funktionalintegral einbauen, und dies auf eichinvariante Weise. Geometrisch: Bemerkung: In nicht-abelschen Eichtheorien sind die Coulomb-Eichung A a µ = 0 oder die Euklidische Lorentz-Bedingung µ E Aaµ E = 0 nicht eindeutig für große Eichfelder (d.h. Eichfeldkonfigurationen jenseits der Störungstheorie). Dies bedeutet, daß A U = 0 mehrere Lösungen U(x) für ein gegebenes A a jenseits der Störungstheorie hat. Dieses Phänomen heißt Gribov Ambiguität. Mathematische Bemerkungen: a) The functional integration measure DA Π x,a,µ da a µ (x) is gauge invariant. Demonstration: Look at the gauge transformation A µ A µ = UA µu 1 i U g µu 1. The gauge fields are A a µ = Tr(T a A µ ) and hence A a µ A b µ = Tr(T b A µ). The measure gets ( ) A b µ (4.08) A a ν DA = DA det x, x µ, ν a, b and (A µ = A a µ T a ) A b µ (x) A a ν (x ) = Tr[T b U(x)T a U 1 (x)]δ (4) (x x )g ν µ (4.09) where U(x) = e iωs(x)t s. Use the formula e ib T a e ib = T a + i[b, T a ] + i [B, [B, T a ]] +... (4.10)

63 Das Standardmodell der Teilchenphysik 59 Mit e ib = U(x) bekommen wir [B, T a ] = s ω s [T s, T a ] = i s f sac T c ω s (4.11) Und damit erhalten wir für Glg. (4.09) mit Glg. (4.10) δ (4) (x x )gµ ν (δ ab + i f sab ω s +...) s }{{} Matrix δ ab +C ab Wir verwenden die Formel ( ) ( 1) n+1 det(i + C) = exp Tr ln(i + C) = exp Tr(C n ) n n=1 (4.13) (4.1) Wir wenden dies auf Glg. (4.1) an und erhalten ( ) A b µ det = 1 (4.14) A a ν in der Gitter-Regularisierung. (Die Gitter-Regularisierung macht aus δ (4) (x x ) das Kronecker δ x,x.) Dies bedeutet, daß det(...) unabhängig von ω a (x) ist und damit auf die Invarianz von DA führt. (Bemerkung: Es würde auch ausreichen, die Invarianz von DA unter der infinitesimalen Eichtransformation U(x) = I + iω s (x)t s + O(ω ) zu zeigen.) b) Invariante Gruppenintegration über kompakte Gruppen G (= Haar Maß) Sei gɛg eine kompakte Lie-Gruppe und f(g) eine Funktion von g. Für kompakte Liegruppen existiert ein invariantes Gruppenmaß (= Haar Maß) dg, für das gilt dg f( gg 0 ) = dg f(g ) Rechtsinvarianz G }{{} G g dg f( g 0 g ) = dg }{{} f(g ) Linksinvarianz (4.15) G G g für beliebige g 0 ɛ G. Eine Integration über G entspricht einer Integration über Gruppenparameter. Mit G = {g(ω) ω = (ω 1,..., ω d(g) ) ɛ DcR d(g) } (4.16) und dem metrischen Tensor auf der Gruppe M ij = T r[g 1 ( i g)g 1 ( j g)], (4.17) wobei i g = ω i g(ω) (4.18) haben wir die explizite Formel

64 60 Das Standardmodell der Teilchenphysik G dg f(g) = K D Π d(g) j=1 dω j det M 1/ f(g(ω)) (4.19) in welcher die Normierungskonstante K durch die Forderung 1 =! dg = K dω det M 1/ (4.0) G D festgelegt wird. Beispiel: dgf(g) = 1 π Fadeev-Popov-Trick π π U(1) = {e iθ π θ π} det M 1/ = i 1/ = 1 dθ f(e iθ ) (4.1) Wir betrachten das Funktional 1 [A] DU δ(f [A U ]) (4.) wo DU = Π x du(x) das Gruppenmaß (links- und rechts-invariant, da U eine kompakte Gruppe ist ist. Das δ Funktional ist explizit Π x,a δ(f a [A bu µ (x)]) und AU µ = UA µu 1 i U g µu 1. 1 ist eichinvariant 1 [A U ] = DU δ(f [A UU ]) = D(UU )δ(f [A UU ]) = DU δ(f [A U ]) = 1 [A] (4.3) Trick: Baue dies in das Pfadintegral ein. Wir haben 1 = [A] DU δ(f [A U ]) (4.4) und damit DA e is = DA [A] DU δ(f [A U ])e is. (4.5) Wir führen eine Eichtransformation A U µ A µ durch und benützen, daß DA, S[A], [A] eichinvariant sind, so daß wir DA e is = DA [A] DU δ(f [A])e is = DA [A] δ(f [A]) e is DU (4.6) erhalten und damit jetzt das Funktional Z = DAe is definieren als Z Z = 1 N DA [A] δ(f [A])e is (4.7)

65 Das Standardmodell der Teilchenphysik 61 Wir berechnen nun 1 [A]. MIt der Reskalierung des minimalen Eichtransformations-Parameters mit der Eichkopplung g, ω a gω a, und U(x) = 1 + igω a T a + O(ω ) und U 1 = 1 igω a (x)t a + O(ω ) erhalten wir Wir haben A a µ(x) A a µ (x) = Tr(T a A µ) = A a µ + gf abc A b µω c µ ω a + O(ω (4.8) ) DU = Π x du(x) = Π x Π d(g) a=1 dω a (x) det J K Dω (4.9) und damit 1 [A] = Dω Π a,x δ(f a [A U(ω) (x)]) (4.30) was nach der Variablentransformation ω a (x) F a [A U(ω) ] auf = DF δ(f [AU ]) det δf a = 1 δω det δf a [A U ] b δω b A U =Ā Ā (4.31) führt, wo Ā die Lösung von F [AU ] = 0 ist für gegebenes A. (Im allgemeinen gibt es mehrere Lösungen für F [A U ] = 0, Gribov Ambiguität. Aber wir machen hier Störungstheorie.) Wir wollen Störungstheorie machen und schauen nur Fluktuationen um (die Feldkonfiguration) A µ = 0 an. Damit hat F a [A U ] = 0 eine eindeutige Lösung und wir erhalten = so daß 1 det δf δω ω=0 (4.3) [A] = det δf a δω b [AU ] ω=0 (4.33) Dies wird genannt: Fadeev-Popov-Determinante [A] = det x,y M ab(x, y) (4.34) wobei M ab (x, y) = δf a [A ω (x)] δω b ω=0 (4.35) (y) Es reicht aus, F a [A U ] für infinitesimale Eichtransformationen auszuarbeiten. F ur die Berechnung von M ab (x, y) benützen wir, daß δa a ωµ(x) δω b (y) = ( µδ ab + gf eab A e µ }{{ (x)) δ (4) (x y) (4.36) } µ µ ist die kovariante Ableitung in der adjungierten Darstellung. Für die kovariante Eichfixierungsbedingung F a [A] = µ A a µ = 0 finden wir F a [A ω ] = µ A a µω (x) = µ A a µ (x) µ ( ac µ ωc (x)) (4.37) Der erste Summand ist 0 aufgrund der Eichfixierungsbedingung. Und damit

66 6 Das Standardmodell der Teilchenphysik M ab (x, y) = δf a [A ω (x)] δω b ω=0 = µ ac µ (y) δ cbδ (4) (x y) = µ ( µ δ ab + gf cab A c µ(x))δ (4) (x y) (4.38) Für die Eichfixierungsbedingung F a [A] = 0 F a [A] = B a (x) (B a sind Funktionen unabhängig von A) haben wir die gleiche Fadeev-Popov Determinante wie für den kovarianten Eichfixierungsfall und damit das Funktional Z Z DA [A] δ(f [A] B)e is (4.39) Eichinvariante Größen sind unabhängig von einem Wechsel der Eichfixierungsbedingung. Deshalb mitteln wir über B a (x) mit ( DB exp i d 4 x ) Ba ξ (x) ξɛr (4.40) a Dies ändert lediglich den Normierungsfaktor. Wir benützen, daß det(a ij ) = d c dc e P ij c ia ij c j (4.41) wobei {c i, c j } = 0, c i Grassmann Variablen sind. Für die Fadeev-Popov Determinante [A] = det x, y a, b ( im) (der Faktor ( i) ist Konvention) haben wir dann ( ) det( im) = const. D c Dc exp i d 4 x 1 d 4 x c a (x 1 )M ab (x 1, x )c b (x ) (4.4) (4.43) wobei D c Dc = Π x,a d c a (x) dc a (x) (4.44) und c a (x), c a (x) Grassmann-Felder sind. D.h. {c a (x), c b (y)} = 0 { c a (x), c b (y)} = 0 {c a (x), c b (y)} = 0. (4.45) Die Felder c a, c a transformieren sich als skalare Felder unter Lorentz-Transformationen, d.h. sie sind antikommutierende Spin-0 Felder. Sie haben die falsche Statistik. Sie werden Fadeev-Popov Geistfelder genannt und sind pure Hilfsfelder. In der kovarianten Eichung µ A aµ = 0 haben wir Glg. (4.38) und nach partieller Integration i d 4 x d 4 y c a (x)m ab c b (y) = i d 4 x µ c a (x)( µ δ ab + gf cab A c µ (x))c b(x) (4.46) so daß das Funktional Z DA D c Dc e i R d 4 x L eff (x) (4.47)

67 Das Standardmodell der Teilchenphysik 63 mit L eff = L class (x) + L gauge fix (x) + L ghost (x) (4.48) = L class 1 ξ ( µa aµ ) + µ c a (x)( µ δ ab + gf cab A c µ)c b (x) (4.49) Fassen wir zusammen: Wir haben für das gesamte Wirkungsfunktional mit Fermionen Z D ψ Dψ DA Dc Dc exp i L = übliche Lagrangedichte L GF = Eichfixierung, L GF = 1 ξ ( A) etc. d 4 x [L + L GF + L F P ] (4.50) L F P = c c für Eichtheorien, nicht-abelsche und nicht-lineare Eichfixierung Propagatoren: Die Matrizen zwischen den Bilinearformen der Felder in der gesamten Lagrangedichte hängen von der Eichung ab. Beispiel: Landau Eichung (ξ = 0) L GF = 1 A A ξ Z DA exp i d 4 x d 4 y 1 Aa µ[ 1 F (x y)]ab µνa b ν 1ab µν = [ g µν + µ ν 1 ξ µ ν ]δ 4 (x y)δ ab ab µν(q) = d µν q + iɛ t Hooft-Feynman Eichung: Higgs Phänomen in SO(): d µν = g µν + (1 ξ) q µq ν q (4.51) L = 1 4 F µν + 1 (D µ φ) V ( φ) V ( φ) = λ ) ( φ µ id µ = i µ gta µ (4.5) 4 λ ( ) 0 1 wobei t =. Mit φ 1 0 = (φ 1, v + η) haben wir L = 1 4 F µν + g v A µ + 1 ( µη) µ η + 1 ( µφ 1 ) +igv µ (A µ φ 1 ) igv( µ A µ )φ 1 + 3er und 4er Kopplungen (4.53) Eichfixierung: Die Eichfixierung ist so gewählt, daß L tot diagonal in den bilinearen Ausdrücken ist (Eichfelder, Goldstonefelder). Es gibt also keine Übergänge zwischen Eich- und Goldstone-feld. L fix = 1 ξ [ µa µ iξm A φ 1 ] m A = gv (4.54)

68 64 Das Standardmodell der Teilchenphysik Die diagonalen Propagatoren sind: und Goldstone Feld: Eichfeld: i q ξm A i g µν + (1 ξ) qµqν q ξm A q m A (4.55) (4.56) ξ : unitäre Theorie (kein Goldstone-Beitrag) ξ 1 : Feynman Eichung (Goldstone Propagator m A Masse) Renormierung maximal vereinfacht (4.57) Geister: Kanzellieren die unphysikalischen longitudinalen Beträge in den Propagatoren der Eichfelder µν F = = i q m A i q m A [ g µν + q µq ν q ] iξ [ g µν + q µq ν ] m A q ξm A i q ξm A q µ q ν q q µ q ν m A (4.58) Die Eichfixierungslagrangedichte für die GSW Theorie in der R ξ Eichung lautet: L GF = 1 [F γ + F Z + F + F ] (4.59) F γ = 1 ξ 1/ γ F Z = 1 ξ 1/ Z F ± = 1 ξ 1/ W µ A µ (4.60) [ µ Z µ ξ Z m Z χ] (4.61) [ µ W ±µ iξ W m W φ ± ] (4.6) Die Propagatoren für die Eichbosonen in der R ξ Eichung sind i k µ k ν k m V + iɛ[ g µν + (1 ξ V ) k ξ V m V + iɛ] for V = W ±, Z ig µν for V = A. (4.63) k + iɛ Die Geistpropagatoren sind i k ξ V m V + iɛ for V = W, Z i for V = A. (4.64) k + iɛ

69 Das Standardmodell der Teilchenphysik Wechselwirkungen Wir gehen von der folgenden Lagrangedichte aus L = 1 ( µφ)( µ φ) 1 (m iɛ)φ g n! φn (x) = L 0 + L W W mit L W W = g n! φn (x) (4.65) Das Vakuumfunktional kann geschrieben werden als ( ) ( i i Z[J] = N Dφ exp d 4 zl W W (φ(z)) exp ) d 4 x[l 0 + Jφ]. (4.66) Mit i δ δj(x 1 )... δ δj(x n ) Z 0[J] = N ( i Dφ φ(x 1 )...φ(x n ) exp ) d 4 x[l 0 + Jφ] (4.67) erhalten wir: Z[J] = N = N exp ( i Dφ exp ( i ( d 4 δ zl W W i δj(z) δ δj(z) d 4 xl W W ( i )) ( i exp ) d 4 x[l 0 + Jφ] )) Z 0 [J]. (4.68) N ist gegeben durch Z[0] = 1. Damit ist die Meister(innen)formel der Störungsrechnung Z[J] = exp exp ( i ( i d 4 z L W W ( d4 z L W W ( i i )) Z 0 [J] )) (4.69) Z 0 [J] J=0 δ δj(z) δ δj(z) Für wechselwirkende n-punkt-funktionen haben wir dann ( δ 0 T [ ˆφ(x 1 )... ˆφ(x... δ exp ( )) i i δj(x 1 ) i δj(x n) d 4 δ z L W W Z i δj(z) 0 [J] n )] 0 W W = J=0 ( )) δ (4.70) exp d4 z L W W Z 0 [J] J=0 ( i i δj(z) Der Nenner beschreibt die Vakuumgraphen, die herausdividiert werden φ 4 Theory Wir werten Glg. (4.69) bis zur Ordnung λ aus für (ab jetzt wieder 1) L W W = λ 4! φ4. (4.71) Für den Zähler Z haben wir [ Z = 1 iλ ( 1 d 4 δ z 4! i δj(z) ) 4 + O(λ )] ( exp ) d 4 xd 4 yj(x) F (x y)j(y) (4.7). i }{{} Z 0 [J]

70 66 Das Standardmodell der Teilchenphysik Nebenrechnung: 1 i δ (1) Z δj(z) 0[J] = d 4 xj(x) F (z x)z 0 [J] { 1 δ () Z i δj(z)δj(z) 0[J] = i F (0) + [ d 4 x F (z x)j(x) ] } Z 0 [J] ( 3 { 1 δ (3) i δj(z)) Z0 [J] = 3i F (0) d 4 x F (z x)j(x) [ d 4 xj(x) F (z x) ] } 3 Z 0 [J] ( 4 { 1 δ (4) i δj(z)) Z0 [J] = 3[ F (0)] + 6i F (0) [ d 4 x F (z x)j(x) ] Darstellung im Diagramm: ( ) 4 1 δ Z 0 [J] = i δj(z) + [ d 4 x F (z x)j(x) ] 4 } Z 0 [J]. { 3 Vakuumdiagramm ) + 6i d 4 x 1 d 4 x Bild + Π 4 j=1d 4 x j Bild { } +Oλ Z 0 [J]. (4.73) Der Nenner N: N = Z J=0 = 1 iλ 4! d 4 z( 3 Vakuumdiagramm + O(λ ). (4.74) Damit ist Z[J] = Zähler ( Nenner = Zähler 1 + iλ 4! { = 1 iλ ( d 4 z 6i 4! ) d 4 z( 3 Vakuumdiagramm ) + O(λ ) ) } Π 4 j=1d 4 x j Bild + O(λ ) Z 0 [J]. d 4 x 1 d 4 x Bild + (4.75) Das heißt, Vakuumdiagramme treten in normierten Z[J] nicht auf. Dies gilt in allen Ordnungen der Störungstheorie. Für die 4-Punkt-Funktion 0 T [ ˆφ(x 1 ) ˆφ(x ) ˆφ(x 3 ) ˆφ(x 4 )] 0 W W (4.76) bekommen wir mit Glg. (4.70) und (4.138) dann BILD = τ(x 1 x )τ(x 3 x 4 ) + τ(x 1 x 3 )τ(x x 4 ) + τ(x 1 x 4 )τ(x x 3 ) + τ c (x 1, x, x 3, x 4 ). (4.77) Dabei bezeichnet τ c zusammenhängende Greenfunktionen. Gesucht ist ein Erzeugenden- Funktional W [J] für zusammenhängende Greenfunktionen τ c (x 1,..., x n ). Dieses ist gegeben durch Z[J] = exp(iw [J]). (4.78)

71 Das Standardmodell der Teilchenphysik 67 Dies sieht man folgendermaßen. Wegen Z[0] = 1 ist W [0] = 0. Und für die Ableitungen haben wir 1 δ i δj(x 1 ) Z = δw δj(x 1 ) exp(iw ) δw δj(x) = 0 (4.79) J=0 1 δ δ i δj(x 1 ) δj(x ) Z = δw δw δj(x 1 ) δj(x ) exp(iw ) i δ W exp(iw ). (4.80) δj(x 1 )δj(x ) Für J = 0 gilt: δ W δj(x 1 )δj(x ) = iτ(x 1, x ) (4.81) J=0 1 δ 4 i 4 δj(x 1 )δj(x )δj(x 3 )δj(x 4 ) Z = τ(x 1, x 3 )τ(x, x 4 ) + τ(x 1, x 4 )τ(x, x 3 ) J=0 +τ(x 1, x )τ(x 3, x 4 ) +( i) 1 δ 4 W i δj(x 1 )δj(x )δj(x 3 )δj(x 4 ) (4.8) Und damit δ 4 W i δj(x 1 )δj(x )δj(x 3 )δj(x 4 ) = τ c (x 1, x, x 3, x 4 ). (4.83) J=0 Somit erzeugt W [J] = i ln Z[J] die zusammenhängenden Greenfunktionen Fermifelder Mit der kanonischen Feldquantisierung der Diracfeldoperatoren ˆψ(x), ˆ ψ(x) = ˆψ γ 0, (4.84) muß man, damit sich die Fermistatistik ergibt, die Antivertauschungsregeln postulieren, { ˆψ r (x), ˆψ s (y)} = {ˆ ψr (x), ˆ ψs (y)} = 0 { ˆψ r (x), ˆ ψs (y)} x 0 =y 0 = δ rsδ (3) ( x y). (4.85) In der Funktionalintegralquantisierung benötigen wir, da es kein c-zahl-äquivalent zu gibt, Grassmann-Variablen. Wir hatten für die Grassmann-Variablen c i, c i (i = 1,..., n) gesehen d c dc e P ij c ia ij c j = deta ˆψ, ˆ ψ d c dc d c 1 dc 1... d c n dc n. (4.86) Um Fermifelder zu beschreiben, machen wir nun den Übergang zur unendlich-dimensionalen Grassmann-Algebra c i ψ(x) = ψ r (x), r = Spinor-Index. (4.87)

72 68 Das Standardmodell der Teilchenphysik Hier ist ψ(x) ein Grassmann- Feld, d.h. eine Grassmann-Variable mit kontinuierlichem Index x M 4. Es gilt die Grassmann-Algebra {ψ r (x), ψ s (y)} = 0 (4.88) und δ δψ s (y) ψ r(x) = δ rs δ (4) (x y), dψ r (x) = 0, dψ r (x)ψ s (x) = δ rs. (4.89) Wir benötigen noch das unabhängige Grassmann-Feld ψ(x) = ψ r (x). Es gilt die Algebra { ψ r (x), ψ s (y)} = {ψ r (x), ψ s (y)} = 0. (4.90) Die Differentiation und Integration sind analog zum Fall ψ(x). Die Lagrangedichte für die freie Diractheorie lautet L 0 = i ψ(x)γ µ µ ψ(x) m ψ(x)ψ(x) = ψ[iγ µ µ m]ψ. (4.91) Wir schreiben ein normiertes erzeugendes Funktional analog zum skalaren Feld. Dazu führen wir die Grassmann-Felder η = η r (x) und η = η s (x) ein, welche als Quellen für die Felder ψ r (x) bzw. ψ s (x) dienen. Damit haben wir für das normierte erzeugende Funktional Z 0 [ η, η] = 1 N ( D ψdψ exp i ) d 4 x[l 0 + η(x)ψ(x) + ψ(x)η(x)], (4.9) wobei N = ( D ψdψ exp i ) d 4 xl 0 (x) (4.93) und D ψdψ = Π x Π 4 r=1 d ψ r (x)dψ r (x). (4.94) Die Greenfunktionen sind gegeben durch 0 T [ ˆψ r1 (x 1 )... ˆψ rn (x)ˆ ψs1 (y 1 )...ˆ ψsn (y n )] 0 = 1 Die Faktoren 1/( i) treten deswegen auf, weil i n ( ) n 1 δ n Z 0 [ η, η] i δ η r1 (x 1 )...δη sn (y n ). (4.95) η= η=0 δ δη si (y i ) ψ r (x)η r (x) = ψ δ r (x) δη si (y i ) η r(x) = ψ si (y i ). (4.96) Beachte weiter, daß δ δη(x)δ η(y) = δ δ η(y)δη(x). (4.97) Wir suchen nach einer Formel Z 0 analog zum skalaren Fall. Wir führen die folgende Notation ein S 1 F iγ µ µ m. (4.98)

73 Das Standardmodell der Teilchenphysik 69 Dann (iγ µ µ x m) rr 1 S F r1 s(x y) = δ rs δ (4) (x y), (4.99) wobei S f (x y) der Feynman-Propagator für ein freies Diracfermion ist. Wir haben d 4 k k/ + m S F (x y) = (π) 4 k m + iɛ e ik(x y). (4.300) Außerdem gilt die Darstellung S F (x y) = (iγ x + m) F (x y). (4.301) Wir schreiben deshalb Glg. (4.9) als Z 0 [ η, η] = 1 D N ψdψe i R d 4xQ, (4.30) wobei 1 Q = ψs F }{{ ψ + ηψ + } ψη. (4.303) L 0 Es ist Q = Q 0 + ( ψ ψ 0 )S 1 F (ψ ψ 0), (4.304) wobei Q 0 = ηs F η = η(x) d 4 zs F (x z)η(z) (4.305) ψ 0 = S F η = d 4 zs F (x z)η(z) (4.306) ψ 0 = ηs F = d 4 z η(z)s F (z x). (4.307) Damit also Z 0 [ η, η] = 1 ( i N exp D ψdψ exp ) d 4 x d 4 z η(x)s F (x z)η(z) ( i d 4 x( ψ ψ 0 )S 1 F (ψ ψ 0) ). (4.308) Wir führen eine Feldtransformation durch: ψ (x) = ψ(x) ψ 0 (x) und ψ (x) = ψ(x) ψ 0 (x). (4.309) Es ist D ψ Dψ = D ψdψ. (4.310) Wir wenden Glg. (4.86) auf das. Integral an und erhalten det(is 1 F ) = det[i(iγ m)]. (4.311)

74 70 Das Standardmodell der Teilchenphysik Damit haben wir N = det(is 1 F ) (4.31) und also für das normierte erzeugende Funktional Z 0 [ η, η] = e i R d 4 xd 4 y η(x)s F (x y)η(y). (4.313) Check: δ η(x)δη(y) 0 T [ ˆψ(x)ˆ ψ(y)] 0 = 1 i δ Z 0 η= η=0 { 1 i δ = d 4 z 1 d 4 z η(z 1 )S F (z 1 z )η(z ) +...} δ η(x)δη(y) η= η=0 = is F (x y). (4.314) Erzeugendes Funktional für wechselwirkende Feldtheorien Wir betrachten eine wechselwirkende Feldtheorie für ein hermitesches skalares Feld und ein Diracfeld. Die klassische Lagrangedichte sei von der Form L = L 0 (Φ) + L 0 ( ψ, ψ) + L I ( ψ, ψ, Φ), (4.315) wobei der Index 0 die freien Lagrangedichten bezeichnet und der Index I für interaction, d.h. Wechselwirkung steht. Ein Beispiel für eine Wechselwirkung ist die Yukawa-Wechselwirkung L I = h ψψφ, (4.316) wobei h die Yukawa-Kopplung bezeichnet. Bemerkung: Bei Diracfermionen enthält L I die gleiche Zahl von ψ und ψ, da sonst die wechselwirkende Lagrangedichte die Ladungserhaltung verletzen würde. Wir können eine Formel für das erzeugende Funktional der obigen Theorie herleiten, indem wir in L I die folgenden Ersetzungen machen: ψ(z) 1 i δ δη(z), ψ(z) 1 i δ δ η(z), Φ(z) 1 i δ δj(z). (4.317) Damit erhalten wir die Meiserformel der funktionalen Störungsrechnung exp (i ( )) d 4 z L I 1 δ, 1 δ, 1 δ Z i δη(z) i δ η(z) i δj(z) 0 [J]Z 0 [ η, η] Z[J, η, η] = exp (i ( )) d 4 δ. (4.318) z L I Z 0 [J]Z 0 [ η, η] J= η=η=0 1 i δη(z), 1 i δ δ η(z), 1 i δ δj(z) 4.11 Nicht-abelsche Eichtheorien Im folgenden betrachten wir die Eichgruppe SU(N), d.h. wir haben die Eichfelder A a µ (x) (a = 1,..., N 1) und ein Diracfeld ψ j (x) (j = 1,..., N) in der Fundamentaldarstellung F bzw. ψj (x) in der Darstellung F. Die Felder transformieren sich gemäß A µ A µ = UA µ U 1 i g U µu 1 (4.319) ψ ψ (x) = U(x)ψ(x) (4.30) ψ ψ (x) = ψ(x)u (x), (4.31)

75 Das Standardmodell der Teilchenphysik 71 wobei U(x) = exp iω a (x)t a SU(N). (4.3) Die Generatoren der Gruppe SU(N) sind durch T a bezeichnet. Die klassische Lagrangedichte ist gegeben durch L(x) = 1 4 F a µν(x)f µνa (x) + ψ(x)(iγ µ D µ m)ψ(x). (4.33) Dabei ist F µν der Feldstärkentensor, D µ die kovariante Ableitung und m die Masse des Fermions. Wir haben den Fadeev-Popov-Trick kennengelernt, mit dem wir das Problem der Eichinvarianz bei der Pfadintegralquantisierung in den Griff bekommen können. Damit wird die Eichfixierungsbedingung in die Lagrangedichte implementiert. Ferner treten die Fadeev- Popov-Geister auf, die reine Hilfsfelder sind. Es handelt sich hier um skalare Felder, die aber der Fermistatistik unterliegen. Ferner haben wir gesehen, wie der Pfadintegralformalismus für Fermifelder aussieht. Damit können wir schlußendlich das erzeugende Funktional für nicht-abelsche Eichtheorien aufschreiben. Dieses ist proportional zu Z DA D ψ DψD c Dc e i R d 4 xl eff (x). (4.34) Dabei ist L eff in der kovarianten Eichung gegeben durch L eff = L klass (x) + L Eichfix (x) + L Geist (x) = 1 4 F a µν F aµν + ψ l (iγ µ D µlj mδ lj )ψ j 1 ξ ( µa aµ ) + µ c a (x)( µ δ ab + gf cab A c µ )c b(x). (4.35) Für die Berechnung von Greenfunktionen führen wir Quellen ein: A a µ(x) J aµ (x) reelle Funktion (4.36) ψ sj (x) η sj (x) Grassmann-Variable (4.37) ψ sj (x) η sj (x) Grassmann-Variable. (4.38) Aus mathematischen Gründen führen wir auch Quellen für die Geistfelder ein: c a (x) ζ a (x) Grassmann-Variable (4.39) c a (x) ζ a (x) Grassmann-Variable. (4.330) Damit erhalten wir für das normierte erzeugende Funktional Z 0 [J, η, η, ζ, ζ] = 1 DA D N ψ Dψ D c Dc e i R d 4 x{l eff +A µ J µ+ ψη+ ηψ+ cζ+ ζc}, (4.331) wobei N = Zähler J=η= η=ζ= ζ=0. (4.33) Die Greenfunktionen sind gegeben durch = 1 i δ δj aµ (x)...1 i δ η sj (y)... 1 i 0 T [Âa µ (x)... ˆψ sj (y)...ˆ ψrl (z)...ĉ b (u)...ˆ c d (v)] 0 (4.333) δ η rl (z)...1 i δ δ ζ b (u)... 1 i δ δζ d (v) Z Quellen=0. (4.334)

76 7 Das Standardmodell der Teilchenphysik Das erzeugende Funktional für zusammenhängende Greenfunktionen ist gegeben durch W [J, η, η, ζ, ζ] = 1 i ln Z[J, η, η, ζ, ζ]. (4.335) Beispiel: Wir betrachten die abelsche U(1)-Eichtheorie mit kovarianter Eichung, µ A µ = 0. (4.336) Damit haben wir, da f abc = 0, M ab (x, y) = µ µ δ (4) (x y). (4.337) Das erzeugende Funktional für physikalische Greenfunktionen ist dann Z[J, η, η] = DA D ψ Dψ e i R d 4 x {L klass 1 ξ ( µaµ ) +JA+ ψη+ ηψ } D c Dc e i R d 4 x µ c µc { DA D ψ Dψ e i R d 4 x {L klass 1 ξ ( µaµ ) } D c Dc e i R d 4 x µ c µc} 1. (4.338) Da es keine Geist-Photon-Wechselwirkung gibt, faktorisiert der Geistanteil und kürzt sich gegen den Nenner raus. Wählt man allerdings eine nichtlineare Eichfixierungsbedingung, dann gibt es auch im abelschen Fall Geister. Nicht-abelsche Eichtheorie: Axiale Eichungen: F [A a µ ] = nµ A a µ = 0, (4.339) wobei n µ = konst. 4 er Vektor oft n µ = (0, 0, 0, 1). (4.340) Damit ist die Fadeev-Popov-Determinante unabhängig von A a µ und der Geistanteil im Zähler von Z kürzt sich gegen den im Nenner raus. Allerdings liefert diese Eichung einen komplizierten Eichfeldpropagator Greenfunktion in der Störungstheorie Wir benützen im folgenden die kovariante Eichfixierung. Wir zerlegen die Wirkung, d.h. S = d 4 x L eff = d 4 x L 0 + d 4 x L I. (4.341) Dabei ist mit F a µν = µa a ν νa a µ gf abca b µ Ac ν (4.34) und nach partieller Integration L 0 = 1 ( ( Aa µ g µν 1 1 ) ) µ ν A a ν ξ + ψ l (i / m)ψ l c a c a (4.343)

77 Das Standardmodell der Teilchenphysik 73 und L I = L I (A, ψ, ψ, c, c) = g f abc( µ A νa ν A µa )A bµ A cν g 4 f abef cde A aµ A bν A c µ Ad ν + gf abc( µ c a )c b A cµ g ψ j Tjl a γµ ψ l A a µ, j, l Farbindizes. (4.344) Unter der Annahme, daß die Kopplung g klein ist, können wir e is entwickeln. und erhalten { ( } e i R d 4 x (L eff + Quellterme ) = 1 + i d 4 x L I (x) + i d 4 z L I (z)) +... e i R d 4 x (L 0 + Quellterme ). (4.345) Und somit haben wir die Meister(innen)formel der funktionalen Störungstheorie Z[J, η, η, ζ, ζ] = ei R d 4 z L I ( 1 i δ δj, 1 i δ δη, 1 δ i δ η, 1 δ i δζ, 1 δ i δ ζ ) Z 0 [J, η, η, ζ, ζ]. (4.346) Zähler Quellen=0 Dabei ist das normierte erzeugende Funktional der freien Theorie gegeben durch DA D ψ Dψ D c Dc e i R d 4 x {L 0 (x)+ja+ ψη+ ηψ+ ζc+ cζ} Z 0 = Zähler Quellen=0 = e i R d 4 x d 4 y { 1 Jµ a (x)d ab F µν (x,y)jν b (y)+ η rl(x)s lj F rs (x y)η sj (y)+ ζ a(x) ab F (x y,m=0)ζ b(y)}, (4.347) mit der kausalen Greenfunktion D F µν, für die gilt ( ( g α µ 1 1 ) ) µ α ξ DF ab µν (x y) = lim ɛ 0+ Wir haben folgende Eichparameter: x bc αν δ ac DF (x y) = δ ab δ (4) (x y)g µν d 4 k (π) 4 e ik(x y) [ g µν k + iɛ µ k ν k + (1 ξ) (k + iɛ) ] δ ab. (4.348) ξ = 1 : Feynman-Eichung ξ = 0 : Landau-Eichung. (4.349) Für den Geistpropagator haben wir δ ac cb F (x y, m = 0) = δ abδ (4) (x y) ab d 4 k δ ab F (x y) = lim ɛ 0 (π) 4 k + iɛ e ik(x y). (4.350) Und für den Fermionpropagator (iγ µ µ m) rs δ jl S l l F s s (x y) = δ jlδ rs δ (4) (x y) (x y) = lim S lj F rs ɛ 0 d 4 k (π) 4 (k/ + m) rs δ lj k m + iɛ e ik(x y). (4.351)

78 74 Das Standardmodell der Teilchenphysik Check: Die -Punkt-Funktion der freien Theorie ist gegeben durch 0 T [Âa µ (x)âb ν (y)] 0 frei = 1 δ Z 0 i δj aµ (x)δj bν (y) = id ab Quellen=0 F µν (x y) (4.35) 0 T [ ˆψ rj (x)ˆ ψsl (y)] 0 frei = is lj F rs (x y) (4.353) 0 T [ĉ a (x)ˆ c b (y)] 0 frei = i ab F (x y, m = 0). (4.354) Im folgenden wird beschreiben, wie ein T-Matrixelement T fi berechnet wird. Wir betrachten hierfür den Prozess i f bis zur Ordnung g n. Wir haben f (Ŝ I) i = it fi(π) 4 δ (4) (p f p i ). (4.355) Die Vorgehensweise ist 1. Bestimme das Funktional Z bzw. W bis zur Ordnung g n.. Bestimme die dem Prozess entsprechende Greenfunktion G a...l...j zush. µ...r...s (x 1,..., x n ) = 0 T [A a µ (x),..., ψ rl,..., ψ sj ] 0 zus.hängend (4.356) durch funktionale Differentiation von W. 3. Amputieren, d.h. mit inversen freien Propagatoren multiplizieren. BILD Liefert G zus.hängend,amputiert (x 1,..., x n ). (4.357) 4. Fouriertransformation G(p 1,..., p n )(π) 4 δ(p f p i ) = Πd 4 x j e i P p j x j G(x j ). (4.358) 5. Mit externen Wellenfunktionen multiplizieren und on-shell gehen. it fi = lim p i m i G trunc. (4.359) 4.1 Die Feynmanregeln der Quantenchromodynamik Wir haben Quarks q mit Spinorindex r = 1,..., 4 und Farbindex l = 1,..., 3, q rl (x). Quarks sind Tripletts bezüglich der SU(3). Wir haben Gluonen G mit Lorentzindex µ = 1,..., 4 und Farbindex a = 1,..., 8, G µ (x). Es handelt sich um masselose Spin-1-Felder. Die Fourierzerlegung ist gegeben durch G a µ (x) = d 3 k {e ikx ɛ a k 0 (π) 4 µ (λ)αa (k, λ) + e ikx ɛ a µ (λ)αa (k, λ)}, (4.360) λ

79 Das Standardmodell der Teilchenphysik 75 wobei ɛ µ der Polarisationsvektor ist und λ = 1,..., 4 den Polarisationsindex bezeichnet. Bei α ( ) handelt es sich um den Vernichter (Erzeuger). Die Polarisationsindizes λ = 1, bezeichnen physikalische, die Indizes 3,4 unphysikalische Polarisationszustände. Für die Erzeuger und Vernichter gilt [α a (k, λ), α b (k, λ )] = (π) 3 k 0 g λλ δ ab δ (3) ( k k ). (4.361) Die Polarisationssumme ist gegeben durch physikal. Pol. λ=1, ɛ a µ (k, λ)ɛb ν (k, λ) = δ ab ( g µν + k µ k ν + k ) µ k ν k k, (4.36) wobei k = (k 0, k) und k = (k 0, k). Aufgrund der Erhaltung des Fermionstromes hatten wir in der Quantenelektrodynamik (QED) ɛ µ(k, λ)ɛ ν (k, λ) = g µν für QED. (4.363) physikal. Pol. λ=1, In der QCD gilt diese Regel aber nicht mehr. Für die Geistfelder haben wir die Fourierzerlegung c a d 3 k [ (x) = f a (k)e ikx + d a (k)e ikx], (4.364) k 0 (π) 3 wobei f a (k) (d a ) einen Geist vernichtet (erzeugt) und a = 1,..., 8. Für die Quark- und Antiquark-Spinoren gilt (p/ m) ss u ls (p, r) = 0 (4.365) (p/ + m) ss v ls (p, r) = 0 wobei r = ± 1. (4.366) Sie sind normiert auf ū l (p, r) u j (p, r ) = mδ rr δ lj (4.367) v l (p, r) v j (p, r ) = mδ rr δ lj, l, j = 1,, 3 r,, r = (4.368) Ferner gilt ū ls (p, r)u js (p, r) = δ lj (p/ + m) ss (4.369) r=±1/ r=±1/ v ls (p, r)v js (p, r) = δ lj (p/ m) ss. (4.370) 3-Gluon-Vertex: Als Beispiel leiten wir den 3-Gluon-Vertex her. Die Vorgehensweise wurde im vorigen Abschnitt beschrieben. Wir betrachten in der Wechselwirkungslagrangedichte L I (siehe Glg. (4.344)) nur den 3-Gluon-Anteil L 3G und bestimmen den relevanten Aneil von Z bis zur Ordnung g. Also e i R d 4 x L 3G = 1 + i d 4 xl 3G + O(g ). (4.371)

80 76 Das Standardmodell der Teilchenphysik Und damit Z relevant = [ 1 + i d 4 x L 3G ( 1 i ) ] δ +... Z δj aµ 0G [J]. (4.37) (x) Mit Z 0G [J] = e i R d 4 x 1 d 4 x J aµ (x 1 )D ab F µν (x 1 x )J νb (x ) (4.373) haben wir für ( ) 1 i d 4 δ x L 3G Z i δj aµ 0G [J] (x) = i g ( f abc d 4 1 δ x µ i δj aν (x) 1 δ ν i δj aµ (x) = i g f abc ) 1 i δ δj b µ(x) 1 i δ δjν(x) Z 0G[J] c d 4 x d 4 y 1 d 4 y d 4 y 3 { x µ D aa 1 νρ 1 (x y 1 ) x ν Daa 1 µρ 1 (x y 1 ) } D ba µ ρ (x y )D ca 3 ν ρ 3 (x y 3 ) J a 1ρ 1 (y 1 )J a ρ (y )J a 3ρ 3 (y 3 )Z 0G [J] + Terme mit 3J s. (4.374) Wir betrachten W = 1/i ln Z. Durch Differentiation von W erhalten wir die zusammenhängende 3-Punk-Greenfunktion. Also G conn. a 1a a 3 3G µ 1 µ µ 3 = 1 1 δ 3 i i 3 δj ln Z 3 J=0 = 1 1 δ 3 i i 3 δj a 1µ 1(x1 )J a µ (x )J a 3µ 3(x3 ) Z relevant J=0. (4.375) Die Differentiation ergibt 6 Terme, G conn. a 1a a 3 3G µ 1 µ µ 3 (x 1, x, x 3 ) = igf abc d 4 x { x µd aa 1 νµ 1 (x x 1 ) x ν D aa 1 µµ 1 (x x 1 ) } D ba µ µ (x x )D ca 3 ν µ 3 (x x 3 ) + {(13) (31)} + {(13) (31)}. (4.376) Mit der Fouriertransformierten Dµν ab (x) = δ ab d 4 k (π) 4 e ikx k + iɛ [ g µν + (1 ξ) k ] µk ν k + iɛ }{{} d µν(k) (4.377) erhalten wir G conn. a 1a a 3 d 4 k 1 d 4 k d 4 k 3 3G µ 1 µ µ 3 (x i ) = i (π) 4 (π) 4 (π) 4 δ(4) (k 1 + k + k 3 )e i(k 1x 1 +k x +k 3 x 3 ) d µ1 ν 1 (k 1 )d µ ν (k )d µ3 ν 3 (k 3 ) gf k1 a1 k k a a 3 {(k 1 k ) ν 3 g ν 1ν 3 }{{} +(k k 3 ) ν 1 g ν ν 3 + (k 3 k 1 ) ν g ν 1ν 3 }. (4.378) }{{} G(k i )

81 Das Standardmodell der Teilchenphysik 77 Die trunkierte 3-Punkt-Funktion erhält man, indem man 3-mal den Gluonpropagator i D µν (k) = id µν(k) k + iɛ (4.379) abspaltet. Damit erhält man G trunc a 1a a 3 3G µ 1 µ µ 3 (k i ) = gf a1 a a 3 {(k 1 k ) µ3 g µ1 µ + (k k 3 ) µ1 g µ µ 3 + (k 3 k 1 ) µ g µ1 µ 3 }(4.380), wobei alle Impulse einlaufend sind und am Vertex 4-er Impulserhaltung k i = 0 gilt. Der Vertex ist bosesymmetrisch unter Vertauschung von (µ i, a i, k i ) (µ j, a j, k j ). Analog leitet man die Feynmanregel für den 4-Gluon-Vertex ab. Zusammenfassend sind die Feynmanregeln der QCD u(p) ū(p) v(p) v(p) Quark im Anfangszustand Quark im Endzstand Antiquark im Anfangszustand Antiquark im Endzustand 1 Geist im Anfangs- oder Antigeist im Endzustand 1 Geist im End- oder Antigeist im Anfangszustand ɛ µ,a Gluon im Anfangszustand ɛ µ,a Gluon im Endzustand δ ab [ g µν + (1 ξ) pµ p ν ] i p +iɛ p +iɛ (4.381) δ ab i (p +iɛ) δ lj i (p/ m+iɛ) sr g s f abc [(p q) ρ g µν + (q r) µ g νρ + (r p) ν g ρµ ] 3-Gluon-Vertex [alle Impulse einlaufend, p + q + r = 0] ig s f xac f xbd [g µν g ρσ g µσ g νρ ] ig s f xad f xbc [g µν g ρσ g µρ g νσ ] ig sf xab f xcd [g µρ g νσ g µσ g νρ ] 4-Gluon-Vertex [alle Impulse einlaufend, Summe aller vier Impulse = 0]

82 78 Das Standardmodell der Teilchenphysik g s f abc q µ Geist-Geist-Gluon-Vertex, Impulse p, k von Gluon und Geist einlaufend, Impuls q von Geist auslaufend ig s (t a ) jl γ µ (4.38) Quark-Quark-Gluon-Vertex, Impulse p, k von Quark und Gluon einkommend, Impuls q von Quark auslaufend l, j Farbindex des einlaufenden Quarks, des auslaufenden Quarks Bemerkungen: Für jede geschlossene Fermion- und jede Geistschleife muß ein Faktor (-1) hinzugefügt werden. Bei geschlossenen Gluon-Schleifen muß ein Statistikfaktor hinzugefügt werden. Diesen erhält man, indem man alle möglichen Konktraktionen von Feldoperatoren in der Störungsentwicklung zählt. (BILD)

83 Kapitel 5 Renormierung Bisher haben wir nur Diagramme auf Baumgraphenniveau (Born Approximation) betrachtet. Es stellt sich die Frage, ob die Quantisierung nicht-abelscher Eichtheorien und die Entwicklung der Feynmanregeln noch konsistent ist, wenn wir dies auf Diagramme anwenden, die geschlossene Schleifen enthalten, d.h. wenn wir die Theorie jenseits der Bornapproximation betrachten. Es zeigt sich, daß in manchen Schleifenintegralen (BILD) ultraviolette (UV) Divergenzen auftreten. D.h., diese Diagramme haben Divergenzen für l, i.e. l 0 (Energie). Dieses Problem wird durch die Renormierung gelöst, was nichts anderes ist als eine Subtraktionsvorschrift für divergente Amplituden. Wir veranschaulichen dies mehr, indem wir das folgende Diagramm betrachten. 1 Diagramm (i) Die Selbstenergie führt zu einer Änderung der Masse. (ii) Die vorübergehende Spaltung führt zu einer Änderung der Wellenfunktions-Normierung und der Kopplung des Teilchens. Die Masse eines Teilchens wird aber durch die Experimente festgelegt, die an einer Skala µ definiert sind [physikalische Ergebnisse sind unabhängig von der Skala µ Renormierungsgruppengleichungen]. Renormierung bedeutet also anzugeben, mit welcher Vorschrift die Parameter gemessen werden. Dies ist eine Konsequenz der Quantenfluktuationen. Renormierung bedeutet anschaulich folgendes: Betrachten wir die Photon-Elektron-Positron- Wechselwirkung. In Wirklichkeit mißt man den vollen Vertex, d.h. den Baumgraphenvertex plus alle Diagramme höherer Ordnung. Eine mögliche Renormierungsvorschrift ist, daß die elektrische Ladung definiert ist als die volle Elektron-Positron-Photon-Kopplung für on-shell Teilchen (also Teilchen auf der Massenschale) im Thomson Limes. BILD Wir bezeichnen die klassischen Parameter in der Lagrangedichte mit m 0, g 0, φ 0, so daß wir L(φ 0 ; m 0, g 0 ) haben. Diese werden nackte Parameter genannt. Die renormierten Parameter φ R, m R, g R stehen zu den nackten Parametern in Beziehung 79

84 80 Renormierung über m 0 = m R + δm g 0 = Z g g R = [1 + δz g ]g R φ 0 = Z 1/ φ φ R = [1 + δz φ ] 1/ φ R, (5.1) wobei Z i dimensionslose Renormierungskonstanten sind. Die quantenmechanische Lagrangedichte kann geschrieben werden als L(φ 0 ; m 0, g 0 ) = L(Z 1/ φ φ R; m R + δm, Z g g R ) = L R (φ R ; m R, g R ) + L counter. (5.) Letztere ist die sogenannte Gegenterm (counterterm) Lagrangedichte. Die Feynmandiagramme werden mit den Feynmanregeln berechnet, die sich aus der renormierten und der counterterm Lagrangedichte ergeben. Der kinetische Teil für das Feld φ sieht beispielsweise folgendermaßen aus: 1 µφ 0 µ φ 0 = 1 Z φ µ φ R µ φ R = 1 µφ R µ φ R + 1 (Z φ 1) µ φ R µ φ R L kin R + Lkin counter. (5.3) Weitere Bemerkungen: Bevor wir ins Detail gehen, sind weitere Bemerkungen angebracht: Eine Theorie wird renormierbar genannt, wenn die auftretenden UV Divergenzen, Unendlichkeiten oder anscheinend nicht Sinn ergebenden Ergebnisse durch den Prozess der Renormierung behoben werden können. Das bedeutet, daß die Anzahl der unabhängigen Typen von UV Unendlichkeiten endlich sein muß. Und indem sie gleich den gemessenen Werten gesetzt werden, können die Ergebnisse aller anderen Experimente vorhergesagt werden. Der Beweis der Renormierbarkeit einer Theorie ist höchst nicht-trivial. Es waren t Hooft und Veltman, die dieses Problem für spontan gebrochene Eichtheorien gelöst haben. Sie zeigten in den frühen 70ern, wie die GSW Theorie renormiert werden kann (oder wie die Unendlichkeiten entfernt werden können) und wie diese Theorie zu benützen ist, um genaue Rechnungen zu den Teilcheneigenschaften auszuführen. Sie erhielten 1999 den Nobelpreis for elucidating the quantum structure of electroweak interactions in physics. GSW Parameter: Es gibt mehrere Schemata, die benützt werden, um die GSW Parameter auszudrücken. Im (i) On-shell Schema sind die gemessenen Parameter α, M W, M Z, m f, m H. Alle anderen Parameter werden von diesen abgeleitet. (ii) G F Schema: Die input Parameter sind α, G F, M Z, m f, m H. MS Schema: Ein weiteres Renormierungsschema, das oft in den Rechnungen verwendet wird. Regularisierung: Wie schon oben erwähnt, wenn Rechnungen jenseits der führenden Ordnung (jenseits der Bornapproximation) durchgeführt werden, können Divergenzen auftreten, die durch die Renormierung behoben werden müssen, d.h. indem die Parameter der Theorie geeignet definiert werden. Bevor dies getan werden kann, müssen die auftretenden Divergenzen isoliert werden. Regularisierung bedeutet nichts anderes als eine Vorschrift anzugeben,

85 Renormierung 81 wie die Divergenzen eindeutig isoliert werden. Folgendes Diagramm führt beispielsweise zu einer logarithmischen Divergenz. Denn 1 Π(p) = ( iλ) i d 4 l (π) 4 i [(p + l) m + iɛ][l m + iɛ]. (5.4) Wir führen die analytische Fortsetzung in den Euklidischen Raum durch, l 0 = il 4 l = l0 l = le d 4 l = i d 4 l E = i l E 3 d l E dω 4, (5.5) 0 wobei dω 4 das 4-dimensionale Raumwinkelelement bezeichnet. Und l E = l4 + l. Damit ist das Integral 0 (5.6) l E 3 d l E d l E. (5.7) l E 4 0 l E Dies ist logarithmisch divergent. Die Divergenz tritt für große l E auf UV-Divergenz. Impuls cut-off Λ (für Eichtheorien nicht geeignet): Λ d l E l E ln Λ. (5.8) Physikalische Meßgrößen dürfen natürlich nicht vom cut-off abhängen. Das naive Einführen bricht die Eichinvarianz. Besser: Dimensionale Regularisierung: In der dimensionalen Regularisierung werden die Divergenzen isoliert, indem die Theorie in D = 4 ɛ Dimensionen 4 Dimensionen definiert wird. Die Divergenzen treten dann als Pole in ɛ auf: 1/ɛ (n), ɛ 0. Regeln: Die Regeln für die Durchführung einer Rechnung in D 4 Dimensionen sind: Das Integral über den Schleifenimpuls q wird in der folgenden Weise ersetzt d 4 q (π) 4 µ4 D d D q (π) D (5.9) µ hat die Dimension einer Masse. Die Einführung der Masse µ in D Dimensionen hält die Dimension des Integrals auf derselben wie in D = 4 Dimensionen. Damit im obigen Beispiel d 4 l E d D l E = l E D 1 d l E dω D. (5.10)

86 8 Renormierung Damit ist für D < 4 d l E l E D 1 l E 4 UV-konvergent. (5.11) Bemerkung: Mathematisch ist der Ursprung der UV-Divergenz das Produkt von Distributionen mit gleichem Argument. BILD Man muß eine Vorschrift definieren [ F (x y)] ( F (x y)) B(x y). (5.1) Die Kopplungskonstante g wird ersetzt durch g g µ 4 D (5.13) Dies wird wiederum getan, um die Dimension der Greens Funktionen unverändert zu halten. Für die Metrik haben wir g µν ist D-dimensional, d.h. g µµ = D. (5.14) Die Dirac-Matrizen werden so verallgemeinert, daß {γ µ, γ ν } = g µν 1 γ µ γ µ = D1 γ ρ γ µ γ ρ = g µρ γ ρ γ µ γ ρ γ ρ = ( D)γ µ etc. γ 5 ist nicht-trivial in D Dimensionen. (5.15) 1-Punkt Funktion: Zur Veranschaulichung berechnen wir die 1-Punkt Funktion (d.h. ein Integral, das nur ein Propagatorintegral über den Schleifenimpuls enthält) in D Dimensionen. Wir haben also i 16π A = µ4 D d D q (π) D 1 q m + iɛ (5.16) Wir berechnen das Integral in Euklidischen Raumzeit-Dimensionen und führen dazu eine Wick-Rotation durch: q 0 = iq 0 E q = q E d D q = id D q E. (5.17)

87 Renormierung 83 Das Integral wird ia µ4 D = i 16π (π) D q E d D q E. (5.18) + m Erklärung: Wir haben Pole in der q 0 Ebene: 0 = q m + iɛ = q0 q m + iɛ q 0 = ± q + m iɛ = ± q + m iɛ. (5.19) Wir betrachten das Integral über die Kurve C C dq 0 (q m + iɛ) 1 = 0 (5.0) Die Beiträge über die Kreissegmente verschwinden, so daß wir haben dq 0... = i i dq Und damit in Euklidischen Koordinaten (q 0 = iq 0 E, qk = q k E ), i i dq 0... = i (5.1) dqe (5.) Für die weitere Berechnung des Integrals führen wir eine Transformation auf Kugelkoordinaten durch d D q E = dω D dq E q D 1 E = dω D dq 1 E Ω D 0 Ω D 0 (q E )D/ 1, (5.3) wobei Ω D = πd/ Γ(D/) der D-dimensionale Raumwinkel ist. Und damit erhalten wir für das Integral i 16π A n 1 = i µ4 D 1 dω (π) D D dρ ρ D 1 ( 1) n (ρ + L iɛ) n 0 π D/ = i( 1) n µ4 D 1 (π) D Γ(D/) ρ=ly = i( 1) n µ4 D (4π) D 1 (L iɛ)d/ n Γ(D/) 0 dρ ρ D 1 1 (ρ + L iɛ) n dy y D/ 1 (1 + y) n 0 } {{ } =B( D,n D ) (5.4) (5.5)

88 84 Renormierung Der Faktor ( 1) n stammt aus (q m + iɛ) n Funktion = ( 1) n (qe + m iɛ) n. Mit der Beta B(x, y) = Γ(x)Γ(y) Γ(x + y) (5.6) erhalten wir schließlich i 16π A n 1 = i( 1) n µ4 D (L iɛ) D/ n Γ(n D). (4π) D Γ(n) (5.7) Die Γ(x)-Funktion hat Pole in x = 0, 1,,... Eine Entwicklung für kleine ɛ ergibt Γ(ɛ) = 1 γ + O(ɛ) mit dem Euler γ, γ = (5.8) ɛ Außerdem verwenden wir die Entwicklung a ɛ = e ɛ ln a = 1 + ɛ ln a (5.9) Wir bekommen für A n=1 mit 4 D = ɛ und L m A = µɛ Γ( 1 + ɛ) (m ) 1 ɛ. (5.30) (4π) ɛ Γ(1) Mit Γ(1) = 1 und Γ(1 + x) = xγ(x) (5.31) und der obigen Entwicklung bekommen wir A(m ) = (1 + ɛ ln(4π) +...)(1 ɛ ln( m m µ ) +...)( 1)(1 + ɛ)(1 ɛ γ +...) A(m ) = 1 m γ + ln 4π ln O(ɛ) (5.3) m ɛ µ Damit finden wir A(m ) m = ln m µ + 1 = 1 ɛ γ + ln 4π (5.33) Massen-Renormierung: Wir schauen nun als Beispiel die Massenrenormierung für ein skalares Teilchen an. Der volle Propagator ist gegeben durch 1 k m = = 1 k m + 1 k m [δm + Σ] 1 k m {1 + + Σ [δm 1 1 = k m 1 δm +Σ k m k m ] + [...] +...} 1 k m k m {[δm + Σ] k m } k m [δm + Σ] (5.34)

89 Renormierung 85 Wir haben hier die Formel für die geometrische Reihe verwendet. q n = 1 1 q. n=0 Mit der on-shell Renormierungsbedingung (5.35) Propagator 1 k m for k m (5.36) bekommen wir (hier ist m die physikalische Masse!) δm + Σ(k = m ) = Klassifizierung lokaler Wechelwirkungen (5.37) (Inhalte: oberflächlicher Divergenzgrad; superrenormierbare, renormierbare und nicht renormierbare Wechselwirkungen) Für nichtabelsche Eichtheorien ist die einzige Regularisierung von praktischer Relevanz die dimensionelle Regularisierung: D = 4 D 4 (< 4) mit D 1 Raumdimensionen und 1 Zeitdimension. (5.38) Naive Dimensionsanalyse: = c = 1. Damit S = d D xl(x) [S] = [ ] = dimensionslos. (5.39) Sei M eine beliebige Massenskala. Dann haben wir ( xp) [x µ ] = M 1 [ µ ] = M. Die Massendimension der Felder ist (a) Skalare Felder (5.40) [φ, φ] t=t = i δ (D 1) ( x x ) }{{} [.]=M D 1 (5.41) und also [φ] = M D. (5.4) Analog [A µ ] = M D. (5.43) (b) Spinorfelder {ψ l, ψ s } t=t = δ lsδ (D 1) ( x x ). (5.44) Damit [ψ] = M D 1. (5.45)

90 86 Renormierung (c) Geistfelder L Geist 0 = µ c µ c (5.46) M D M [c]. (5.47) Damit [c] = M D (5.48) Nun zur Kopplungskonstante. Wir betrachten z.b. die QED. Der Kopplungsterm ist e qγ µ A µ q. (5.49) Damit ist [e QED ] = [g QCD ] = M 4 D. (5.50) D.h. in 4 Dimensionen ist die Kopplung dimensionslos. In D < 4 hat die Kopplung eine positive Massendimension. Ferner ist der Eichparameter dimensionslos, [ξ] = M 0. (5.51) Die γ-algebra in D Dimensionen hatten wir bereits oben betrachtet. Bemerkung: γ 5 in D Dimensionen ist problematisch, da der Levi-Civitá-Tensor nur in D = 4 Dimensionen definiert ist. Divergenzgrad eines Diagramms Betrachte folgendes Diagramms (BILD) Das Feynman-Integral I G ist für große Schleifenimpulse l I G d D l 1 d D l l (l1 1 l 1. (5.5) )3 l l Der oberflächliche Divergenzgrad ist damit d = D + 6 = D 6. (5.53) Allgemein ist der oberflächliche Divergenzgrad eines 1-Teilchen irreduziblen Diagramms G d G = Dl + v δ v n B n F, (5.54) wobei l die Anzahl der Schleifen, δ v die Anzahl der Impulsfaktoren am Vertex, n B die Anzahl der inneren Bosonlinien und n F die Anzahl der inneren Fermionlinien bezeichnet. Obiges gilt allerdings nicht für massive Vektor-Bosonen. Diese haben den Feynmanpropagator ( D µν i = g k m µν + k ) µk ν. (5.55) V m V

91 Renormierung 87 Das Konvergenztheorem (von Weinberg) lautet: I G ist absolut konvergent, falls der Divergenzgrad d H < 0 für alle Subdiagramme H G. Wir betrachten nun die Klassifizierung von renormierbaren Wechselwirkungen. Sei L = L 0 + L I, (5.56) mit b = Anzahl der Bosefelder in L I (5.57) f = Anzahl der Fermifelder in L I (5.58) δ = Anzahl der Ableitungen in L I. (5.59) Wir betrachten das Feynmandiagramm (mit Namen) G. Sei n = Anzahl der Vertizes (generiert durch eine spezielles L I ) (5.60) N B = Anzahl der externen Boselinien (5.61) N F = Anzahl der externen Fermilinien (5.6) l = Anzahl der Schleifen (nach der Verwendung der Energie-Impulserhaltung(5.63) an jedem Vertex). (5.64) Letztere l ist gegeben durch l = n B + n F n + 1. (5.65) Denn jeder Vertex erzeugt eine δ-funktion für die Energie-Impulserhaltung und sorgt so für eine Reduktion in l um n 1 Impulsintegrale. Ferner haben wir nδ = v δ v (5.66) und nb = n B + N B. (5.67) Denn z.b. (BILD) 3 = (5.68) Der erste Term auf der rechten Seite kommt dadurch zustande, daß eine innere Linie an Vertizes beteiligt ist. Ferner haben wir nf = n F + N F. (5.69) Einsetzen der Gleichungen (5.67), (5.69) in (5.65) liefert l = b + f n n N B + N F + 1. (5.70)

92 88 Renormierung Einsetzen von (5.66), (5.70) in (5.54) liefert d G = rn D N B D 1 N F + D. (5.71) Man nennt r den Divergenzgrad von L I. Er ist gegeben durch r = D b + D 1 f + δ D. (5.7) Der Divergenzgrad charakterisiert L I. Es gilt für die Dimension der Kopplung g I, [g I ] = r. (5.73) Denn sei schematisch L I g I ( ) δ (φ) b (ψ) f. (5.74) Dann ist die Dimension von L I D = [L I ] = [g I ] + δ + b D + f D 1 Mit der Verallgemeinerung auf mehrere Vertizes haben wir für. (5.75) L I = somit k i=1 L (i) I (5.76) d G = k i=1 r i n i D N B D 1 N F + D, (5.77) mit den Divergenzindizes r i = D b i + D 1 f i + δ i D. (5.78) Das Integral I G ist UV-divergent, falls d H > 0 für mindestens ein Subdiagramm H G. Klassifizierung 1) Falls r i > 0 (i = 1,..., k) für irgendein i, dann wächst mit genügend großem n i der Divergenzgrad d G über alle Schranken, so daß die Theorie nicht renormierbar ist. ) r i = 0 für alle i. Dann gibt es eine endliche Anzahl von Feynman-Diagrammtypen (d.h. n-punkt-funktionen), die d G 0 haben. Damit ist nur eine endlichen Anzahl von countertermen notwendig, so daß die Theorie renormierbar ist. 3) r i < 0 für alle i. Dann ist die Theorie superrenormierbar. Wir betrachten Beispiele. A) L I = λφ 3. (5.79) In D Dimensionen ist [λ] = r = D 3 D = D 6. (5.80)

93 Renormierung 89 Die Theorie ist renormierbar für D = 6 nicht renormierbar für D > 6 superrenormierbar für D < 6. B) L I = h( ψψ) 4-Fermi-Wechselwirkung. (5.81) Damit ist [h] = r = D 4 D 1 = D. (5.8) Die Theorie ist also in D = Dimensionen renormierbar (Thirring-Modell) und nicht renormierbar für D > (insbesondere für D = 4). Wir haben folgende Merkregel Koppl.konstanten haben pos. Massendim. Theorie superrenormierbar Koppl.konstanten haben 0 Massendim. Theorie renormierbar Koppl.konstanten haben neg. Massendim. Theorie nicht renormierbar Diese Regel gilt nicht für massive Vektorfelder. Deren Feynmanpropagator (s.o.) geht gegen O(1) im limes k. Wir betrachten als weiteres Beispiel die QCD. Die Wechselwirkungslagrangedichte lautet L = L 0 + L I, (5.83) wobei L I = gf abc µ c a G µb c c g qt a γ µ qg a µ + g f abc( µ G a ν νg a µ )Gbµ G cν g 4 f abef cde G a µ Gb ν Gcµ G dν. (5.84) Wir bestimmen die Divergenzindizes r i = D b i + D 1 f i + δ i D (5.85) der 4 Wechselwirkungsterme: r Geist = 3 D r Quark = D r 3G = 3 D r 4G = 4 D + 1 D = D 4 + D 1 D = D D = D 4 (5.86) (5.87) (5.88) D = D 4. (5.89)

94 90 Renormierung Die Kopplungskonstante hat die Dimension [g] = 4 D (5.90) und ist dimensionslos in D = 4 Dimensionen. Für D = 4 ist r i = 0. Damit ist die QCD gemäß Potenzabzählen renormierbar. (Wenn man die Gegenterme dazuaddiert ändert sich strukturell an L nichts.) Bemerkung: Bei Geistern muß folgende Ersetzung gemacht werden N B N Gluon + 3 N Geist. (5.91) 5. Renormierung der GSW Theorie 5..1 Renormierungskonstanten Für die Renormierung der GSW Theorie haben wir folgende Renormierungskonstanten (zur Vereinfachung nehmen wir hier die CKM-Matrix als Einheitsmatrix an): e 0 = Z e e = (1 + δz e )e W ± 0 = Z W W ± = (1 + 1 δz W )W ± M W 0 = M W + δm W H 0 = Z H H = (1 + 1 δz H)H MZ0 = MZ + δm Z f L/R0 = Z L/R f L/R = (1 + 1 ( ) ( δz L/R)f L/R ) ( ) MH0 = MH + δm H Z0 ZZZ ZZA = ZAZ Z ZAA A m f0 = m f + δm f A 0 Man sieht sogleich, daß aufgrund der höheren Ordnungen Mischungen zwischen Photon und dem Z-Boson auftreten. Durch geeignete Renormierungsbedingungen werden wir diese auf 0 festlegen. 5.. Renormierungsbedingungen Die Koeffizienten der Gegenterme (counterterme) sind vollständig durch die Renormierungsbedingungen bestimmt. Wir betrachten zunächst das Higgspotential, das durch V = λ [ φ µ λ ] (5.9) gegeben ist. Mit dem Higgs-Dublett ( ) φ + φ = 1 = φ (v + H + iχ) 0 + ˆφ (5.93) haben wir mit V = λ 8 (v µ λ ) + T H + O( ˆφ ) (5.94) T = λ v(v µ λ ) (5.95)

95 Renormierung 91 Aus der Minimierung des Higgspotentials bekommen wir die Bedingung v = µ λ T! 0. T = = 0. Bei Einschluß der Quantenfluktuationen haben wir für ˆT die Tadpole + counterterm und damit (5.96) ˆT = (5.97) Wir fordern dann, daß die renormierten Tapole ˆT = T δt gleich 0 sind, und erhalten also die Bedingung δt = T. Die Tadpole-Diagramme werden durch die Renormierung des Higgspotentials vollständig subtrahiert und tragen also nicht zu den physikalischen Observablen bei. Definitionen: Wir definieren die Selbstenergien Σ und den Photon-Fermion-Fermion Vertex Γ wie folgt = Σ V V µν (k) for V = W ±, Z, A = Σ H (k ) = Σ f (p/) = Γ ffγ µ (q, p, p ) (5.98) Die Vektorboson-Selbstenergien können in einen transversalen und einen longitudinalen Beitrag zerlegt werden, ( Σ V V µν (k) = i g µν k ) µk ν Σ V V k T (k ) i k µk ν Σ V V }{{} k L (k ). (5.99) }{{} transversal longitudinal Die fermionische Selbstenergie kann in einen links-chiralen, einen rechts-chiralen und einen skalaren Anteil zerlegt werden, Σ f (p/) = i p/ ω Σ f,l (p ) +ω + Σ f,r (p ) + m f Σ f,s (p ) (5.100) }{{}}{{}}{{} left-chiral right-chiral scalar mit ω ± = 1 ± γ 5. (5.101) Renormierungsbedingungen: (kɛ(k) = 0) Mit der Forderung, daß die renormierten Massenparameter der physikalischen Teilchen gleich den physikalischen Massen sind, d.h. gleich den reellen Anteilen der Pole der entsprechenden Propagatoren, die äquivalent zu den Nullstellen der 1-Teilchen irreduziblen -Punktfunktionen sind, haben wir die folgenden Renormierungsbedingungen für die Massen, Re ˆΣ V µν V (k) k =MV = 0 for V = W, Z, [A] Re ˆΣ H (k = MH) = 0 Re ˆΣ f (p/)u(p) p/=mf = Re ū(p)ˆσ f (p/) p/=mf = 0. (5.10)

96 9 Renormierung Im Fall von Massenmatrizen fordern wir, daß die nicht-diagonalen Selbstenergien null sind, wenn die externen Linien auf ihrer Massenschale sind. Für die diagonalen Einträge fordern wir, daß die Residuen der renormierten Propagatoren gleich 1 sind. Wir bekommen die Renormierungsbedingungen für die Wellenfunktionen Re ˆΣ V µν V (k) ɛ ν (k) k k =MV Re ˆΣ H (k ) k k =M H = 0 = 0 for V = W, Z, A Re ˆΣ f (p/) u(p) p/=mf = Re ū(p) ˆΣ f (p/) p/=mf = 0 p/ p/ ˆΣ AZ µν (k)ɛ ν AZ (k) k =0 = Re ˆΣ µν ɛ ν (k) k =MZ = 0. (5.103) Und für die Ladung haben wir die Renormierungsbedingung (e ist die physikalische Ladung, die im klassischer Thomson-Streuung gemessen wird: E γ 0) ū(p )ˆΓ ffγ µ (q, p, p )u(p) p =p =m f,q =0 = iee f ū(p)γ µ u(p). (5.104) ˆΓ ffγ bezeichnet den renormierten Photon-Fermion-Fermion Vertex. Nach Einsetzen der expliziten Zerlegungen der Selbstenergien erhalten wir die allgemeinen Ausdrücke für die entsprechenden Renormierungsbedingungen: Re ˆΣ W T W (MW ) = 0 ZZ Re ˆΣ T (M Z AZ ) = 0 Re ˆΣ T (M Z ) = 0 ˆΣ AZ T (0) = 0 ˆΣAA T (0) = 0 Re ˆΣ W T W (k ) k k =MW = 0 Re ZZ ˆΣ T (k ) k k =M Z = 0 Re ˆΣ AA T (k ) k k =0 = 0 Re ˆΣ H (MH) = 0 Re ˆΣ H (k ) k k =MH = 0 m f Re [ˆΣ f,l/r (m f) + ˆΣ f,s (m f)] = 0 (5.105) Re {[ˆΣ f,l (m f ) + ˆΣ f,r (m f ) + m f p [ˆΣ f,l (p ) + ˆΣ f,r (p ) + ˆΣ f,s (p )] p =m } = 0. f Mit den entsprechenden Gegentermen haben wir die expliziten Ausdrücke für die Renormierungskonstanten δm W δt = T W = Re ΣWT (MW ) δz W = Re ΣW T W (k ) k δmz = Re ΣZZ T (M Z ) δz ZZ = Re ΣZZ T (k ) k δz AZ = Re ΣAZ T (M Z ) δz MZ ZA = ΣAZ T (0) MZ δz AA = ΣAA T (k ) k k =0 k =M W k =M Z

97 Renormierung 93 δmh = ReΣ H(MH ) δz H = Re Σ H(k ) k k =MH δm f = m f Re [ Σ f,l(m f ) + Σ f,r(m f ) + Σ f,s (m f δz f,l = Re Σ f,l (m f ) m f p Re [Σ f,l(p ) + Σ f,r (p ) + Σ f,s (p )] p =m f δz f,r = Re Σ f,r (m f) m f p Re [Σ f,l(p ) + Σ f,r (p ) + Σ f,s (p )] p =m f. (5.106) Der volle elektromagnetische Vertex ist Indem man die Diracgleichung und die Wardidentität ausnützt (die aus der Eichinvarianz folgt), erhält man den Gegenterm für die Ladungsrenormierung δz e = 1 δz AA s W c W δz ZA = 1 Σ AA T (k ) k k =0 s W Σ AZ T (0) c W M Z. (5.107) Er ist unabhängig vom Fermion f. Wir haben also Ladungsuniversalität. Im on-shell Schema ist der Weinbergwinkel kein freier Parameter. Eine mögliche Definition ist [A. Sirlin, Physical Review D ( 80) 971] sin θ W = s W = 1 M W M Z c W = M W M Z. (5.108) Daraus folgt direkt die Renormierungskonstante für den Weinbergwinkel s W 0 = s W + δs W c W 0 = c W + δc W δc W = 1 ( δm W δm ) Z = 1 [ Σ W c W MW MZ Re T (MW ) MW ΣZZ T (MZ ) ] MZ δs W s W = c W s W δc W c W. (5.109) Schleifen Integrale Ein-Schleifen Integrale können im allgemeinen auf die folgenden skalaren Integrale reduziert werden: 1-Punkt Funktion: A 0 (m) = 16π µ 4 D i d D k (π) D 1 k m (5.110)

98 94 Renormierung -Punkt Funktion: B 0 (p; m 0, m 1 ) = 16π µ 4 D i d D k (π) D 1 (k m 0)[(k + p) m 1] (5.111) 3-Punkt Funktion: C 0 (p 1, p ; m 0, m 1, m ) = 16π µ 4 D i d D k 1 (5.11) (π) D (k m 0)[(k + p 1 ) m 1][(k + p ) m ] 4-Punkt Funktion: D 0 (p 1, p, p 3 ; m 0, m 1, m, m 3 ) = 16π µ 4 D d D k (π) D i 1 (k m 0)[(k + p 1 ) m 1][(k + p ) m ][(k + p 3 ) m 3] (5.113) Alle Tensorintegrale können in Tensoren zerlegt werden, die aus den externen 4er-Impulsen bestehen. Die entsprechenden Koeffizienten können durch die obigen skalaren Integrale ausgedrückt werden und sind symmetrisch. [Passarino+Veltman, Nuclear Physics B 160 ( 79), 151] B µ (p; m 0, m 1 ) = 16π µ 4 D i B µν (p; m 0, m 1 ) = 16π µ 4 D i C µ (p 1, p ; m 0, m 1, m ) = 16π µ 4 D i d D k k µ (π) D (k m 0)[(k + p) m 1] = B 1p µ d D k k µ k ν (π) D (k m 0 )[(k + p) m 1 ] = B 00g µν + B 11 p µ p ν d D k k µ (π) D (k m 0)[(k + p 1 ) m 1][(k + p ) m ] = C 1 p 1µ + C p,µ C µν (p 1, p ; m 0, m 1, m ) = 16π µ 4 D d D k k µ k ν i (π) D (k m 0 )[(k + p 1) m 1 ][(k + p ) m ] = C 00 g µν + C 11 p 1,µ p 1,ν + C p,µ p,ν + C 1 (p 1,µ p,ν + p 1,ν p,µ ) = C 00 g µν + C ij p iµ p jν C µνρ = D µ = i,j=1 (g µν p iρ + g νρ p iµ + g µρ p iν )C 00i + i=1 3 D i p iµ i=1 D µν = D 00 g µν + D µνρ = 3 D ij p iµ p jν i,j=1 3 D 00i (g µν p iρ + g νρ p iµ + g µρ p iν ) + i=1 i,j,k=1 3 i,j,k=1 C ijk p iµ p jν p kρ D ijk p iµ p jν p kρ

99 Renormierung 95 D µνρσ = D 0000 (g µν g ρσ + g µρ g νσ + g µσ g νρ ) 3 + D 00ij (g µν p iρ p jσ + g νρ p iµ p jσ + g µρ p iν p jσ + g µσ p iν p jρ + i,j=1 +g νσ p iµ p jρ + g ρσ p iµ p jν ) 3 D ijkl p iµ p jν p kρ p lσ (5.114) i,j,k,l=1 C ijk, D ij, D ijk, D 00ij, D ijkl sind symmetrisch in den Indizes. Die Koeffizienten können durch Kontraktion mit den Tensoren bestimmt werden. Beispiele: (i)p µ B µ = p B 1 = 16π µ 4 D i d D k kp (π) D (k m 0 )[(k + p) m 1 ] kp = 1 {[(k + p) m 1 ] (k m 0 ) p m 0 + m 1 } (5.115) B 1 = 1 p {A 0(m 0 ) A 0 (m 1 ) (p + m 0 m 1)B 0 (p; m 0, m 1 )} (5.116) (ii)g µν B µν = DB 00 + p B 11 = 16π µ 4 D i d D k (π) D k m 0 + m 0 (k m 0 )[(k + p) m 1 ] = A 0 (m 1 ) + m 0 B 0 p µ p ν B µν = p (B 00 + p B 11 ) = 16π µ 4 D d D k (kp) i (π) D (k m 0)[(k + p) m 1] (kp) = kp [(k + p) m 1 ] kp }{{} (k m 0 ) kp }{{} (p + m 0 m 1 ) 0 p (k m 0 ) d D k k µ because (π) D k m = 0 1 p pµ p ν B µν = B 00 + p B 11 = 1 {A 0(m 1 ) (p + m 0 m 1)B 1 } and DB 00 + p B 11 = A 0 (m 1 ) + m 0 B 0 (5.117) Also haben wir B 00 = B 11 = 1 (D 1) {A 0(m 1 ) + m 0B 0 + (p + m 0 m 1)B 1 } 1 (D 1)p {(D )A 0(m 1 ) m 0B 0 D(p + m 0 m 1)B 1 } (5.118) (iii) p µ 1C µ = p 1C 1 + p 1 p C = 16π µ 4 D i d D k (π) D kp 1 (k m 0)[(k + p 1 ) m 1][(k + p ) m ]

100 96 Renormierung p 1 k = 1 {[(k + p 1) m 1 ] (k m 0 ) (p 1 m 1 + m 0 )} p 1 C 1 + p 1 p C = 1 {B 0(p ; m 0, m ) B 0 (p p 1 ; m 1, m ) (p 1 m 1 + m 0 )C 0} p 1 p C 1 + p C = 1 {B 0(p 1 ; m 0, m 1 ) B 0 (p p 1 ; m 1, m ) (p m + m 0)C 0 } (5.119) In matrix from [f i = p i m i + m 0 ]: ( ) ( ) p 1 p 1 p C1 p 1 p p = 1 ( B0 (p ; m 0, m ) B 0 (p p 1 ; m 1, m ) f 1 C 0 C B 0 (p 1 ; m 0, m 1 ) B 0 (p p 1 ; m 1, m ) f C 0 Damit haben wir als Lösung ) (5.10) ( C1 C ) ( p = 1 p 1 p p 1 p p ) 1 ( 1 B0 (p ; m 0, m ) B 0 (p p 1 ; m 1, m ) f 1 C 0 B 0 (p 1 ; m 0, m 1 ) B 0 (p p 1 ; m 1, m ) f C 0 ) (5.11) Hilfreiche Formeln Für die Berechnung der skalaren Integrale benötigen wir einige Formeln und/oder Beziehungen, die im folgenden gegeben werden. Feynman Parametrisierung: 1 a α 1 1 a α...a αn n = Γ(α α n ) Γ(α 1 )...Γ(α n ) 1 0 dx 1 1 x1 0 1 x1... x n dx... dx n 1 0 (1 x 1... x n 1 ) α1 1 x α x αn 1 n 1 [a 1 (1 x 1...x n 1 ) + a x a n x n 1 ] P (5.1) α i D-dimensionale Integrale d D k 1 (π) D (k M + iɛ) = i ( 1)N Γ(N D ) 1 N (4π) D/ Γ(N) (M iɛ) N D d D k k (π) D (k M + iɛ) = i ( 1) N 1 Γ(N 1 D ) D N (4π) D/ Γ(N) (M iɛ) N 1 D d D k k µ k ν (π) D (k M + iɛ) = i ( 1) N 1 Γ(N 1 D ) g µν N (4π) D/ Γ(N) (M iɛ) N 1 D d D k (π) k µk D ν f(k ) = 1 D g d D k µν (π) D k f(k ) (5.13) Entwicklung der Gamma- und der Beta-Funktion Γ(N ɛ ) = Γ(N)(1 ɛ Ψ(N)) + O(ɛ ) for ɛ = 4 D with Ψ(N) = S N 1 γ E

101 Renormierung 97 S N = N j=1 1 j Γ(A + 1) Γ(A) = A B(A 1, A ) = Γ(A 1)Γ ( A ) Γ(A 1 + A ) Γ( ɛ ) = ɛ γ E + (ɛ) and γ E = B(N ɛ, 1 ɛ ) = 1 N [1 + ɛs N ɛ S N 1] + O(ɛ ) B(N ɛ, ɛ ) = 1 N(N + 1) [1 ɛ S N 1 ɛ + ɛs N+1] + O(ɛ ) (5.14) 5.3. Berechnung der skalaren Integrale Wir haben bereits gefunden mit A 0 (m) = m { + ln µ + 1} (5.15) m = 1 ɛ γ E + ln 4π (5.16) Als nächstes berechnen wir die B 0 Funktion B 0 (p; m 0, m 1 ) = 16π µ 4 D d D k 1 i (π) D (k m 0 + io)[(k + p) m 1 + io] Mit der Feynman-Parametrisierung (siehe Glg. (5.1) haben wir ( 1 1 AB = dx 0 [Ax + B(1 x)] = 1 ) 1 1 A B Ax + B(1 x) 0 0 = 1 A B ( 1 A 1 ) B (5.17) Nach der Feynman-Parametrisierung [A = (k + p) m 1 und B = k m 0] haben wir für die B 0 Funktion B 0 = 16π µ 4 D 1 d D k 1 dx with i (π) D (k + kq M + io) Q = xp M = m 0 (1 x) (p m 1 )x. (5.19) Wir redefinieren k als k = k Q und schreiben dann k als k. Wir haben dann B 0 = 16π µ 4 D 1 d D k 1 dx with i (π) D (k R + io) 0 R = Q + M = m 0 (1 x) + m 1 x p x(1 x). (5.130) Für das Integral über k benützen wir die Integrationsformel (siehe auch oben) d D k 1 (π) D (k R ) = iγ(n D) N ( 1)N (4π) D/ Γ(N) (R ) D N (5.131) q.e.d. (5.18)

102 98 Renormierung und bekommen 1 B 0 = 16π µ ɛ iγ(ɛ) dx(r io) ɛ i (4π) ɛ Γ() 0 ( ) 4πµ ɛ 1 = Γ(ɛ) dx{1 ɛ ln R io + O(ɛ )} [ m m 0 0 m i = m i 0 Eine Entwicklung in ɛ führt auf 1 B 0 = + ln µ m 0 0 { m dx ln 0 (1 x) + m 1 x } p x(1 x) m 0 }{{} 1 x 1 x x + x io] (5.13) (5.133) mit x ± = 1 p {p + m 0 m 1 ± (p m 0 m 1 ) 4 m 0 m 1 }. (5.134) Für den komplexen Logarithmus, der in dem Integral auftritt, benötigen wir ein Theorem: ln ab = ln a + ln b + η(a, b) mit πi falls Ima > 0, Imb > 0, Imab < 0 η(a, b) = oder Ima < 0, Imb < 0, Imab > 0 0 sonst. (5.135) Damit haben wir für ln[(a + io)(b io )] = ln(a + io) + ln(b io ). (5.136) Und somit finden wir schließlich für B 0 ( ) ( ) B 0 = + ln µ x+ 1 x (x m + 1) ln + (x 1) ln 0 x + x (5.137) Analoge Prozeduren führen auf die analytischen Ergebnisse für die 3- und 4-Punktfunktionen. 5.4 Höhere Ordnungen: Physikalische Ergebnisse Fermikonstante Die Fermikonstante ist auf Baumgraphenniveau gegeben durch G F = πα m W sin θ W = m W Der Myon-Zerfall hat im Fermi-Modell die partielle Breite πα ( ). (5.138) 1 m W m Z

103 Renormierung 99 Γ µ = G F m5 µ 19π 3 ( ) 1 8 m e m µ (5.139) Die endlichen QED Korrekturen sind gegeben durch (Summe der virtuellen und reelen Korrekturen) Γ µ = G F m5 µ 19π 3 ( ) [ 1 8 m e 1 + α ( )] 5 m µ π 4 π. (5.140) GSW Theorie: Die virtuelle Photonkorrektur zum Fermi-Vertex entspricht dem folgenden Box-Diagramm Für m µ m W erhalten wir { M γw box = M α Born ln m W π m e + ln m W m µ ln m e λ ln m µ λ + 9 } Wir müssen dies zur elektroschwachen Vertexkorrektur addieren,. (5.141) M vertex = M Born Λ W eν + Λ W µν + α ( 9 4π ln m µ ln m ) e ln m µ m Z m Z λ ln m e (5.14) λ }{{ } aus UV endl. ν Wellenfkts.ren.faktoren mit Λ W lν = α { 3 3c W 1 ( ln m W + ln m l 4π s W m l λ ) } ln c s W s 4 W l = e, µ. (5.143) W

104 100 Renormierung und den massiven Boxdiagrammen M ZW box { α = M Born 1 5 4π s W + 5 } ln c s 4 W. (5.144) W Diese Beträge resultieren nach Subtraktion aller QED Beträge im Fermi-Modell in M V = M 0 Born(1 + δ V ), (5.145) wobei M 0 Born die unrenormierte Bornamplitude bezeichnet und δ V = α { } 4s W ln c 4πs W s W W (5.146) (δ V ist UV und infrarot (IR) endlich.) Schließlich müssen alle Beiträge zur W -Boson Selbstenergie addiert werden: M W = M Born Σ W (k ) k m W M Born Σ W (0) m W Das Endergebnis im GSW Modell (ohne QED) ist dann { M elw = M 0 Born 1 + ΣW T (0) } + δ m V. (5.147) W Dies resultiert in einer Modifikation der Relation der Fermikonstanten { } G F e 0 = 1 + ΣW (0) + δ m V W also wobei = 8s W 0 m W 0 e 8s W m W { 1 + ΣW (0) + δ m V + δz e δm W W m W G F = + cot θ W ( δm W m W πα M W sin θ W [1 + r] (5.149) )} δm Z m Z,(5.148) r = δz e + ΣW T (0) δm W m W + cot θ W ( δm W m W ) δm Z + δ m V (5.150) Z

105 Renormierung 101 Nach Verwendung von Glgen. (5.106),(5.107) erhalten wir aber r = ΣAA T (k ) k k =0 tan θ W Σ AZ T (0) m Z + cot θ W ( ReΣ W T (m W ) m W + ΣW T (0) ReΣ T (m W ) m W ReΣZZ T (m Z ) ) + δ V. (5.151) m Z Die verschiedenen Beiträge der Selbstenergien liefern mit r = α cot θ W ρ + r rem (5.15) α = α(m Z ) α α ρ = ΣZZ (0) m Z ΣW W (0) m W tan θ W Σ AZ (0) m Z Die führenden Beiträge für α sind gegeben durch. (5.153) α = α l + α (5) had + α top (5.154) mit den leptonischen, den leichten hadronischen und den Top-Quark Beiträgen α l = ( α 3π e l ln m Z 5 ) m l l 3 α (5) had = (5) had (E 0) + α N c 3π e q ln m Z E q t 0 α top α 3π 4 m Z 15 m t δ QCD 0.08 [E 0 40 GeV] (5.155) δ QCD stellen die QCD Korrekturen für die leichten Quarks dar. Die führenden Beiträge zu ρ kommen aus dem großen Massensplitting des Top-Bottom Isospin Dubletts der dritten Generation. ρ = 3 G { F m t 8 1 ( ) π π αs (m t ) + G } F m t π 8 π ρ() ρ () = 19 π for MH m t. (5.156) Die relevanten nicht-führenden Beiträge zu r rem werden vom Top-Quark und Higgsboson erzeugt: { ( rrem t = G F m W 8 cot θ W 1 ) ln m t + 4 π 3 m W 3 ln c W + cot θ W 7 } (5.157) 9

106 10 Renormierung ρ H = G F m W rrem H = G F m W 8 11 π 3 ( 8 π tan θ W 3 ( ln M H m W ln M H 5 6 m W ) 5 6 ) form H m W. (5.158) Screening (Abschirm) Theorem: Auf 1-Schleifenniveau gibt es für große Higgsmassen nur logarithmische Abhängigkeiten von der Higgsmasse. (Veltman, Acta Phys. Pol. B8 ( 77) 475). Nach Summierung der führenden Beiträge erhalten wir für α(m Z ) α(m Z) = α[1 + α + ( α) +...] = α 1 α = ± (5.159) Der ρ Parameter ist definiert als die Relation zwischen neutralen und geladenen Axialkopplungen, e s W e 4s W c W e s W (1 + α cot θ W ρ) G F m W (5.160) e 4s W c W Summation der Beiträge führt auf ρ = 1 + ρ + ( ρ) +... = ( 1 + α c W ) s W ρ G F m W (1 + ρ) = G F m s W c Zρ. (5.161) W 1 1 ρ. (5.16) Die Korrekturen können in einen effektiven Weinbergwinkel absorbiert werden und c W = c W (1 ρ) = c W ρ (5.163) s W = 1 c W = 1 c W + ρc W = s W + c W ρ. (5.164) Schließlich erhält man des resummierte Ergebnis für r G F = πα m W s W 1 1 { 1 + r α + cot 1 α 1 + cot θ W ρ } θ W ρ = πα(m Z ) (1 + r m rem ). (5.165) W s W }{{} 1 Die führenden elektroschwachen Strahlungskorrekturen können in effektive Parameter der Bornterme absorbiert werden. Das Rezept besteht darin, folgende Ersetzungen durchzuführen

107 Renormierung 103 CC: NC: e s W e 4s W c W = πα s W = πα s W c W α α(m Z ) s W s W = s W + c W ρ [effektiver leptonischer Weinbergwinkel] c W c W = c W (1 ρ) πα(m Z ) G s F MW W πα(m Z ) s W c G F MZ ρ with ρ = 1 W 1 ρ (5.166)

108 104 Renormierung

109 Kapitel 6 Quantenchromodynamik - QCD 6.1 Einführung der Farbe Die QCD ist die feldtheoretische Formulierung der starken Wechselwirkung. Historisch war die starke Wechselwirkung definiert als Bindungskraft zwischen den Kernbausteinen im Kern. Die Kraft, die bei der Kollision von Kernen auftritt. Wechselwirkungslänge: d 1 fm σ π d 4 Wechselwirkungsstärke 10 mb. (6.1) V (R) = g s R 4π e d g s 4π 10 g em 4π 1. (6.) Spin-Statistik Problem des Quarkmodells ++ (s z = 3 ) = u( )u( )u( ) hat eine total symmetrische Spinwellenfunktion. Jedoch verlangt die Fermistatistik eine Spinwellenfunktion, die total antisymmetrisch ist. (i) Grundzustand relativistischer s-wellenkombination entgegen der naiven Erwartung. p-welle Knoten verbotenen Zonen höhere Energie als Folge des Unschärfeprinzips. (ii) Magnetische Momente der Kerne µ eq [ l + s], s-wellen l = 0: Momente der Kerne sind additiv aus den Quarkmomenten m zusammengesetzt. µ N =< N 3 µ(i)σ 3 (i) N > (6.3) i=1 105

110 106 Quantenchromodynamik - QCD Aufgrund der Spinwellenfunktion: [µ u = µ d ] µ P = 4 3 µ u 1 3 µ d = ( )µ d = 3µ d für m u m d µ n = 4 3 µ d 1 3 µ u = ( )µ d = µ d (6.4) Verhältnis µ P µ n = 3 exp. = 1.46 (6.5) Kein l 0 Strombeitrag notwendig. Effektive Quarkmasse: µ P = e m P.79 = 1 3 e m d ( 3) = e m d m eff q = m P 330 MeV (6.6).79 Lösung: Quarks haben eine 3-wertige Eigenschaft für die Unterscheidung, so daß das symmetrische Quarkmodell möglich ist. I. Farb-Hypothese (Greenberg 64) Abgesehen von den Flavour-Ladungen haben die Quarks Farbladungen; jedes Quark existiert in genau 3 Farben (rot, blau, grün = 1,,3): q = (q 1, q, q 3 ). Farbtransformationen: Die maximale Mischungsgruppe der 3 Farbfreiheitsgrade [ gemeinsame Farbe] ist q q = e i P 8 k=1 α λ k k q (6.7) SU(3) C Transformationen = unimodulare, unitäre 3 3 Matrizen [nicht-abelsche Gruppe]. Gell-Mann Matrizen: λ k, k = 1,..., 8. [3-dimensionale Erweiterung der σ in SU().] λ k = λ k e iα λ k k unitär: U U = 1 Trλ k = 0 unimodular: detu = +1. (6.8) Explizite Darstellung: λ 1 = λ 4 = λ 7 = i 0 i 0 λ = λ 5 = 0 i 0 i i i 0 0 λ 8 = 1 3 λ 3 = λ 6 = (6.9)

111 Quantenchromodynamik - QCD 107 Eigenschaften: [ λi, λ ] j λ k = if ijk [A algebra] { λi, λ } j = 1 3 δ λ k ij1 + d ijk Tr(λ i λ j ) = δ ij Tr(λ i ) = 0. (6.10) I. Farb-Hypothese (Gell-Mann 7) Die SU(3) C Symmetrie ist exakt. Alle physikalischen (freien) Zustände, Observablen und Wechselwirkungen sind SU(3) C Singuletts. (a) Quarks, die Farbtripletts sind, existieren nicht als freie Teilchen. (b) Farbwellenfunktion Baryonen : 6 1 ɛ ijk Mesonen : 3 1 δ ij } ɛ ijk, δ ij SU(3) C singlets. (6.11) Beispiel: ++ (s z = + 3 ) = 1 6 ɛ ijk u i ( )u j ( )u k ( ) Φ(s z = +1) = 1 3 δ ij s i ( ) s j ( ). (c) Elektromagnetische Wechselwirkung: L em = ej µ A µ j µ = fl qγ µ Q q q fl q C γ µ Q q q C, (6.1) C welches ein SU(3) Singulett ist. Tests der Farbhypothese: 1.) π 0 γγ decay Zerfallsbreite: Γ(π 0 γγ) = α m 3 π (Q 3π 3 fπ u Q d) NC (6.13)

112 108 Quantenchromodynamik - QCD ohne Farbe : N C = 1: Γ = 0.87 ev mit Farbe : N C = 3: Γ = 7.86 ev experimentell : Γ exp = 7.48 ± 0.33 ± 0.31 ev.) e + e Hadronen Im Quark-Parton-Modell ist die Produktionswahrscheinlichkeit von e + e Hadronen durch die aller q q Paare gegeben. Die Endzustands-Wechselwirkung kann für d prod. q q d hadron 1GeV (E ) E 0 vernachlässigt werden. R = σ(e+ e Hadronen) σ(e + e µ + µ ) = F l,c σ(e + e q q) σ(e + e µ + µ ) = 3 fl e q (6.14) q e q u, c, t + 3 d, s, b 1 3 Energie prod. quarks R ohne Farbe R mit Farbe 4 < 3 GeV u, d, s = > 5 GeV +c + 4 = > 10 GeV +b = Gluon Eichfelder In Analogie zur QED: II.Farbhypothese (Nambu 66, Fritzsch+Gell-Mann 7, Leutwyler 73) Die Farbladungen sind die Quellen der Eichfelder ( Gluonen), die die starke Wechselwirkung zwischen den Quarks aufbauen. Lagrangedichte für ein Farbtriplett: L q = q(x)(i / m q )q(x) with q = (q 1, q, q 3 ), m q1 = m q = m q3 SU(3) C Singulett.(6.15) - L ist invariant unter globalen, nicht-abelschen SU(3) C Transformationen q(x) Sq(x) q(x) q(x)s 1 } S = e iα kt k (T k = λ k ). (6.16) - L ist nicht invariant unter lokalen SU(3) C Transformationen: α k = α k (x), L q L q + q(x)(s 1 i /S)q(x). (6.17)

113 Quantenchromodynamik - QCD 109 L kann durch die Einführung von 8 minimal gekoppelten Gluonfeldern G k µ (x) (k = 1,..., 8) (Gluon Matrix G µ = G k µ T k ) lokal eichinvariant gemacht werden, mit i µ i µ g S G µ = id µ L q = q(x)(id/ m q )q(x) = q(x)(i / m q g s G/(x))q(x) (6.18) q(x) S(x)q(x) α k = α k (x) q(x) q(x)s 1 G µ (x) SG µ S 1 i g S S µ S 1. (6.19) Die kovariante Ableitung transformiert sich gemäß [ µ (SS 1 ) = 0] idq id q = [i g S SGS 1 i( S)S 1 ]Sq = S(i g S G)q = SiDS 1 Sq. (6.0) Damit D D = SDS 1 (Rotation). Gluon Lagrangedichte Wir führen die Rotation ein: G µν = D ν G µ D µ G ν = ν G µ µ G ν ig S [G µ, G ν ] (6.1) Sie transformiert sich gemäß: (mit G µν = i g S [D µ, D ν ]) G µν G µν = SG µνs 1 reine Rotation [keine Observable]. (6.) Die Lagrangedichte lautet L g = 1 TrG µν = 1 4 (Gk µν ). (6.3) Sie ist eichinvariant (kein Massenterm: + 1 m gtrg µ). Die Lagrangedichte besteht aus (a) kinetischem Anteil = 1( 4 νg k µ µ G k ν) (b) trilineare Kopplung g S GGG (c) quartische Kopplung gs GGGG. - Die Gluonfelder wechselwirken mit sich selbst: farbgeladene Gluonen sind Quellen für Gluonen ( γ). - g S ist universell, sie wird im Eichsektor festgelegt: die Farbladungen sind quantisiert. Lagrangedichte I der QCD: L = q(id/ m q )q 1 TrG µν = q(i / m q )q 1 Tr( νg µ µ G ν ) kin. Anteil g S qg/q Quark-Gluon Kopplung +ig S Tr( ν G µ µ G ν )[G µ, G ν ] 3-Gluon Kopplung + g S Tr[G µ, G ν ] 4-Gluon Kopplung

114 110 Quantenchromodynamik - QCD Die Feynmanregeln sind gegeben durch δ ab [ g µν + (1 ξ) pµ p ν δ ab i (p +iɛ) δ AB i p/ m+iɛ) ( ji i p +iɛ p +iɛ gf abc [(p q) ρ g µν + (q r) µ g νρ + (r p) β g ρµ ] [alle Impulse einlaufend, p + q + r = 0 ig f xac f xbd [g µν g ρσ g µσ g νρ ] ig f xad f xbc [g µν g ρσ g µρ g νσ ] ig f xab f xcd [g µρ g νσ g µσ g νρ ] (6.4) gf abc q µ ig(t a ) CB (γ µ ) ji Nach der Eichfixierung und Anwendung des Fadeev-Popov Tricks erhalten wir innerhalb der Feynman Pfadintegralformulierung für die vollständige QCD Lagrangedichte das Wirkungsfunktional Vollständige Lagrangedichte der QCD W D q Dq DG Dc Dc exp i d 4 x L eff L eff = L QCD + L g.f. + L F P L QCD = Quark-Gluon-Lagrangedichte L g.f. = Eichfixierungs-Lagrangedichte L F P = Geist-Lagrangedichte Lorentz Eichung Axiale Eichung: L g.f. = 1 ξ Tr( G) L g.f. = 1 ξ Tr(nG) für ξ 0 L F P = c ( + g S fg)c L F P = 0 Ableitung von L F P in der Lorentz und der axialen Eichung: The Fadeev-Popov Lagrangedichte ist gegeben durch (siehe Kapitel 4) L F P = c a M abc b, (6.5)

115 Quantenchromodynamik - QCD 111 wobei c a, c b die Geistfelder bezeichnet, a, b die Farbindizes und M ab die Fadeev-Popov Determinante. Letztere ist gegeben durch M ab (x, y) = δf a [G α (x)] δα b (y). (6.6) α=0 F a bezeichnet die Eichfixierungsbedingung. G α ist das unter einer infinitesimalen Eichtransformation mit dem Eichparameter α transformierte Gluonfeld. Die QCD Lagrangedichte ist unter nicht-ableschen SU(3) Eichtransformationen invariant, und wir haben (G a µ = TrT a G µ ) (G α ) a µ = G a µ f abc G b µα c + 1 g S µ α a + O(α ). (6.7) (i) Lorentz Eichung: Wir haben die Eichfixierungsbedingung G = f, im Detail µ (G α ) a µ f a = ( µ G a µ f a ) }{{} =0 1 gs f abc µ G b µ αc + 1 δ ab α b g }{{ S } R d 4 y{ δ ab +g S f abc µ G c µ}δ 4 (x y)α b (y). (6.8) Und wir erhalten für die Fadeev-Popov Determinante M ab (x, y) = 1 g S [ δ ab + g S f abc µ G c µ ]δ 4(x y). (6.9) In nicht-abelschen Eichtheorien hängt die Fadeev-Popov Determinante manifest von dem Eichfeld G ab. In Abelschen Eichtheorien ist die Fadeev-Popov Determinante unabhängig von dem Eichfeld (f abc 0) und damit ineffektiv, so daß sie in der effektiven Lagrangedichte vernachlässigt werden kann. Axiale Eichung: Die Eichfixierungsbedingung ist durch ng = 0 gegeben, wobei n µ ein Vierer- Vektor mit n = ±1, 0 ist. Wir erhalten dann für das eichtransformierte Gluonfeld n(g α ) a = }{{} ng a f abc }{{} ng b α c + 1 n α a g S =0 =0 = 1 d 4 yδ ab n δ 4 (x y) α b (y). (6.30) g S Die Fadeev-Popov Determinante lautet M ab (x, y) = 1 g S n µ µ δ ab δ 4 (x y). (6.31) Sie ist unabhängig vom Eichfeld G und damit ineffektiv, so daß sie in der effektiven Lagrangedichte vernachlässigt werden kann. 6.3 Asymptotische Freiheit Siehe hierzu den Aufschrieb in der Vorlesung und Kapitel 8.6 und 8.8 in Pierre Ramon, Field Theory: A Modern Primer, Frontiers in Physics. Wir finden also

116 11 Quantenchromodynamik - QCD α S (Q ) = N F 1 α S (µ ) α S (µ ) π ln Q µ (6.3) Mit wachsendem Q verschwindet die effektive Farbladung. Dies ist bekannt als asymptotische Freiheit. (Nicht-abelsche SU(3) : N F 16.) Dies ist eine Folge der nichtabelschen Eichbosonschleifen. Dies steht im Gegensatz zur U(1) (und allen anderen Theorien). [Politzer 73, Gross+Wilczek 73] Bei großen Abständen können wir uns nicht mehr auf die Störungstheorie verlassen. Das heißt, die Zustände, auf welche wir die Störungstheorie angewandt haben, haben nur bei kleinen Abständen eine Bedeutung, wo sie asymptotisch frei werden. Bei großen Abständen wird die Kopplung jedoch so groß, daß diese Zustände die Wechselwirkungsregion nur in Form von zusammengesetzten Zuständen verlassen können, die neutral gegenüber der langreichweitigen Eichkraft sind. Diese neutralen oder Singulettzustände unterliegen immer noch Multipolwechselwirkungen. Diese sind jedoch kurzreichweitig und ändern nicht die Natuer der zusammengesetzten Zustände. Dies nennt man Confinement Hypothese. Sie besagt, daß in einer asymptotisch freien Theorie nur Singulettzustände der Eichkraft asymptotische Zustände bilden können. In der QCD bilden z.b. Protonen, Neutronen, π-mesonen etc. die Singuletts der Farbkraft. Skalenparameter der QCD: Die Quantentheorie führt in die unskalierte klasssiche Chromo-Dynamik (für m q = 0) über die Renormierung eine Skala ein: Die Kopplungskonstante it bei einem gegebenen Abstand gegeben durch: α }{{} s = α s (µ ) experimentell bestimmt Wenn man also den Wert von α s an einer bestimmten Skala durch Vergleich mit dem Experiment kennt, dann weiß man auch, ab welcher Skala Störungstheorie nicht mehr gültig ist. Eine Reformulierung führt auf 1 α S (Q ) = 1 α S (µ ) 33 N F 1π ln µ } {{ } 33 N F 1π ln 1 Λ + 33 N F 1π ln Q (6.33) Und damit α S (Q ) = 1π (6.34) (33 N F ) ln Q Λ Mit dem Confinement-Radius Λ 1 fm haben wir Λ MeV (6.35) Und α S(Q ) 10 1 für Q GeV. Dies ist der Bereich, in dem Störungstheorie angewandt π werden kann.

117 Quantenchromodynamik - QCD 113 Man kann die Strahlungskorrekturen zur effektiven Kopplungskonstante in höheren Ordnungen der Störungstheorie berechnen. Das Ergebnis wird in Form des Renormierungsgruppen- Zugangs ausgedrückt. Die Renormierungsgruppengleichung µ α S(µ ) µ = β(α S (µ )) with β(α S ) = β 0 α S π + O(α3 S) (6.36) hat die Lösung ln Q µ = und damit αs (Q ) α S (µ ) dα S β(α S ) = π [ ] 1 β 0 α S (µ ) 1 α S (Q ) (6.37) α S (Q ) = α S (µ ) 1 + β 0 α S (µ ) π with β 0 = 33 N F ln Q 1 µ (6.38) Die Renormierungsgruppengleichung bestimmt das asymptotische Verhalten der laufenden Kopplung. Auch die höheren Ordnungen sind bestimmt worden: [ β(α S ) = α S α ( S β 0 + β 1 π π + β αs ) ] π β 1 = N F β = 1 [ N F + 35 ] 7 N F α S (Q ) = π β 0 ln Q Λ { 1 β 1 β 0 ln ln Q Λ ln Q Λ +... }. (6.39) Renormierungsschemata WIr haben für den inversen Fermionpropagator inklusive höherer Ordnungskorrekturen (d.h. der Selbstenergie) [ S 1 = p/ 1 Σ(p) ], (6.40) wobei Σ die Selbstenergie bezeichnet, die in dimensionaler Regularisierung (n = 4 ɛ) durch g S Σ(p) = 4 Γ(ɛ) (µf)ɛ (1 ɛ)b( ɛ, 1 ɛ) (6.41) 3 (4π) ɛ ( p ) ɛ gegeben ist. In dimensionaler Regularisierung haben wir die starke Kopplungskonstante durch gs g S (µf)ɛ ersetzt, wobei f eine beliebige Konstante ist, um die Wirkung in n = 4 ɛ Dimensionen dimensionslos zu machen. Nach Entwicklung in ɛ erhalten wir { S 1 (p) = p/ 1 4 [ ]} gs 1 p ln 3 16π ɛ (µf) ln 4π γ E. (6.4) Bei Verwendung von multiplikativer Renormierung haben wir folgende Beziehung zwischen dem nackten und dem renormierten Propagator S 1 (p) = Z 1 Ψ S 1 R (p). (6.43)

118 114 Quantenchromodynamik - QCD Wir schauen uns im folgenden verschiedene Renormierungsschemata an: (i) Dyson Renormierungsschema Das Schema ist durch die folgenden Bedingungen charakterisiert f = 1 S 1 R = p/ für µ = p } [ S 1 (p) = p/ 1 Σ(µ) ] [ 1 Σ(p) + Σ(µ) ]. (6.44) Die Lösung ist gegeben durch Z 1 Ψ = 1 4 [ ] gs π ɛ + ln 4π γ E + 1 [ S 1 R = p/ g ] S,MOM ln p, (6.45) 3 16π µ wobei M OM für momentum substraction steht. Die Kopplung/Ladung hängt vom Renormierungsschema ab. (ii) t Hooft: Minimal Substraction (MS) Hier fordern wir f = 1 Z 1 Ψ nimmt nur den 1 Pol weg.. (6.46) ɛ Wir fordern also f ur S 1 (p) [ S 1 (p) = p/ 1 4 ] { gs gs 3 16π ɛ 3 16π Die Lösung ist Z 1 Ψ = 1 4 gs 1 { 3 16π ɛ S 1 R = p/ 1 4 gs,ms 3 16π ]} [ ln p + ln 4π γ µ E + 1 (iii) Modified Minimal Substraction (MS) ]} [ ln p + ln 4π γ µ E + 1. (6.47). (6.48) Wir fordern [ f = exp 1 ] (ln 4π γ E). (6.49) Das Ziel ist, alle trivialen Konstanten wegzunehmen. D.h. wir fordern weiter [ S 1 (p) = p/ 1 4 ] [ gs )] gs (1 ln p. (6.50) 3 16π ɛ 3 16π µ

119 Quantenchromodynamik - QCD 115 Die Lösung ist gegeben durch S 1 R Z 1 g S Ψ = π ɛ (p) = p/ g S,MS 16π (6.51) ] [1 ln p. (6.5) Die Beziehung zwischen MS and MS Schema ist gegeben durch: µ MS MS : µ MS µ MS exp [ ln 4π + γ E]. (6.53) Und für den Skalenparameter (siehe Nebenrechnung) { } Λ MS = µ exp 4π + β 1 ln(4π /(β β 0 g S,MS β0 0 g S,MS )) (6.54) Λ MS = µ exp 4π + β 1 ln(4π /(β β 0 g S,MS β0 0 g S,MS )). (6.55) { } ln 4π γe Λ MS = Λ MS exp (6.56) β 0, β 1 sind unabhängig vom Renormierungsschema (nicht β i ) und α S,MS (Q ) > α S,MS (Q ). Quark masses Wir betrachten nun die Quark-Selbstenergie, die gegeben ist durch ( ) α S 4πµ ɛ ( ) 3 Σ(p/ = m) = mc F Γ(1 + ɛ) π m 4ɛ + 1. (6.57) Die Polmasse ist gegeben durch m = m 0 + Σ(p/ = m) (6.58) und die MS Masse durch m(µ ) = m 0 + δm, wobei (6.59) δm = mc F α S π Γ(1 + ɛ)(4π)ɛ 3 4ɛ. (6.60) Die Beziehung zwischen der Polmasse und der MS Masse ist [ ( )] m(µ α S 3 µ ) = m [Σ(p/ = m) δm] = m 1 C F ln π 4 m + 1 [ α ] [ S = m 1 C F 1 3 ] π 4 C α S µ F ln, (6.61) π m also

120 116 Quantenchromodynamik - QCD [ ] m(m α S (m ) ) = m 1 C F π [ m(µ ) = m(m ) 1 α ] S µ ln π m (6.6) Die Renormierungsgruppengleichung lautet µ m(µ ) µ = γ m (α S (µ ))m(µ ), (6.63) wobei γ m (α S ) = α S π + O(α S ) (6.64) die anomale Dimension bezeichnet. Mit α S (µ π ) = β 0 ln µ Λ ist die Lösung gegeben durch { } m(µ ) = m(m 1 µ dq ) exp β 0 m Q ln Q Λ Also erhalten wir (6.65) [ ] = m(m αs (µ 1 β ) 0 ). (6.66) α S (m ) m(µ ) = ˆm [ α S (µ ) ] 1 β 0 ˆm = m(m ) [ α S (m ) ] 1 β 0 (6.67) Beispiele: Bottom Quark: m b = 4.8 GeV. Mit wachsendem µ (R 0) verschwindet die effektive Quarkmasse. m(m b) = 4. GeV m(m Z) =.9 GeV. (6.68) Charm Quark: m c = 1.6 GeV. m(m c ) = 1. GeV m(m Z ) = 0.6 GeV. (6.69)

121 Quantenchromodynamik - QCD 117 Leichte Quarks: m u (1 GeV ) 5 MeV Gasser,Leutwyler (6.70) m d (1 GeV ) 8 MeV (6.71) m s (1 GeV ) 00 MeV. (6.7) Die höheren Ordnungskorrekturen sind gegeben durch: m(m ) = where 1 + C F α S (m ) π m + K ( αs (m ) π ) Gray,Broadhurst,Grafe,Schilcher(6.73) K t 10.9 K b 1.4 K c (6.74) Und wir haben mit m(µ ) = m(m ) c[α S(µ )/π] c[α S (m )/π], (6.75) c(x) = c(x) = c(x) = c(x) = ( ) 4/9 9 x [ x x x 3] m s < µ < m c ( ) 1/5 5 6 x [ x x x 3] m c < µ < m b ( ) 1/3 3 6 x [ x x x 3] m b < µ < m t ( ) 4/7 7 x [ x x x 3] m t < µ (6.76) Chetyrkin; Larin,van Ritbergen,Vermaseren.