Arbeitskreis Anwendungsorientierter Mathematikunterricht. Nicht anwendungsorientierter Mathematikunterricht" - Was ist das?

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1 Gymnasium Neureut Dienstag, Arbeitskreis Anwendungsorientierter Mathematikunterricht Vortrag zu Nicht anwendungsorientierter Mathematikunterricht" - Was ist das? 1 2 = = 0, ist z. B. Nenner rational machen nicht anwendungsorientiert? R. Reimer, Seminar Karlsruhe

2 Eigentliches Thema: Unterrichtseinheit Argumentieren lernen mit Geometrie Rechtfertigung über eine Internet-Recherche: Gibt es nichtanwendungsoriente Mathematik? 2 / 11

3 Euklid war kein nichtanwendungsorientierter Mathematiker: Ein systematisierender Sammler des Wissens seiner Zeit. Der axiomatische Ansatz der Elemente (Euklid, 300 v. Chr.) ist der Versuch einer Idealisierung natürlicher Anschauung. - Es wird definiert, was die Elemente sind: z. B. Ein Punkt ist das was keine Teile hat. - Was anschaulich klar ist, wird nicht bewiesen : Z. B. wird der folgende Satz verwendet, für den es in den Elementen keinen Beweis gibt: Zwei Kreise mit Radien r 1 >= r 2, deren Mittelpunkte einen Abstand mit r 1 r 2 < d < r 1 + r 2 haben, schneiden sich. - Algebra dient zur Beschreibung geometrischer Sachverhalte : z. B. wird die binomische Formel aus der nebenstehenden Figur abgeleitet, d. h. über geometrische Anschauung bewiesen. 3 / 11

4 Archimedes war anwendungsorientierter Mathematiker Zitat aus dem Internet: (Quelle: Als der Philosoph und Mathematiker Archimedes den römischen Soldaten mit den Worten: Störe meine Kreise nicht anfährt, erschlägt dieser ungebildete, grobe Klotz das Genie und beraubt die Menschheit seiner Erkenntnisse, die noch gefolgt wären. Das Traurige daran ist, ohne kluge Köpfe wie Archimedes hätte der römische Soldat (heute wäre er wahrscheinlich Türsteher an einer Disko oder Zuhälter; ein tierisch starker Typ halt) kein Schwert und vermutlich noch nicht einmal Kleidung an... Für Archimedes ist Mathematik ein Werkzeug für Anwendungen und auch die Anwendungsorientierung der Werke von Newton, Leibniz, Gauß u. a. Mathematikern bis ins 19 Jh. steht nicht in Frage. 4 / 11

5 Echte Konzepte reiner Mathematik scheitern (vor allem im Mathematikunterricht): Die Mengenlehre Cantors verwendet den universalen Begriff Objekte der Anschauung und des Denkens für Elemente von Mengen und Hilbert verzichtet 1899 in seiner Theorie axiomatischer Ansätze auf die Bedeutung der Dinge, über die gesprochen wird: Elemente definieren sich über die Axiome. Beispiel: Axiome der Verknüpfung (Inzidenz) definieren implizit den Begriff liegen I.1. Zwei voneinander verschiedene Punkte P und Q bestimmen stets eine Gerade g. I.2. Irgend zwei voneinander verschiedene Punkte einer Geraden bestimmen diese Gerade. I.3. Auf einer Geraden gibt es stets wenigstens zwei Punkte, in einer Ebene gibt es stets wenigstens drei nicht auf einer Geraden gelegene Punkte. I.4. Drei nicht auf ein und derselben Geraden liegende Punkte P, Q, R bestimmen stets eine Ebene. I.5. Irgend drei Punkte einer Ebene, die nicht auf ein und derselben Geraden liegen, bestimmen diese Ebene. I.6. Wenn zwei Punkte P und Q einer Geraden g in einer Ebene α liegen, so liegt jeder Punkt von g in α. I.7. Wenn zwei Ebenen α und ß einen Punkt P gemeinsam haben, so haben sie wenigstens noch einen weiteren Punkt Q gemeinsam. I.8. Es gibt wenigstens vier nicht in einer Ebene gelegene Punkte. Schüler, die anschauliche Geometrie als einziges Modell kennen, verstehen nicht, warum Hilbert etwas aufschreibt was augenscheinlich klar ist. 5 / 11

6 Autoren: Rolf Reimer, Sonny Timm, Lars Unangst, Tester: Hanspeter Eichhorn, Maren Irschik, Julia Knötschke, Sonny Timm Das Projekt Argumentieren lernen mit Geometrie in Klasse 7 Wir wollen, dass Kreise nicht tödlich enden! 6 / 11

7 Motivation Eine Straße fällt auf es gibt Strecken im Alltag 7 / 11

8 Programm: Bei geometrischen Sachverhalten soll Messen durch Denken ersetzt werden. Grundlage für das Argumentieren: Symmetrie von Elementarfiguren sehen und nutzen. Ausgangssituation: Wir fälschen Kandinskys Komposition Nr. 6. Dabei wollen wir möglichst wenig messen. 8 / 11

9 Argumentationsbasis: Erstellen von Wissens- und Strategiekarten. 9 / 11

10 Beispiel: Wechsel- und Stufenwinkelkarte Gegeben: Zwei parallele Geraden, die von einer dritten geschnitten werden Punktsymmetrie Wechsel- und Stufenwinkel g h g h Argumente: Wenn in der Figur oben eine der folgenden Eigenschaften gilt: 1. Zwei Wechselwinkel sind gleich weit. (Ein Wechselwinkelpaar ist gleich weit.) Es gibt 4 Wechselwinkelpaare und 4 Stufenwinkelpaare die jeweils gleich weit sind. 2. Zwei Stufenwinkel sind gleich weit. (Ein Stufenwinkelpaar ist gleich weit.) Dann habe ich die links abgebildete Figur mit all ihren Eigenschaften, dann sind g und h parallel. 10 / 11

11 Inhaltliche Übersicht Projektbeschreibung Phase 1 Phase 2 Phase 3 Phase 4 Phase 5 Phase 6 Phase 7 Motivation: Denken ersetzt Messen Basis für das Argumentieren vereinbaren: Symmetrie bei Elementarfiguren Argumentations- und Strategiekarten erstellen: Wir fälschen Kandinskys Komposition Nr. 6 mit geometrischer Argumentation. Logik einer Zeichnung: Konstruieren ist argumentieren mit Zirkel und Lineal Gegebene Punkte (bzw. Ausgangsfigur) und mit der Ortslinieneigenschaft des Kreises abgeleitete Figur(en). Angeleitetes Begründen: Winkelsummensatz im Dreieck Hochzeit von Dreieck und Geradenkreuzung Rückschau und Zusammenfasssung: Was haben wir bisher erreicht? Wie sind wir vorgegangen? Mit welchem Wissen arbeiten wir? Eigene Begründungen: Satz des Thales, Inkreis und Umkreis Hochzeit von Kreis und Dreieck Anwendungen, Übungen - Konstruktionen des rechten Winkels - Tangenten von Punkten an Kreise - Variationen bei Figuren, Variationen der Eigenschaften Bemerkung Abgrenzung zum Stoff der Klasse 8. Keine - Kongruenz als Argumentationsbasis, - Winkel im Kreis, - Systematik des Definierens und Ordnens. 11 / 11