Seminar Galoistheorie

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1 Seminar Galoistheorie Prof. M. Brodmann Konstruktion mit Zirkel und Lineal Judith Keller und Vesna Nikolic 20.Mai Einleitung Im letzen Teil des Seminars zur Galoistheorie geht es um die Lösbarkeit klassischer geometrischer Probleme. Darunter befindet sich zum Beispiel die sprichwörtlich gewordene Quadratur des Kreises oder die Konstruktion regelmässiger n-ecke. Als erstes muss definiert werden, was man unter geometrischer Konstruktion versteht, damit wir die Lösungen resp. Lösbarkeit der Probleme formalisieren können. Wir brauchen also ein paar Spielregeln für das Konstruieren, bevor wir mit algebraischen Mitteln analysieren, welche Punkte wir mit Hilfe dieser Regeln konstruieren können und welche eben nicht. Wir werden uns bei der Definition dieser Spielregeln streng an die klassischen Vorgaben halten. Sie wurden von Euklid im Buch Die Elemente dargelegt und erlauben ausschliesslich die Verwendung von Zirkel und Lineal und diese Werkzeuge ausschliesslich zu folgendem Zweck: Das Ziehen einer Geraden durch zwei gegebene, voneinander verschiedene Punkte. Das Ziehen eines Kreises, der einen gegebenen Punkt als Mittelpunkt hat und durch einen beliebig gegebenen anderen Punkt verläuft Das Übertragen bzw. Abschlagen einer Strecke auf einer Geraden oder einer Kreislinie von einem gegebenen Punkt. Es wird sich herausstellen, dass die Menge der konstruierbaren Punkte einen Körper bildet. 2 Konstruktion mit Zirkel und Lineal Wenn wir von Konstruktion mit Zirkel und Lineal sprechen, so meinen wir das Zeichnen ohne weitere Hilfsmittel. Natürlich wären andere Definitionen möglich. Eine allfällige Änderung kann aber die Menge der konstruierbaren Punkte beeinflussen. Ausgehend von einer Teilmenge von gegebenen Punkten M R 2 in der Zeichenebene R 2 suchen wir diese Menge durch formal festgelegte Strategien zu vergrössern. Wir werden drei elementare Konstruktionschritte erklären um dies zu tun, aber zuerst müssen wir noch ein paar Notationen einführen. 1

2 Bemerkung 2.1 (Notationen). (1) Seien p, q M mit p q. Dann bezeichnen wir mit p q die den beiden Punkten gemeinsame Gerade. (2) Sei p M und ρ R +. Der Kreis mit Mittelpunkt p und Radius ρ wird mit K(p, ρ) bezeichnet. 2.1 Elementare Konstruktonsschritte Gegeben seien zwei Mengen M, M R 2 Wir sagen, M werde von M aus durch einen elementaren Konstruktionsschritt erreicht, genau dann, wenn für jedes p M eine der folgenden Aussagen gilt: Typ 0 p M Typ I Es gibt Punkte p 1, p 2, q 1, q 2 M mit p 1 q 1, p 2 q 2 und p 1 q 1 p 2 q 2 so, dass p der Schnittpunkt der Geraden p 1 q 1 und p 2 q 2 ist. Typ II Es gibt Punkte p 0, p 1, p 2, q 1, q 2 M mit p 1 q 1, p 2 q 2 so, dass p einer der Schnittpunkte der Gerade p 1 q 1 und des Kreises K(p 0 ; p 2 q 2 ) ist. Typ III Es gibt Punkte p 0, p 1, p 2, q 0, q 1, q 2 M mit p 1 q 1, p 2 q 2 und p 0 q 0 so dass p einer der Schnittpunkte der Kreise K(p 0 ; p 1 p 2 ) und K(q 0 ; q 1 q 2 ) ist. Ein Punkt p R 2 gehört genau dann zu der Menge Kon(M), wenn es ein n N und eine Kette M := M 0 M 1... M n R 2 mit p M n gibt, wobei jedes M i von M i 1 aus durch einen elementaren Konstruktionsschritt erreicht wird. Wir nennen die Menge Kon(M) R 2 die zu einer beliebigen Menge M R 2 gehörende Menge der durch Zirkel und Lineal konstruierbaren Punkte. 3 Der Körper der konstruierbaren Punkte Wir identifizieren die Zeichenebene R 2 mit der Gauss schen Zahlenebene C. Definition 3.1. Sei M C. Die zu M konjugierte Menge ist M := {z C z M} Satz 3.2. Sei M C eine Teilmenge, die 0 und 1 enthält. Dann gilt: (1) Kon(M) C ist Unterkörper. (2) Q(M M) Kon(M) ist Unterkörper und es gilt: Kon(M) = Kon(M). (3) Ist b C und b 2 Kon(M), so ist auch b Kon(M) Beweis. Zum Beweis der Abgeschlossenheit unter den Körperoperationen geben wir geometrische Konstruktionen für die Operationen an: Zu a, b Kon(M) sind auch a + b und b in Kon(M). Wir sehen die Konstruktion in Abbildung 1 und 2. Sind a, b Kon(M), mit a = r e iφ und b = s e iψ. Dann ist a b = rs e i(φ+ψ) 2

3 Abbildung 1: a+b Abbildung 2: -b Dies ist konstruierbar. Die Addition von Winkeln konstruieren wir durch das Abtragen der Kreisbogen auf einem Kreis mit fixem Radius. Weil 1 M können wir mit dem Strahlensatz in der Form: s : sr = 1 : s auch rs konstruieren. Die Konstruktion ist in Abbildung 3 dargestellt. Abbildung 3: Der Strahlensatz r sr = 1 s ermöglicht die Konstruktion von a b 3

4 Auch das multiplikative Inverse ist durch eine analoge Konstruktion erreichbar, wie in Abbildung 4 gezeigt. b) Wir müssen zeigen, dass Q(M M) Kon(M), konkret also, dass auch die Abbildung 4: c 1 konjugierten Elemente in Kon(M) sein müssen. Die Konstruktion - eigentlich eine blosse Spiegelung an der realen Achse - ist in Abbildung 5 dargestellt. Sie wir konstruiert durch das Ziehen von drei Kreisen mit einem Radis r der grösser sein muss als der Abstand von a zur realen Achse, so das durch den ersten Kreis zwei Schnittpunkte entstehen, welche als Mittelpunkte für die beiden anderen dienen. Zum Nachweis von c) müssen wir zu jedem a = r e iφ Kon(M) die Qua- Abbildung 5: a dratwurzeln a = r e i φ 2 konstruieren. Dazu brauchen wir den Thalessatz um ein Rechtwinkliges Dreieck mit der Hypothenuse 1, r zu konstruieren. Um den Mittelpunkt des Thaleskreises über einer Strecke zu konstruieren tragen 4

5 wir einen Kreisbogen mit festem Radius, welcher sicher länger als die Hälfte der Strecke ist, an beiden Endpunkten ab und die Schnittpunkte dieser Kreise geben uns ober- und unterhalb der Strecke je einen Punkt, durch welche die Mittelsenkrechte geht. Dann brauchen wir den Höhensatz in der Form h 2 = r, dabei ist h die Länge des Lotes auf die realen Achse durch Null (welches wir genau wie oben beschrieben konstruieren können) bis zum Thaleskreis. Eine Demonstration findet sich in Abbildung 6. Abbildung 6: a 4 Struktur von Kon(M) Bis jetzt haben wir gezeigt, dass Kon(M) ein Zwischenkörper Q(M M) Kon(M) C ist. Nun interessiert uns aber die Struktur dieser Körpererweiterungen. Um sie genauer zu analysieren, befassen wir uns mit dem einfachsten Fall in dem M = {0, 1}. Die entscheidende Frage ist die nach dem Grad von Kon(0, 1) Q. Bemerkung 4.1. Es gilt: [Kon(0, 1) : Q] = Beweis. Für alle n N befindet sich die 2 n+1 te Einheitswurzel ω n := exp( πi 2 n ) Kon(M), da 1 Kon(M) und durch iteratives Winkelhalbieren, dies machen wir indem wir den Kreisbogen halbieren, erhalten wir die gewünschten Punkte. Das Minimalpolynom von ω n über Q ist x 2n + 1 für n N Andererseits wissen wir, dass für jeden Konstruktionsschritt höchstens zwei neue Punkte zu Kon(M) hinzukommen können. Dies kann auch als Körpererweiterung von Q(M M) durch Adjunktion von Quadratwurzel gesehen werden, wenn wir die konstruierten Punkte als die Lösung einer linearen oder einer quadratischen Gleichung sehen. 5

6 Abbildung 7: Konstruktion der 2 n+1 -ten Einheitswurzel Lemma 4.2. Sei L C ein Unterkörper mit L = L und i L. Sind z, z C durch einen elementaren Konstruktionsschritt aus L erreichbar, so gibt es ein w R derart, dass w 2 L und z, z L(w). Insbesondere gilt: L(w) = L(w) und [L(w) : L] 2 Beweis. Wir müssen eine Fallunterscheidung für die vier Typen der Konstruktion machen. Zuerst bemerken wir aber, dass mit p L auch re(p) = 1 2 (p+p) L und im(p) = 1 2i (p p) L sind. Typ 0 z L. Also gilt nach voraussetzung L = L und [L : L] = 1 Typ I Schnittpunkt z C zweier Geraden g 1 = (p 1 q 1 ), g 2 = (p 2 q 2 ) C mit p 1, p 2, q 1, q 2 L. Dann gibt es λ, µ R, so dass z = p 1 + λ(q 1 p 1 ) = p 2 + µ(q 2 p 2 ) Das Aufteilen dieser Bedingung an λ und µ in Real- und Imaginärteil gibt uns ein inhomogenes lineares Gleichungssystem. Wenn wir dieses auflösen erhalten wir: re(z) = re(p 1 ) + λ(re(q 1 ) re(p 1 )) L R und im(z) = im(p 1 ) + λ(im(q 1 ) im(p 1 )) L R somit ist z L und L(z) = L, das heisst: [L(z) : L] = 1 Typ II Schnittpunkte z, z (p 1 q 1 ) K(p; p 2 q 2 ) mit p, p 1, p 2, q 1, q 2 L so ist auch ρ 2 := p 2 q 2 2 L R. Seien a, a 1 und c 1 die Realteile von p, p 1 und q 1, b, b 1 und d 1 die Imaginärteile. So erhalten wir als Parameterdarstellung von (p 1 q 1 ) p 1 + λ(q 1 p 1 ) für ein λ R eine quadratische Gleichung: (a 1 + λ(c 1 a 1 ) a) 2 + (b 1 + λ(d 1 b 1 ) b) 2 = ρ 2 Wenn wir dies weiter ausmultiplizieren haben wir eine Gleichung von der Form αλ 2 + βλ + γ = 0 R[λ] mit α 0 und α, β, γ L die Nullstellen λ 1,2 = β 2α ± 1 2α β2 4αγ existieren nach Voraussetzung in R und deshalb ist β 2 4αγ 0. Wir setzen w := β 2 4αγ R und es gilt w 2 L und z, z L(w). 6

7 Typ III Sind z, z die Schnittpunkte zweier Kreise mit unterschiedlichen Mittelpunkten und dargestellt durch die Gleichungen: (x a 1 ) 2 + (y b 1 ) 2 = ρ 2 1 (x a 2 ) 2 + (y b 2 ) 2 = ρ 2 2 mit a i, b i, ρ 2 i L R, so erhalten wir durch Subtraktion eine lineare Gleichung (a 1 a 2 )x + (b 1 b 2 )y = c mit allen Koeffizienten in L R. Durch sie haben wir eine Gerade G die durch die Schnittpunkte der Kreise geht. Die gesuchten Schnittpunkte sind die Schnittpunkte der Geraden mit einem der Kreise. Somit sind wir in der selben Situation wie bei Typ zwei. Satz 4.3. Sei M C Mit 0, 1 M, und sei z C. Dann ist äquivalent: (i) z Kon(M). (ii) Es existiert eine Kette von Zwischenkörpern Q(M M) = L 0 L 1... L n C mit z L n und [L i : L i 1 ] 2 für i = 1,..., n. (iii) z ist enthalten in einer Galoiserweiterung L von Q(M M), deren Grad eine Potenz von 2 ist. Beweis. (i) (ii) Ist z Kon(M) gegeben, so konstruieren wir die Körperkette durch wiederholte Anwendung von obigem Lemma: Wir haben: Q(M M) Kon(M) und wir setzen Q(M M) =: L 0 und L 0 (i) =: L 1. Dann ist L 0 = L 0, L 1 = L 1 und [L 1 : L 0 ] 2 Nun haben wir für jeden elementaren Konstruktionsschritt eine Körpererweiterung L i L i 1 mit [L i : L i 1 ] 2. Sobald wir einen Körper L r, r N konstruiert haben mit z L r, so setzen wir: r = n und die gesuchte Kette ist fertig. 7

8 (ii) (i) Angenommen, wir haben eine Körperkette, wie oben beschrieben. Die Fälle für die gilt: [L i : L i 1 ] = 1 sind trivial, da dann gilt L i = L i 1. Falls gilt [L i : L i 1 ] = 2, dann ist L i = L i 1 (z), wobei z C Nullstelle eines irreduziblen Polynoms f zweiten Grades in L i 1 [X] ist. Sei also f = X 2 +px +q. Dann kann L i über L i 1 auch von p 2 4q C erzeugt werden; und dies ist konstruierbar. (ii) (iii) Wir haben die Körperkette Q(M M) = L 0 L 1... L n C. Wir zeigen via Induktion über n, dass es eine Galois-Erweiterung L L 0 gibt, mit L n L und [L : L 0 ] ist eine Potenz von 2: n=1 Wir haben eine Erweiterung L 1 L 0 vom Grad 2 nach Voraussetzung, welche von einem Element α L 1 \ L 0 erzeugt wird. Das Minimalpolynom ist x 2 + bx + c für a, b L 0 Deshalb ist die andere Nullstelle dieses Polynoms α = α b L 1 und somit ist L 1 Galois. n-1 n Wir haben also für L n 1 eine Galois-Erweiterung L von L 0, welche L n 1 enthält und wir wissen, [L : L 0 ] ist eine Potenz von 2. Des weiteren ist L n = L n 1 (α) für ein α L n \ L n 1. Sei nun N eine Galois-Erweiterung von L 0, der L (α) enthält. Diese existiert nach dem Korollar zum Theorem zur Charakterisierung der Galois- Erweiterungen. Sei nun H := Aut(N/L 0 ) die Automorphismengruppe dieser Erweiterung. Diese ist endlich, da die Erweiterung endlich ist. Also haben wir: H = {1, h 1,... h m } für ein m N. Behauptung: L := L (α, h 1 (α),..., h m (α)) ist Galois-Erweiterung von L 0 deren Grad eine Potenz von 2 ist (und L n ist in L enthalten, aber dies sehen wir direkt aus der Konstruktion). Um zu sehen, dass L = L (α, h 1 (α),..., h m (α)) L 0 Galois ist, zeigen wir, dass h(l) = L, h H: Wir wissen schon, dass gilt h(l ) = L, h H. Wenden wir also ein h H auf L an: h(l) = h(l (α, h 1 (α),..., h m (α))) = L (h(α), h(h 1 (α)),..., h(h m (α))) = L (α, h 1 (α),..., h m (α)), da gilt hh k = h k für ein k, k {0,... m}. Zum Berechnen des Gardes der Erweiterung machen wir ein Induktion über k {0,... m} und benutzen die Gradformel für Körpererweiterungen: Für k = 0 betrachten wir L (α), wobei α das Element ist, welches L n erzeugt und also die Gleichung x 2 + bx + c für b, c L n 1 L erfüllt. Somit ist der Grad von L (α) über L kleiner oder gleich 2 und es gilt [L (α) : L 0 ] = [L (α) : L ][L : L : 0], dies ist eine Potenz von 2. Für k k + 1 betrachten wir die Erweiterung L (α, h 1 (α),..., h k (α)) L (α, h 1 (α),..., h k+1 (α)). 8

9 Sie hat den Grad kleiner gleich 2, falls h k+1 (α) Lösung der Gleichung x 2 +dx+e = 0 für d, e L (α, h 1 (α),..., h k (α)) ist. Weil α 2 +aα+b = 0, erhalten wir, wenn wir h k+1 darauf anwenden: h k+1 (α) 2 + h k+1 (a)h k+1 (α) + h k+1 (b) = 0. Des weiteren liegen h k+1 (a), h k+1 (b) L weil L Galois ist. Also können wir d = h k+1 (a) und e = h k+1 (b) setzen. Nun gilt wieder: [L (α 1,..., h k+1 (α)) : L 0 ] = [L (α 1,..., h k+1 (α)) : L (α 1,..., h k (α))][l (α 1,..., h k (α)) : L 0 ] Wenn wir die Induktionshypothese anwenden, sehen wir, dass dies eine Potenz von 2 ist. (iii) (ii) Sei L eine Galois Erweiterung von Q(M M), in der z enthalten ist. Dann ist die Galois Gruppe Gal(L/Q(M M) eine 2-Gruppe und daher auflösbar. (Erinnerung an Algebra: Es sei p eine Primzahl. Dann ist jede endliche p-gruppe - also jede Gruppe der Ordnung p n mit n N - auflösbar. Folglich besizt Gal(L/Q(M M)) eine Normalreihe, deren Faktoren von der Ordnung 2 sind. Zu einer solchen Reihe korrespondiert nach dem Hauptsatz der Galoistheorie eine Körperkette, die die Bedingung in (ii) erfüllt. Korollar 4.4. Sei M C mit 0, 1 M, und sei z Kon(M).Setzt man L := Q(M M), so gilt: insbesondere ist z algebraisch über L. [L(z) : L] ist eine Potenz von 2; Heute haben wir gesehen, dass die Menge der konstruierbaren Punkte eine algebraische Körpererweiterung von unendlichem Grad ist. Durch das letzte Korollar haben wir eine stark notwendige Bedingung für die Konstruierbarkeit mit Zirkel und Lineal. Nächste Woche werden wir sehen, dass wir hieraus mit einer kleinen Änderung auch eine hinreichende Bedingung erhalten. 4.1 Literaturverzeichnis 1 G. Fischer, Lehrbuch der Algebra, Vieweg Verlag (2008) 2 S.Bosch, Algebra, Springer Verlag (2003) 3 H.-H. Storrer, Algebra Skript VL Uni Zürich () 4 Die Illustrationen wurden mit dem Programm Z.u.L erstellt. Es ist gratis, hat viele Konstruktionsmöglichkeiten und einige Applets zu interessanten Konstruktionen. Es kann auf http : //mathsrv.ku eichstaett.de/m GF/homes/grothmann/zirkel/doc de/index.html heruntergeladen werden. 9