Symmetrien in der Quantenmechanik

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1 Symmetrien in der Quantenmechanik Armin Krauß HS: Theoretische Physik 06. Juni 2012 Armin Krauß (HS: Theoretische Physik) Symmetrien in der Quantenmechanik 06. Juni / 29

2 Gliederung 1 Das Noether-Theorem Das Noether-Theorem in der klassischen Mechanik Das Noether-Theorem in der Quantenmechanik 2 Invarianzeigenschaften der Dirac-Gleichung Vorbemerkungen Zeitumkehr Dirac-Matrizen Transformationsoperatoren, Drehimpuls, Parität Zeitumkehr und Ladungskonjugation 3 Chaos in der Quantenmechanik? Zeitumkehr und Kramers Entartung Gaußsches Orthogonal Esemble (GOE) 4 Zusammenfassung Armin Krauß (HS: Theoretische Physik) Symmetrien in der Quantenmechanik 06. Juni / 29

3 Klassische Mechanik Das Noether-Theorem Das Noether-Theorem in der klassischen Mechanik Allgemeine Koordinatentransformation mit dem kontinuierlichen Parameter α: q i q i = q i (q 1,...,q 3N k,t,α) i = 1,...,3N k Diese ist invertierbar: q i = q i ( q 1,...,q 3N k,t,α) i = 1,...,3N k Muss für α stetig und differenzierbar sein. Und für α = 0 muss gelten: q i (q 1,...,q 3N k,t,α = 0) = q i Identische Transformation Abkürzende Schreibweise: q i = q i (q,t,α) und q i = q i (q,t,α) Substitution der alten mit den neuen Koordinaten liefert: L(q, q,t) = L [ q(q,t,α), d dt q(q,t,α),t ] =: L (q, q,t,α) Armin Krauß (HS: Theoretische Physik) Symmetrien in der Quantenmechanik 06. Juni / 29

4 Klassische Mechanik Das Noether-Theorem Das Noether-Theorem in der klassischen Mechanik Erhaltungssatz [ aus Abhängigkeit der Funktion ] L von α: L α = 3N k L q i (q,t,α) q i α + L ( d dt q i(q,t,α)) q i α i=1 = 3N k [( d dt i=1 [ 3N k = d dt i=1 ) L qi (q,t,α) q i α L q i (q,t,α) q i α ] + L q i ( d dt Dies gilt α R α = 0 L α = d α=0 dt [ 3N k i=1 ] L q i (q,t,α) q i α α=0 q i (q,t,α) α Interessant: Koordinatentransformationen, die Lagrange invariant lassen: L(q, q,t) = L (q, q,t,α) = L(q, q,t) )] Armin Krauß (HS: Theoretische Physik) Symmetrien in der Quantenmechanik 06. Juni / 29

5 Klassische Mechanik Das Noether-Theorem Das Noether-Theorem in der klassischen Mechanik Die neuen Koordinaten q i erfüllen dieselbe Lagrange-Funktion und somit dieselben Bewegungsgleichungen. Die neuen Bewegungsgleichungen hängen nicht mehr von α ab, so L dass: = 0 α=0 α Dies führt zum Noether-Theorem: Die Funktion: I (q, q,t) := 3N k i=1 L q i (q,t,α) q i α α=0 ist eine Erhaltungsgröße, wenn die Langrange-Funktion unter der kontinuierlichen, stetigen Koordinatentransformation invariant ist. Zu jeder Transformation, die die Lagrange-Funktion nicht ändert, gehört eine Erhaltungsgröße [1]. Armin Krauß (HS: Theoretische Physik) Symmetrien in der Quantenmechanik 06. Juni / 29

6 Lagrange-Dichte Das Noether-Theorem Das Noether-Theorem in der Quantenmechanik Übergang zu Lagrange-Dichte: q i (t) q(x,t): Feld L(q i, q i,t) L(q(x,t), x q(x,t), t q(x,t))dx Bewegungsgleichungen haben die Gestalt: ( ) L µ q, µ L q = 0 mit µ = (ct), Beispiel: (i) Spin-0-Felder Aus Lagrange-Dichte: L φ = 1 ( 2 φ,µ φ,µ m 2 φ 2) folgt ( direkt aus der Euler-Lagrange-Gleichung: +m 2 ) φ = 0 und q, µ = µ q die Klein-Gordon Gleichung. Komplexe Felder: φ,φ, µ φ und µ φ müssen als unabhängige Variable betrachtet werden. zwei Bewegungsgleichungen. Armin Krauß (HS: Theoretische Physik) Symmetrien in der Quantenmechanik 06. Juni / 29

7 Lagrange-Dichte Das Noether-Theorem Das Noether-Theorem in der Quantenmechanik Beispiel: (ii) Spin- 1 2-Felder (explizit) Lagrangedichte: L ψ = i 2 mit ψ = ψ γ 0 L ( ψγ µ ψ, µ ψ, µ γ µ ψ ) mψψ ψ, k = i 2 ψγk L k ψ, k = i 2 k ψγ k ( µ ψ ) γ µ mψ L ψ = i 2 µ L ψ, µ L ψ = 0 i µψγ µ +mψ = 0 L = i ψ, k 2 γk L ψ k = i ψ, k 2 γk k ψ L ψ = i 2 γµ µ ψ mψ µ L ψ, µ L ψ = 0 iγµ µ ψ mψ = 0 Armin Krauß (HS: Theoretische Physik) Symmetrien in der Quantenmechanik 06. Juni / 29

8 Das Noether-Theorem Das Noether-Theorem in der Quantenmechanik Lagrange-Dichte Beispiel: (iii) Spin-1-Felder: e.m. Feld Lagrangedichte: L = 1 ( 2 Aµ,ν A µ,ν m 2 A µ A µ) ( ) bzw.: L = 1 2 A µ,νa µ,ν mit A µ = φ c, A Nebenbedingung: µ A µ = 0 (Lorenzeichung) Jedoch nicht Eichinvariant. Eichinvariante L-Dichte lautet: L = 1 4 F µνf µν A µ µ ν A ν = A µ = 0 mit F µν = ν A µ µ A ν Lagrangedichte für massives Feld: L = 1 4 F µνf µν m2 A µ A µ A µ µ ν A ν +m 2 A µ = A µ +m 2 A µ = 0 Eichinvarianz wird durch Masseterm zerstört! Armin Krauß (HS: Theoretische Physik) Symmetrien in der Quantenmechanik 06. Juni / 29

9 Das Noether-Theorem Das Noether-Theorem in der Quantenmechanik Eichinvarianz 1. und 2. Art. Das Noether-Theorem Spin-0-Felder und Spin- 1 2-Felder zeigen bei folgender Ersetzung ebenso Invarianzeigenschaften: φ φ = exp(iα)φ ψ ψ = exp(iα)ψ α = const: Eichtransformation 1. Art (globale Eichtransformation) α = α(x): Eichtransformation 2. Art (lokale Eichtransformation) Gegenüber lokalen Eichtransformation sind L ψ und L φ nicht invariant! Betrachte Invarianzeigenschaften der L-Dichten gegenüber inneren Symmetrietransformationen Unitäre Transformationen werden durch eine gewisse Anzahl von Generatoren M i erzeugt. ( Darstellung eines Symmetrieelements: T = exp i ) n α k M k Armin Krauß (HS: Theoretische Physik) Symmetrien in der Quantenmechanik 06. Juni / 29 k=1

10 Das Noether-Theorem Das Noether-Theorem in der Quantenmechanik Eichinvarianz 1. und 2. Art. Das Noether-Theorem Symmetriegruppe charakterisiert durch Strukturkonstanten: k [M i,m k ] = i c ikl M l l=1 Transformation( der Felder: n φ φ = exp i α k M k )φ ( k=1 ) n φ φ = φ exp i α k M k k=1 L αk α = k =0 α k L ( φ,φ,φ ),µ,φ,µ αk=0 ( = φ L α k φ + φ L α k φ + φ,µ L α k φ + φ,µ,µ φ j α k = i Mjl kφ l = im k φ l φ l α k = i φ j Mk jl = iφ M k j L α k φ,µ) αk =0 ( ) Armin Krauß (HS: Theoretische Physik) Symmetrien in der Quantenmechanik 06. Juni / 29

11 Das Noether-Theorem Das Noether-Theorem in der Quantenmechanik Eichinvarianz 1. und 2. Art. Das Noether-Theorem ( )= 1 i Euler-Lagrange L φ = λ L ( )= 1 i ( ) L φ M kφ φ L M k φ + L φ,µ M k φ,µ φ L,µM k φ,µ L L φ,λ bzw. φ = λ ( L λ φ,λ M k φ φ L M k λ φ,λ L α k = λ j λ k mit j λ k := 1 i Invarianz heißt hierbei: φ,λ + L φ,µ M k φ,µ φ L,µM k φ,µ ) ( L φ,λ M k φ φ M k L φ,λ ) L(φ,φ,φ,µ,φ ) = L ( φ,φ,φ,µ,φ ) L α k = 0 k k j λ k = 0 Zu jeder Erzeugenden einer Symmetriegruppe, unter der eine gegebene Lagrange-Dichte invariant ist, gehört ein erhaltener Strom. Dies ist das Noether-Theorem [2] Armin Krauß (HS: Theoretische Physik) Symmetrien in der Quantenmechanik 06. Juni / 29

12 Invarianzeigenschaften der Dirac-Gleichung Vorbemerkungen Symmetrie des H-Operators und Erhaltungssätze Sei der H-Operator bei Transformationen der Gruppe G invariant: [H,T i ] = 0 T i G Invarianz der Observable Q wird ausgedrückt durch: T i QT i = Q Falls T i = T 1 i gilt, ist dies gleichbedeutend mit: [Q,T i ] = 0 Beispiel: Drehinvarianz und erhaltung ( ) des Drehimpulses: Drehoperator: ˆR u (ǫ) = 1 iǫ J u Wellenfunktion ψ ist genau dann drehinvariant, wenn: Ĵ ψ = 0 gilt. Notwendig und hinreichend, dass Observabe S bei einer Drehung invariant ist: [ J,S] = 0 Armin Krauß (HS: Theoretische Physik) Symmetrien in der Quantenmechanik 06. Juni / 29

13 Invarianzeigenschaften der Dirac-Gleichung Vorbemerkungen Symmetrie des H-Operators und Erhaltungssätze Analogie zur kl. Mechanik: Symmetrien des H-Operators führen zu Erhaltungsaussagen. (i) Translationsinvarianz und Gesamtimpulserhaltung: Translationsoperator: ˆT (ǫ) 1 i (Pǫ) H-Operator in Bezug zu Translation invariant, wenn gilt: [H, P] = 0 Gesamtimpuls bleibt erhalten. (ii) Spiegelungsinvarianz und Paritätserhaltung: Einfachste Gruppe, 2 Elemente: S 0 und I. Genügt folgenden Vertauschungsrelationen: S 0 rs 0 = r S 0 ps 0 = p S 0 ss 0 = s Reflexion der Wellenfunktion: S 0 ψ( r,µ) = ψ( r,µ) S 0 P: Paritätsoperator H-Operator in Bezug zu Punktspiegelung invariant, wenn gilt: [H,S 0 ] = 0 Parität bleibt erhalten. Armin Krauß (HS: Theoretische Physik) Symmetrien in der Quantenmechanik 06. Juni / 29

14 Invarianzeigenschaften der Dirac-Gleichung Zeitumkehr Zeitumkehr in der kl. Mechanik und der QM kl. Mechanik: L kl ( q,q) = L kl ( q,q) H( p, r) = p2 2m +V ( r) = H( p, r) Ist r (t) Lösung der Bewegungsgleichung, so auch r Umk (t) := r ( t) Für Impuls gilt: p Umk (t) := p( t) Analog für QM: i t ψ( r,t) = ( 2m 2 +V ( r) ) ψ( r,t) t t H-Operator reell, Übergang zur komplex konjungierter Gleichung: i t ψ ( r, t) = ( 2m 2 +V ( r) ) ψ ( r, t) Ist ψ( r,t) Lösung der Bewegungsgleichung, so auch ψ ( r, t) =: ψ Umk ( r,t) Armin Krauß (HS: Theoretische Physik) Symmetrien in der Quantenmechanik 06. Juni / 29

15 Invarianzeigenschaften der Dirac-Gleichung Zeitumkehroperator Zeitumkehr Definition des Zeitumkehroperators: K rk = r K pk = p Zuerst: K = K 0 K 0 Operator der Komplexkonjungation: K 0 φ = φ [H,K 0 ] = 0 Anwendung auf Schrödingergleichung liefert: i t K ψ(t) = HK ψ(t) t t i t (K ψ( t) ) = H(K ψ( t) ) Genügt ψ(t) der Bewegungsgleichung, so auch K ψ( t) =: ψ(t) Umk Armin Krauß (HS: Theoretische Physik) Symmetrien in der Quantenmechanik 06. Juni / 29

16 Invarianzeigenschaften der Dirac-Gleichung allgemeiner Zeitumkehroperator Zeitumkehr Allgemeinere Teilchensysteme erfordern: K sk = s K JK = J Ansatz: K = TK 0 Z.B. für Drehung ( ) der s y -Komponente um den Winkel π: K = exp iπ Sy K 0 Für Spin 1 2-Teilchen gilt: K = iσ y K 0 Armin Krauß (HS: Theoretische Physik) Symmetrien in der Quantenmechanik 06. Juni / 29

17 Gamma-Matrizen Invarianzeigenschaften der Dirac-Gleichung Dirac-Matrizen γ µ erfüllen die Dirac-Algebra: γ 0 γ 0 = 1 γ i γ i = 1 γ 0 γ i = γ i γ 0 γ i γ j = γ j γ i für i j {γ µ,γ ν } = 2g µν I Hermitisch bzw. antihermitisch: ( γ 0 ) = γ 0 ( γ i ) = γ i Äquivalenztransformation zu adjungierten Matrizen: γ 0 γ µ γ 0 = (γ µ ) γ 5 := γ 0 γ 1 γ 2 γ 3 Antivertauscht: γ 5 γ µ = γ µ γ 5 γ µ in( der Dirac-Darstellung: ) ( ) σ γ 0 = γ 0 1 µ i = σ i 0 γ 5 = ( ) Armin Krauß (HS: Theoretische Physik) Symmetrien in der Quantenmechanik 06. Juni / 29

18 Invarianzeigenschaften der Dirac-Gleichung Transformationsoperatoren, Drehimpuls, Parität Transformation des Dirac-Operators, Erhaltungssätze Definition: D(A) := γ µ (i µ ea µ ) Dirac-Operator Invarianzbedingung für Bewegungsgleichung: A µ = A µ Transformation der Wellenfunktion: ψ = Tψ T: passender linearer Operator Forminvarianz der Dirac-Gleichung: TD(A)T 1 = D(A ) Invarianzbedingung somit: [T,D(A)] = 0 [T,H D ] = 0 A µ Translationsinvarianz [ p,h D ] = 0 Impulserhaltung A µ Kugelsym. [ J,H D ] = 0 Gesamtdrehimpulserhaltung A µ Punktsym. [P,H D ] = 0 Paritätserhaltung Armin Krauß (HS: Theoretische Physik) Symmetrien in der Quantenmechanik 06. Juni / 29

19 Invarianzeigenschaften der Dirac-Gleichung Ladungskonjugation Zeitumkehr und Ladungskonjugation Definiton antiunitärer Operator K K rk = r K pk = p Kγ µ K = γ µ Nicht zu verwechseln mit dem Zeitumkehroperator K T (γ µ (i µ ea µ ) m)ψ(x) = 0 von rechts K K vertauscht mit γ µ, µ und A µ (γ µ ( i µ ea µ ) m)kψ(x) = 0 von rechts γ 5 {γ 5,γ µ } = 0 (γ µ (i µ +ea µ ) m)ψ c (x) = 0 K c := γ 5 K ψ c (x) := K c ψ(x) Armin Krauß (HS: Theoretische Physik) Symmetrien in der Quantenmechanik 06. Juni / 29

20 Invarianzeigenschaften der Dirac-Gleichung Zeitumkehr und Ladungskonjugation Zeitumkehr A µ (x) transformiert wie ein Pseudovektor A (t, r) = A( t, r) A 0 (t, r) = A 0( t, r) (γ µ (i µ +ea µ (t, r)) m)ψ c (t, r) = 0 t t [ γ 0 (i 0 ea 0 ( t, r))+γ k (i k ea k ( t, r)) m ] ψ c ( t, r) = Multiplikation mit γ 5 γ 0 von rechts. Antivertauscht mit γ 0 : {γ 5 γ 0,γ 0 } = 0 und vertauscht mit γ k : [ γ 5 γ 0,γ k] = 0 (γ µ (i µ ea µ ( t, r)) m)γ 5 γ 0 ψ c ( t, r) = 0 ( γ µ ( i µ ea µ (t, r)) m ) ψ (t, r) = 0 mit ψ (t, r) = γ 5 γ 0 ψ c ( t, r) = γ 0 Kψ( t, r) also K T = γ 0 K Zeitumkehroperator [3] Armin Krauß (HS: Theoretische Physik) Symmetrien in der Quantenmechanik 06. Juni / 29

21 Kramers Entartung Chaos in der Quantenmechanik? Zeitumkehr und Kramers Entartung Invarianter H-Operator unter Zeitumkehr: [H,K T ] = 0 Wenn ψ Eigenfunktion zum Eigenwert E, so auch K T ψ Wenn K 2 T = 1 ψ i := a i φ i +K T a i φ i a i C K T ψ i = ψ i Wenn φ j ψ i = 0 ψ j ψ i = 0 ψ i :Basis Matrixelemente H ij = H ij sind reell. H = OHO 1 : orthogonale Transformation O O(n) Wenn K 2 T = 1, dann sind ψ und K Tψ orthogonal: ψ K T ψ = K T ψ K 2 T ψ = KT ψ ψ = ψ K T ψ = 0 Demzufolge sind alle Eigenwerte 2-fach entartet. (Kramers Entartung) Armin Krauß (HS: Theoretische Physik) Symmetrien in der Quantenmechanik 06. Juni / 29

22 Wiederum 3 nichtnegative Parameter als Diskriminate. Armin Krauß (HS: Theoretische Physik) Symmetrien in der Quantenmechanik 06. Juni / 29 Kramers Entartung Chaos in der Quantenmechanik? Zeitumkehr und Kramers Entartung ( ) H11 H Hamiltonian H = 12 H12 H 22 mit Eigenwerte E ± = 1 2 (H 11 +H 22 )± 1 4 (H 11 H 22 ) 2 + H 12 2 Wichtiger Unterschied zwischen orthogonaler und unitärer Transformation hier sichtbar. Diskriminate D = 1 4 (H 11 H 22 ) 2 +(Re{H 12 }) 2 +(Im{H 12 }) 2 Orthogonale Transformation Im{H 12 } = 0 ( ) α+iβ γ +iδ Allgemeinste unitäre Matrix: F = γ +iδ α iβ α 2 +β 2 +γ 2 +δ 2 = 1 und Eigenwerten e ± = α±i β 2 +γ 2 +δ 2 mit

23 Energieniveaufolgen Chaos in der Quantenmechanik? E + E abhängig von Zeitumkehr und Kramers Entartung { n = 2, orthogonal n = 3, unitär Parametern. Betrachte Energieeigenwerte, deren klassisches Analogon sich chaotisch verhält. Bemerkenswert: Verteilung der Energieniveauwerte zeigt universelles Verhalten Vergleichbare Ergebnisse erfordert Transformation des Spektrums: Mittlere Zahl der Niveaus N(E) = E ρ ( E ) de Wahrscheinlichkeitsverteilung benachbarter Niveausysteme durch Wigner-Fkt. beschrieben: P W (S) = π 2 S exp( π 4 S2) Armin Krauß (HS: Theoretische Physik) Symmetrien in der Quantenmechanik 06. Juni / 29

24 Ordnung und Chaos Chaos in der Quantenmechanik? Zeitumkehr und Kramers Entartung Im starken B-Feld hochangeregtes H-Atom: H = 1 2 Abbildung: Absorptionsspektrum: Theorie vs. Experiment [4] ( ) pρ 2 + l2 z +p 2 1 ρ 2 z γ ρ 2 +z 2 2 l z + γ2 8 ρ2 Armin Krauß (HS: Theoretische Physik) Symmetrien in der Quantenmechanik 06. Juni / 29

25 Chaos in der Quantenmechanik? Gaußsches Orthogonal Esemble (GOE) Gaußsches Orthogonal Esemble (GOE) dh 11 dh 22 dh 12 P (H) = 1 Normierung P(H) = P (H ) H = OHO 1 orthogonale Transformation P(H) = P 11 (H 11 ) P 22 (H 22 ) P 12 (H 12 ) Infinitesimale Transformation: O = ( ) 1 ε ε 1 keine Korrelation H = OHO 1 H 11 = H 11 2εH 12 H 22 = H 22 +2εH 12 H 12 = H 12 +ε(h 11 H 22 ) Armin Krauß (HS: Theoretische Physik) Symmetrien in der Quantenmechanik 06. Juni / 29

26 Chaos in der Quantenmechanik? Gaußsches Orthogonal Esemble (GOE) Gaußsches Orthogonal Ensemble (GOE) Und somit: ( ( )) P(H dp ) = P (H) 1 ε 2H 11 dp 12 dh 11 2H dh 22 (H 11 H 22 ) dp 12 dh 12 ( 2H 12 dp 11 dh 11 2H 12 dp 22 dh 22 (H 11 H 22 ) dp 12 dh 12 ) = 0 P (H) = c exp [ a ( H11 2 ) +H H2 12 b(h11 +H 22 ) ] b = 0 durch Wahl des Nullenergielevels. c: Normierung a: durch Skalierung der Energie P (H) = c exp ( a SpH 2) Reduktion von P (H) mittels Transformation in den Eigenraum: (H 11,H 22,H 12 ) (E +,E,θ) P(H) P (E) = a E + E exp ( a ( E+ 2 +E 2 )) Armin Krauß (HS: Theoretische Physik) Symmetrien in der Quantenmechanik 06. Juni / 29

27 Chaos in der Quantenmechanik? Gaußsches Orthogonal Esemble (GOE) Gaußsches Orthogonal Ensemble (GOE) Niveauabstandsverteilung über: P (S) = c de + de δ[s E + E ] E + E exp ( a ( E+ 2 )) +E2 Über Erwartungswert und Normierung a und b bestimmen: S = ds SP (S) = 1 ds P(S) = 1 Damit: P (S) = π 2 S exp( π 4 S2) [5] Abbildung: Reguläres Rechteck [4] Armin Krauß (HS: Theoretische Physik) Symmetrien in der Quantenmechanik 06. Juni / 29

28 Chaos in der Quantenmechanik? Gaußsches Orthogonal Esemble (GOE) Gaußsches Orthogonal Ensemble (GOE) Abbildung: Billiards [4] Abbildung: GOE-Verteilung [4] Armin Krauß (HS: Theoretische Physik) Symmetrien in der Quantenmechanik 06. Juni / 29

29 Zusammenfassung Zusammenfassung Noethertheorem: Symmetrien in der QM führen zu Kontinuitätsgleichungen (Stromerhaltung) Anderer Zugang über verschwinden von Kommutatoren: Aus Symmetrien folgen entsprechende Erhaltungsgrößen Forminvarianz der Diracgleichung bei gleichzeitiger Ladungskonjugation und Zeitumkehr (CT-Symmetrie) Letzte Symmetrie: Zeitumkehr-Symmetrie: Wahrscheinlichkeitsverteilung der Niveauabstände über GOE Armin Krauß (HS: Theoretische Physik) Symmetrien in der Quantenmechanik 06. Juni / 29

30 Zusammenfassung [1] Kuypers, Friedhelm Klassische Mechanik. Weinheim : Wiley-VCH, 2010 [2] I. Bender Die Weinbergtheorie der schwachen und elektromagnetischen Wechselwirkung. Institut für Hochenergiephysik der Universität Heidelberg. Herbstschule für Hochenergiephysik, Maria Laach Sept (Skriptum) [3] Albert Messiah Quantenmechanik 2. Walter de Gruyter. Aus dem Franz. übers. von Joachim Streubel.-Berlin ; New York de Greuyter 3., verb. Aufl [4] Wunner Günther Gibt es Chaos in der Quantenmechanik? Physik-Verlag GmbH, D-6940 Weinheim, 1989; Phys. Bl.45 (1989) [5] Fritz Haake Quantum Signatures of Chaos. Second Revised and Enlarged Edition Springer Verlag Berlin Heidelber New York 1921, 2001 Armin Krauß (HS: Theoretische Physik) Symmetrien in der Quantenmechanik 06. Juni / 29