9.3 Normale und separable Erweiterungen

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1 9.3. NORMALE UND SEPARABLE ERWEITERUNGEN Normale und separable Erweiterungen Wir betrachten jetzt noch algebraische Erweiterungen der folgenden Form: Definition (normale Erweiterung) Algebraische Erweiterungen L : K, in denen jedes irreduzible f K[x], das eine Wurzel in L hat, in Linearfaktoren zerfällt, nennen wir normale Erweiterungen Satz Eine endliche Körpererweiterung L : K ist genau dann normal, wenn L Zerfällungskörper eines Polynoms f K[x] ist. Beweis: i) : Ist L : K eine endliche normale Erweiterung, {λ 0,..., λ n 1 } eine K- Basis von L, dann zerfällt weil L : K als normal angenommen wird jedes f i := f K,λi in Linearfaktoren, also auch deren Produkt f := i f i. L ist demnach Zerfällungskörper von f, denn L ist ja durch Adjunktion der Wurzeln von f entstanden und die minimale Erweiterung von K, über der f zerfällt. ii) : Sei jetzt umgekehrt L ein Zerfällungskörper von f K[x] und g K[x] irreduzibel, λ L eine Wurzel von g : G(λ) = 0. Ist jetzt µ eine weitere Wurzel von g, dann gibt es nach einen Isomorphismus ϕ: K(λ) K(µ), mit ϕ K = id und ϕ(λ) = µ. L = L(λ) ist Zerfällungskörper von f über K, also auch über K(λ), und L(µ) ist Zerfällungskörper von f über K(µ). Nach gibt es eine Fortsetzung Φ: L = L(λ) L(µ) von ϕ mit Φ K = id. Diese Fortsetzung ist ein K-Isomorphismus von L auf L(µ). Zum Nachweis der Gleichheit von L und L(µ) genügt deshalb ein Vergleich der Dimensionen, denn diese sind ja endlich: [L : K] = dim K (L) = dim K (L(µ)) = [L(µ) : K]. Dabei folgt die mittlere Gleichung aus der Tatsache, daß Φ ein K-Isomorphismus ist. L enthält also nicht nur λ sondern auch µ und (Induktion) damit alle Wurzeln von g Folgerung Sei L : K eine endliche Körpererweiterung, dann gilt L läßt sich zu normalem M : K erweitern. Ist L : K normal, dann auch L : M, für jeden Zwischenkörper M Definition (separable Polynome) Wir nennen f K[x] separabel, wenn jeder irreduzible Faktor von f nur einfache Wurzeln hat. Nach gilt also Folgerung Ein irreduzibles f ist genau dann separabel, wenn f 0.

2 346 Bei char(k) = 0 ist jedes f K[x] separabel Definition (vollkommene Körper) Körper, über denen jedes Polynom separabel ist, heißen vollkommen Satz Körper der Charakteristik 0 sind vollkommen. Ist dagegen char(k) = p 0, dann ist K genau dann vollkommen, wenn der Frobeniushomomorphismus κ κ p surjektiv ist. Beweis: Die Aussage über die Separabilität von Körpern der Charakteristik 0 steht bereits oben. Sei deshalb char(k) = p 0. a) Es sei zunächst der Frobeniushomomorphismus surjektiv und f ein irreduzibles Polynom mit mehrfachen Wurzeln. Nach gibt es g = i b ix i mit f = g(x p ) = i b ix ip. Wegen der Surjektivität des Frobeniushomomorphismus gibt es a i mit a p i = b i. Das ergibt f(x) = g(x p ) = i b i x ip = i a p i xip = ( i a i x i ) p, im Widerspruch zur Irreduzibilität von f. b) Ist dagegen κ κ p nicht surjektiv, dann gibt es a K, so daß f = x p a keine Wurzel in K hat. Sei g jetzt ein normierter irreduzibler Teilerr von f = gh, λ L eine Wurzel von f. Es gilt f = gh = x p a = (x λ) p. Weil L[x] ein Gaußbereich ist, folgt g = (x λ) l, und weil λ K gilt l 2, g hat also mehrfache Wurzeln Satz Endliche Körper sind vollkommen. Beweis: Der Frobeniushomomorphismus ist von der Nullabbildung verschieden, und Körper besitzen keine nicht trivialen Ideale, der Frobeniushomomorphismus ist demnach auf jedem Körper injektiv. Eine injektive Abbildung einer endlichen Menge auf sich selbst ist aber auch surjektiv Beispiel Der Körper K(x) der rationalen Funktionen über einem Körper K der Charakteristik p > 0 ist nicht vollkommen, denn der Frobeniushomomorphismus ist dort nicht surjektiv: ( ) p f(x) x = g(x) ergäbe xg(x) p = f(x) p. Mit f = a i x i und g = i b ix i erhielten wir daraus b p i xip+1 = a p i xip, i anhand eines Koeffizientenvergleichs also den Widerspruch a i = b i = 0.

3 9.3. NORMALE UND SEPARABLE ERWEITERUNGEN Definition (separable Elemente und Erweiterungen) Ein Element λ L : K heißt separabel über K, wenn λ Wurzel eines separablen Polynoms f K[x] ist. L : K heißt separable Erweiterung, wenn jedes λ L über K separabel ist Beispiele i) i C ist separabel über R : f = x = (x i)(x + i). ii) Ist char(k) = p > 0, κ keine p-te Wurzel, dann ist x p κ kein separables Polynom Folgerung Jede separable Erweiterung ist algebraisch. Jede algebraische Erweiterung eines vollkommenen Körpers ist separabel. Algebraische Erweiterungen von Körpern der Charakteristik 0 und von endlichen Körpern sind separabel Satz Ist L : K eine algebraische Erweiterung, dann sind die folgenden Bedingungen für λ L äquivalent: i) λ ist separabel, ii) f K,λ ist separabel, iii) λ ist einfache Wurzel von f K,λ, iv) f K,λ 0. Beweis: i) ii): Ist λ L separabel, dann gibt es separable g K[x], die λ als Wurzel haben. Dafür gilt G(λ) = 0, f K,λ ist also ein Teiler von g und damit ebenfalls separabel. ii) iii): Separable Polynome haben ausschließlich einfache Wurzeln. iii) iv): In einer geeigneten Erweiterung M von L gilt f K,λ = (x λ)g, mit einem geeigneten Polynom g 0. In diesem Erweiterungskörper gilt für die formale Ableitung f K,λ = (x λ)g + g, und damit F K,λ (λ) = G(λ) 0 (letzteres, weil λ einfache Wurzel des Minimalpolynoms ist). iv) i): folgt aus

4 Satz Jede endliche, normale und separable Erweiterung L : K ist Zerfällungskörper eines separablen f K[x]. Beweis: Weil L : K normal vorausgesetzt wird, ist L Zerfällungskörper eines f K[x], das, wegen der Separabilität von L : K, über L in Linearfaktoren zerfällt. Sei g ein normierter irreduzibler Faktor von f. L enthält alle Wurzeln von g, dieses Polynom ist also das Minimalpolynom seiner Wurzeln und separabel, also ist auch f separabel Der Satz vom primitiven Element L : K sei eine Körpererweiterung, λ ein separables Element, µ ein algebraisches Element von L. Es gibt dann Elemente ν L mit K(λ, µ) = K(ν). Solche ν L heißen primitive Elemente. Beweis: Wir unterscheiden zwei Fälle, je nachdem ob K endlich ist oder nicht. Der Beweis ist konstruktiv. i) Ist K endlich, dann ist die multiplikative Gruppe K(λ, µ) zyklisch, jedes erzeugende Element ν dieser multiplikativen Gruppe erfüllt natürlich die Behauptung. ii) Sei jetzt K unendlich. λ = λ 1,..., λ r seien die Wurzeln des Minimalpolynoms von λ, µ = µ 1,..., µ s die Wurzeln des Minimalpolynoms von µ. Ist λ K, dann ist natürlich K(λ, µ) = K(µ), die Behauptung gilt also. Ist dagegen λ K, dann ist r 2. Wir können deshalb zu jedem κ K die folgende Menge betrachten: W (κ) := {λ i κ + µ j 2 i r, 1 j s}. Weil K als unendlich vorausgesetzt ist, gibt es y K mit { } µj µ y λ λ i 2 i r, 1 j s. Zu einem solchen y sei ν := λy + µ. Wir wollen zeigen, daß K(ν) = K(λ, µ) gilt. Dazu bemerken wir zunächst, daß ν W (y), denn andernfalls wäre y(λ λ i ) = µ j µ, für geeignete i und j. Die Inklusion K(ν) K(λ, µ) ist trivial, es bleibt die Umkehrung zu zeigen. Sei h ggt (f K,λ, f K,µ (ν yx)) K(ν)[x]. Das Polynom x λ teilt sowohl f K,λ als auch f K,µ (ν yx), denn F K,µ (ν yλ) = F K,µ (µ) = 0. Dagegen sind die λ i, i 2, keine Wurzeln von f K,µ (ν yx), denn ν yλ i = µ j ergäbe ν W (y). λ ist also die einzige Wurzel von h, weshalb h = (x λ) m gelten muß, wegen der Separabilität von f K,λ, einem Vielfachen von h, sogar h = x λ. Da diese Polynom in K(ν)[x] liegt, folgt λ K(ν) und daraus auch µ = ν λy K(ν), was K(λ, µ) K(ν) impliziert und den Beweis vervollständigt.

5 9.3. NORMALE UND SEPARABLE ERWEITERUNGEN Folgerungen Sind λ 1,..., λ r separabel und ist µ algebraisch, dann ist K(λ 1,..., λ r, µ) eine einfache Erweiterung. Jede endliche Erweiterung eines vollkommenen Körpers ist einfach. Jede endliche Erweiterung eines Körpers der Charakteristik 0 ist einfach. Jede endliche Erweiterung eines endlichen Körpers ist einfach. Endliche Erweiterungen von Q heißen algebraische Zahlkörper Folgerung Algebraische Zahlkörper sind genau die einfachen Erweiterungen von Q Beispiel Betrachten wir Q(λ, µ) := Q( 3 2, 2). Wir haben f Q,λ = x 3 2, f Q,µ = x 2 2. Ist ζ eine primitive dritte Einheitswurzel, dann gilt und Weiterhin gilt { } µj µ λ λ i 2 i 3, 1 j 2 = λ = λ 1 = 3 2, λ 2 = ζ 3 2, λ 3 = ζ 2 3 2, µ = µ 1 = 2, µ 2 = 2. { 0, (ζ 1), } 2(ζ 2 1) 1. Entsprechend obigem Beweis erhalten wir daraus als primitives Element ν = λ + µ =