2 Riemannsche Flächen

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1 $Id: flaechen.tex,v /12/01 19:00:20 hk Exp $ 2 Riemannsche Flächen 2.4 Direkte Limites und Halme von Garben Am Ende der letzten Sitzung hatten wir die Windungspunkte einer holomorphen Funktion als diejenigen Punkte definiert in denen die Windungszahl echt größer als Eins ist, ihre Bilder hiessen dann die Verzweigungspunkte der holomorphen Abbildung. Zur Diskussion eines Beispiels benötigen wir noch zwei kleine Vorbemerkungen, zum einen das die komplexwertigen holomorphen Funktionen auf einer Riemannschen Fläche auch als Abbildungen zwischen Riemannschen Flächen holomorph sind und zum anderen das die Windungszahl ein lokaler Begriff ist. Ersteres wollen wir als ein Lemma festhalten und uns letzteres sofort überlegen. Angenommen S, T sind zwei Riemannsche Flächen und f : S T eine nicht konstante holomorphe Abbildung. Weiter seien ein Punkt p S und Gebiete U S in S sowie V T mit p U und f(u) V gegeben so, dass auch f U : U V holomorph ist. Im nächsten Abschnitt werden wir sehen das letzteres keine zusätzliche Einschränkung ist. Nach dem Identitätssatz Satz 26.(a) ist auch f U nicht konstant. Wie in Lemma 23.(a) haben wir O U,p = O S,p und O V,f(p) = O T,f(p). Sind W V eine offene Umgebung von f(p) in V und g O V (W ) = O T (W ) so haben wir (f U) p ([W, g] f(p) ) = [(f U) 1 (W ), g (f U)] p = [U f 1 (W ), g f U f 1 (W )] p = [f 1 (W ), g f] p = f p ([W, g] f(p), also ist auch (f U) p = f p. Da die Windungszahl in Termen dieses Homomorphismus definiert wurde ist damit auch deg p (f U) = deg p (f) wie behauptet. Wir kommen nun zum angekündigten Lemma und wir formulieren dieses für auf ganz S definierte holomorphe Funktionen, wie gerade bemerkt kann man es dann auch auf Gebiete in S anwenden. Lemma 2.27 (Windungszahlen skalarwertiger holomorpher Funktionen) Seien S eine Riemannsche Fläche und f O S (S) eine holomorphe Funktion auf S. Dann ist f : S C auch eine holomorphe Abbildung zwischen Riemannschen Flächen und ist f nicht konstant so gilt für jeden Punkt p S die Gleichung deg p (f) = ord p (f f(p)). Beweis: Seien also U C offen in C und g O C (U) holomorph. Sei p f 1 (U) und wähle eine Karte h von S mit p dom(h). Dann ist f h 1 O C (im(h)) also ist auch (g f) h 1 O C (h(f 1 (U) dom(h))) holomorph und damit gilt g f f 1 (U) 12-1

2 dom(h) O S (f 1 (U) dom(h)). Folglich liegt g f lokal in O S und damit ist schließlich auch g f O S (f 1 (U)). Somit ist f : S C eine holomorphe Abbildung zwischen Riemannschen Flächen und die erste Behauptung ist bewiesen. Nun nehme an das f nicht konstant ist und sei p S gegeben. Mit Satz 26.(f) angewandt auf die Karte id C von C folgt deg p (f) = ord p (f f(p)). Mit diesem Begriff können wir das Beispiel am Ende des zweiten Abschnitts auf neue Weise interpretieren. Seien U C 2 eine offene Menge und F : U C eine holomorphe Funktion. Betrachte die Menge S := {(z, w) U F (z, w) = 0} und nehme an das für alle (z, w) S stets F (z, w) 0 gilt. Weiter sei G eine Zusammenhangskomponente von S und betrachte die Projektion p := pr 1 G. Nehme an das p nicht konstant ist, dass also nicht G {a} C für ein a C gilt. Wir wissen das p O G (G) gilt und nach dem eben bewiesenen Lemma ist p : G C eine holomorphe Abbildung zwischen Riemannschen Flächen. Außerdem gilt für jeden Punkt (a, b) G stets deg (a,b) (p) = ord (a,b) (p a) und wie im erwähnten Beispiel gezeigt ist (a, b) damit genau dann ein Windungspunkt von p wenn F/ w(a, b) = 0 gilt. Für die Menge V der Verzweigungspunkte von p : G C erhalten wir { } V = a C F (b C) : (a, b) G (a, b) = 0. w Wir beweisen nun das es nur wenige Windungspunkte gibt. Satz 2.28 (Die Menge der Windungspunkte) Sei S, T zwei Riemannsche Flächen und f : S T eine nicht konstante holomorphe Funktion. Dann ist die Menge der Windungspunkte von f diskret und abgeschlossen in S. Beweis: Bezeichne W die Menge aller Windungspunkte von f. Sei p S. Wir zeigen das es dann eine offene Umgebung U von p in S mit W U {p} gibt. Wähle hierzu eine Karte h 2 von T mit q := f(p) dom(h 2 ) und eine Karte h 1 von S mit p dom(h 1 ). Bezeichne C die Zusammenhangskomponente von h 1 (dom(h 1 ) f 1 (dom(h 2 ))) mit h 1 (p) C und setze h := h 2 f h 1 1 C. Nach Satz 26.(g) ist h holomorph und für jedes z C gilt deg h 1 (z)(f) = 1 + ord z(h ). Da h auf C nicht konstant ist, ist auch 1 h 0 und damit ist die Menge N := {z C h (z) = 0} der Nullstellen von h diskret und abgeschlossen in C. Somit existiert eine offene Umgebung V von h 1 (p) in C mit V N {h 1 (p)} und damit ist U := h 1 1 (V ) eine offene Umgebung von p in S. Für jedes q U\{p} ist h 1 (q) V \{p} also h 1 (q) / N und somit gelten h (h 1 (q)) 0 und deg q (f) = 1 + ord h1 (q)(h ) = 1, d.h. q / W ist kein Windungspunkt von f. Dies bedeutet U W {p} und alles ist bewiesen. Zum Abschluß dieses Abschnitts wollen wir auch den meromorphen Funktionen auf offenen Teilmengen einer Riemannschen Fläche eine vernünftige Struktur geben. Hier tritt eine kleine technische Komplikation auf da wir meromorphe Funktionen die sich 12-2

3 nur um hebbare Singularitäten unterscheiden als gleich auffasen wollen, wir haben also eigentliche keine Funktionen sondern Äquivalenzklassen solcher. Dies führt weiter dazu das Addition und Multiplikation meromorpher Funktionen nicht die punktweisen Operationen sind. Meist spielt all dies keine wirkliche Rolle und man kann diese Details praktisch ignorieren. Der Begriff des direkten Limes erlaubt es aber auch leicht eine exakte Konstruktion durchzuführen, die uns insbesondere zeigt das hierfür keine speziellen Ad-hoc Argumente notwendig sind und sich alles natürlich in die normalen Begriffe einfügt. Definition 2.20 (Algebren meromorpher Funktionen) Sei S ein Riemannsche Fläche. Ist U S offen in S so hatten wir schon in Bemerkung 20.(c) die durch Inklusion gerichtete Menge D(U) aller diskreten und in U abgeschlossenen Teilmengen von U eingeführt und bezeichnet A U,D für jedes D D(U) die Algebra der in U\D holomorphen Funktionen die in keinem Punkt von U eine wesentliche Singularität haben, so bildeten diese mit der Einschränkung von Funktionen ein induktives System. Die Algebra der auf U meromorphen Funktionen definieren wir als den direkten Limes M S (U) := lim A U,D. D D(U) Sind D D(U) und f A U,D so schreiben wir [f] := [D, f] := η D (f) M S (U) wobei η D : A U,D M S (U) der natürliche Algebrenhomomorphismus ist. Sind U, V S offen in S mit V U so ist für jedes D D(U) auch D V D(V ) und die Einschränkung von Funktionen ist ein Algebrenhomomorphismus A U,D A V,V D. Mit Bemerkung 20.(f) erhalten wir einen induzierten Algebrenhomomorphismus R UV : M S (U) M S (V ), für das obige f ist dieser als R UV ([D, f]) = [D V, f V \(D V )] gegeben. Analog zur Garbe der holomorphen Funktionen auf einer Riemannschen Fläche haben wir dann auch die größere Garbe der meromorphen Funktionen auf dieser Fläche. Zur Formulierung des entsprechenden Satzes wollen wir noch eine weitere Schreibweise einführen, sind S eine Riemannsche Fläche, U S eine in S offene Menge und f eine auf U meromorphe Funktion, also f A U,D für eine diskrete und in U abgeschlossene Menge D U, so bezeichne P (f) := { z U } lim f(w) = + = {z U ord z (f) < 0} w z die Menge der Polstellen von f. Wegen f O S (U\D) ist dann P (f) D und in jedem Punkt z D\P (f) hat f eine hebbare Singularität, es gibt also ein holomorphe Funktion f z O S ((U\D) {z}) mit f z U\D = f. Damit ist f := z D\P (f) f z O S (U\P (f)) holomorph mit f U\D = f, in M S (U) gilt also [D, f] = [P (f), f]. Das rechts stehende Element hängt nur von der Klasse ξ = [D, f] in M S (U) ab, und um dies einzusehen seien eine weitere diskrete und in U abgeschlossene Menge D U und eine Funktion g A U,D mit [D, g] = ξ gegeben. Dann gibt es eine diskrete und in U abgeschlossene Menge D U mit D, D D und f U\D = g U\D. Für jedes z U haben wir dann lim w z g(w) = lim w z f(w), also ist P (f) auch die 12-3

4 Menge der Polstellen von g. Außerdem erhalten wir eine Funktion g O S (U\P (f)) mit g U\D = g, und dann ist auch f U\D = f U\D = g U\D = g U\D, also f = g da diese beiden Funktionen insbesondere auf U\P (f) stetig sind. Wir können also P (ξ) := P (f) definieren und ξ hat einen eindeutigen maximal definierten Repräsentanten in A U,P (ξ). Da sich die Ordnung beim Fortsetzen einer meromorphen Funktion in eine hebbare Singularität nicht ändert, ist damit auch ord z (ξ) := ord z (f) für jedes z U wohldefiniert und es gelten die Formeln aus Lemma 16.(f). Ist U S offen in S so haben wir A U, = O S (U) und η U := η U, : O S (U) M S (U) ist ein injektiver Algebrenhomomorphismus über den wir O S (U) als eine Unteralgebra von M S (U) auffassen können, in dieser Interpretation ist O S (U) = {f M S (U) P (f) = }. Nach diesen Vorbemerkungen kommen wir nun zum angekündigten Satz über die Garbe der meromorphen Funktionen. Satz 2.29 (Die Garbe der meromorphen Funktionen auf einer Fläche) Sei S eine Riemannsche Fläche und bezeichne τ die Topologie von S. (a) Das Paar ) M S := ((M S (U)) U τ, (R UV ) U,V τ,v U ist eine Garbe über S, genannt die Garbe der meromorphen Funktionen auf S. (b) Die Familie η := (η U ) U τ ist ein injektiver Garbenhomomorphismus über den wir O S als Untergarbe von M S auffassen können. (c) Für jeden Punkt p S ist O S,p eine Unteralgebra von M S,p und M S,p ist der Quotientenkörper von O S,p. (d) Sei p S und sei z eine lokale Uniformisierung von S bei z. Die Abbildung die jeder meromorphen Funktion f auf einer offenen Umgebung von p in S die Laurentreihe von f z 1 zum Entwicklungspunkt 0 zuordnet induziert einen Algebrenisomorphismus von M S,p auf die Algebra C 0 ((z)) der formalen Laurentreihen in C mit positiven Konvergenzradius. Beweis: Dies ist Aufgabe (17). 2.5 Holomorphe Funktionen zwischen Riemannschen Flächen In diesem Abschnitt wollen wir einige kleine Lemmata zusammenstellen die uns bei der Konstruktion holomorpher Funktionen und dem Nachweis der Holomorphie gegebener Funktionen helfen sollen. 12-4

5 Lemma 2.30 (Konstruktion holomorpher Funktionen) Seien S, T zwei Riemannsche Flächen. (a) Sind R eine weitere Riemannsche Fläche und f : S T, g : T R holomorphe Funktionen, so ist auch f f : S R eine holomorphe Funktion. (b) Ist U S ein Gebiet in S so ist die Inklusion i : U S eine holomorphe Funktion. Insbesondere ist id S : S S holomorph und für jede holomorphe Abbildung f : S T ist auch f U : U T holomorph. (c) Ist f : S T eine Abbildung und gibt es für jeden Punkt p S ein Gebiet U S in S mit p U so, dass f U : U T holomorph ist, so ist auch f : S T holomorph. (d) Ist V T ein Gebiet so ist eine Abbildung f : S V genau dann holomorph wenn sie als Abbildung f : S T holomorph ist. (e) Eine Abbildung f : U C ist genau dann eine holomorphe Abbildung zwischen Riemannschen Flächen wenn f O S (S) gilt. (f) Ist f : S T ein Isomorphismus Riemannscher Flächen so ist f auch eine holomorphe Abbildung Riemannscher Flächen. (g) Für eine stetige Abbildung f : S T sind die folgenden Aussagen äquivalent: 1. Die Abbildung f : S T ist holomorph. 2. Für jeden Punkt p S gibt es eine Karte h 1 von S mit p dom(h 1 ) und eine Karte h 2 von T mit f(p) dom(h 2 ) so, dass h 2 f h 1 1 O C (h 1 (dom(h 1 ) f 1 (dom(h 2 )))) holomorph ist. 3. Für jede Karte h 1 von S und jede Karte h 2 von T ist h 2 f h 1 1 O C (h 1 (dom(h 1 ) f 1 (dom(h 2 )))) holomorph. Beweis: (a) Die Hintereinanderausführung g f : S R ist stetig und sind U R offen in R und h O R (U) so ist zunächst h g O T (g 1 (U)) und damit auch h (g f) O S (f 1 (g 1 (U))) = O S ((g f) 1 (U)), d.h. g f : S R ist holomorph. (b) Die Abbildung i ist stetig und für jede in S offene Menge V S und jedes g O S (V ) ist auch g i = g U V O S (U V ) = (O S U)(U V ) = O U (i 1 (V )), also ist i; U S holomorph. Damit ist für jede holomorphe Abbildung f : S T nach (a) auch f U = f i holomorph. (c) Zunächst ist f : S T überhaupt stetig. Seien nun V T offen in T und g O T (V ). Sei p f 1 (V ). Dann existiert ein Gebiet U S in S mit p U so, dass f U : U T holomorph ist. Damit ist g f U f 1 (V ) = g (f U) O U (U f 1 (V )) = O S (U f 1 (V )). Damit liegt g f lokal in O S und wir haben auch g f O S (f 1 (V )). Damit ist f : S T holomorph. 12-5

6 (d) Schreibe f V : S V und f T : S T für die beiden betrachteten Abbildungen. = Ist i : V T die Inklusion, so ist f T = i f V nach (a,b) holomorph. = Sind W V offen in V und g O V (W ) = O T (W ) so ist auch g f V = g f T O S (f 1 (W )), d.h. f V ist holomorph. (e) = Wegen id C O C (C) ist f = id C f O S (S). = Dies gilt nach Lemma 27. (f) Klar. (g) (1)= (3). Dies gilt nach Satz 26.(g). (3)= (2). Klar. (2)= (1). Sei p S. Dann gibt es Karten h 1 von S mit p dom(h 1 ) und h 2 von T mit f(p) dom(h 2 ) so, dass h 2 f h 1 1 O C (h 1 (dom(h 1 ) f 1 (dom(h 2 )))) holomorph ist. Wähle ein Gebiet V T in T mit f(p) V dom(h 2 ) und ein Gebiet U S in S mit p U dom(h 1 ) f 1 (V ) und dann ist auch h 1 (U) ein Gebiet in C mit h 2 f h 1 1 h 1 (U) O C (h 1 (U)). Nach (e) ist h 2 f h 1 1 h 1 (U) : h 1 (U) h 2 (U) auch eine holomorphe Abbildung zwischen Riemannschen Flächen. Nach Lemma 9.(b) sind auch h 1 U eine Karte von S und h 2 V eine Karte von T, also sind h 1 U und (h 2 V ) 1 nach Lemma 12.(b,e) Isomorphismen Riemannscher Flächen und nach (f) sind diese beiden Abbildungen auch holomorphe Abbildungen zwischen Riemannschen Flächen. Nach (a,b,d) ist auch f U = (h 2 V ) 1 (h 2 f h 1 1 h 1 (U)) (h 1 U) : U T eine holomorphe Abbildung zwischen Riemannschen Flächen. Nach (c) ist f : S T holomorph. Nach (e) sind die holomorphen Funktionen zwischen Gebieten in C aufgefasst als Abbildungen zwischen Riemannschen Flächen genau die im gewöhnlichen Sinne holomorphen Abbildungen. Die Aussage (f) des Lemmas können wir noch etwas erweitern. Satz 2.31 (Charakterisierung der Isomorphismen Riemannscher Flächen) Seien S, T zwei Riemannsche Flächen und h : S T eine bijektive Abbildung. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent: (a) Die Abbildung f ist ein Isomorphismus Riemannscher Flächen. (b) Die Abbildungen f : S T und f 1 : T S sind beide holomorph. (c) Die Abbildung f : S T ist holomorph. Beweis: (a)= (b). Dies ist klar nach Lemma 12.(b) und Lemma 30.(f). (b)= (c). Klar. (c)= (a). Dies ist Aufgabe (18.b). 12-6

7 Damit haben wir die komplexwertigen holomorphen Funktionen auf einer Riemannschen Fläche S, also die Elemente von O S (U) für Gebiete U S, die Isomorphismen Riemannscher Flächen und insbesondere die Karten Riemannscher Flächen alles als holomorphe Abbildungen zwischen Riemannschen Flächen erkannt. Im letzten Schritt können wir nun auch die meromorphen Funktionen auf einer Riemannschen Fläche als holomorphe Funktionen in die Riemannsche Zahlenkugel interpretieren. Satz 2.32 (Holomorphe Funktionen in die Riemannsche Zahlenkugel) Sei S eine Riemannsche Fläche. (a) Ist f eine auf S meromorphe Funktion, so ist die Funktion { f : S Ĉ; z f(z), z / P (f),, z P (f) holomorph. (b) Sei f eine nicht konstante meromorphe Funktion auf S. Für jedes p S\P (f) gilt dann deg p ( f) = ord p (f f(p)) und ist p P (f) eine n-fache Polstelle von f so haben wir deg p ( f) = ord p (f) = n. (c) Sei umgekehrt f : S Ĉ eine holomorphe Funktion die nicht konstant ist. Dann ist D := f 1 ( ) diskret und abgeschlossen in S und f S\D ist eine meromorphe Funktion auf S mit Polstellenmenge D. Beweis: (a,b) Ist f konstant so gelten P (f) = und f = f und die Behauptung ist klar. Wir nehmen daher im folgenden an das f nicht konstant ist. Zunächst ist U 1 := S\P (f) ein Gebiet in S und f U 1 = f O S (U 1 ) ist nach Lemma 30d,e eine holomorphe Abbildung zwischen Riemannschen Flächen. Wir behaupten nun das auch die Menge f 1 (0) diskret und abgeschlossen in S ist. Da f nicht konstant ist, ist f 1 (0) nach Satz 7.(a) abgeschlossen und diskret in S\P (f), es ist also nu zu zeigen das f 1 (0) P (f) = gilt. Ist p P (f) ein Pol von f, so gilt lim z p f(z) = +, also existiert eine offene Umgebung U von p in S mit U P (f) = {p} und f(z) 1 für alle z U\{p}. Dann ist U f 1 (0) = und wir haben p / f 1 (0) eingesehen. Damit ist f 1 (0) tatsächlich abgeschlossen und diskret in S und U 2 := S\f 1 (0) ist ein Gebiet in S. Weiter ist die Abbildung h : Ĉ\{0} C; z { 1 z, z, 0, z = eine Karte von C h mit f(u 2 ) dom(h) und für jedes z U 2 haben wir h( f(z)) = { 1, f(z) z / P (f), 0, z P (f). 12-7

8 Insbesondere ist h f U 2 \P (f) O S (U 2 \P (f)). Für jede Polstelle z P (f) gilt wegen lim w z f(w) = + auch lim h( f(w)) 1 = lim w z w z f(w) = 0 = h( f(z)), und nach dem Riemannschen Hebbarkeitssatz Lemma 16.(a) ist damit sogar h f O S (U 2 ). Da h eine Karte von Ĉ ist sind h und h 1 nach Lemma 12.(b,e) Isomorphismen Riemannscher Flächen also liefert Lemma 30.(a,d,e,f) schließlich das f U 2 = h 1 (h f) : U 2 Ĉ holomorph ist. Nach Lemma 30.(c) ist insgesamt auch f : S Ĉ holomorph. Wir kommen zur Bestimmung der Windungszahlen. Sei also p S gegeben. Ist p / P (f) so gilt nach Lemma 27 sofort deg p ( f) = deg p ( f U 1 ) = deg p (f) = ord p (f f(p)). Ist dagegen p P (f) eine Polstelle von f so ergeben Satz 26.(f) und Lemma 16.(f) ( ) deg p ( f) = ord p (h f 1 h( )) = ord p = ord p (f) f und dies ist die Vielfachheit der Polstelle p von f. (c) Ist f konstant so ist die Behauptung klar, wir können also annehmen das f nicht konstant ist. Nach Satz 26.(b) ist D := f 1 ( ) abgeschlossen und diskret in S. Weiter ist nach Lemma 30.(b,d) auch f S\D : S\D C eine holomorphe Abbildung, d.h. f S\D O S (S\D) nach Lemma 30.(e). Sei nun z D. Da f insbesondere stetig ist gilt lim w z f(w) = in Ĉ, ist also r > 0 so ist Ĉ\B r(0) eine Umgebung von in Ĉ und somit existiert eine Umgebung U von z in S mit f(w) C und f(w) r für alle w U\{z}. Dies zeigt lim w z f(w) = + und somit ist z eine Polstelle von f S\D. Damit ist f S\D eine auf S meromorphe Funktion. 12-8