ω : V V V (Die Vertauschung zweier Vektoren liefert ein extra Minuszeichen.)

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1 Analysis 3, Woche 12 Differentialformen I 121 Multilineare Algebra Sei V ein Vektorraum über R Dann definiert man V als den Vektorraum der stetigen linearen Abbildungen L : V R Allgemeiner kann man multilineare Abbildungen ω : V V V R definieren Im Zusammenhang mit Mannigfaltigkeiten spielen insbesondere die antisymmetrischen, multilinearen Abbildungen eine wichtige Rolle Definition 121 Sei V ein Vektorraum über R und k N + Eine Abbildung ω : V V V }{{} k R 1 heißt multilinear, wenn für jedes i {1,, k} die Abbildung linear ist; v i ω v 1,, v i,, v k 2 heißt antisymmetrisch, wenn für jedes i, j {1,, k} mit i j gilt: ω v 1,, v i,, v j,, v k = ω v 1,, v j,, v i,, v k Die Vertauschung zweier Vektoren liefert ein extra Minuszeichen So eine Abbildung ω nennt man eine äußere Form von Grad k Die Menge aller äußeren k-formen bezeichnet man mit Λ k V Lemma 122 Definiert man Addition und Multiplikation mit Skalaren wie üblich: ω 1 + ω 2 v 1,, v k = ω 1 v 1,, v k + ω 2 v 1,, v k, λω v 1,, v k = λω v 1,, v k, dann ist Λ k V ein Vektorraum über R Bemerkung 1221 Man setzt Λ 0 V = R Es folgt direkt, dass Λ 1 V = V 101

2 Januar 2011 Woche 12, Differentialformen I Beweis Direktes Ausschreiben zeigt die Multilinearität und die Antisymmetrie von ω 1 + ω 2 und λω, wenn ω 1, ω 2 und ω diese Eigenschaften haben Sei {e 1,, e n } eine Basis für V Dann ist L V durch die Werte auf den Basiselementen festgelegt Anders gesagt {ε 1,, ε n } V mit bildet eine Basis für V Dies bedeutet ε i c 1 e c n e n = c i für alle c 1,, c n R 121 dim Λ 1 V = dim V = dim V = n Wegen der Linearität reicht es übrigens für 121, wenn man ε i ε j = δ ij setzt Aus der Multilinearität folgt, dass jede k-multilineare Abbildung durch die Werte angenommen auf {e 1,, e n } k festgelegt ist Die Antisymmetrie sorgt dafür, dass der Wert unter Permutationen festliegt Das heißt, ω Λ k V ist genau festgelegt, wenn alle c i1,i 2,,i k := ω e i1, e i2,, e ik mit 1 i 1 < i 2 < < i k n bekannt sind Das heißt, man kann genau n k Koeffizienten frei wählen und dies bedeutet Λ k V ist n k -dimensional Lemma 123 Für dim V = n hat man dim Λ k V = n k Definition 124 Seien ω Λ k V und η Λ m V Man definiert ω η Λ m+k V durch ω η v 1,, v k+m = 1 sgn σ ω v σ1,, v σk η v σk+1,, v σk+m k!m! σ P erm k+m Hier sind P erm k+m alle Permutationen von {1,, k + m} und nimmt man { 1 bei einer geraden Permutation σ, sgn σ = 1 bei einer ungeraden Permutation σ Man nennt ω η das äußere Produkt von ω und η Jede Permutation einer endlichen Menge kann man bekommen durch endlich viele Vertauschungen zweier Elementen Ein Permutation heißt ungerade, wenn man eine ungerade Zahl von Vertauschungen braucht Beispiel 125 Für ω, η Λ 1 V folgt Für ω Λ 1 V und η Λ 2 V folgt ω η v 1, v 2 = ω v 1 η v 2 ω v 2 η v 1 ω η v 1, v 2, v 3 = ω v 1 η v 2, v 3 ω v 2 η v 1, v 3 + ω v 3 η v 1, v 2 Satz 126 Rechenregel für das äußere Produkt Sei ω i Λ k V, η Λ l V und ν Λ m V Es gilt: 1 ω 1 + ω 2 η = ω 1 η + ω 2 η; 2 ω η = 1 kl η ω;

3 121 Multilineare Algebra ω η ν = ω η ν Beispiel 127 Für ω 1, ω 2, ω 3 Λ 1 V hat man ω 1 ω 2 ω 3 v 1, v 2, v 3 ω 1 v 1 ω 1 v 2 ω 1 v 3 = det ω 2 v 1 ω 2 v 2 ω 2 v 3 ω 3 v 1 ω 3 v 2 ω 3 v 3 Beweis Die erste Behauptung folgt sofort aus der Definition Für die zweite soll man bemerken, dass η ω v 1,, v l, v l+1,, v l+k = ω η v l+1,, v l+k, v 1,, v l und dass man mit kl Vertauschungen v 1,, v l vor v l+1,, v l+k bekommt: ω η v l+1,, v l+k, v 1,, v l = 1 kl ω η v 1,, v l, v l+1,, v l+k Um die letzte Behauptung zu beweisen, muß man ein guter Buchhalter sein Wenn man bedenkt, dass = 1 k!m! sgn σ ω v σ1,, v σk η v σk+1,, v σk+m = σ P erm k+m sgn σ ω v σ1,, v σk η v σk+1,, v σk+m, σ P erm k+m σ1<σ2< <σk σk+1<σk+2< <σk+m bemerkt man, dass die Definition nur davon abhängt, welche k Kugeln sich in dem ω- Beutel und welche m-kugeln sich in dem η-beutel befinden Es wird über diese Verteilungen summiert und nicht über die Folge in jedem Beutel Weil es für die Verteilung egal ist, ob man erst in Häufchen mit k +l und m Kugeln verteilt und dann das k +l Häufchen nochmals in ein k und in ein l Häufchen aufteilt, oder gleich in drei Häufchen mit k, l und m Kugeln, gilt ω η ν v 1,, v k+l+m = = sgn σ ω v σ1,, v σk η v σk+1,, v σk+l ν v σk+l+1,, v σk+l+m σ P erm k+l+m σ1<σ2< <σk σk+1<σk+2< <σk+l σk+l+1<σk+l+2< <σk+l+m = ω η ν v 1,, v k+l+m Wir können sogar eine Basis für Λ k V konstruieren Sei {e 1,, e n } eine Basis für V und sei {ε 1,, ε n } der duale Basis für V wie in 121 Sei jetzt I = {i 1, i 2,, i k } ein geordneter k-tupel aus {1,, n}; das heißt 1 i 1 < i 2 < < i k n Wir definieren ε I = ε i1 ε i2 ε ik 122 Satz 128 {ε I ; I geordneter k-tupel} mit ε I definiert in 122 ist eine Basis für Λ k V

4 Januar 2011 Woche 12, Differentialformen I Beweis Man betrachte die Überlegungen bei Lemma 123 Seien V und W Vektorräume über R und sei L : W V eine lineare Abbildung Mit dieser linearen Abbildung L lässt sich eine lineare Abbildung L : Λ k V Λ k W konstruieren: L ω w 1,, w k = ω Lw 1,, Lw k Notation 129 Man sagt, eine äußere Form ω auf V läßt sich mit einer linearen Abbildung L : W V zurückziehen zu einer äußeren Form L ω in W W Λ k W L V L Λ k V Schlussendlich wollen wir noch zeigen, dass ein inneres Produkt von einem Vektor v V mit einer k-form ω eine k 1-Form liefert: Definition 1210 Sei v V und ω Λ k V mit k 1 Dann setzt man v ω v 1,, v k 1 = ω v, v 1,, v k 1 Man findet, dass v ω Λ k 1 V, denn die Multilinearität und die Antisymmetrie von v ω folgt aus der von ω 122 Determinante Die bekannteste äußere Form ist die Determinante Für V = R n ist { v 1,, v n} det v 1,, v n eine äußere n-form, oder formell det Λ n R n Man sieht sofort, dass diese Abbildung multilinear und anti-symmetrisch ist Man hat det = ε 1 ε 2 ε n Wir haben schon mal gesehen, dass det v 1,, v n das Volumen von dem Parallelepiped P = { θ 1 v θ n v n ; θ i [0, 1] } ergibt 123 Skalarprodukt und Orientierung Bis jetzt sind wir nur dem Standardskalarprodukt begegnet Wir möchten ein allgemeineres Skalarprodukt zulassen Definition 1211 g : V V R nennt man ein nicht-ausgeartetes Skalarprodukt, wenn 1 v 1 g v 1, v 2 und v 2 g v 1, v 2 linear sind; 2 g symmetrisch ist: g v 1, v 2 = g v 2, v 1 ;

5 123 Skalarprodukt und Orientierung B = {b 1,, b n } eine Basis ist für V und M B g die Matrix definiert durch M B g ij = g b i, b j, dann gilt det M B g 0 Weil g symmetrisch ist, ist M B g auch symmetrisch und darum diagonalisierbar Nennen wir die Zahl der positiven Eigenwerte p und die Zahl der negativen q, dann ist das Paar p, q die Signatur des Skalarproduktes g auf der Basis B Man kann zeigen, dass diese Signatur unabhängig vor der gewählten Basis ist Für das Standardskalarprodukt g : R n R n R, definiert auf der Standardbasis E durch g v 1, v 2 = v 1, v 2, ist M B g positiv definit Man möchte hier auch Skalarprodukte zulassen, die auf Produktvektorräume V W definiert sind durch v 1 v 2 g, = v 1, v 2 w 1, w 2 V W w 1 w 2 Ein Skalarprodukt g auf V V liefert ein zugehöriges Skalarprodukt ḡ auf V V durch n n ḡ α, β = g ij α e i β e j 123 mit i=1 j=1 g ij ij = M Bg Auf diese Art hängt ḡ nicht von der Wahl der Basis ab, sondern nur von g selbst, denn wenn B = {f 1,, f n } eine andere Basis ist, sagen wir f i = n F ik e k k=1 dann gilt, dass n n M Bg = g f i, f j ij = F ik F jl g e k, e l k=1 l=1 ij = F M B g F T und es folgt = F α f 1 α f n α e 1 α e n α e 1 = α e n β f 1 1 Bg β f n F MB g F T 1 F M T = β e 1 β e n β e 1 M B g 1 β e n = Dieser letzte Formel ist genau ḡ α, β wie in 123 und man sieht, dass die Definition in 123 nicht von der Basis abhängt

6 Januar 2011 Woche 12, Differentialformen I Lemma 1212 Sei g : V V R ein nicht-ausgeartetes Skalarprodukt und sei v V Wenn g v, w = 0 für alle w V, dann gilt v = 0 Beweis Weil M B g symmetrisch ist und det M B g 0, kann man ein Basis B finden derart, dass d M B g = d nn mit d 11,, d pp > 0 und d p+1,p+1,, d p+q,p+q < 0 Wenn v 1,, v p 0 gilt, nimmt man auf diese Basis w = v 1,, v p, 0,, 0 und es folgt, dass g v, w > 0, einen Widerspruch Wenn v p+1,, v p+q 0 gilt, nimmt man w = 0,, 0, v p+1,, v p+q und es folgt, dass g v, w < 0, wiederum einen Widerspruch Dieses Skalarprodukt wird wie folgt erweitert auf die Räume Λ k V : Definition 1213 Sei g : V V R ein nicht-ausgeartetes Skalarprodukt und B = {e 1,, e n } eine Basis für V Dann definiert man ḡ : Λ k V Λ k V R, mit g ij wie in 124, wie folgt: ḡ ω 1, ω 2 = g i 1j 1 g i 2j 2 g i kj k ω 1 e i1,, e ik ω 2 e j1,, e jk 1 i 1 <i 2 < <i k n 1 j 1 <j 2 < <j k n für ω 1, ω 2 Λ k V NB: Auch hier hängt ḡ nicht von der Basis ab In R 2 und R 3 können wir uns eine Vorstellung davon machen, was wir unter einer rechts oder links orientierten Basis verstehen In höheren Dimensionen haben wir keine Vorstellung, die uns dabei helfen würde, links oder rechts zu unterscheiden Wir können aber schon alle Basen in zwei Klassen aufteilen Wenn B 1 = {e 1,, e n } und B 2 = {f 1,, f n } zwei verschiedene Basen sind, dann gibt es eine Matrix A = a ij, die B 1 überführt in B 2 : f i = a i1 e a in e n Wenn det A > 0 sagen wir, dass B 1 und B 2 gleich orientiert sind; wenn det A < 0 nennt man B 1 und B 2 entgegengesetzt orientiert Lemma 1214 Sei V ein Vektorraum mit einem nicht-ausgeartetem Skalarprodukt g Dann kann man eine Basis B definieren derart, dass M B g = Beweis Weil g symmetrisch ist, kann man eine orthonormale Basis B finden, die M Bg diagonal macht Skaliert man das i-te Basiselement von B durch M Bg ii 1/2 und nimmt man dies als neues Basiselement, wird der dazugehörige Diagonaleintrag zu ±1

7 124 Hodge-Operator 107 Definition 1215 Sei V ein Vektorraum mit einem nicht-ausgearteten Skalarprodukt g und sei B = {e 1,, e n } eine Basis mit M B g wie in 125 Dann nennt man dv Λ n V, definiert durch die Volumenform zu g dv g v 1, e 1 g v n, e 1 v 1,, v n = det g v 1, e n g v n, e n Bemerkung Diese Volumenform ist nicht ganz unabhängig von der gewählten Basis Für alle Basen die gleich orientiert sind bekommt man die gleiche Form Ist eine Basis gegengesetzt orientiert, so findet man zusätzlich ein Minus-Zeichen Wenn man zum Beispiel e 1 und e 2 vertauscht, passiert dies schon Wenn {ε 1,, ε n } die duale Basis auf V zu B ist, das heißt ε i e j = δ ij, dann gilt, dv = 1 q ε 1 ε 2 ε n 126 Um 126 zu zeigen bemerke man, dass es reicht, wenn man 126 für Basisvektoren beweist Weil dim Λ n V = 1 gilt, hat eine Basis für Λ n V genau ein Element und das kann zum Beispiel das n-tupel e 1,, e n sein Es gilt dv e 1,, e n = det g e i, e j ij = 1 q = 1 q ε 1 ε 2 ε n e 1,, e n 124 Hodge-Operator Für den n-dimensionalen Vektorraum gilt n n dim Λ m V = = = dim Λ n m V m n m Definition 1216 Sei V ein Vektorraum mit einem nicht-ausgearteten Skalarprodukt g und sei B = {e 1,, e n } eine Basis mit M B g, wie in 125 Man definiert den Hodge- Operator : Λ m V Λ n m V wie folgt Für ω Λ m V ist ω Λ n m V die eindeutige n m-form derart, dass ω η = ḡ ω, η dv für alle η Λ n m V Dieser Hodge-Operator ist wohldefiniert und das sieht man wie folgt Für ω Λ m V und η Λ n m V gilt ω η Λ n V Außerdem ist für jedes η Λ n m V die Abbildung η ω η L Λ n m V ; Λ n V linear Weil Λ n V eindimensional ist, und die Volumenform dv eine Basis für Λ n V liefert, gibt es c Λ n m V, also eine lineare Abbildung von Λ n m V nach R, mit ω η = c η dv für alle η Λ n m V Weil ḡ ein nicht-ausgeartetes Skalarprodukt auf Λ n m V ist, gibt es wegen Lemma 1212 genau eine Form ν Λ n m V mit c η = ḡ ν, η für alle η Λ n m V So sieht man, dass ω := ν wohldefiniert ist

8 Januar 2011 Woche 12, Differentialformen I Lemma 1217 Sei V ein Vektorraum mit einem nicht-ausgearteten Skalarprodukt g und sei B = {e 1,, e n } eine Basis mit M B g, wie in 125 Sei ω, η Λ m V Dann gilt 1 für eine Permutation 1 2 m m + 1 n σ = i 1 i 2 i m j 1 j n m mit i 1 < i 2 < < i m und j 1 < j 2 < < j n m : 127 ε i1 ε i2 ε im = 1 q sgn σ g j 1j 1 g j n mj n m εj1 ε j2 ε jn m ; 2 ω = 1 mn m+q ω; 3 ḡ ω, η = 1 q ḡ ω, η Beweis 1 Wenn {i 1, i 2,, i m, j 1,, j n m } keine Permutation von {1,, n} ist, dann gibt es zweimal die gleiche Zahl und es folgt ε i1 ε i2 ε im ε j1 ε j2 ε jn m = 0 Wenn {i 1, i 2,, i m, j 1,, j n m } schon eine Permutation von {1,, n} ist, dann gilt Man kann daraus schließen, dass Weil ε i1 ε i2 ε im ε j1 ε j2 ε jn m = = sgn σ ε 1 ε 1 ε n = 1 q sgn σ dv 128 ε i1 ε i2 ε im = c ε j1 ε j2 ε jn m ḡ ε j1 ε j2 ε jn m, ε j1 ε j2 ε jn m = g j 1 j 1 g j 2j 2 g j n mj n m und g j kj k { 1, +1} gilt, folgt für dass c = 1 q sgn σ g j 1j 1 g j 2j 2 g j n mj n m, ḡ ε i1 ε i2 ε im, ε j1 ε j2 ε jn m dv = = cḡ ε j1 ε j2 ε jn m, ε j1 ε j2 ε jn m dv = = 1 q sgn σ g j 1j 1 g j 2j 2 g j n mj n m 2 dv = 1 q sgn σ dv = = sgn σ ε 1 ε 2 ε n = = ε i1 ε i2 ε im ε j1 ε j2 ε jn m 2 Für ω = ε I = ε i1 ε i2 ε im mit I = {i 1, i 2,, i 3 }, 1 i 1 < i 2 < < i m n und J das Komplement zu I, mit der Standardanordnung so wie es auch in 128 definiert ist, und mit 1 2 n m n m + 1 n σ = j 1 j 2 j n m i 1 i m

9 125 Differentialformen zurückziehen und ableiten 109 gilt, dass ε I = 1 q sgn σ g j 1j 1 g j 2j 2 g j n mj n m ε J = = 1 2q sgn σ sgn σ g j 1j 1 g j 2j 2 g j n mj n m g i 1i 1 g i 2i 2 g imim ε I = = 1 n mm 1 q ε I Man verwendet, dass sgn σ sgn σ = 1 n mm und g j 1j 1 g j 2j 2 g j n mj n m g i 1i 1 g i 2i 2 g imim = 1 p 1 q Weil {ε I ; I geordneter m-tupel} eine Basis für Λ m V bildet, ist der Beweis fast komplett Man muss sich nur noch überlegen, dass mit zusätzliche Funktionen f I gilt: f I ε I = f I ε I I =m I =m 3 Sei ω, η Λ m V Dann gilt mit dem zweiten Ergebnis oben, dass ḡ ω, ηdv = ω η = 1 n mm η ω = = 1 n mm ḡ η, ωdv = 1 q ḡη, ωdv = 1 q ḡω, ηdv Beispiel 1218 Für M = R n mit Standardbasen und dem standard skalaren Produkt ist dieser Hodge-Operator nur halb so schlimm Für ω = dx i1 dx i2 dx im mit I = {i 1, i 2,, i m } und 1 i 1 < i 2 < < i m n findet man ω = 1 signσ dx j1 dx j2 dx jn m mit σ wie in 127 Dann folgt auch sofort, weil sign σ = sign σ 1, dass ω = ω Differentialformen zurückziehen und ableiten Für die Standardbasis {e 1,, e n } in R n definiert man dx i Λ R n für v = v 1 e v n e n durch dx i v = v i Eine Basis für Λ k R n ist dann {dx i1 dx i2 dx ik ; 1 i 1 < i 2 < < i k n} Das wiederum heißt, dass jede äußere k-form ω die Gestalt ω = ω i1 i 2 i k dx i1 dx i2 dx ik i 1 <i 2 < <i k n hat Wenn ω i1 i 2 i k C l U für U R n, nennt man ω eine k-form der Klasse C l und schreibt ω Ω k l U

10 Januar 2011 Woche 12, Differentialformen I Definition 1219 Das Differential von f C k+1 U mit k 1 für offenes U R n definiert man durch df = f dx f dx n x 1 x n Es folgt df Ω 1 k U und für v = v 1e v n e n gilt df v = f v Genauer wäre es, wenn man schreiben würde df p, v = fp v Definition 1220 Sei U R n offen und f C l+1 U; R m Man definiert für ω Ω k l Rm die von f zurückgezogene k-form f ω Ω k l Rn durch f ω v 1,, v k = ω f p v 1,, f p v k Bemerkung Wenn man die Abhängigkeit von der Stelle nach beibehalten möchte, dann müsste man eigentlich schreiben f ω [p] v 1,, v k = ω [fp] f p v 1,, f p v k, denn die Differentialform ω an der Stelle f p hängt zusammen mit der Differentialform f ω an der Stelle p Deshalb sagt man auch,,zurückziehen Hier ist f p die Ableitung von f an der Stelle p, anders gesagt, die lineare Abbildung f p : R n R m, ist also als eine m n-matrix darstellbar, mit Es folgt, dass fx fp f p x p lim x p x p = 0 f dx i v = dx i f p v = n j=1 f i p x j v j = n j=1 f i p x j dx j v 1211 Lemma 1221 Sei U R n offen und f C l+1 U; R m Dann gilt: 1 f ω + η = f ω + f η für ω, η Ω k l Rm ; 2 f gω = g f f ω für ω Ω k l Rm und g C 0 R m ; 3 f ω η = f ω f η für ω Ω k 1 l Rm und η Ω k 2 l Rm Beweis Diese Aussagen folgen sofort aus der Definition Aus der letzten Aussage und 1211 folgt für den speziellen Fall m = n, dass f dx 1 dx 2 dx n = f dx 1 f dx 2 f dx n = n f 1 p n f 2 p n f n p = dx j dx j dx j = x j x j x j j=1 = = σ P ert σ P ert f 1 p x σ1 j=1 f 2 p x σ2 sgn σ f 1p x σ1 j=1 f np x σn dx σ1 dx σ2 dx σn = f 2 p x σ2 f np x σn dx 1 dx 2 dx n = = det f p dx 1 dx 2 dx n

11 125 Differentialformen zurückziehen und ableiten 111 Definition 1222 Sei ω Ω k l U mit l 1 wie in 1210: ω = ω i1 i 2 i k dx i1 dx i2 dx ik, i 1 <i 2 < <i k n Das äußere Differential dω definiert man durch dω = = 1 i 1 <i 2 < <i k n 1 i 1 <i 2 < <i k n j=1 dω i1 i 2 i k dx i1 dx i2 dx ik = n ω i1 i 2 i k x j dx j dx i1 dx i2 dx ik Es folgt dω Ω k+1 l 1 U Das heißt, d ist ein linearer Operator von Ωk l U zu Ωk+1 l 1 U Lemma 1223 Es gilt: 1 d ω + η = dω + dη für ω, η Ω k l U mit l 1; 2 d ω η = dω η + 1 k 1 ω dη für ω Ω k 1 l U und η Ωk 2 l U mit l 1; 3 ddω = 0 für ω Ω k l U mit l 2; 4 f dω = d f ω für f C 1 U; R m und ω Ω k l U mit l 1 Beweis Das erste Ergebnis zeigt man sofort mit Hilfe der Definition Nehmen wir Teilmengen I, J {1,, n} und schreiben dx I = dx i1 dx ik für I = {i 1,, i k }, dx J = dx j1 dx jl für J = {j 1,, j l }, dann bemerke man für das zweite Ergebnis, dass d fdx I gdx J = d fgdx I dx J = = gdf + fdg dx I dx J = = df dx I gdx J + 1 k fdx I dg dx J = = d fdx I gdx J + 1 k fdx I d gdx J Für das dritte Ergebnis bemerke man, dass = d d fdx I = n i=1 n i 1 2 f x i x j i=1 j=1 n j=1 2 f x i x j dx i dx j dx I = 2 f x j x i dx i dx j dx I = 0 Das letztere folgt aus der Definition Nennen wir {y 1,, y m } die Koordinaten auf R m und sei ω = g dy j1 dy jk Es gilt dω = dg dy j1 dy jk

12 Januar 2011 Woche 12, Differentialformen I und weil f ω [p] v 1,, v k = ω [fp] f p v 1,, f p v k = g [fp] dy j1 dy jk f p v 1,, f p v k folgt v d f ω 1 [p],, v k, v k+1 = d g [fp] dy j1 dy jk f p v 1,, f p v k, f p v k+1 n g f = dy i dy j1 dy jk p v 1,, f p v k, f p v k+1 y i=1 i [fp] n g v = dy i f p dy j1 f p dy jk f p 1,, v k, v k+1 y i=1 i [fp] n n = g fi dx j dy j1 f p dy jk f p v 1,, v k, v k+1 y i=1 j=1 i [fp] x j [p] n = g f dx j dy j1 f p dy jk f p v 1,, v k, v k+1 x j=1 j [p] v = d g f [p] dy j1 f p dy jk f p 1,, v k, v k+1 = dg [fp] dy j1 dy jk f p v 1,, f p v k, f p v k+1 = dω [fp] f p v 1,, f p v k, f p v k+1 = f dω [p] v 1,, v k, v k Wieso? Warum all dieses? Wir möchten das Werkzeug bereitlegen, um auch bei Mannigfaltigkeiten zugehörende Integrale auf passende Weise festzulegen und gegebenfalls auch zu berechnen Verwendet man Differentialformen, dann sieht die allgemeine Form des Satzes von Stokes harmlos aus: M dω = M ω Hier ist M eine m-dimensionale Mannigfaltigkeit in R n mit m 1-dimensionalem Rand M und ω Ω m 1 l+1 M In einer Dimension sieht dieser Satz übrigens wie folgt aus: b a dω = ω b ω a 127 Gradient, Divergenz und Rotation in R n Bevor wir uns auf Mannigfaltigkeiten begeben, erinnern wir nochmal an einige Differentialoperatoren in R n

13 128 Die klassischen Sätze von Gauß und Stokes 113 Definition 1224 Der Gradient für f C 1 R n : grad f = f = f x 1 f x 2 f x n Die Divergenz für v C 1 R n ; R n : div v = v = v 1 x 1 + v 2 x v n x n Die Rotation für v C 1 R 3 ; R n : rot v = v = det x 1 v 1 e 1 x 2 v 2 e 2 x 3 v 3 e 3 = v 3 x 2 v 2 x 3 v 1 x 3 v 3 x 1 v 2 x 1 v 1 x 2 Auf englisch: rot v = curl v Der Laplace-Operator für f C 2 R n : f = div grad f = f = f + f + + f x 1 x 2 x n 128 Die klassischen Sätze von Gauß und Stokes Der allgemeine Satz von Stokes liefert einige Spezialfälle, die wir hier betrachten werden Man nennt das Dreibein {a, b, c} R 3 positiv orientiert, wenn a b c > 0 Lemma 1225 Wenn ψ : A R 2 R 3 eine Immersion ist, M = ψa eindeutig parametrisiert ist, und wenn v ein Vektorfeld auf M ist und dσ das Oberflächendifferential, dann gilt ψ v n dσ = v ψ x, y x ψ dxdy y M A { } Das Dreibein n, ψ, ψ soll positiv orientiert sein; n ist ein stetiger Normaleneinheitsvektor auf x y M Das Oberflächendifferential gehört zu der positiven Volumenform auf M, die wir später noch genau definieren wollen Satz 1226 Gauß 1 in 3 Dimensionen Sei U R 3 offen und beschränkt und sei U C 1 Sei v C 1 Ū; R3 und sei n der auswärts gerichtete Normaleneinheitsvektor auf U und dσ das Oberflächendifferential Dann gilt v dλ = v n dσ U U

14 Januar 2011 Woche 12, Differentialformen I Satz 1227 Gauß in n Dimensionen Sei U R n offen und beschränkt und sei U C 1 Sei v C 1 Ū; Rn und sei n der auswärts gerichtete Normaleneinheitsvektor auf U und dσ das Oberflächendifferential Dann gilt v dλ = v n dσ U U Korollar 1228 Sei U R n offen und beschränkt und sei U C 1 Sei f, g C 2 Ū und sei n der auswärts gerichtete Normaleneinheitsvektor auf U und dσ das Oberflächendifferential Dann gilt f f g f g dλ = n g f g dσ n NB f n = f n U Bemerkung Dieses Korollar ist auch bekannt als ein Satz von Green 2 U Abbildung 121: Gauß, die Mühle von Green und Stokes Satz 1229 Stokes 3 klassisch Sei M eine 2-dimensionale Mannigfaltigkeit in R 3 Sei v C 1 Ū; R3 und sei n ein stetiger Normaleneinheitsvektor auf M und dσ das Oberflächendifferential Dann gilt v x n dσ = vx τ ds, M wobei der Tangentialvektor τ sich zu n links herum dreht NB v = rot v Siehe auch Abbildung 122 M 1 Carl Friedrich Gauß, George Green, George Gabriel Stokes,

15 128 Die klassischen Sätze von Gauß und Stokes Abbildung 122: Eine Abbildung zu Satz 1229: M als graues Haarnetz, M und τ in rot und ein n in grün

16 Januar 2011 Woche 12, Differentialformen I