5 Der Transzendenzgrad

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1 $Id: trgrad.tex,v /05/13 13:23:45 hk Exp $ $Id: algab.tex,v /03/24 14:45:49 hk Exp hk $ 5 Der Transzendenzgrad Jetzt können wir endlich die, schon mehrfach angekündigte, Eindeutigkeit des Transzendenzgrades beweisen. Satz 5.8 (Eindeutigkeit des Transzendenzgrades) Sei L K eine Körpererweiterung. Dann sind je zwei maximale, über K algebraisch unabhängige Teilmengen von L gleichmächtig. Beweis: Seien A, B L zwei maximale, über K algebraisch unabhängige Mengen. Ist eine der beiden Mengen endlich, so wissen wir nach Lemma 2 das A = B ist. Nun nehme an, dass A und B unendlich sind. Sei a A. Nach 4.Lemma 10.(b) ist a über K(B) algebraisch, es gibt also ein Polynom p K(B)[x]\{0} mit p(a) = 0. Jeder Koeffizient von p liegt dann in K(E) für eine endliche Teilmenge E B, und da es nur endlich viele Koeffizienten ungleich Null gibt, existiert eine endliche Menge B(a) B mit p K(B(a))[x]. Insbesondere ist dann a über K(B(a)) algebraisch. Wir betrachten nun die Teilmenge B := a A B(a) B. Wegen K(B(a)) K(B ) für jedes a A, ist dann jedes a A über K(B ) algebraisch. Damit ist K(A B ) = K(B )(A) K(B ) eine algebraische Erweiterung. Wieder nach 4.Lemma 10.(b) ist L über K(A) algebraisch, also ist L auch über K(A B ) K(A) algebraisch, d.h. insgesamt ist L über K(B ) algebraisch. Nach 4.Lemma 10.(b) ist B damit eine maximale, über K algebraisch unabhängige Teilmenge von L, und wegen B B folgt B = B. Mit Korollar 7 folgt B = B(a) max{ℵ 0, A } = A. a A Vertauschen wir A und B, so folgt auch A B und wir haben A = B. Definition 5.1: Sei L K eine Körpererweiterung. Der Transzendenzgrad tr K L der Erweiterung (L, K) ist dann die Mächtigkeit einer maximalen, über K algebraisch unabhängigen Teilmenge von L. Nach Satz 8 ist diese Definition sinnvoll. 9-1

2 Während wir bisher immer mit dem Begriff der Gleichmächtigkeit ausgekommen sind, benötigen wir für die Definition des Transzendenzgrades den Begriff der Mächtigkeit einer Menge selbst. Diese Mächtigkeit ist eine sogenannte Kardinalzahl, eine Erweiterung des Begriffs der natürlichen Zahlen. Die Kardinalzahlen sind eine spezielle Sorte von Mengen so, dass jede Menge M zu genau einer Kardinalzahl gleichmächtig ist, und diese ist dann die Mächtigkeit M der Menge M. Dabei ist jede natürliche Zahl auch eine Kardinalzahl. Wie genau Kardinalzahlen definiert werden ist für unsere Zwecke nicht wichtig, genauso wie die exakte Definition der natürlichen Zahlen für ihre Benutzung keine Rolle spielt. Von Interesse ist nur das es irgendwie geht. Das bereits eingeführte Symbol ℵ 0 für die Mächtigkeit von N ist eine dieser Kardinalzahlen. Da algebraische Unabhängigkeit unter Isomorphismen invariant ist, trifft dies auch auf den Transzendenzgrad zu, d.h. sind L i K i für i = 1, 2 eine Körpererweiterung und ist ψ : (L 1, K 1 ) (L 2, K 2 ) ein Isomorphismus von Körpererweiterungen, so gilt tr K1 L 1 = tr K2 L 2. Insbesondere haben über einem Körper K isomorphe Erweiterungskörper von K auch denselben Transzendenzgrad über K. Wir wollen jetzt noch einige der Grundeigenschaften des Transzendenzgrades festhalten. Lemma 5.9 (Grundeigenschaften des Transzendenzgrades) Sei L K eine Körpererweiterung. (a) Genau dann ist L algebraisch über K wenn tr K L = 0 gilt. (b) Ist K F L ein Zwischenkörper, so gilt tr K F tr K L. (c) Ist K F L ein Zwischenkörper so gilt tr K L = tr K F + tr F L. (d) Ist B L mit L = K(B) so existiert eine maximale, über K algebraisch unabhängige Teilmenge A L von L mit A B. Insbesondere ist tr K L B. (e) Ist K F L ein Zwischenkörper der über K algebraisch ist, so ist eine Teilmenge B L genau dann über K algebraisch unabhängig wenn sie über F algebraisch unabhängig ist. Beweis: (a) Genau dann ist tr K L = 0 wenn die leere Menge eine maximale, über K algebraisch unabhängige Menge ist, und nach 4.Lemma 10.(b) ist dies genau dann der Fall wenn L über K algebraisch ist. (b) Ist B F eine maximale, über K algebraisch unabhängige Teilmenge von F, so existiert nach 4.Lemma 10.(a) eine maximale, über K algebraisch unabhängige Teilmenge B L von L mit B B. Es folgt tr K F = B B = tr K L. Alternativ können Sie dies auch als eine Konsequenz von (c) auffassen. 9-2

3 (c) Zunächst gilt zumindest A B =. Wegen K(A) F ist B dann auch über K(A) algebraisch unabhängig, und nach einer Aufgabe ist auch A B L über K algebraisch unabhängig. Nach 4.Lemma 10.(b) sind L über F (B) algebraisch und F über K(A) algebraisch. Jedes Element von F ist über K(A), und damit erst recht über K(A B), algebraisch, und trivialerweise ist auch jedes Element von B über K(A B) algebraisch. Folglich ist F (B) = K(F B) über K(A B) algebraisch. Damit ist insgesamt L über K(M) algebraisch, d.h. nach 4.Lemma 10.(b) ist M eine maximale über K algebraisch unabhängige Teilmenge von L. Insbesondere ist (d) Sei tr K L = A B = A + B = tr K F + tr F L. M := {A B A ist über K algebraisch unabhängig}. Wie im Beweis von 4.Lemma 10.(a) erfüllt M die Voraussetzungen des Lemmas von Zorn und enthält damit ein maximales Element A M. Für jedes b B\A ist dann A {b} / M, und nach einer Aufgabe bedeutet dies, dass b über K(A) algebraisch ist. Damit wird L = K(B) von über K(A) algebraischen Elementen erzeugt, und somit ist L K(A) algebraisch. Nach 4.Lemma 10.(b) ist A damit auch eine maximale, über K algebraisch unabhängige Teilmenge von L. Insbesondere ist tr K L = A B. (e) Ist B über F algebraisch unabhängig, so ist B trivialerweise auch über K algebraisch unabhängig. Nun sei B über K algebraisch unabhängig. Seien a 1,..., a n B paarweise verschieden. Es ist tr K K(a 1,..., a n ) = n denn a 1,..., a n sind über K algebraisch unabhängig und nach 4.Lemma 10.(b) sind sie auch eine in K(a 1,..., a n ) maximale, algebraisch unabhängige Menge. Nach (a,b,c) ist jetzt n = tr K K(a 1,..., a n ) tr K F (a 1,..., a n ) = tr K F + tr F F (a 1,..., a n ) = tr F F (a 1,..., a n ) n, also tr F F (a 1,..., a n ) = n und nach (d) sind a 1,..., a n über F algebraisch unabhängig. Damit ist auch B über F algebraisch unabhängig. Teil (d) besagt in anderen Worten, dass sich jedes Erzeugendensystem einer Körpererweiterung zu einer maximalen, algebraisch unabhängigen Menge ausdünnen läßt, dies ist eine gewisse Analogie zu der aus der linearen Algebra bekannten Tatsache, dass jedes Erzeugendensystem eines Vektorraums eine Basis enthält. Satz 5.10 (Klassifikation rein transzendenter Körpererweiterungen) Sei K ein Körper. (a) Ist L K eine rein transzendente Erweiterung mit Transzendenzbasis B, so gilt tr K L = B. (b) Zwei rein transzendente Erweiterungskörper L 1, L 2 K sind genau dann über K isomorph, wenn tr K L 1 = tr K L 2 gilt. 9-3

4 Beweis: (a) Klar da eine Transzendenzbasis auch eine maximale, algebraisch unabhängige Menge ist. (b) = Dies haben wir bereits oben festgehalten. = Für i = 1, 2 wähle eine Transzendenzbasis B i von L i über K. Nach (a) ist dann B 1 = tr K L 1 = tr K L 2 = B 2, d.h. es gibt eine bijektive Abbildung f : B 1 B 2. Weiter ist L i für i = 1, 2 nach 4.Lemma 9 über K zum rationalen Funktionenkörper K(B i ) isomorph, es reicht also K(B 1 ) K(B 2 ) über K zu zeigen. Dies ist aber klar nach 4.Lemma 8.(e). Uns interessieren der Transzendenzgrad und rein transzendente Körpererweiterungen hauptsächlich wegen ihrer Anwendung bei der Klassifikation algebraisch abgeschlossener Körper. Die Begriffe haben aber auch darüber hinausgehend vielfältige Anwendungen in der Theorie der Körpererweiterungen und in der algebraischen Geometrie. In den Übungen werden Sie einsehen, dass man mit diesen Begriffen die Erblichkeit endlich erzeugter Körpererweiterungen einsehen, d.h. das für jeden Zwischenkörper F einer endlich erzeugten Körpererweiterung L K auch F über K endlich erzeugt ist. Dies ist nur für algebraische Erweiterungen klar, da endlich erzeugt und endlicher Grad dann gleichwertig sind. Dies Aussage gilt auch für beliebige Körpererweiterungen, erfordert dann aber etwas mehr Arbeit. Wir wollen auch noch kurz die Bedeutung des Transzendenzgrades in der (algebraischen) Geometrie erwähnen. Da dies nicht unser Thema ist, wollen wir es hier weitgehend mit eher vagen Andeutungen bewenden lassen. Man betrachtet einen algebraisch abgeschlossenen Körper K, und eine sogenannte algebraische Varietät über K, das ist einfach eine durch polynomiale Gleichungen beschriebene Teilmenge X = {(z 1,..., z n ) K n f i (z 1,..., z n ) = 0 für i = 1,..., r} des K n. Dabei sind f 1,..., f r K[x 1,..., x n ] vorgegebene Polynome. Man könnte auch unendlich viele Polynome erlauben, aber eine Menge die sich durch eine beliebige Menge polynomialer Gleichungen beschreiben läßt, kann man auch durch endlich viele Gleichungen beschreiben. Auf X betrachtet man jetzt reguläre Funktionen, das sind hier einfach Einschränkungen von Polynomen. Diese bilden einen Ring O(X) := {p X : p K[x 1,..., x n ]} den Ring der rationalen Funktionen auf X. Ist X irreduzibel, läßt sich also nicht als Vereinigung kleinerer Stücke schreiben, so ist O(X) ein Integritätsbereich, und wir können den Quotientenkörper κ(x) von O(X) bilden, dies ist der sogenannte rationale Funktionenkörper auf X. Identifizieren wir K mit den konstanten Funktionen, so wird κ(x) ein Erweiterungskörper von X. Der Transdenzgrad ist dann tr K κ(x) = dim X die Dimension von X, von der wir hier nicht näher sagen wollen was sie ist, sondern uns auf die Anschauung verlassen. Tatsächlich ist dieser geometrische Zugang eine Methode die oft verwendet wird Transzendenzgrade auszurechnen. 9-4

5 Wir wollen einmal ein kleines Beispiel diskutieren. Wir betrachten die sogeannte Neilsche Parabel X := {(x, y) C 2 y 2 = x 3 }, deren reeller Teil rechts wiedergegeben ist. Der Ring O(X) wird über C erzeugt von den beiden Koordinatenprojektionen, die wir wieder x und y nennen O(X) = C[x, y] mit y 2 = x 3 in O(X). Dann bilden wir den Quotientenkörper κ(x) = C(x, y), und nach unserer obigen Anmerkung sollte dieser Transzendenzgrad haben, es sollte also ein über C tran- x szendentes Element t in κ(x) gegen so, dass κ(x) über 1 C(t) algebraisch ist. Tatsächlich ist etwa x über C transzendent, den andernfalls gebe es ein Polynom p C[z] mit p(x) = 0, also p(x) = 0 für alle (x, y) X, und 2 insbesondere hätten die Punkte von X nur endlich viele x-koordinaten was nicht der Fall ist. Also ist x κ(x) transzendent über C und wegen y 2 = x 3 ist κ(x) eine quadratische Erweiterung von C(x). y Algebraisch abgeschlossene Körper Wir hatten in 4.Satz 11 gezeigt, dass jede Körperweiterung L K aus einer rein transzendenten Erweiterung F K gefolgt von einer algebraischen Erweiterung L F besteht. Der Isomorphietyp des rein transzendenten Teils ist dabei eindeutig durch L K, beziehungsweise sogar schon durch den Transzendenzgrad tr K L, festgelegt. Der algebraische Teil ist dagegen etwas willkürlich, in 4 hatten wir ja zum Beispiel gesehen, dass die einfach transzendente Erweiterung K(t) eines Körpers K für jedes n N eine algebraische Erweiterung des Zwischenkörpers F = K(x n ) mit [K(t) : F ] = n ist. Es gibt aber einen Fall, in dem auch die algebraische Erweiterung L F eindeutig ist. Ist nämlich L algebraisch abgeschlossen, so ist L ein algebraisch abgeschlossener, algebraischer Erweiterungskörper von F, also der algebraische Abschluss von F. Satz 6.1 (Klassifikation der algebraisch abgeschlossenen Erweiterungskörper) Seien K ein Körper und L 1, L 2 K algebraisch abgeschlossene Erweiterungskörper von K. Dann sind L 1 und L 2 genau dann über K isomorph wenn tr K L 1 = tr K L 2 gilt. Umgekehrt gibt es für jede Kardinalzahl κ einen algebraisch abgeschlosenen Erweiterungskörper L von K mit tr K L = κ. Beweis: Wir beginnen mit der Isomorphieaussage, und hier ist nur noch die Implikation von rechts nach links zu zeigen, nehme also tr K L 1 = tr K L 2 an. Für i = 1, 2 wähle 9-5

6 einen Zwischenkörper F i von L i K so, dass F i über K rein transzendent ist und L i F i algebraisch ist. Da eine Transzendenzbasis von F i über K dann eine maximale, algebraisch unabhängige Teilmenge von F i und L i ist, ist tr K L i = tr K F i. Wegen tr K L 1 = tr K L 2 sind F 1 und F 2 damit nach 5.Satz 10.(b) über K isomorph, es gibt also einen Isomorphismus ψ : F 1 F 2 mit ψ K = id K. Nach [Stellmacher, Satz 3.17] setzt sich ψ zu einem Isomorphismus ψ : L 1 L 2 der algebraischen Abschlüsse mit ψ F 1 = ψ fort. Insbesondere ist ψ K = id K, und L 1, L 2 sind über K isomorph. Nun sei umgekehrt eine Kardinalzahl κ gegeben. Nach 4.Lemma 8.(b) ist der rationale Funktionenkörper K(κ) dann eine rein transzendente Erweiterung von K mit Transzendenzbasis κ, also auch tr K K(κ) = κ = κ nach 5.Satz 10.(a). Sei L der algebraische Abschluß von K(κ). Dann ist L ein algebraisch abgeschlossener Erweiterungskörper von K und nach 5.Lemma 9.(a,c) ist tr K L = tr K K(κ) + tr K(κ) L = tr K K(κ) = κ. Nehmen wir hier wir für K einen Primkörper, so ergibt sich die Klassifikation der algebraisch abgeschlossenen Körper. Hierfür benötigen wir nur noch eine kleine Bezeichnung. Definition 6.1: Sei K ein Körper. Der Transzendenzgrad tr K von K ist dann der Transzendenzgrad tr K := tr P K von K über seinem Primkörper P. Korollar 6.2 (Klassifikation der algebraisch abgeschlossenen Körper) Zwei algebraisch abgeschlossene Körper K 1 und K 2 sind genau dann isomorph wenn char K 1 = char K 2 und tr K 1 = tr K 2 gelten. Sind umgekehrt p eine Charakteristik, also p = 0 oder p ist eine Primzahl, und κ eine Kardinalzahl, so existiert ein algebraisch abgeschlossener Körper K mit char K = p und tr K = κ. Beweis: Dies ist im wesentlichen ein Spezialfall von Satz 1, wir wollen das Argument aber noch einmal durchgehen. Zunächst seien K 1, K 2 zwei algebraisch abgeschlossene Körper. Sind K 1 und K 2 isomorph, so ist insbesondere char K 1 = char K 2 und K 1 haben denselben Primkörper P. Da K 1, K 2 über P isomorph sind (Primkörper haben ja nur den identischen Automorphismus), ist nach Satz 1 auch tr K 1 = tr P K 1 = tr P K 2 = tr K 2. Ist umgekehrt char K 1 = char K 2 und tr K 1 = tr K 2, so haben K 1, K 2 wieder denselben Primkörper P und wegen tr P K 1 = tr K 1 = tr K 2 = tr P K 2 sind K 1 und K 2 nach Satz 1 isomorph. Dies beweist die Isomorphieaussage und wir kommen zum Existenzteil. Sei P der Primkörper mit char P = p. Nach Satz 1 existiert ein algebraisch abgeschlossener Erweiterungskörper K von P mit tr P K = κ, also auch char K = p und tr K = tr P K = κ. Damit kennen wir in gewissen Sinne alle algebraisch abgeschlossenen Körper. Wir können sie uns einfach aufgelistet als A p,κ denken, wobei p die Charakteristik und κ 9-6

7 der Transzendenzgrad sind. Konkret ist A p,κ = P (κ) wenn P der Primkörper in Charakteristik p und der algebraische Abschluß sind. Zum Beispiel ist A p,0 für eine Primzahl p der algebraisch Abschluß von Z p, also Dagegegen ist A p,0 = GF(p ). A 0,0 = A der Körper der algebraischen Zahlen, also der algebraische Abschluß von Q, etwa als Teilkörper von C. Der Körper A p,1 = Z p (t) ist der algebraische Abschluß der einfachen transzendenten Erweiterung von Z p, und so weiter. Aber wo taucht nun etwa C in dieser Liste auf? Die Charakteristik ist 0, also C = A 0,? und wir müssen tr C = tr Q C bestimmen. Dies wird sich als überraschend einfach herausstellen. Mühsam ist die Bestimmung des Transzendenzgrades eigentlich nur im endlichen Fall, für unendlichen Transzendenzgrad gibt es dagegen keine großem Probleme. Um uns dies klarzumachen, benötigen wir einige Mächtigkeitsformeln für die Größe von Körpern, und wir beginnen mit dem folgenden grundlegenden Lemma. Lemma 6.3: Sei M eine unendliche Menge und bezeichne P e (M) die Menge der endlichen Teilmengen von M. Dann sind P e (M) und M gleichmächtig. Beweis: Für jedes n N 0 sei P n := {E M : E = n} P e (M). Dann ist M gleichmächtig zu P 1 = {{x} x M} und insbesondere ist P e (M) M. Weiter ist P 0 = 1 M. Ist n N, so ist die Abbildung f : M n := {x M n x 1,..., x n paarweise verschieden} P n ; x {x 1,..., x n } surjektiv, und somit gilt P n M n M n = M durch iterierte Anwendung von 5.Satz 6. Wegen P e (M) = n N 0 P n liefert 5.Korollar 7 auch P e (M) max{ M, N 0 } = M. Damit ist P e (M) = M und M und P e (M) sind gleichmächtig. 9-7