3. Die Existenz des Pentagons.

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1 3. Die Existenz des Pentagons. In dieser Vorlesung werden wir sehen wie die Griechen bewiesen haben, dass es das Pentagon wirklich gibt. Dieser Beweis ist schon recht anspruchsvoll. So anspruchsvoll, dass den Griechen hier Zweifel an den geometrischen Tricks gekommen sein mögen, die man hier angewendet hat. Es kann eigentlich nicht darum gehen - so werden sie bald gedacht haben - nach immer cleveren geometrischen Tricks zu suchen, wenn die geometrischen Grundlagen auf denen diese Tricks beruhen nicht geklärt sind. Was also an dieser Stelle gebraucht wird ist nicht, wie bisher, eine Anwedung von solchen mehr oder weniger schwierigen geometri-

2 3 Pythagoräische Geometrie 21 schen Tricks, sondern vielmehr eine systematische, theoretisch einwandfreie Grundlegung der Geometrie, die von einigen, wenigen geometrischen Sätzen ausgeht, die so selbstevident sein sollten, dass man für sie keinen Beweis braucht und daraus alle geometrischen Grundsätze logisch einwandfrei entwickelt. Dies ist die Forderung nach einer axiomatischen Grundlegung der Geometrie, die hier erstmals in der Geschichte der Mathematik aufkommt. Mit dieser Forderung beschäftigen wir uns in der nächsten Vorlesung. Ihr Resultat ist die historisch erste axiomatische Theorie: die Euklidische Geometrie. Hier also die Konstruktion des Pentagons.

3 22. Geometrie (L2) Einige Winkel-Sätze im Kreis. Die Konstruktion des Pentagons wurde möglich nach einer Reihe von geometrischen Beobachtungen, die man an Figuren im Kreis gemacht hat. Um einen Eindruck zu geben woran die Griechen interessiert waren, beginnen wir zunächst mit drei Hilfssätze über Winkel im Kreis, die wir später brauchen werden: Behauptung. [Euklid, III 20] In der folgenden Figur ist BEC = 2 BAC. A E B F C Der Mittelpunktswinkel ist das Doppelte aller Umfangswinkel

4 3 Pythagoräische Geometrie 23 Wir haben AEB + BEF = 2R 2 BAE + AEB = BAE + ABE + BEA = 2R Also 2 BAE = BEF und ebenso 2 EAC = FEC. und so 2 BAC = BEC. Dies beweist die Behauptung. Behauptung. [Euklid, III, 21] Umfangswinkel über derselben Sehne sind gleich. D C A B Alle Umfangswinkel sind gleich

5 24. Geometrie (L2) Die Umfangswinkel ADB und ACB) sind beide halb so groß wie der Mittelpunktswinkel über derselben Sehne AB. Damit sind die Umfangswinkel gleich, d.h. ADB = ACB. Damit ist die Beh. bewiesen. Behauptung. [Euklid, III 22] Für jedes Viereck im Kreis ist die Summe von gegenüberliegenden Winkel = 2R = 2 Rechte. B C A D Winkelsummen gegenüberliegender Winkel sind gleich zwei Rechte Wir haben CAB + ABC + BCA = 2R

6 3 Pythagoräische Geometrie 25 Weiter gilt (nach obiger Beh.) CAB = BDC BCA = ADB weil dies jeweils zwei Winkel über derselben Sehne sind, und somit ADC = ADB + BDC = BCA + CAB ADC + ABC = BCA + CAB + ABC Dies war zu zeigen. = 2R

7 26. Geometrie (L2) Konstruktion des Pentagons. Es stellt sich heraus, dass die gefragte Konstruktion des Fünfecks äquivalent ist zur Konstruktion eines gewissen Basisdreiecks, d.h. zur Konstruktion eines gleichschenkligen Dreiecks (A, B, C) dessen Basiswinkel an den Ecken A, B beide doppelt so groß sind wie der Winkel an der Spitze C: Das Basisdreieck für das Fünfeck Aus dem Basisdreieck lässt sich aber nun sofort das Fünfeck mit Zirkel und Lineal konstruieren [Euklid, IV 11]:

8 3 Pythagoräische Geometrie 27 A B E C D Konstruktion des Fünfecks Die Strecken BD und CE seien Winkelhalbierende. Dann sind die Winkel CAD, ACE, ECD, CDB, BDA alle gleich und somit auch alle Seiten des Fünfecks (denn im Kreis sind die Sehnen gegenüber gleichen Winkeln gleich [Euklid, III, 29]. Damit ist das Pentagon aus dem Basisdreieck konstruiert. Konstruktion des Basisdreiecks. Man ziehe zunächst den Kreis mit Radius AB. Sei C der Punkt auf AB mit AB BC = AC 2 (siehe oben) und sei BD die Sehne mit BD = AC.

9 28. Geometrie (L2) A C B D Konstruktion des Basisdreiecks ist ein Basis- Behauptung. Das Dreieck ABD dreieck. Beweis. [Euklid, IV 10] Wir müssen zeigen, dass ABD = ADB = 2 BAD. Wir beweisen diese Behauptung unter der folgenden Winkel-Annahme BDC = DAC. Der Beweis dieser Winkel-Annahme ist ziemlich technisch und wird gleich nachgeholt (er benutzt die Bedingung AB BC = AC 2 ). Aus der Winkel-Annahme

10 3 Pythagoräische Geometrie 29 folgt: BDC + CDA = DAC + CDA BDA = CDA + DAC BDA = 2R ACD BDA = BCD CBD = BCD DBA = BCD Also CD = BD = AC und so CDA = DAC CDA + DAC = 2 DAC BCD = 2 DAC BDA = 2 DAC und DBA = 2 DAC. Damit ist mit ABD das gesuchte Basisdreieck konstruiert.

11 30. Geometrie (L2) Nachtrag. Beweis der Winkel-Annahme. Wir müssen jetzt noch den Beweis der Winkel-Annahme BDC = DAC nachtragen, von der wir im obigen Beweis ausgegangen sind. Der Beweis der Winkel-Annahme benutzt einen Trick. Der Trick besteht darin, die Winkel-Annahme als einen Satz über Winkel im Kreis zu formulieren, aber in einem Kreis der verschieden ist von dem bisher benutzten. Zum Beweis konstruieren wir also einen neuen Kreis und zwar den Kreis durch die drei Punkte A, C, D (wie konstruiert man dies mit Zirkel und Lineal? Übung)

12 3 Pythagoräische Geometrie 31 A C B D Zum Beweis der Winkel-Annahme Die entscheidende Eigenschaft, die uns weiterbringt, ist die folgende Beh. BD ist Tangente zum Kreis ACD. Beweis der Beh. Wir haben AB BC = AC 2 = BD 2 Damit ist die Behauptung auf den Beweis des folgenden allgemeinen Tangenten Kriteriums reduziert.

13 32. Geometrie (L2) D B C F A E Das Tangenten Kriterium Beh. BA BC = BD 2 Kreis. BD ist tangential zum Beweis. : Der Beweis dieser Richtung ist etwas länglich und wir führen wir ihn hier nicht durch. Er ist Inhalt von [Euklid III, 36]. : [Euklid III, 37] Wir ziehen, als Hilfslinien, die Tangente von B nach E. Dann ist BEF = R (= 90 o )

14 3 Pythagoräische Geometrie 33 Wir haben weiter (siehe obige Richtung) BA BC = BE 2 Also ist und so BE 2 = BD 2 BE = BD Aber es ist auch FE = FD. Somit sind die Seiten der Dreiecke BFE und BFD und so auch die Dreiecke selbst BFE = BFD Also sind auch die Winkel gleich. Insbesondere die Winkel BEF = BDF Aber BDF = R. Somit auch BEF = R und BD muss tangential sein.

15 34. Geometrie (L2) Nach dem oben Bewiesenen, wissen wir das in der Ausgangsfigur (links) die Strecke BD tangential ist. Wir sollen zeigen, dass BDC = DAC (links) und so CBF = BDC (rechts). A C B D A D C E B F Ausgangsfigur Tangentenwinkel Somit ist nun die Winkel-Annahme eine Aussage über Tangentenwinkel im Kreis, nämlich: Beh. CBF = BDC. Beweis. [Euklid II 32] Es genügt zu zeigen, dass DBE = DCB (wie eingezeichnet).

16 3 Pythagoräische Geometrie 35 Wir haben ADB = R, da es ein Winkel über dem Durchmesser als Sehne ist. Also BAD + ABD = R Aber auch ABF = R. Somit ABF = BAD + ABD Also DBF = ABF ABD Wir haben = BAD + ABD ABD = BAD DBF + DBE = 2R und BAD + BCD = 2R (ersteres ist trivial und letzteres folgt aus dem bereits bewiesenen Satz, dass die Summe der gegenüberliegenden Winkel im Kreisviereck (A, B, C, D) gleich 2R sind). Demnach DBF + DBE = 2R = BAD + BCD = DBF + BCD

17 36. Geometrie (L2) und so DBE = BCD und dies war zu zeigen. Damit ist alles bewiesen. Das Basisdreieck ist mit Zirkel und Lineal konstruierbar und somit auch das Pentagon. Literatur. Euklid, Die Elemente, Wiss. Buchgesellschaft (1962) O. Becker, Grundlagen der Mathematik - in gesch. Darstellung, Suhrkamp (1975) Sir T. Heath, A history of greek mathematics, I, II, Dover (1981)