Matrizen und Drehungen

Transkript

1 Matrizen und Drehungen 20. Noember 2003 Diese Ausführungen sind im wesentlichen dem Skript zur Vorlesung Einführung in die Theoretische Physik I und II on PD Dr. Horst Fichtner entnommen. Dieses entstand aus der dazu im Wintersemester 200/2002 an der Ruhr-Uniersität Bochum, gehalten Vorlesung. Vorbemerkung: Das orliegende Pamphlet kann und soll kein Lehrbuch ersetzen. Insbesondere ist es nicht so gründlich Korrektur gelesen wie manches Buch. Daher sind wir dankbar für jeden Hinweis auf sicherlich noch existierende Fehler!

2 2 Inhaltserzeichnis I Drehungen 3. Drehung eines Vektors im Koordinatensystem 3.2 Drehung des Koordinatensystems 4.3 Matrixdarstellung 5 II Matrizen 6 2. Motiation und Definition on Matrizen Tabellenkalkulation Lineare Gleichungssysteme Weitere Anwendungen in der Optik Strahlengang in einer Linse Definition on Matrizen Rechenregeln für Matrizen Addition und Subtraktion on Matrizen Multiplikation on Matrizen

3 3 Teil I Drehungen Als eine erste Ergänzung zur Vorlesung und als Motiation für die Benutzung on Matrizen sollen hier als erstes einige Transformationen eines Vektors betrachtet werden. Insbesondere werden hier zwei Fälle für die Drehung eines Vektors abgeleitet. Diese Unterscheidung i Fälle, bezieht sich dabei auf die Drehung eines Vektors in einem Koordinatensystem und die Drehung eines Koordinatensystems, bei der der Vektor unerändert bleibt.. Drehung eines Vektors im Koordinatensystem x α α 2 α α α2 y Abb..: Drehung eines Vektors in einem Koordinatensystem Aus Abb.. lassen sich leicht die folgenden Relationen ablesen: ; α α + α 2 Mit den Additionstheoremen für den Sinus und Kosinus: gilt hier mit α α sowie β α 2 : sin α 2 cos α sin α cos α 2 sinα ± β sin α cos β ± sin β cos α cosα ± β cos α cos β sin α sin β sin α sinα + α 2 sin α cos α 2 + cos α sin α 2 cos α cosα + α 2 cos α cos α 2 sin α sin α

4 4 Also: 2 2 sin α cos α Durch Einsetzen on in 2 ergibt sich somit: 2 cos α 2 2 sin α cos α 2 sin α 2 2 sin α + 2 cos α 2 2 sin α 2 2 sin α + 2 cos α 2 cos α + 2 sin α Somit ergibt sich das Gleichungssystem: cos α 2 sin α 2 cos α + 2 sin α.2 Drehung des Koordinatensystems x α β 2 2 β α y

5 5 Abb. 2.2: Drehung des Koordinatensystems Weiterhin gilt: 2 K 2 K ; cos β 2 sin β cosβ α cos β cos α + sin β sin α 2 sinβ α sin β cos α cos β sin α cos α + 2 sin α 2 sin α + 2 cos α.3 Matrixdarstellung Eine naheliegende Vorgehensweise ist hier eine Darstellung der beiden oben gefundenen Gleichungssysteme mit Hilfe on Matrizen. Diese Darstellung liefert dann das folgende: cos α sin α sin α cos α 2 Transformation eines Vektors unter der Drehung eines Koordinatensystems: cos α sin α sin α cos α 2 Eine Spiegelung z.b. an der y-achse bewirkt nur, daß die neue x-komponente das negatie der alten ist, und läßt sich somit folgerndermaßen in Matrixform schreiben: Zum Schluß noch zwei kurze Bemerkungen: Im Unterschied zur Drehung des Vektors bleibt dieser bei der Drehung des Koordinatensystems derselbe, nur seine Darstellung in Bezug auf das neue Koordinatensystem ändert sich Die beiden aus den beiden Drehungen resultierenden Matrizen lassen sich durch den Übergang on α zu α ineinander überführen anschaulich klar!.

6 6 Teil II Matrizen 2. Motiation und Definition on Matrizen Neben der bereits bei der Drehung kennengelernten Matrixdarstellung gibt es weitere ielfältige Anwendungen für Matrizen, on denen im folgenden einige Beispiele erläutert werden: 2.. Tabellenkalkulation Z.B. Sportergebnisse: S U N Punkte B B B B B S U N Punkte B B B B4 0 0 B5 0 0 S U N Punkte B B2 3 2 B B B Alte Tabelle + Neuer Spieltag Neue Tabelle Alle Arten on Sporttabellen lassen sich als solche rechteckige Schemata darstellen Lineare Gleichungssysteme Analog zu den bei den Drehungen gefundenen Gleichungssystemen lassen sich Matrizen sogar zur Lösung on Systemen erwenden, bei denen das Ergebnis und nicht der Ausgangsektor bekannt ist: Lösung z. B. durch Matrix-Schreibweise: I 2x 3 6 II x Man kann das Gleichungssystem formal wie folgt schreiben 2 3 x A x c somit in Kurzschreibweise als ein Produkt aus einer Matrix A und einem Vektor x, welches den Ergebnisektor c ergibt: 2x 3x A x c 2 6 x Wenn die Matrix A existiert, so dass gilt A A x A c x A c

7 7 wäre die Lösung des Gleichungssystems gefunden Weitere Anwendungen in der Optik Neben der Drehung und der Spiegelung wird in dieser Vorlesung im wesentliche noch der Strahlengang in einer Linse mit Hilfe on Matrizen beschrieben: Strahlengang in einer Linse Wie im Laufe der Vorlesung noch klar werden wird, läßt sich der Strahlengang in einer Linse auch mit Hilfe on Matrizen beschreiben. Das Eintreten eines Lichtstahls x in eine Linse, wird dessen Richtung als Folge der Brechung folgendermaßen ändern: y y 2 0 f 2 n x Ein nachfolgendes Durchlaufen der Linse läßt sich dann weiterhin wie folgt ausdrücken: z d y d 0 x z 2 0 y 2 0 Dabei bezeichnet der Vektor y den Bereits gebrochenen Strahl. Aufgrund dieser Darstellung ist es möglich ein ganzes Linsensystem nur durch eine sukzessie Anwendung on Matrizen zu berechnen. Um insbesondere die auf die gemetrische Optik bezogenen Möglichkeiten nutzen zu können, sind somit erschiedene Grundkenntnisse bezüglich der Matrizen nötig: Wie werden Matrizen mit Vektoren multiplizert? 2 Wie werden Matrizen miteinander mulitpliziert? f 2 n

8 8 2.2 Definition on Matrizen Definition: Ein rechteckiges Schema folgender Art a a 2 a 3... a n a 2 a a 2n A..... a m a m a mn on m n Zahlen a ij heißt Matrix oder auch m n - Matrix. Der erste Index i,..., m bezeichnet die Zeilen, der zweite Index j,..., n die Spalten der Matrix daher spricht man auch om Zeilen- bzw. Spaltenindex. Die Zahlen a ij heißen Elemente oder auch Komponenten der Matrix A. Definition: Definition: Die Elemente einer Matrix können reelle oder komplexe Zahlen sein, aber auch Funktionen oder andere mathematische Objekte. Im folgenden werden die Matrixelemente in der Regel Zahlen sein. Sind alle Elemente a ij einer Matrix gleich Null, dann spricht man on einer m n- Nullmatrix. Wenn die Zeilenzahl m und die Spaltenzahl n einer Matrix A gleich sind, so ist A eine quadratische Matrix. In diesem Fall heißen die a ij mit i j Diagonalelemente. 2.3 Rechenregeln für Matrizen 2.3. Addition und Subtraktion on Matrizen Die Summe S und die Differenz D zweier m n- Matrizen A und B sind durch S ij A B ij a ij + b ij definiert, sie werden also elementweise gebildet. D ij A B ij a ij b ij Beispiel: a Siehe die Tabellenkalkulation in.. b Die Addition und Subtraktion on Matrizen wird also auf die normale und bekannte! Addition und Subtraktion on reellen oder komplexen Zahlen zurückgeführt. Falls A und B nicht die gleiche Zeilen- und Spaltenzahl besitzen, sind die Summe und die Differenz nicht definiert, also nicht bildbar.

9 9 Folgerung: Aus der Definition der Matrixaddition folgt unmittelbar für die Multiplikation mit einer Zahl einem Skalar λa... λa n λa... λ R λa m... λa mn Multiplikation on Matrizen Zur Motiation für die Matrixmultiplikation hier zunächst die folgenden Vorüberlegungen: Bereits bei der Diskussion der Drehungen haben wir die Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor behandelt. Um das noch etwas näher zu betrachten hier noch einmal das Ergebnis bei einer Rotation des Koordinatensystems: cos α sin α sin α cos α 2 2! cos α sin α 2 sin α + cos α 2 2 Folgerung: Somit gilt hier offenbar: cos α sin α sin α cos α 2! cos α sin α 2 sin α + cos α 2 In Worten ausgedrückt wird somit bei der Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor das jte Element der Zeile der Matrix mit dem jten Element des Vektors multipliziert. Dies wird dann für jedes Element der jeweiligen Zeile durchgeführt und die Summe diesen Ausdrucks in der selben Zeile des Ergebnisektors notiert. Mathematisch ausgedrückt, läßt sich das somit folgendermaßen schreiben: A x j a ij x j Mit diesem Grundwissen läßt sich nun auch schnell klären, wie Matrizen miteinander zu multiplizieren sind. Dazu wird hier das Beispiel des Strahlengangs einer Linse erneut aufgegriffen. Zunächst sind wir mit den bisher gemachten Überlegungen nun in der Lage, die erste dort angegebene Gleichung zu berechnen: y y 2 0 f 2 n } {{ } T x x f 2 x + n Wird nun auch die zweite Transformationsmatrix T 2 hinzumultipliziert, muß nur bedacht werden, daß es sich dabei nur noch um die Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor handelt:

10 0 z z 2 d 0 0 n T 2 T x d x + n x + n x d 0 T 2 x f 2 x + n Mit der Erwartung, daß sich auch dies in der nun wohlbekannten Form einer Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor darstellen läßt, kann man den Ausdruck folgendermaßen umschreiben: z d x + d n d d n f z 2 x + n 2 x n T Vergleicht man dies mit der äquialenten Formulierung, bei der zwei Matrizen multipliziert werden, so ergibt sich hier T T 2 T, oder für diesen speziellen Fall: d 0 0 n T 2 T d f 2 f 2 d n n } {{ } T Folgerung: An diesem Ausdruck, kann man leicht ablesen, daß die Multiplikation on zwei Matrizen der Multiplikation on einer Matrix mit einem Vektor ollkommen analog ist. Dabei werden die Elemente einer Zeile der ersten Matrix hier T 2 mit dem jeweiligen Element einer Spalte der zweiten Matrix hier T multipliziert und dann wie im orherigen Fall die Summe gebildet. Die entstehende Summe wird dann an der Position in die Ergebnismatrix eingetragen, die den gleichen Zeilennindex hat, wie die zu Summation benutze Zeile der ersten Matrix. Der gleiche Zusammenhang besteht zwischen dem Spaltenindex und der benutzten Spalte der zweiten Matrix Allgemein gilt also für die Multiplikation on Matrizen: b b 2 a a 2 b a + b 2 a 2 b a 2 + b 2 a 22 b 2 b 22 a 2 a 22 b 2 a + b 22 a 2 b 2 a 2 + b 22 a 22 oder in Kurzform B A ij k b ik a kj.

11 Das motiiert die Definition: Die Elemente der aus einer l m - Matrix A und einer m n- Matrix B gebildeten Produktmatrix C A B sind durch c ij m a ik b kj k a ik b kj gegeben. Die Produktmatrix ist eine l n-matrix. Beispiel: a b , da , da Die Matrixmultiplikation erfordert nicht, dass die Matrizen om selben Typ sind, sondern lediglich, dass die Spaltenzahl der ersten linken gleich der Zeilenzahl der zweiten rechten Matrix ist. Das Beispiel zeigt, dass die Multiplikation nicht kommutati ertauschbar ist.