Origamics Gefaltete Mathematik

Transkript

1 Hans-Wolfgang Henn Origamics Gefaltete Mathematik Karlsruhe,

2 Origami als kreatives Spiel

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6 Origami in der Technik Origami- Faltkunst für Tragwerke Modell

7 Landesmuseum für Technik Mannheim

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9 Türfüllungen Modellversuch dazu

10 Gefaltete Landkarten

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12 Airbag

13 Sonnensegel

14 Heutiger Schwerpunkt: Origamics: Origami and Mathematics Die klassischen unlösbaren Probleme

15 Heutiger Schwerpunkt: Origamics: Origami and Mathematics Die klassischen unlösbaren Probleme Falten und normale geometrische Konstruktionen

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21 Die folgende Faltoperation hat aber kein Äquivalent bei den Konstruktionen mit Zirkel und Lineal. Damit können wir die klassischen Probleme der alten Griechen durch Falten lösen!

22 Konstruierbare Zahlen Mit Zirkel und Lineal kann man quadratische Gleichungen lösen (Satzgruppe des Pythagoras) Höhensatz 2 a 1 h, also h a Mit einer Zahl a kann man auch ihre Quadratwurzel konstruieren

23 Die klassischen unlösbaren Probleme Die Konstruktion der regelmäßigen n-ecke: Unlösbar schon für n = 7 Das Deli sche Problem der Würfelverdoppelung Die Dreiteilung des Winkels

24 Die Konstruktion von regelmäßigen n-ecken

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26 Euklid v. Chr. Konstruktion des regelmäßigen 3-, 4-, 5-, 6-Eck und davon abgeleitete n-ecke gescheitert am 7-Eck

27 Casanova Liebhaber der Frauen und der Mathematik!

28 Carl Friedrich Gauß ( ) Disquisitiones Arithmeticae 1801 Theorie der Kreisteilungskörper

29 Ergebnis von Gauß: Es reicht, wenn man weiß, für welche Primzahlen p die zugehörigen p-ecke konstruierbar ist.

30 Ergebnis von Gauß: Es reicht, wenn man weiß, für welche Primzahlen p die zugehörigen p-ecke konstruierbar ist. Das p-eck ist genau dann konstruierbar, wenn p 1 eine spezielle Zweierpotenz ist, nämlich von der Form m 2 p 2 1 Fermat 'sche Pr imzahl

31 Ergebnis von Gauß: Es reicht, wenn man weiß, für welche Primzahlen p die zugehörigen p-ecke konstruierbar ist. Das p-eck ist genau dann konstruierbar, wenn p 1 eine spezielle Zweierpotenz ist, nämlich von der Form m 2 p 2 1 Fermat 'sche Pr imzahl Bis heute kennt man nur die Fermat-Primzahlen 3, 5, 17, 257,

32 Ergebnis von Gauß: Es reicht, wenn man weiß, für welche Primzahlen p die zugehörigen p-ecke konstruierbar ist. Das p-eck ist genau dann konstruierbar, wenn p 1 eine spezielle Zweierpotenz ist, nämlich von der Form m 2 p 2 1 Fermat 'sche Pr imzahl Bis heute kennt man nur die Fermat-Primzahlen 3, 5, 17, 257, Konstruierbar, aber wie???

33 Ergebnis von Gauß: Es reicht, wenn man weiß, für welche Primzahlen p die zugehörigen p-ecke konstruierbar ist. Das p-eck ist genau dann konstruierbar, wenn p 1 eine spezielle Zweierpotenz ist, nämlich von der Form m 2 p 2 1 Fermat 'sche Pr imzahl Bis heute kennt man nur die Fermat-Primzahlen 3, 5, 17, 257, Konstruierbar, aber wie??? 7-Eck ist damit das erste nicht mit Z&L konstruierbare n-eck.

34 Ergebnis von Gauß: Es reicht, wenn man weiß, für welche Primzahlen p die zugehörigen p-ecke konstruierbar ist. Das p-eck ist genau dann konstruierbar, wenn p 1 eine spezielle Zweierpotenz ist, nämlich von der Form m 2 p 2 1 Fermat 'sche Pr imzahl Bis heute kennt man nur die Fermat-Primzahlen 3, 5, 17, 257, Konstruierbar, aber wie??? 7-Eck ist damit das erste nicht mit Z&L konstruierbare n-eck. Das 7-Eck lässt sich falten, was aber etwas kompliziert ist.

35 17-Eck: C. F. Gauß Intelligenzblatt der allgemeinen Literaturzeitung (Leipzig)

36 17-Eck: C. F. Gauß Intelligenzblatt der allgemeinen Literaturzeitung (Leipzig) Gauß-Denkmal in Braunschweig

37 257-Eck: F. J. Richelot 1830 Moderne GeoGebra-Konstruktion

38 Eck: J. G. Hermes 1889

39 Gleichseitiges Dreieck

40 Falten eines Quadrats

41 Falten eines Quadrats

42 Der Fünfeck-Knoten

43 Der Fünfeck-Knoten

44 Der Fünfeck-Knoten

45 Das Deli sche Problem der Würfelverdoppelung 3 2

46 Das Deli sche Problem der Würfelverdoppelung 3 2 Ausgangswürfel: Kantenlänge 1 Gesuchter Würfel hat Volumen 2, also gilt für seine Kantenlänge z 3 = 2. Damit müssten wir eine dritte Wurzel z = konstruieren, was unmöglich ist. 3 2 Das Deli sche Problem ist also mit ZuL nicht lösbar!

47 Berühmter Hilfssatz: Der Satz von Haga: Dritteln einer Strecke durch Papierfalten

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49 Lösung des Deli schen Problems mit Origami

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51 Die Winkeldrittelung

52 Die Winkeldrittelung Pierre Laurent Wantzel ( ):

53 Die Winkeldrittelung Pierre Laurent Wantzel ( ):

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56 Es gibt noch viel zu falten viel Spaß dabei!