1 Einleitung. 1.1 Ablauf

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1 1 Einleitung 1.1 Ablauf Einleitung Zentrale Unterräume in regulären Netzwerken Lösungszweige Bifurkationen von stabilen, synchronen Lösungen Ziel: Zeigen, dass eine Kodimension 1 Bifurkation von einem synchronen Gleichgewicht in einem regulären Netzwerk auf linearem level isomorph zum Hauptraum der Adjazenzmatrix ist, falls die Dimension der internen Dynamik der einzelnen Zellen größer 1 ist. Im Folgenden betrachten wir homogene, gekoppelte Zellnetzwerke, also Netzwerke deren Zellen identisch sind. Lösungen in 0 = {x : x 1 =... = x r } können durch das Lösen folgenden Systems von Differentialgleichungen gefunden werden: ẏ = f(y;, y,..., y) (1.1) Synchrone Gleichgewichte, Nullen in f aus (1.1), treten generisch in homogenen Zellsystemen auf. Zudem können wir annehmen, dass es ein Gleichgewicht eines zulässigen Vektorfeldes in 0 gibt, welches ohne Beschränkung der Allgemeinheit im Ursprung ist. Definition 1.1 Ein homogenes Netzwerk ist regulär, wenn alle Kupplungen vom selben Typ sind. Die Valenz eines regulären Netzwerks ist die Anzahl der Inputs jeder Zelle. Wir betrachten im Folgenden die Struktur von synchroniebrechenden Bifurkationen von einem vollständig synchronen Gleichgewicht in einem homogenen Zellsystem. Sei ẋ = F (x) 1

2 ein zulässiges System für ein homogenes Netzwerk mit F(0)=0. Eine synchroniebrechende Bifurkation bedeutet, dass sich im Ursprung ein kritischer Eigenvektor im Zentralen Unterraum E c der Jacobimatrix J = (df ) 0 befindet, der nicht in 0 ist. Ein Ziel dieses Vortrags wird es sein die Jordannormalform, die J E c an einer generischen Kodimension 1 synchroniebrechenden Bifurkation von einem synchronen Gleichgewicht einnimmt, zu beschreiben. Für reguläre Netzwerke können synchroniebrechende Bifurkationen mit der Jordanstruktur der Adjazenzmatrix identifiziert werden. Dies wird in Abschnitt 2 beschrieben. Definition 1.2 Die Adjazenzmatrix eines regulären Netzwerks ist die Matrix A=[a ij ], wobei a ij die Anzahl der Kupplungen von Zelle j zu Zelle i ist. Es wird sich in Abschnitt 2 zeigen, dass der zentrale Unterraum bei der Bifurkation isomorph zum verallgemeinerten Eigenraum der Adjazenzmatrix ist. 2 Zentrale Unterräume in regulären Netzwerken In diesem Abschnitt geht es um die generische Struktur von kritischen Eigenräumen in regulären Netzwerken. Betrachte hierzu ein reguläres Netzwerk mit r Zellen. Außerdem nehmen wir an, dass das zulässige Vektorfeld F ein synchrones Gleichgewicht im Ursprung hat (F(x)=0). Sei zunächst die Dimension der internen Dynamik der Zellen k =1, dann gilt (df ) 0 = αi + βa mit α, β R, wobei A die Adjazenzmatrix ist. Jeder Eigenwert von J = (df ) 0 hat die Form α + βµ, wobei µ Eigenwert von A ist. Es folgt, dass die Haupträume von J und A übereinstimmen. 2

3 Bemerkung 2.1 Sei k=1, dann ist der reelle Teil der Eigenwerte von J α + Re(µ j )β. Wenn also zwei Eigenwerte von A den selben reellen Teil haben, Re(µ 1 ) = Re(µ 2 ) dann sind die reellen Anteile von α + µ 1 β und α + µ 2 β gleich für alle α und β. Beispiel: Matrix A hat Eigenwerte 2, 0 und +-i. An einer Kodimension 1 Bifurkation ist der zentrale Unterraum 3 dimensional - die Eigenräume, die mit den Eigenwerten 0 und +-i korrespondieren A = Angenommen die internen Dynamiken der Zellen ist k-dimensional, wobei k > 1. Im vollständig synchronen Zustand ist die Jacobimatrix durch zwei k k Matrizen bestimmt. Die linearisierten internen Dynamiken α und die linearisierten Kupplungen β. Diese Matrizen können durch Differenzierung von F (siehe 1.1) nach den ersten beiden Variablen gefunden werden. J hat damit folgende Form: J = (df ) 0 = α I r +β A (2.1) Seien µ 1,..., µ s die verschiedenen Eigenwerte von A. Sei zudem M µi = α + µ i β. Lemma 2.2 Die kr Eigenwerte der Jacobimatrix J sind die Vereinigung der Eigenwerte der k k Matrizen M µi für 1 j s. Sei v C r ein Eigevektor von A. Dann gilt J(u v) = (M µ u) v. (2.2) Daher gilt, dass wenn u C k ein Eigenvektor von M µ ist, dann ist u v Eigenvektor von J. Beweis: 3

4 Sei µ C ein Eigenwert von A mit Eigenvektor v C r. Sei Y v = u v : u C k C k C r Wir behaupten, dass der Unterraum Y v J invariant ist und dass J Y v = M µ. Es folgt, dass die k Eigenwerte von J Y v die Eigenwerte von J sind: J(u v) = (αu) v + (βu) Av = (αu) v + µ(βu) v = ([α + µβ]u) v = (M µ u) v Dies verifiziert (2.2). Insbesondere ist J Y v die Matrix M µ. Es folgt direkt aus (2.2), dass u v genau dann ein Eigenvektor von J ist, wenn u ein Eigenvektor von M µ ist. Das primäre Ziel soll es sein die zentralen Unterräume, die bei Kodimension 1 Bifurkationen in regulären Netzwerken auftreten zu klassifizieren. Seien ρ 1,..., ρ p, η 1,..., η q (2.3) verschiedene Eigenwerte von A. Die ρ j sind die verschiedenen reellen Eigenwerte, und die η i sind die verschiedenen komplexen Eigenwerte von A, deren imaginärer Anteil positiv ist. Definition 2.3 Ein Paar reeller k k Matrizen α, β ist ein Kodimension 1 Paar, wenn die reellen Teile der Eigenwerte der Matrizen M ρ1,..., M ρp, M η1,..., M ηq verschieden sind (außer den komplex konjugierten Paaren von Eigenwerten der M ρj ). Das Set aller Kodimension 1 Paare ist mit M 2 (k) bezeichnet. M 2 (k) ist eine offene Teilmenge von L(k) 2, wobei L(k) der Raum der reellen k k Matrizen ist. In Proposition 2.4 wird gezeigt, dass wenn k > 1 M 2 (k) auch eine dichte Teilmenge ist. Daher wird die generische Kodimension 1 Bifurkation mit einer Jacobimatrix J, welche zu einem Kodimension 1 Paar gehört auftreten. Zudem wird J einen zentralen Unterraum haben, der zu einem kritischen Eigenwert passt. 4

5 Proposition 2.4 Für M 2 (k) L(k) 2 ist offen und dicht. Für k=1 ist M 2 (k) offen und dicht, falls die Eigenwerte von A in (2.3) verschiedene reelle Teile haben. Lemma 2.5 Sei µ C k ein Eigenwert von A, und sei G A (µ) C r der damit verbundene komplexe verallgemeinerte Eigenraum. Dann ist C k G A (µ) invariant unter J. Beweis: Sei A µ = A µi, dann gilt: J = α I r + β A = α I r + µβ I r + β A µβ I r = (α + µβ) I r + β (A µi r ) = M µ I r + β A µ. Beide Summanden lassen den Raum C k G A (µ) invariant, und somit auch J. Sei σ C k ein Eigenwert von J, und sei G J (σ) der verallgemeinerte Eigenraum von J σ = J σi beschränkt auf den invarianten Unterraum C k G A (µ). Dann erlaubt Proposition 2.4 anzunehmen, dass alle Eigenwerte von M µ einfach sind und verschiedene Realteile haben. Es folgt, dass für jedes µ eine Basis aus Eigenvektoren u 1,..., u k von M µ in C k. Für das nächste Theorem benötigen wir weitere Annahmen. Für jeden Eigenwert σ aus M µ mit zugehörigem Eigenvektor u gelte βu = j ζ j u j (2.4) wobei ζ j 0, j = 1,..., k (2.5) Die Menge der β, die (2.4) und (2.5) erfüllen ist für fixes σ offen und dicht. Da es nur eine endliche Anzahl an σ gibt, ist die Menge der β, die (2.4) und (2.5) erfüllen für alle σ offen und dicht. 5

6 Theorem 2.6 Nehme an, dass (2.4) und (2.5) gelten. Sei µ C ein Eigenwert von A, und sei σ C ein einfacher Eigenwert von M µ. Dann existiert ein Isomorphismus η : G A (µ) > G J (σ) sodass J σ η = η A µ.(2.6) Bemerkung 2.7 Proposition 2.4 impliziert, dass generisch an einer synchroniebrechenden Bifurkation, der zentrale Unterraum von J durch den Eigenraum, der zu einem Eigenwert µ aus A und einem einfachen kritischen Eigenwert σ aus M µ gehört, bestimmt ist. Es folgt, dass der zentrale Unterraum von J, und damit die Kodimension 1 synchroniebrechende Bifurkation, in 3 Typen zerfallen: a) µ ist reell. In diesem Fall ist die Matrix M µ eine beliebige reelle k k Matrix. Wenn J mit einem Parameter variiert, so variiert auch M µ und ein kritischer Eigenwert σ von M µ ist entweder 0 oder rein imaginär. Sei σ=0. In diesem Fall sind alle Konstruktionen aus Theorem 2.6 reell, und der reelle Unterraum G J (0) und G A (µ) sind isomorph. Daher gilt E c (J) = G A (µ) Sei nun σ rein imaginär. Theorem 2.6 sagt aus, dass der komplexe Vektorraum G J (σ) und die Komplexifikation von G A (µ) isomorph sind. Allerdinges ist M µ eine reelle Matrix, daher ist σ ebenfalls ein kritischer Eigenwert von M µ. Da der zentrale Unterraum E c (J) der reelle Teil von G J (σ) G J (σ) ist folgt, dass E c (J) = G A (µ) G A (µ). b) µ ist nicht reell. In diesem Fall ist die Matrix M µ eine beliebige komplexe k k Matrix. Wenn J mit einem Parameter variiert, so variiert auch M µ und ein kritischer Eigenwert σ von M µ ist generisch rein imaginär. Allerdings ist σ ist nicht generisch ein Eigenwert von M µ, allerdings ist es immer ein Eigenwert von M µ. Daher gilt E c (J) = Re(G A (µ) G A (µ)). 6

7 Korollar 2.8 Der zentrale Unterraum E c (J) ist bei einer Kodimension 1 Gleichgewichtsbifurkation in einem regulären Netzwerk isomorph zu G A (µ) für einen reellen Eigenwert µ von A. Bei einer Hopfbifurkation ist E c (J) isomorph zu G A (µ) G A (µ), wenn µ reell oder Re(G A (µ) G A (µ)), falls µ nicht reell. 3 Lösungszweige Definition 3.1 Sei y im Phasenraum gegeben. Der Isotropieunterraum, der y enthält ist der kleinste Synchronie Unterraum y, der y enthält. Der Unterraum = (y,..., y) enthält vollständig synchrone Punkte. Sei ẋ = F (x, λ) ein gekoppeltes Zellsystem und x 0 ein vollständig synchrones Gleichgewicht bei λ 0 ; also, F (x 0, λ 0 ) = 0. Wir nennen x 0 einen synchroniebrechenden Bifurkationspunkt, falls K = ker(df ) x0,λ 0 0, K = 0 Ohne Beschränkung der Allgemeinheit können wir annehmen, dass λ 0 = 0. Bei einer synchroniebrechenden Bifurkation ist (df ) x0,λ 0 regulär. Daher bekommen wir mit dem Theorem von der impliziten Funktion, dass es eine parametrisierte Familie von vollständig synchronen Gleichgewichten x(λ) gibt, wobei x(0) = x 0. Wir können widerum ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen, dass x(λ) = 0. Es folgt, dass x 0 = 0 und F (0, λ) = 0. Definition 3.2 K) = 1. Ein isotropie Unterraum y ist axial, wenn dim( y Theorem 3.3 Sei y eine axiale Polydiagonale, wobei y K = Rv. Dann existiert generisch ein verschiedener Zweig aus Nullen von F in y. 7

8 4 Bifurkationen aus stabilen synchronen Lösungen Bis jetzt haben wir die zentralen Unterräume von möglichen Kodimension 1 Bifurkationen von voll synchronen Gleichgewichten, welche in regulären Zellsystemen auftreten können klassifiziert. Allerdings ist noch unklar, ob diese Bifurkationen zu stabilen Lösungen führen können. Seien µ 1,..., µ r die verschiedenen Eigenwerte der Adjazenzmatrix. Eine synchroniebrechende Bifurkation, die mit dem Eigenwert µ j zusammenhängt, kann nur dann zu stabilen Lösungen führen, wenn es Matrizen α und β gibt, sodass alle Eigenwerte der Matrizen M µi für i j negativen reellen Teil und alle nichtkritischen Eigenwerte von M µj negativen reellen Teil haben. Wenn diese Bedingungen bei einer Kodimension 1 Bifurkation erfüllt sind, nennen wir diese Bifurkation erste Bifurkation. Wir vermuten, dass wenn k groß genug ist, mit jedem Eigenwert µ j eine Kodimension 1 synchroniebrechende Bifurkation assoziiert werden kann. Allerdings können wir diese Vermutung nur für reguläre Netzwerke, deren Adjazenzmatrix nur reelle Eigenwerte haben beweisen. Beispiel 4.1 Adjazenzmatrix A= Hat die Eigenvektoren (1, 1, 1, 1) t, (1, 1, 1, 1) t, (0, 0, 1, 1) t, (0, 0, 1, 1) t, welche zu den Eigenwerten 2, -2, -1, 1 gehören. Bifurkationen, welche zum zentralen Unterraum gehören, welcher in Theorem 3.3 behandelt wurde, führen zu synchronen Lösungen. Der erste Eigenvektor führt zu einer vollständig synchronen Lösung, und die verbleibenden 3 Eigenvektoren füren zu Lösungen im Synchronie Unterraum, welche man mittels Kolorierung darstellen kann. 8

9 Wenn die internen Dynamiken eindimensional sind, kann der zentrale Unterraum, welcher zu den Eigenwerten -1,1 gehört nicht als erste Bifurkation auftreten. Wenn sie allerdings zweidimensional sind, kann eine Bifurkation, die zu einem beliebigen Eigenwert aus A gehört eine erste Bifurkation sein. Beachte, dass die Eigenwerte von (df ) 0, welche zu den Eigenwerten 2,-2, -1, 1 von A gehören, die Eigenwerte der Matrizen α+2β, α 2β, α β und α+β sind. Um eine Bifurkation zu finden, die zum Eigenwert 1 von A gehört, müssen wir α und β finden, sodass die 6 Eigenwerte der drei 2 2 Matrizen α + 2β, α 2β, α β alle negative reelle Teile haben. Zudem muss ein Eigenwert von α + β 0 sein, während der andere negativ ist. Die Matrizen α = erfüllen dies beispielsweise. ( ) β = ( ) Theorem 4.2 Alle Eigenwerte einer Adjazenzmatrix eines regulären Netzwerks seien reell. Sei µ 1 <... < µ r die verschiedenen Eigenwerte von A. Sei k=2. Dann existieren für jedes 1 j r 2 2 Matrizen α und β, sodass die Eigenwerte von M µi für i j negativen reellen Teil haben und die Eigenwerte von M µj sind 0 und negativ. Beweis: Ohne Beschränkung der Allgemeinheit können wir die µ i verschieben mit der Konstante c: α + µβ = (α + cβ) + (µ c)β. OBdA können wir also annehmen, dass µ j = 0. Für j=1, k=1 nehme α = 0 und β = 1. Für j=r nehme α = 0 und β = 1. Wir können also annehmen, dass 1 < j < r. Im Fall k=2 müssen wir Matrizen α, β so wählen, dass tr(m µi ) < 0 für alle i und det(m µi ) > 0 für alle i j. Die folgenden Matrizen erfüllen diese Vorraussetzungen: 9

10 α = ( ) a β = ( ) 1 b, wobei 1 0 I : a < µ 1 II: b < a/µ j 1 tr(α + µβ) = a µ und det(α + µβ) = aµ bµ 2 = tr(m µi ) = a µ i < a µ 1 < 0 für alle i, da µ 1 µ i. Für i j gilt det(m µi ) > 0 b < ( a)1/µ i. Da a > 0 muss b so gewählt werden, dass b < a/µ j 1, da dies die im Betrag größte, negative Zahl a/µ i ist für alle i j. Seien die Eigenwerte der Adjazenzmatrix eines regulären Netzwerkes reell. Wenn die Dimension der internen Dynamiken k 2 sind, impliziert Theorem 4.2, dass eine Kodimension 1 Gleichgewichtszustand erste Bifurkation, die mit einem beliebigen Eigenwert verbunden ist auftritt. Diese Aussage ist für Hopf Bifurkationen jedoch nicht richtig, zumindest dann, wenn k=2. Gegeben sei ein reguläres Netzwerk mit Adjazenzmatrix A mit einem negativen Eigenwert µ 1, einem 0 Eigenwert µ 2 und einem positiven Eigenwert µ r. Sei zudem k=2. Dann kann eine Hopfbifurkation, die zum 0 Eigenwert gehört keine erste Bifurkation sein. Um diesen Punkt zu zeigen, beachte dass wenn die 2 2 Matrix M 0 = α rein imaginäre Eigenwerte hat tr(α) = 0 und daher tr(m 1 ) = µ 1 tr(β), tr(m r ) = µ r tr(β) Wenn tr(β) 0, dann haben die Spuren der 2 2 Matrizen M 1 und M r unterschiedliches Vorzeichen und eine von beiden muss folglich einen Eigenwert mit positivem reellen Teil haben. Daher kann der Eigenwert 0 der Adjazenzmatrix nicht zu einer ersten Hopfbifurkation gehören. Wenn tr(β) = 0, dann gilt tr(m 1 ) = 0 und die Bifurkation ist entweder nicht Kodimension 1 (falls det(m 1 ) 0) or keiner erste Bifurkation (falls det(m 1 ) < 0). Damit also eine erste Hopfbifurkation mit einem beliebigen Eigenwert µ der Adjazenzmatrix verbunden sein kann, muss k 3 sein. 10

11 Theorem 4.3 Alle Eigenwerte der Adjazenzmatrix eines regulären Netzwerkes seien reell. Seien µ 1 <... < µ r die verschiedenen Eigenwerte von A. Sei k=3. Dann existieren für beliebige 1 j r 3 3 Matrizen α und β, sodass die Eigenwerte von M µi alle negativen reellen Teil für alle i j haben, und die Eigenwerte von M µj rein imaginär und (der unkritische) negativ sind. Beweis: Routh-Hurwitz Kriterium: Gegeben ein Polynom vom Grad 3, λ 3 + a 1 λ 2 + a 2 λ + a 3 = 0, dann haben die Nullstellen des Polynoms negativen Realteil a 1 > 0, a 3 > 0, a 1 a 2 > a 3. Es soll gezeigt werden, dass der EW µ j eine erste Hopfbifurkation haben kann, wenn k=3 ist. Wie im vorigen Beweis sei OBdA µ j = 0. Wir wollen Matrizen α, β finden, sodass: (i) α + µ i β hat alle EW mit negativem Realteil für i j (ii) α hat ein Paar rein imaginäre EW und einen reellen negativen EW. Wir wählen a > 0, sodass a > µ i für alle i. Dann sei: a a a α = 0 0 a und β = 0 0 1, a a + µ i a dann α + µ i β = 0 0 a + µ i Das char. Polynom ist λ 3 + aλ 2 + aλ + (a 2 µ 2 i ) = 0 (A) Für i=j haben wir µ i = 0 und (A) hat Nullstellen -a und + i (a), wobei für i j nach dem Routh-Hurwitzkriterium die Nullstellen alle negativen Realteil haben. 11