4 Rein transzendente Körpererweiterungen

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1 $Id: transzendent.tex,v /05/04 14:59:47 hk Exp $ 4 Rein transzendente Körpererweiterungen Wie bereits angekündigt wollen wir nun einsehen, dass wir den rationalen Funktionenkörper K(t 1,..., t n ) auch als eine n-fach iterierte Bildung rationaler Funktionenkörper in einer Variablen auffassen können. Haben wir einen Körper K und n, m N mit n < m, so identifizieren wir K[t 1,..., t n ][t n+1,..., t m ] = K[t 1,..., t m ] und bilden auf beiden Seiten den Quotientenkörper. Der Quotientenkörper auf der rechten Seite ist direkt nach Definition der rationale Funktionenkörper K(t 1,..., t m ). Auf der linken Seite haben wir den Quotientenkörper K(t 1,..., t n ) von K[t 1,..., t n ], und damit wird der Quotientenkörper links nach Lemma 4 zu K(t 1,..., t n )(t n+1,..., t m ). Da je zwei Quotientenkörpers eines Integritätsbereichs isomorph sind, haben wir auch K(t 1,..., t n )(t n+1,..., t m ) K(t 1,..., t m ). Dieser Isomorphismus wird üblicherweise als Identität interpretiert, und so werden wir das auch halten. Nehmen wir beispielsweise das Element f = x2 y + y 3 xy + 1 xy 3 K(x, y). Um dies als ein Element in K(x)(y) aufzufassen müssen wir Zähler und Nenner als Elemente von K(x)[y] K[x][y] interpretieren. Die Identifikation K[x, y] = K[x][y] geschah durch Zusammenfassen nach Potenzen von y, also x 2 y + y 3 xy + 1 = y 3 + (x 2 x)y + 1, xy 3 = x y 3. Dann haben wir Zähler und Nenner als Polynome in y mit Koeffizienten aus K[x] K(x) geschrieben, und es wird f = y3 + (x 2 x)y + 1 x y 3 K(x)(y) als rationale Funktion in y über K(x). Schreiben wir den Isomorphismus also in seiner Wirkung auf Elementen hin, so passiert eigentlich gar nichts und daher ist es gerechtfertigt ihn als Identität K(t 1,..., t n )(t n+1,..., t m ) = K(t 1,..., t m ) 6-1

2 zu interpretieren. Der Körper K(t 1,..., t n ) ist eine Verallgemeinerung der einfach transzendenten Erweiterung K(t), und man bezeichnet ihn als eine rein transzendente, oder auch n- fache rein transzendente Erweiterung, von K. Dabei ist an dieser Stelle noch nicht klar, dass die Zahl n durch den Isomorphietyp von K(t 1,..., t n ) eindeutig festgelegt ist, aber dies werden wir noch einsehen. Die transzendenten Elemente einer Körpererweiterung L K waren diejenigen a L bei denen K(a) K(t) ist und zwar unter einem Isomorphismus bei dem a gerade t entspricht, es gab also bis auf Isomorphie genau ein Beispiel eines über K transzendenten Elements. Genauso wollen wir zeigen, dass die Elemente t 1,..., t n von K(t 1,..., t n ) bis auf Isomorphie das einzige Beispiel von n über K algebraisch unabhängigen Elementen sind. Diese Aussage wird Gegenstand des nächsten Lemmas sein. Zuvor wollen wir aber einige der unmittelbar einsichtigen Eigenschaften der algebraischen Unabhängigkeit hier einfach auflisten: 1. Ein 1-Tupel a L ist genau dann algebraisch unabhängig wenn a über K transzendent ist. Dies ist klar, denn algebraische Unabhängigkeit des 1-Tupels a bedeutet gerade das es kein Polynom 0 p K[x] mit p(a) = 0 gibt, d.h. das a über K transzendent ist. 2. Sind a 1,..., a n algebraisch unabhängig über K, so sind für jedes 1 r n auch die Elemente a 1,..., a r algebraisch unabhängig über K. Denn andernfalls gäbe es ein Polynom 0 p K[x 1,..., x r ] mit p(a 1,..., a r ) = 0, und fassen wir p als ein Polynom in K[x 1,..., x n ] auf, so ist ebenfalls p(a 1,..., a n ) = p(a 1,..., a r ) = Sind die Elemente a 1,..., a n L über K algebraisch unabhängig, so ist auch jede Permutation a π(1),..., a π(n) (π S n ) dieser Elemente über K algebraisch unabhängig. Denn haben wir ein Polynom 0 p K[x 1,..., x n ] mit p(a π(1),..., a π(n) ) = 0, so erhalten wir durch entsprechende Permutation der Koeffizienten von p ein Polynom 0 q K[x 1,..., x n ] mit q(x 1,..., x n ) = q(x π(1),..., x π(n) ), und damit ist auch q(a 1,..., a n ) = p(a π(1),..., a π(n) ) = Sind L i K i für i = 1, 2 zwei Körpererweiterungen und ψ : (L 1, K 1 ) (L 2, K 2 ) ein Isomorphismus von Körpererweiterungen, d.h. ein Isomorphismus ψ : L 1 L 2 mit ψ(k 1 ) = K 2, so sind für alle über K 1 algebraisch unabhängigen a 1,..., a n L 1 auch ψ(a 1 ),..., ψ(a n ) L 2 über K 2 algebraisch unabhängig. Denn andernfalls wären diese Elemente nicht über K 2 algebraisch unabhängig, und wir hätten ein von Null verschiedenes Polynom 0 p K 2 [x 1,..., x n ] mit p(ψ(a 1 ),..., ψ(a n )) = 0. Ist dann 0 q K 1 [x 1,..., x n ] das Polynom das durch Anwendung von ψ 1 auf die Koeffizienten von p entsteht, so ist auch ψ(q(a 1,..., a n )) = p(ψ(a 1 ),..., ψ(a n )) = 0 und somit q(a 1,..., a n ) = 0. Diese eben aufgelisteten Grundtatsachen werden wir auch ohne große Rückverweise frei benutzen. Nun können wir leicht die schon angekündigte Eindeutigkeit algebraisch unabhängiger Elemente bis auf Isomorphie nachweisen. 6-2

3 Lemma 4.5: Sei L K ein Körpererweiterung und seien a 1,..., a n L. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent: (a) Die Elemente a 1,..., a n sind algebraisch unabhängig. (b) Der Einsetzungshomomorphismus ist injektiv. φ : K[t 1,..., t n ] L; p p(a 1,..., a n ) (c) Es gibt einen Isomorphismus φ : K(t 1,..., t n ) K(a 1,..., a n ) L mit φ K = id K und φ(t i ) = a i für i = 1,..., n. Beweis: (a)= (b). Die Definition der algebraischen Unabhängigkeit über K fordert Kern(φ) = 0, und damit ist φ auch injektiv. (b)= (c). Der Einsetzungshomomorphismus ist ein Isomorphismus von K[t 1,..., t n ] auf den Unterring K[a 1,..., a n ] von L. Weiter setzt sich φ zu einem Isomorphismus ψ der jeweiligen Quotientenkörper fort. Der Quotientenkörper von K[t 1,..., t n ] ist K(t 1,..., t n ) und der von K[a 1,..., a n ] ist der Unterkörper K(a 1,..., a n ) von L. Wegen ψ K = φ K = id K und ψ(t i ) = φ(t i ) = a i für i = 1,..., n ist damit alles gezeigt. (c)= (a). Wie bereits bemerkt sind t 1,..., t n K(t 1,..., t n ) über K algebraisch unabhängig, und damit sind auch die Bilder a i = φ(t i ) (1 i n) über K algebraisch unabhängig. Damit sind die Elemente t 1,..., t n in K(t 1,..., t n ) bis auf Isomorphie das einzige Beispiel von n über K algebraisch unabhängigen Elementen. Wir wollen nun noch die etwas mühsameren Grundtatsachen über algebraische Unabhängigkeit herleiten, durch Verwendung von Lemma 5 können wir dies tun, ohne uns immer wieder auf die Definition über Nullstellen von Polynomen berufen zu müssen. Lemma 4.6 (Grundeigenschaften der algebraischen Unabhängigkeit) Sei L K eine Körpererweiterung. (a) Sind a 1,..., a m L und 1 n m, so sind a 1,..., a m genau dann algebraisch unabhängig über K, wenn a 1,..., a n algebraisch unabhängig über K sind und a n+1,..., a m algebraisch unabhängig über K(a 1,..., a n ) sind. (b) Genau dann sind a 1,..., a n L über K algebraisch unabhängig wenn a i für jedes 1 i n über K(a 1,..., a i 1 ) transzendent ist. (c) Sind a 1,..., a n L über K algebraisch unabhängig und b 1,..., b m L weitere Elemente so, dass a 1,..., a n, b 1,..., b m über K algebraisch abhängig, also nicht algebraisch unabhängig, sind, so existiert ein 1 i m so, dass b i L über K(a 1,..., a n, b 1,..., b i,..., b m ) algebraisch ist. Die Notation b 1,..., b i,..., b m bezeichnet dabei das Tupel b 1,..., b i 1, b i+1,..., b m mit fortgelassenen b i. 6-3

4 Beweis: (a) = Wie bereits bemerkt sind a 1,..., a n über K algebraisch unabhängig und nach Lemma 5 gibt es einen Isomorphismus φ : K(t 1,..., t m ) K(a 1,..., a m ) L über K mit φ(t i ) = a i für 1 i m. Wegen K(t 1,..., t m ) = K(t 1,..., t n )(t n+1,..., t m ) sind t n+1,..., t m über K(t 1,..., t n ) algebraisch unabhängig, und da φ(k(t 1,..., t n )) = K(a 1,..., a n ) gilt, sind auch a n+1,..., a m über K(a 1,..., a n ) algebraisch unabhängig, da wir oben ja festgehalten hatten das algebraische Unabhängigkeit unter Isomorphismen erhalten bleibt. = Da a 1,..., a n über K algebraisch unabhängig sind, haben wir einen Isomorphismus φ : K(t 1,..., t n ) K(a 1,..., a n ) über K mit φ(t i ) = a i für 1 i n. Weiter sind auch a n+1,..., a m über K(a 1,..., a n ) als algebraisch unabhängig vorausgesetzt, wir haben also auch einen Isomorphismus ψ : K(a 1,..., a n )(t n+1,..., t m ) K(a 1,..., a n )(a n+1,..., a m ) = K(a 1,..., a m ) über K(a 1,..., a n ) mit ψ(t i ) = a i für n + 1 i m. Beachte dabei, dass sich im Ausdruck K(a 1,..., a n )(t n+1,..., t m ) das erste Klammerpaar auf den in L erzeugten Unterkörper bezieht, während das zweite Klammerpaar für den rationalen Funktionenkörper in t n+1,..., t m steht. Für beides verwendet man leider dasselbe Symbol. Der Isomorphismus φ setzt sich nun zu einem Isomorphismus φ : K(t 1,..., t m ) = K(t 1,..., t n )(t n+1,..., t m ) K(a 1,..., a n )(t n+1,..., t m ) über K mit φ(t i ) = t i für n + 1 i m fort. Durch Zusammensetzen erhalten wir einen Isomorphismus θ : K(t 1,..., t m ) = K(t 1,..., t n )(t n+1,..., t m ) φ K(a 1,..., a n )(t n+1,..., t m ) ψ K(a 1,..., a m ) mit θ K = id K. Für 1 i n ist θ(t i ) = ψ(φ(t i )) = ψ(φ(t i )) = ψ(a i ) = a i, und für n + 1 i m haben wir θ(t i ) = ψ(ϕ(t i )) = ψ(t i ) = a i. Nach Lemma 5 sind a 1,..., a m L über K algebraisch unabhängig. (b) Dies ist klar durch n-fache Anwendung von Teil (a). (c) Wäre b i L für jedes 1 i m über K(a 1,..., a n, b 1,..., b i 1 ) transzendent, so folgte durch (b) das auch a 1,..., a n, b 1,..., b m über K algebraisch unabhängig sind. Also muss es ein 1 i m geben so, dass b i L über K(a 1,..., a n, b 1,..., b i 1 ), und damit auch über K(a 1,..., a n, b 1,..., b i,..., b m ), algebraisch ist. Wie bereits früher einmal bemerkt, wollen wir jede Körpererweiterung in einen transzendenten Teil und einen algebraischen Teil zerlegen. Noch haben wir aber nicht festgelegt, was unter dem transzendenten Teil genau zu verstehen ist. Erweiterungen der Form K(a 1,..., a n ) mit algebraisch unabhängigen a 1,..., a n werden ein solcher transzendenter Teil sein, allerdings reichen diese nicht aus. Wenn wir etwa an die Körpererweiterung C Q denken, so können wir C durch endlich viele algebraisch unabhängige Elemente und algebraische Erweiterungen niemals erreichen, da C ja überabzählbar ist. 6-4

5 Wir benötigen auch unendliche algebraisch unabhängige Mengen. In der linearen Algebra trat dasselbe Problem auf, für Basen beliebiger Vektorräume brauchte man auch unendliche linear unabhängige Mengen und diese wurden dadurch definiert, das jeder endliche Teil linear unabhängig sei. Genauso gehen wir nun für unendliche algebraisch unabhängige Mengen vor. Definition 4.2: Sei L K eine Körpererweiterung. Eine Menge M L heißt über K algebraisch unabhängig, wenn für alle n N und alle paarweise verschiedenen a 1,..., a n M das Tupel a 1,..., a n über K algebraisch unabhängig ist. Es gibt wieder einige simple Grundtatsachen: 1. Sind a 1,..., a n L paarweise verschieden, so sind a 1,..., a n genau dann über K algebraisch unabhängig, wenn die Menge {a 1,..., a n } über K algebraisch unabhängig ist. Dabei impliziert die algebraische Unabhängigkeit von {a 1,..., a n } sofort die algebraische Unabhängigkeit des Tupels a 1,..., a n, da diese Elemente als paarweise verschieden vorausgesetzt sind. Sind umgekehrt a 1,..., a n über K algebraisch unabhängig, so ist auch jedes aus einem Teil der a 1,..., a n in beliebiger Reihenfolge gebildetes Tupel algebraisch unabhängig, d.h. die Menge {a 1,..., a n } ist über K algebraisch unabhängig. 2. Ist M L über K algebraisch unabhängig, so ist auch jede Teilmenge N M über K algebraisch unabhängig. Dies ist klar da jedes Tupel von Elementen aus N auch eines von Elementen aus K ist. 3. Seien (L i, K i ) für i = 1, 2 isomorphe Körpererweiterungen, ψ : (L 1, K 1 ) (L 2, K 2 ) ein Isomorphismus und M L 1 über K 1 algebraisch unabhängig. Dann ist auch ψ(m) L 2 über K 2 algebraisch unabhängig. Dies folgt sofort aus der entsprechenden Eigenschaft für Tupel. Wir hatten gesehen, dass es bis auf Isomorphie nur ein Beispiel von n über K algebraisch unabhängigen Elementen gibt. Diese Beobachtung möchten wir nun auf unendliche Mengen ausdehnen, und dazu brauchen wir Polynomringe in unendlich vielen Unbekannten. Seien also ein kommutativer Ring A und eine beliebige Menge T, deren Elemente die Rolle der Variablen des Polynoms spielen sollen, gegeben. Unser Ziel ist es einen Polynomring A[T ] über A in den Variablen aus T zu definieren. Die informelle Definition ist ganz einfach, man nehme einfach endliche Summen von endlichen Produkten von Variablen mit Koeffizienten aus A. Um die formale Definition zu verstehen, erinnert man sich am besten daran wie Polynome p A[t] in einer Variablen definiert waren. Hier interpretierte man ja das Polynom p = a 0 + a 1 t + a 2 t 2 + als das Tupel der Koeffizienten (a 0, a 1, a 2,...). In dieser Interpretation ist A[t] = A (N 0), wobei für eine beliebige Menge M A (M) := {f : M A f ist eine Abbildung mit f(x) 0 nur für endlich viele x M} 6-5

6 gesetzt wurde. Dies wird auch als der freie A-Modul über der Menge M bezeichnet, also als der A-Modul mit Basis M. Streng genommen ist M zwar keine Teilmenge von A (M), aber man kann m M als die Abbildung f : M A mit f(m) = 1 und f(x) = 0 für x M\{m} interpretieren, und dann wird M tatsächlich eine Basis von A (M). Für jedes f A (M) ist einfach f = m M f(m)m. Die Menge ist so etwas wie die kanonische Basis von A (M). Das hier verwendete Wort A-Modul bezeichnet einen Vektorraum über dem Ring A. Formal werden diese wörtlich wie die gewöhnlichen Vektorräume definiert, d.h. ein Modul M über dem Ring A bezeichnet ein Tripel (M, +, ) bestehend aus einer Menge M und zwei Abbildungen + : M M M, : A M M so, dass (M, +) eine abelsche Gruppe ist, und die folgenden vier Bedingungen an die Multiplikation gelten: 1. Für alle x M ist 1 x = x. 2. Für alle a, b A, x M ist a (b x) = (ab) x. 3. Für alle a, b A, x M ist (a + b) x = a x + b x. 4. Für alle a A, x, y M ist a (x + y) = a x + a y. Dass man hier von einem Modul und nicht von einem Vektorraum spricht, hat rein historische aber keine inhaltlichen Gründe. Die Begriffe linear unabhängig, Erzeugendensystem und Basis werden dann genau wie für Vektorräume definiert. Über einem allgemeinen Ring verhalten sich diese Begriffe aber nicht so gut wie im Vektorraumfall, zum Beispiel hat nicht jeder Modul eine Basis. Die Moduln die eine Basis besitzen nennt man freie Moduln, und daher kommt die Sprechweise von M frei erzeugter A-Modul. Diese Dinge spielen für uns an dieser Stelle keine inhaltliche Rolle, daher wollen wir hier nicht näher auf diese Dinge eingehen. Kommen wir nun zu den Polynomringen zurück. Für den Polynomring A[t] = A (N 0) identifiziert man die Basis nicht direkt mit N 0, sondern schreibt anstelle dessen t n für das n N 0 entsprechende Basiselement von A[t]. Die Multiplikation von Polynomen p, q A[t] wird dann durch das Cauchyprodukt pq : N 0 A; n p(k)q(l) k,l N 0 k+l=n definiert, dann hat man die gewünschte Multiplikation von Polynomen als ( ) ( ) a n t n b n t n = ( ) a k b l t n. n N 0 n N 0 n N 0 k+l=n Die Erweiterung zum Polynomring A[t 1,..., t n ] in mehreren Variablen ist nur eine kleine Änderung, statt N 0 verwendet man eben N n 0, fasst also das Monom t k t kn n als den Multiindex (k 1,..., k n ) auf. Ein sogenannter Multiindex ist dabei einfach ein Tupel nichtnegativer ganzer Zahlen. Die Addition wird weiterhin durch das Cauchyprodukt 6-6

7 definiert, man muss nur die Addition k + l jetzt als die Addition von Multiindizes interpretieren, also komponentenweise. In dieser Interpretation ist es klar wie das allgemeine A[T ] zu definieren ist, wir müssen nur die Menge N (T ) 0 = {k : T N 0 k t 0 nur für endlich viele t T } als Menge der Monome verwenden. Damit kommen wir zur Definition unseres Polynomrings: Definition 4.3: Seien A ein kommutativer Ring und T eine Menge. Der Polynomring A[T ] über A mit Variablen aus T ist der freie A-Modul A[T ] := A (N(T ) 0 ) versehen mit dem Cauchyprodukt als Multiplikation. Ein k N (T ) 0 schreibt man dann als t k := t kt t ktn n wobei t 1,..., t n T paarweise verschieden so gewählt sind das k t = 0 für alle t T \{t 1,..., t n } gilt. Die Multiplikation von Polynomen wurde durch das Cauchyprodukt definiert, also durch n N (T ) 0 a n t n n N (T ) 0 b n t n = n N (T ) 0 k,l N (T ) 0 k+l=n a k b l wobei die Summe zweier Elemente von N (T ) 0 punktweise definiert ist. Beachte das die dabei auftretende Summe endlich ist, ein n N (T ) 0 ist ja außerhalb einer endlichen Teilmenge von T gleich Null, und die Elemente k, l mit k + l = n müssen außerhalb dieser Teilmenge auch Null sein. Ist S T eine Teilmenge, so können wir jedes Monom in N (S) 0 auch als Monom in N (T ) 0 auffassen, und A[S] wird dann ein Unterring von A[T ]. Da in jedem Polynom nur endlich viele Monome vorkommen, und in jedem Monom nur endlich viele Variablen, ist A[T ] = {A[E] E T endlich} = A[t 1,..., t n ]. t 1,...,t n T paarweise verschieden Die unendlich vielen Variablen sind damit nur potentiell, in jedem Polynom p A[T ] haben wir nur endlich viele Variablen die tatsächlich vorkommen. Insbesondere lassen sich die meisten Eigenschaften von Polynomringen in endlich vielen Variablen auf Polynomringe in unendlich vielen Unbekannten übertragen. Beispielsweise ist A[T ] nullteilerfrei wenn A nullteilerfrei ist. Seien nämlich 0 p, q A[T ] gegeben. Dann kommen in p und q jeweils nur endlich viele Variablen vor, also tauchen insgesamt nur endlich viele Variablen auf, und somit gibt es paarweise verschiedene t 1,..., t n T mit 6-7 tn

8 p, q A[t 1,..., t n ]. Ist A nullteilerfrei, so ist auch A[t 1,..., t n ] nullteilerfrei, und folglich ist p q 0. Somit ist der ganze Polynomring A[T ] nullteilerfrei. Ausgerüstet mit Polynomringen in beliebig vielen Unbekannten können wir nun auch den rationalen Funktionenkörper in unendlich vielen Unbekannten definieren. Definition 4.4: Seien K ein Körper und T eine Menge. Der Körper der rationalen Funktionen über K mit Variablen aus T ist dann der Quotientenkörper K(T ) des Ringes K[T ]. Dies ist eine sinnvolle Definition, da wir gerade eingesehen haben, dass der Polynomring K[T ] nullteilerfrei ist. Wir werden einsehen, dass die Menge T in K(T ) über K algebraisch unabhängig ist. Weiter werden diese Mengen bis auf Isomorphie die einzigen Beispiele algebraisch unabhängiger Mengen sein. Nun sind wir in der Lage, den schon verwendeten etwas vagen Konzept transzendenter Teil eine exakte Form zu geben. Definition 4.5: Eine Körpererweiterung L K heißt rein transzendent wenn es eine über K algebraisch unabhängige Menge B L mit L = K(B) gibt. Jede solche Menge B heißt dann eine Transzendenzbasis von L über K. 6-8