Physik V Einführung: Kern und Teilchenphysik

Transkript

1 Syetrien und Physik V Einführung: Kern und Teilchenphysik Georg Steinbrück Dieter Horns Universität Haburg Winter-Seester 7/8

2 Inhalt Syetrien und Syetrien und WS 7/8 Steinbrück Horns: Physik V

3 Syetrien Quantenzahlen (Siehe auch VL ) Syetrien und Syetrieüberlegungen erlauben uns oft viel über ein Syste zu verstehen ohne die Lösung des Probles zu kennen Syetrie: (z.b.) Bewegungsgleichungen ändern sich nicht bei (sind invariant unter) gewissen Transforationen. Bsp: Verschiebungen Rotationen Andere Forulierung: Physik eines Systes (Observablen) soll sich unter einer Syetrie-Transforation nicht ändern. E.Noether (97): Zu eder kontinuierlichen Syetrie eines physikalischen Systes gehört eine Erhaltungsgröße und ugekehrt an unterscheidet kontinuierliche und diskrete Transforationen sowie erhaltene und verletzte (gebrochene) Syetrien Anerkung: - Konzept der Syetrie: so alt wie die Menschen - Aber Glaube in Syetrie hat oft zu falschen Schlüssen geführt: Syetrie des Raues Kreisbahnen von Planeten i.e. aus V(r) folgt nicht dass Lösungen syetrisch in r Beispiele: Knicken eines Stabes Ferroagnet Higgs-Teilchen WS 7/8 Steinbrück Horns: Physik V 3

4 Übersicht: Transforationen Syetrien/ Quantenzahlen Syetrien und Transforation räuliche Translation zeitliche Translation räuliche Drehung räuliche Spiegelung zeitliche Spiegelung Ladungsspiegelung Isospin-Drehung Eichtransforation(en) Erhaltungsgröße/Quantenzahl Ipuls Energie Drehipuls Parität P T C-Parität Isospin I Ladungen (elektrisch schwache Farbladung Baryonen- Lepton-Zahlen Leptonzahl L: Unterscheidet Leptonen von Antileptonen Quarks L für e - ν e µ - ν µ τ - ν τ L- für die entsprechenden Antiteilchen L für alle anderen Teilchen (Quarks Gluonen Photonen W ZH) Erhalten in allen WW: e e - ttquer erlaubt e - e - W - W - verboten Lepton-Flavor-Zahlen: Leptonenzahlen separat für ede Lepton-Generation: L e L µ L τ WS 7/8 Steinbrück Horns: Physik V 4

5 Syetrien Quantenzahlen Baryonenzahl: Unterscheidet Quarks von Antgiquarks Leptonen B für np alle 3-Quark Sytstee B/3 für alle Quarks udsctb B-/3 für alle Antiquarks Beispiel: (uuu) B Baryon π (u dquer) B-/3/3 Meson Syetrien und Quark-Flavor Zahlen: Starker Isospin (siehe letzte Vorlesung) I/ für ud sonst I 3 / für u -/ für d Analog Spin: u d Strangeness: S für s sonst Char: C für c sonst ~ Beauty: B für b sonst Top: T für t sonst WS 7/8 Steinbrück Horns: Physik V 5

6 Zusaenfassung Erhaltung der Quantenzahlen gültig für: Syetrien und Leptonen und Quarks können nicht einzeln erzeugt oder vernichtet werden sondern nur paarweise als TeilchenAntiteilchen WS 7/8 Steinbrück Horns: Physik V 6

7 Erhaltungsgrößen in der Quantenechanik Syetrien und Wann ist eine Physikalische Größe erhalten? Siehe Frauenfelder & Henley Kapitel 7. Betrachte ein Syste was durch einen zeitunabhängigen Hailton-Operator H beschrienen werden kann. Die Wellenfunktion dieses Systes erfüllt dann die Schrödinger-Gleichung ih Ψ t H Ψ Betrachte nun einen Operator F. F sei eine Observable: Erwartungswert von F korrespondiert zu einer Messung. Der Erwartungswert von F <F> i Zustand Ψ ( t ) ist F 3 * d x Ψ F Ψ Nehe an dass F unabhängig von der Zeit ist. Dann d dt F * d 3 * 3 d Ψ d x Ψ F Ψ d x F Ψ dt dt d 3 x Ψ * F d Ψ dt für den.ter wird die koplex-konugierte Schrödinger-Gleichung benötigt: dt ih * Ψ t i 3 F d x Ψ ( HF FH )Ψ h d * * * ( H Ψ ) Ψ H H reell! [ H ] F WS 7/8 Steinbrück Horns: Physik V 7 d dt F

8 Erhaltungsgrößen in der Quantenechanik Syetrien und Wenn F und H vertauschen können die Eigenfunktionen von H so gewählt werden dass die auch Eigenfunktionen zu F sind: H ψ F ψ E ψ fψ Wie kann an Erhaltungsgrößen finden? Falls H explizit bekannt (was eistens nicht der Fall ist!) kann an einfach F einsetzen. Beispiel: freies Teilchen E p H h (it Wenn H nicht explizit bekannt ist kann eine erhaltene Observable gefunden werden inde die Invarianz von H unter einer Syetrie-Operation etabliert werden kann. Eine Syetrieoperation kann geschrieben werden als: ψ ' ( x t ) U ψ ( x t ) r pˆ [ r pˆ ] H it Transforations-Operator U Die Norierung der Wellenfunktion uss bei einer solchen Transforation erhalten bleiben: d 3 x Ψ * Ψ d 3 x WS 7/8 Steinbrück Horns: Physik V 8 h i r ) * 3 * ( U Ψ ) U Ψ d x Ψ U U Ψ it Ipulserhaltung! U * ( U ) T heritesch-konugiert

9 Erhaltungsgrößen in der Quantenechanik Das heißt für eine Syetrie-Operation uss U unitär sein: U U UU ( oder : U U ) Syetrien und U ψ U ist eine Syetrieoperation wenn auch Lösung der Schrödinger-Gleichung ist: d ( U ψ ) d ψ ih HU ψ ih U HU ψ hier angenoen: U zeitunabhängig dt dt H U HU U HU HU UH [ H U ] Also: U ist eine Syetrieoperation wenn es it de Hailton-Operator vertauscht. Falls U heritesch ist also U U ist U eine Observable. (u.a.: Eigenwerte reell!) Falls U nicht heritesch lässt sich ein it U verwandter heritescher Operator finden der it H koutiert also eine Erhaltungsgröße darstellt. Eigenschaften von Transforationen: Repräsentiert durch unitären Operator U nicht notwendigerweise heritesch! kontinuierliche: Bsp.: norale Rotation i Rau Additive diskrete: Bsp.: Rau-Spiegelung Multiplikative WS 7/8 Steinbrück Horns: Physik V 9

10 Beispiel: Translationsinvarianz Ipulserhaltung Syetrien und Betrachte die Wellenfunktion ψ(x) für ein Teilchen a Ort x ψ (x) für ein Teilchen was u in x verschoben wurde. ψ und ψ a gleichen Ort sind verbunden durch folgende Transforation: ψ ( x ) U ψ ( x ) Invarianz unter Translation: ψ ( x ) ψ ( x ) Betrachte kleine Verschiebung : Dann d ψ ( x ) d ψ ( x ) ψ ( x ) ψ ( x ) dx dx Multiplikation it und vernachlässigen von Teren ~ ψ ( x ) In 3-Di: U d / r i d dx ( ) pˆ h r dx ψ ( x ) U ( ) pˆ WS 7/8 Steinbrück Horns: Physik V d dx it i h Aus Translationsinvarianz folgt Ipulserhaltung! forale Begründung: U koutiert it H p auch. pˆ x x ih x

11 Beerkung Syetrien und Der Operator U für eine kontinuierliche Transforation kann geschrieben werden als: U exp( iε F it F ist der Generator von U. also U ψ ) reelle Paraeter ( iε F ) exp( iε F ) ψ iε F...! oft ist einfacher infinitesiale Transforationen zu betrachten: U exp( iε F ) iε F wenn ε F << ε wenn [UH] gilt: [ H U ] HU UH H ( iε F ) ( iε F ) [ H F ] H Wenn U eine Erhaltungsgröße darstellt ist der heritesche Generator F auch eine Erhaltungsgröße. WS 7/8 Steinbrück Horns: Physik V

12 Beispiel: Rotationsinvarianz Drehipulserhaltung Betrachte: Räuliche Drehung u den Winkel α u die z-achse. Diese Drehung transforiert zunächst einen Punkt x in x R geäß: x R R z (α ) x Die Rotation verändert gleichzeitig auch die Wellenfunktion a gleichen Ort x: R ψ ( x ) U ( α ) ψ ( x ) z Falls das Syste invariant unter Rotation ist uss gelten: R R ψ ( x ) ψ ( x ) Syetrien und WS 7/8 Steinbrück Horns: Physik V

13 Beispiel: Rotationsinvarianz Drehipulserhaltung Syetrien und Es reicht wieder eine infinitesial kleine Drehung u den Winkel α u die z-achse zu betrachten. ψ R R R R ψ ( x ) R ( x ) ψ ( x ) δα ( δα ( / ϕ )) ψ ( x ) ϕ [ δα ( / ϕ )) ψ ( x ( x ) ( δα ( / ϕ )) ψ ( x ) Multiplikation it ψ R )] liefert Der heritesche Operator F zur Rotation U z ist also (siehe S. ) F i ( / ϕ ) L z / h Allgeein ist der Operator U zu einer allgeeinen Rotation u eine beliebige Achse n wobei etzt der Gesatdrehipuls J (SpinBahn) betrachtet wird: U n ( δ ) exp( iδ nˆ J h Wenn das Syste invariant ist unter Rotation gilt: [ H U ] [ H nˆ J ] n ) Da die Ausrichtung der Achse beliebig ist Alle Koponenten von J erhalten. J ist eine Konstante der Bewegung. WS 7/8 Steinbrück Horns: Physik V 3

14 Aus der Quantenechanik ist bekannt: [ L r [ L Weiter zu Drehipulsen x L y ] ih L r L ] z L x und L x nicht gleichzeitig essbar! L r v h L i L ( r ) und gleichzeitig eßbar! i r Syetrien und Eigenwerte: aus obigen Operatorrelationen: Werte nur ½ 3/ Basisfunktionen: Eigenfunktionen zu und : r L r L l h l h l l ( l ) l L r it -l l (l Werte) L z l WS 7/8 Steinbrück Horns: Physik V 4

15 Syetriebrechung durch Magnetfeld Syetrien und Ein Teilchen it Spin J und agnetische Moent µ kann beschrieben werden durch den Hailton Operator H H int H ag. it H ag gµ µ B J h wähle z-achse entlang B-Feld so dass J it z ψ Zeean-Aufspaltung in Äquidistante Energie-Niveaus E gµ B B J B h ψ E gµ B µ B µ J z : Kernagnet B z E J z B on eh c p Beispiel: WS 7/8 Steinbrück Horns: Physik V 5

16 Addition von Drehipulsen Zusaenhang: JM hier : h oder Isospin Syetrien und J JM J Klebsch - Gordon Koeffizien ten JM JM Wahrscheinlichkeit bei Kopplung von und Syste it Gesatdrehipuls zu finden. JM M JM JM Jetzt: Wahrscheinlichkeit einzelne Drehipulse und zu finden. Ausserde gilt folgende Vertauschungsrelation: ( ) JM J JM WS 7/8 Steinbrück Horns: Physik V 6

17 Syetrien und WS 7/8 Steinbrück Horns: Physik V 7

18 WS 7/8 Steinbrück Horns: Physik V 8 Syetrien und Wie an sie lesen uss JM JM J J ten Koeffizien Gordon - Klebsch

19 Elektrische Ladung Betrachte den Ladungs-Operator Q it Q ψ q ψ Die Ladung <Q> ist erhalten wenn H und Q koutieren. Was aber ist die zugrundeliegende Syetrie die garantiert dass H und Q vertauschen? ψ ' exp( ε Q ) ψ Syetrien und Weyl: Betrachte Transforation it beliebige reelle Paraeter ε. ψ ' Eichinvarianz: erfüllt die gleiche Schrödinger-Gleichung wie dψ ' i h Hψ ' d ih dt ( exp( iεq) ψ ) H exp( iεq) ψ exp(-iεq) von dt links ψ exp( iεq) H exp( iεq) H benutzt wurde dass Q zeit-unabhängig und heritesch ist Schrödienger-Gl. ε ist kann beliebig klein gewählt werden ( iεq) H ( iεq) H oder [Q H] Invarianz unter Eichtransforation ψ ' exp( ε Q ) ψ garantiert Ladungserhaltung! WS 7/8 Steinbrück Horns: Physik V 9

20 Elektrische Ladung Bisher globale Eichtransforation it ε unabhängig von xt. Betrachte etzt lokale Eichtransforation: εε(xt). Syetrien und Jetzt q: elektrische Ladung i elektrischen Feld E was definiert ist durch Skalarpotential A E A H H qa it H p h Aus der klassischen elektrodynaik ist bekannt dass E und B unverändert sind unter einer Eichtransforation A ' Λ ( x t ) A A' A c t Λ ( x t ) it beliebiger Funktion Λ ( x t ) Jetzt: ψ ' exp( ε ( x t ) Q ) ψ betrachte zunächst ε und Λ nur als Funktion von t nicht x (vereinfacht die Rechnung). Schrödinger-Gleichung: i ψ ' h t ( ' H qa ) ' ψ WS 7/8 Steinbrück Horns: Physik V

21 Elektrische Ladung i ψ ' h t ' ( H qa ) ' ψ und Unter gleichzeitiger Eichtranforation von folgt ψ A Syetrien und ih t exp exp ( iε ( t) Q) ψ qa exp( iε ( t) Q) ψ t ( iε ( t) Q) ih hqψ exp( iε ( t) Q) qa ψ H H qa it ergibt sich h ε h t t q t Q ε ( ) Λ( h ) t c t Λ( t) hcε ( t) da ε und Λ beliebig kann an wählen so dass! q c Λ t globale Eichtransforation erhaltene Quantenzahl WS 7/8 Steinbrück Horns: Physik V ψ Q ψ lokale Eichtransforation zusaen it Eichtransforation des e Feldes elektrische Ladung! q c Λ t q ψ Die Phase der Wellenfunktion variiert in Rau und Zeit (e(xt) ausgeglichen durch entsprechende Änderung i e Potential: Λ( t) hc ( t) ε