Liegruppen und Liealgebren

Transkript

1 Literatur Liegruppen und Liealgebren Vortrag im Rahmen des Proseminars zur Quantenmechanik II von Hannes Zechlin (1. Teil) und Sandra Flessau (2. Teil) Universität Hamburg, 20. Dezember 2006 [1] M. Chaichian and R. Hagedorn, Symmetries in quantum mechanics, IOP 1998, p [2] H.F. Jones, Groups, representations and physics, IOP 1990, p Liegruppen Nachdem wir bisher Gruppen (der Ordnung n) betrachtet haben, die diskrete Mengen bilden, wollen wir uns jetzt mit Gruppen beschäftigen, deren Elemente von kontinuierlichen Parametern abhängen. Solche Gruppen werden als Lie-Gruppen bezeichnet. Die meisten physikalischen Symmetriegruppen werden durch Lie-Gruppen beschrieben. Definition 1.1 (Lie-Gruppe). Sei (G, ) eine Gruppe bezüglich der Multiplikation und g G. Zudem seien a i, i = 1,..., r reelle, kontinuierliche Parameter, z.b. a i = a i (λ), 0 λ 1. Dann ist G eine Lie-Gruppe, wenn Die Parameter werden so gewählt, dass g = g(a 1, a 2,..., a r ). g(0, 0,..., 0) = 1. Die Anzahl r der Parameter ist die Dimension der Lie-Gruppe. Sind einige Parameter paarweise voneinander abhängig, so kann die Gruppe in verschiedene Teile zerfallen. Zerfällt die Gruppe, so bildet nur der Teil, der kontinuierlich mit dem Einselement verbunden ist, eine Untergruppe (Beweis: siehe [1] S.29f). Betrachten wir als Beispiel die Drehgruppe O(n): Die Elemente T O(n) dieser Gruppe sind orthogonale, reelle n n-matrizen, d.h., T 1 = T t bzw. det(t ) = ±1. Die Gruppe zerfällt in zwei Teilmengen, nämlich die Rotationen mit Determinante +1 und die Spiegelungen mit Determinante 1. Die Rotationen definieren die spezielle orthogonale Gruppe SO(n) := {T O(n) det(t ) = +1}, Beispiel SO(3): Drehung um z-achse: cos ϕ sin ϕ 0 T z = T z (ϕ) = sin ϕ cos ϕ SO(n) O(n) d.h., die Parameter sind kontinuierlich und abhängig von dem Drehwinkel ϕ [0; 2π]. 1

2 2 Lie-Algebren 2.1 Konstruktion der Lie-Algebra Die weitere Diskussion basiert auf folgenden Annahmen: Wir betrachten lediglichen den Teil der r-dimensionalen Gruppe, der das Einselement enthält und definieren eine Umgebung N um das Einselement, die ebenfalls r-dimensional ist. Alle betrachteten Funktionen sind zweifach differenzierbar auf N und sämtliche Produkte derer liegen wieder in N. Die Lie-Algebra wird wie folgt definiert: Definition 2.1 (Lie-Algebra). Sei g(a 1, a 2,..., a r ) N ein Element der Lie-Gruppe. Ein Weg g(λ) mit g(0) = 1 und g(1) = g(a 1, a 2,..., a r ) verbinde das Element mit der Identität. Die Ableitung g von g(λ) an der Stelle λ = 0 ist g = d dλ g(λ) λ=0 und es gilt g G. G wird als Lie-Algebra oder als Lie-Ring bezeichnet. Satz 2.1. G bildet einen infinitesimalen Ring, der alle Elemente enthält, die auf diese Weise gewonnen werden können. Beweis. Wir müssen nun zeigen, dass G tatsächlich eine Ring ist, also ein r-dimensionaler Vektorraum mit einem Produkt. Der Kürze wegen zeigen wir nur die nicht-trivialen Schritte: 1. G ist ein r-dimensionaler (reeller) Vektorraum (a) Abgeschlossenheit: Sei g(λ)h(λ) N; dann folgt aus g(λ) ein g, aus h(λ) ein h. Es gilt: ( ) d dg dλ (g(λ)h(λ)) λ=0 = h(λ) + g(λ)dh = g h(0) + g(0) h = g + h dλ dλ λ=0 Damit folgt g + h G. (b) Abgeschlossenheit bezüglich der Multiplikation mit einem Skalar α R: Sei g(λ) N ein Weg. Daraus folgt ein g = d g(λ) dλ λ=0. Wir definieren g = g(α λ), 0 α λ 1. Dann ist g = d dλ g(αλ) λ=0 = d g(αλ) d(αλ) α λ=0 = α g G (c) G ist ein r-dimensionaler Vektorraum, da es n.v. r linear unabhängige Elemente g i = g a i (0, 0,..., 0) gibt, für die gilt: g = d dλ g(λ) λ=0 = i mit α i = da i dλ λ=0 R. g a i (0, 0,..., 0) da i dλ λ=0 = i 2 α i g i G

3 2. Der r-dimensionale Vektorraum G besitzt eine Produktabbildung. (a) Man vermutet vielleicht, dass h g die Produktabbildung auf G definiert. Man kann aber zeigen, dass G unter der Abbildung h g nicht abgeschlossen ist. (b) Durch Betrachtung von verschiedenen Wegen in G kann man zeigen, dass die Abgeschlossenheit von der Abbildung [ h, g] := h g g h erfüllt wird. Diese Abbildung definieren wir als Produkt der Element h und g. Für den argumentativen Beweis siehe [1] S Kanonische Koordinaten Es gibt unendlich viele Möglichkeiten, die Parameter a i, i = 1,..., r, zu wählen. Wie immer existiert eine Wahl, die besonders vorteilhaft ist. Das wird aus den folgenden Ausführungen klar: Wie schon erwähnt, lässt sich g schreiben als g = g a i (0, 0,..., 0) da i dλ (0) = α i g i mit α i = da i dλ (0) R Daran sieht man, dass die Elemente g i offenbar als Basis und die α i als Koordinaten in dem Vektorraum G aufgefasst werden können. Man nennt die α i daher kanonische Koordinaten oder kanonische Parameter. Man überlegt nun Folgendes: Sei die Menge { g i } eine Basis. Dann können wir g wieder schreiben als g = g(α) = α i g i Multiplikation mit einem Faktor λ R ergibt λ g = (λ α i ) g i Man sieht, wie erwartet, dass beide Elemente auf einer Linie liegen. Solche Elemente kommutieren zu dem: [λ g, µ g] = λµ[ g, g] = 0 Bemerkung. Beispiel aus der Quantenmechanik: Seien A, B zwei Operatoren auf einem Hilbertraum H. Verschwindet der Kommutator, d.h., ist [A, B] = 0, so haben beide Operatoren die gleichen Eigenfunktionen und damit die gleiche Basis. 3

4 Für die weitere Betrachtung definieren wir α = (α 1,..., α r ) = α n α mit α = ( α 2 i ) 1/2, n α = α α und betrachten jetzt die Gruppenelemente g(α 1,..., α r ), wobei lediglich die Parameter a i (λ) durch die α i ersetzt wurden. Wir untersuchen jetzt das Verhalten zwischen den Gruppenelementen g(α) und den Elementen der Lie-Algebra g(α), wobei wir n α konstant lassen: Aus dem Element g(α) = g(αn) erhalten wir über Definition 2.1: g(n) = d dα g(αn) α=0 Daraus ergeben sich folgende Korrespondenzen (Beweis indirekt im Beweis von Satz 2.1): und zudem über die Definition 2.1: g(n) g(α) µ g(n) g(µα) (µ + λ) g(n) g[(µ + λ)α] (µ + λ) g(n) g(µα) g(λα) Aus den letzten beiden Korrespondenzen folgt, dass g[(µ + λ)α] und g(µα) g(λα) auf das selbe Element der Lie-Algebra führen. Es zeigt sich, dass man Funktionen g(α) finden kann, für die die Gleichheit der beiden Elemente auf der gesamten Umgebung N gilt. Diese werden wie folgt konstruiert: Für konstantes α und µ, λ R gilt also g(µα) g(λα) = g[(µ + λ)α] Zudem sind g(µα) und g(α) natürlich kommutativ (s.o.), d.h. es gilt g(µα)g(α)g 1 (µα) = g(α) Diese beiden Bedingungen erlauben folgende Umformung: ( g(α) = g m α ) [ ( α m = g m m)] Taylorentwicklung für große m ergibt: ( α ( α ) g = g m) m n = g(0) + α m d ( α ) d(α/m) g m n (α/m=0) +... = 1 + α m g(n)

5 Damit ergibt sich für m g(α) = exp[α g(n)] exp[ g(α)] Durch diese Beziehung wird die lokale Lie-Gruppe G L definiert. Sie erfüllt unsere obigen Voraussetzungen und ist eine Abbildung, die die Umgebung N der Null des Ringes (der Algebra) eindeutig auf die Umgebung des Einselementes der Gruppe abbildet. Die Basiselemente g i G werden auch als Generatoren der Lie-Gruppe bezeichnet. 2.3 Die Struktur der Gruppe und ihres infinitesimalen Ringes Die isomorphe Beziehung zwischen den Gruppenelementen in der Umgebung des Einheitselements der Gruppe und den Elementen der Lie-Algebra, die in kanonischen Koordinaten g(α) = exp[ g(α)] lautet, legt die Vermutung nahe, dass die Struktur der Gruppe in N von der Struktur der Lie-Algebra abhängt. Wenn sich dies bewahrheitet, müssten wir die Eigenschaften der Gruppe nicht mehr direkt untersuchen, sondern könnten sie anhand der Lie-Algebra und deren Struktur studieren. Aber wie hängen nun die Strukturen voneinander ab? Wenn wir zwei Vektoren α und β durch die Gruppenmultiplikation miteinander verknüpfen, erhalten wir einen neuen Vektor γ. Liegen α und β nahe der Null, gilt in kanonischen Koordinaten g(α) g(β) = exp[ g(α)] exp[ g(β)] = exp[ g(γ)]. Diese neue Funktion g(γ) muss alle in Kapitel 2.1 aufgeführten Eigenschaften der Lie- Algebra erfüllen, damit g G gilt. Die Struktur der Lie-Algebra ist festgelegt, wenn für jedes Paar g(α) und g(β) G das Produkt [ g(α), g(β)] bestimmt ist. g(α) = α i g i, g(β) = [ g(α), g(β)] = β i g i α i β k [ g i, g k ] Da der Kommutator zweier Elemente wieder Element der Lie-Algebra ist (Abgeschlossenheit der Produktabbildung, siehe 2.1), kann das Ergebnis in der gegebenen Basis entwickelt werden: [ g i, g k ] = ic j ik g j c j ik sind die Struktur-Konstanten der Lie-Algebra, die ihre Struktur bestimmen. Mit der komplexen Zahl i wird deshalb multipliziert, da die darstellenden Matrizen damit hermitesch werden, was für die Anwendung in der Quantenmechanik notwendig ist. An der Theorie der Lie-Algebren ändert das nichts. 5 j=1 i,k=1

6 Nach dem Baker-Campbell-Hausdorff-Theorem gilt für e A e B = e C mit C = A + B [A, B] + 1 ([A, [A, B]] + [B, [B, A]]) exp[ g(α)] exp[ g(β)] = exp[ g(γ)] g(γ) = g(α) + g(β) [ g(α, g(β)] + = g(α) + g(β) i,k,j=1 Dies setzt man in die Definition der lokalen Lie-Gruppe ein und erhält: g(γ) = exp[ g(γ)] = exp[ g(α) + g(β) i,k,j=1 iα i β k c j ik g j +... ] iα i β k c j ik g j +... Daraus erkennt man, dass die Struktur-Konstante auch die Struktur der Gruppe bestimmt. In einer infinitesimalen Umgebung des Einselements, also für α i, β k 0, verschwinden die Terme zweiter und höherer Ordnung. Die Gruppenmultiplikation ist hier kommutativ, da die erste Näherung im Raum der kanonischen Parameter äquivalent zur Vektoraddition ist: g(γ) = g(α) + g(β) = α i g i + β i g i = (α i + β i ) g i = g(α + β) i i i Bemerkung: Wenn man aus der Gruppe G durch g = d dλ g(λ) λ=0 eine Lie-Algebra konstruiert, dann ist die durch g(α) = exp[ g(α)] entstehende neue Gruppe G L (lokale Lie-Gruppe) lokal, aber nicht notwendigerweise global isomorph zu G. 3 Gruppen-Darstellungen 3.1 Die adjungierte Darstellung und die Killing-Form Der Kommutator mit einem festen Generator g bildet die Generatoren auf sich selbst ab: [ g i, g k ] = ic j ik g j. j=1 Dies ergibt wieder eine r-dimensionale Darstellung, die sogenannte adjungierte Darstellung. Folgende Schreibweise ist so zu verstehen: Für festes g i wird das zweite Element g k auf eine Linearkombination der Generatoren abgebildet: (D A ( g i )) j k = icj ik In dieser Darstellung bilden die Strukturkonstanten die Matrix-Darstellung der Generatoren. 6

7 Da [ g i, g k ] = r j=1 icj ik = [ g k, g i ], ist diese Matrix antisymmetrisch in i und k. Gibt es auch eine Symmetrie in j? Definieren wir die Killing-Form: (A, B) := Sp(D A (A) D A (B)) = Sp A (AB) Wenden wir dies auf die Generatoren an, erhalten wir eine Metrik, die Cartan-Metrik: Da g ik eine Metrik ist, gilt: Es ist: g ik := Sp A ( g i g k ) = c l ijc j kl = cl ijc j kl l,j=1 c l ikg lj = c ikj Sp A ([ g i, g k ] g j ) = ic l iksp A ( g l g j ) = ic l ikg lj = ic ikj. Aufgrund der zyklischen Vertauschbarkeit des Kommutators [ g i, g k ] g j sind die Strukturkonstanten total antisymmetrisch in i, k und j. 3.2 Unter-Algebren Eine Lie-Algebra kann Unter-Algebren enthalten, deren Elemente ein Unter-Satz der ursprünglichen Generatoren sind. Diese Generatoren müssen unter dem Kommutator abgeschlossen sein und eine Untergruppe der durch die Lie-Algebra generierte Gruppe G bilden. Die Untergruppen werden durch Unter-Algebren generiert. Sie bilden Unterräume I, die sogenannten Ideale. Unter allen Darstellungen der Gruppe G und ihrer Lie-Algebra ist eine herausragend: Nämlich die Darstellung, die aus einfachen Lie-Algebren besteht. Es gibt Lie-Algebren, die keine Ideale außer dem Null-Vektor und sich selbst enthalten. Eine halb-einfache Lie- Algebra ist eine, die keine abelschen Ideale enthält. Wenn die Determinante der Cartan- Metrik ungleich null ist, det(g) 0, dann ist die Lie-Algebra G halb-einfach. Daraus folgt ein Satz, den wir auch ohne Beweis anführen: Satz 3.1. Halb-einfache Lie-Algebren sind direkte Summen einfacher Lie-Algebren. Die Darstellung, die aus allen einfachen Lie-Algebren besteht, heißt F undamental Darstellung, da aus ihr logischerweise alle anderen folgen. 4 Physikalische Bedeutung Das Wigner-Theorem sagt aus, dass für jede physikalische Symmetrie-Gruppe G eine unitäre (anti-unitäre) Darstellung im Hilbertraum existiert. Diese Darstellung ist eine Gruppe von Matrizen im unendlich-dimensionalen Hilbertraum. 7

8 Gruppen, die eine konkrete physikalische Bedeutung haben, sind kontinuierliche n n- Matrix-Gruppen.Wir gehen davon aus, dass es unitäre Darstellungen U k (g) im k-dimensionalen Raum gibt (k N 0, i.a. k n). Die direkte Summe aller Darstellungen U k ergibt die unitäre Darstellung U. Wir können diese Gruppe als eine Lie-Gruppe auffassen und den Satz unitärer Matrizen wie vorhin unsere Gruppenelemente g(α 1,..., α r ) als Funktion der kanonischen Parameter schreiben: U = U(α 1,..., α r ). Nun können wir alles durchgehen, was wir uns bis jetzt definiert haben: Die Lie-Algebra Ů von U ist I(n α ) = d dα U(αn α) α=0 Wenn k 2 r sind die r Basis-Elemente linear unabhängig und spannen die Lie-Algebra auf: I i = U(0,..., 0), i = 1,..., r α i Die lokale Lie-Gruppe U L ist [ ] U(α) = exp[i(α)] = exp α i I i Da U die Darstellung der Gruppe G ist, bestimmen sich die Strukturen der Lie-Gruppe und der Lie-Algebra gegenseitig. Die Elemente g und die aus Ů werden isomorph aufeinander abgebildet, wobei die Kommutator-Relationen erhalten werden. Wenn U eine Darstellung von G ist, dann ist Ů auch eine Darstellung von G. Daraus folgt umgekehrt aber auch: Wenn Ů eine Darstellung der Lie-Algebra G von G ist, dann ist U = exp[ů] eine Darstellung von G in der Umgebung des Einselementes ist. Das Schöne hieran ist, dass uns diese Beziehung ermöglicht, mit der Lie-Algebra zu rechnen und daraus durch Exponenzieren die Gruppendarstellung zu erhalten. Beispiel: Standard-Theorie des Drehimpulses Die Drehimpuls-Operatoren J 1, J 2 und J 3 sind Basis der Lie-Algebra mit den Elementen J(α) = α i J i. Die lokale Lie-Gruppe, die eine Darstellung der Gruppe ist, lautet dann U(α) = exp[ ij(α)] α = αn markiert Achse und Rotationswinkel. 8