Origamics Gefaltete Mathematik

Transkript

1 Hans-Wolfgang Henn Origamics Gefaltete Mathematik Braunschweig,

2 Winter sche Grunderfahrungen Heinrich Winter (1995): (GE 1) Erscheinungen der Welt um uns, die uns alle angehen oder angehen sollten, aus Natur, Gesellschaft und Kultur, in einer spezifischen Art wahrzunehmen und zu verstehen, (GE 2) mathematische Gegenstände und Sachverhalte, repräsentiert in Sprache, Symbolen, Bildern und Formeln, als geistige Schöpfungen, als eine deduktiv geordnete Welt eigener Art kennen zu lernen und zu begreifen, (GE 3) in der Auseinandersetzung mit Aufgaben Problemlösefähigkeiten (heuristische Fähigkeiten), die über die Mathematik hinaus gehen, zu erwerben.

3 GE 3

4 GE 1

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6 Schwerpunkt in diesem Vortrag: GE 2 Origami in der Mathematik Konstruierbare und faltbare Zahlen Die klassischen unlösbaren Probleme

7 Konstruierbare Zahlen Mit Zirkel und Lineal kann man quadratische Gleichungen lösen (Satzgruppe des Pythagoras)

8 Konstruierbare Zahlen Mit Zirkel und Lineal kann man quadratische Gleichungen lösen (Satzgruppe des Pythagoras) Höhensatz 2 a 1 h, also h a Mit einer Zahl a kann man auch ihre Quadratwurzel konstruieren

9 Damit kann man mit Zirkel und Lineal alle rationale Zahlen und alle irrationale Zahlen, die durch sukzessives Quadratwurzelziehen aus rationalen Zahlen entstehen, konstruieren. Beispiele: Konstruierbare Zahlen ( ) 11 5

10 Konstruierbare Zahlen Dies sind alle Zahlen aus algebraischen Körpererweiterungen K von Q mit (K:Q) = 2 n und K K K... K K n Von Schritt i zu Schritt i+1 kommen die Nullstellen einer quadratischen Gleichung mit Koeffizienten aus K i hinzu.

11 Faltbare Zahlen Nur wenn wir mehr Zahlen falten als mit Zirkel und Lineal konstruieren können, haben wir etwas gewonnen!! Wir vergleichen Falten mit den ZuL-Konstruktionen. Dabei entsprechen Geraden den Faltlinien und Punkte den Schnitten von Faltlinien.

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13 Die folgende Faltoperation hat aber kein Äquivalent bei den Konstruktionen mit Zirkel und Lineal. Damit können wir, wie wir sehen werden, weitere irrationale Zahlen konstruieren und die klassischen Probleme der alten Griechen durch Falten lösen!

14 Genauer kann man alle Zahlen falten, die in einer algebraischen Körpererweiterung K von Q liegen mit (K: Q) = 2 n 3 m und der entsprechenden Zwischenkörperkette vom Relativgrad 2 bzw. 3.

15 Die klassischen unlösbare Probleme Das Deli sche Problem der Würfelverdoppelung Die Dreiteilung des Winkels Die Konstruktion der regelmäßigen n-ecke: Unlösbar für n = 7

16 Das Deli sche Problem der Würfelverdoppelung 3 2

17 Das Deli sche Problem der Würfelverdoppelung 3 2 Ausgangswürfel: Kantenlänge 1 Gesuchter Würfel hat Volumen 2, also gilt für seine Kantenlänge z 3 = 2. Damit müssten wir eine dritte Wurzel z = konstruieren, was unmöglich ist. 3 2 Das Delische Problem ist also mit ZuL nicht lösbar!

18 Berühmter Hilfssatz: Der Satz von Haga: Dritteln einer Strecke durch Papierfalten

19 Berühmter Hilfssatz: Der Satz von Haga: Dritteln einer Strecke durch Papierfalten Und wie kann man eine Strecke in n gleiche Teile falten?

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21 Lösung des Deli schen Problems mit Origami

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23 Die Winkeldrittelung

24 Die Winkeldrittelung Pierre Laurent Wantzel ( ):

25 Die Winkeldrittelung Pierre Laurent Wantzel ( ):

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28 Die Konstruktion von regelmäßigen n-ecken

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31 Euklid v. Chr. Konstruktion des regelmäßigen 3-, 4-, 5-, 6-Eck und davon abgeleitete n-ecke gescheitert am 7-Eck

32 farbige Euklid-Ausgabe von Oliver Byrne London 1847

33 Casanova Liebhaber der Frauen und der Mathematik!

34 Carl Friedrich Gauß ( ) Disquisitiones Arithmeticae 1801 Theorie der Kreisteilungskörper

35 regelmäßiges n-eck im Einheitskreis o 360 n

36 regelmäßiges n-eck im Einheitskreis o 360 n n-te Einheitswurzel n = cos( ) + i sin( ) (Q( n ):Q)? n ist Nullstelle des Polynoms x n 1. Für 2 < n = p = Primzahl ist p x 1 p 1 p 2 f (x) x x... x 1 x 1 das Minimalpolynom von p

37 regelmäßiges n-eck im Einheitskreis o 360 n n-te Einheitswurzel n = cos( ) + i sin( ) (Q( n ):Q)? n ist Nullstelle des Polynoms x n 1. Für 2 < n = p = Primzahl ist p x 1 p 1 p 2 f (x) x x... x 1 x 1 f hat den Grad p - 1 das Minimalpolynom von p

38 Aus dem Ergebnis über konstruierbare Zahlen und der Tatsache, dass der Kreisteilungskörper galois sch über Q ist, folgt: p 1 muss Zweierpotenz sein, also m 2 p 2 1 Fermat 'sche Pr imzahl

39 Aus dem Ergebnis über konstruierbare Zahlen und der Tatsache, dass der Kreisteilungskörper galois sch über Q ist, folgt: p 1 muss Zweierpotenz sein, also m 2 p 2 1 Fermat 'sche Pr imzahl Fermat-Primzahlen 3, 5, 17, 257, Eck ist das erste nicht mit Z&L konstruierbare n-eck.

40 Aus dem Ergebnis über konstruierbare Zahlen und der Tatsache, dass der Kreisteilungskörper galois sch über Q ist, folgt: p 1 muss Zweierpotenz sein, also m 2 p 2 1 Fermat 'sche Pr imzahl Fermat-Primzahlen 3, 5, 17, 257, Eck ist das erste nicht mit Z&L konstruierbare n-eck. 17-Eck: C. F. Gauß Intelligenzblatt der allgemeinen Literaturzeitung (Leipzig)

41 Gauß-Denkmal in Braunschweig

42 Aus dem Ergebnis über konstruierbare Zahlen und der Tatsache, dass der Kreisteilungskörper galois sch über Q ist, folgt: p 1 muss Zweierpotenz sein, also m 2 p 2 1 Fermat 'sche Pr imzahl Fermat-Primzahlen 3, 5, 17, 257, Eck ist das erste nicht mit Z&L konstruierbare n-eck. 17-Eck: C. F. Gauß Intelligenzblatt der allgemeinen Literaturzeitung (Leipzig) 257-Eck: F. J. Richelot Eck: J. G. Hermes 1889

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44 Das 7-Eck war das erste nicht mit Z&L konstruierbare n- Eck; sein Minimalpolynom hat den Grad 6. Faltbar sind Zahlen aus Erweiterungskörpern von K mit (K: Q) = 2 n 3 m Wegen 6 = 2 3 ist das 7-Eck faltbar! Allerdings ist die Faltung etwas komplizierter:

45 Gleichseitiges Dreieck

46 Falten eines Quadrats

47 Der Fünfteck-Knoten

48 Der Fünfteck-Knoten

49 Eine exakte Faltkonstruktion des regelmäßigen Siebenecks

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55 Schlusswort Es gibt noch viel zu falten viel Spaß dabei!