Fragestellung: Auf wieviele Arten können n verschiedene Elemente in einer Reihe angeordnet werden?

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1 2 KOMBINATORIK Die Kombinatorik ist eine wichtige Grundlage für die Wahrscheinlichkeitsrechnung. Sie befasst sich mit Problemen der Anordnung oder Gruppierung von Elementen. Viele kombinatorische Überlegungen basieren auf dem allgemeinen Abzählprinzip. Illustration: VonAnachBführen3Strassen,vonBnachCderen2. AufwievieleArten kannmanvonanachcgelangen? A B C Antwort: 3 2=6Möglichkeiten. 2.1 Allgemeines Abzählprinzip KanneineersteHandlungaufn 1 Arten,einezweiteaufn 2 Arten,... einer-teaufn r Arten ausgeführt werden, dann ist die Anzahl der Möglichkeiten, die r Handlungen nacheinander auszuführen,gleichn 1 n 2... n r. Anwendung: 2.2 Permutationen Fragestellung: Auf wieviele Arten können n verschiedene Elemente in einer Reihe angeordnet werden? Beispiel: Elemente a, b, c Anordnungen: abc bac cab acb bca cba Für die erste Position bestehen 3 Möglichkeiten, für die zweite dann je 2, die dritte Position wird mit dem einen verbleibenden Element besetzt =6Anordnungen 174

2 allgemein: n verschiedene Elemente n Positionen.... n n - 1 n Anzahl Besetzungsmöglichkeiten: Nach dem Abzählprinzip gilt Satz 1: AnzahlPermutationen=P n =n (n 1) = Def. ("n-fakultät") Bemerkung: Wir wollen noch folgende Spezialfälle durch formale Definitionen festlegen. 1!=1 0!=1 Beispiele 1) Bei der Wahl der"miss World" nehmen die nationalen Schönheitsköniginnen aus 18 Ländern teil. Wieviele verschiedene Rangfolgen sind denkbar? P18=18!= ) 5 Briefe werden zufällig in 5 adressierte Umschläge gesteckt. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich alle Briefe im richtigen Umschlag befinden? Lösung: Die Wahrscheinlichkeit p eines Ereignisses x sei definiert als Quotient aus der Anzahl der günstigen Ereignisse G und der Anzahl aller möglichen Ereignisse M. P(x)= G M 175

3 x: alle Briefe im richtigen Umschlag. 1. Schritt: Anzahl günstiger Ereignisse bestimmen. Günstig bedeutet: Alle Briefe sind im richtigen Umschlag, also G=1 2. Schritt: Anzahl möglicher Ereignisse bestimmen. M=5!= Schritt: Wahrscheinlichkeit berechnen. P(x)= G M = Variationen Fragestellung: Wieviele Möglichkeiten gibt es, aus n verschiedenen Elementen jeweils k zu wählen, unter Berücksichtigung der Reihenfolge der Elemente? Beispiel: Elementea,b,c,d,e; k=3; n=5. Anordnungen von je 3: abc abd abe acb acd ace adb adc ade aeb aec aed bac bad bae bca bcd bce bda bdc bde bea bec bed cab cad cae cba cbd cbe cda cdb cde cea ceb ced dab dad dae dba dbc dbe dca dcb dce dea deb dec eab eac ead eba ebc ebd eca ecb ecd eda edb edc 5 4 3=60Möglichkeiten Man beachte: allgemein: n verschiedene Elemente k Positionen 5 4 3= = 5! 2! 176

4 Positionsnummer: k.... Möglichkeiten: n n-1 n-2 n-(k-1) Satz 2: AnzahlVariationenvonnElementenzujek("zurk-tenKlasse")=V n. k Vn k =n(n 1)(n 2)...(n (k 1))= (n k)! Beispiele 1) Wieviele 6-ziffrige Telephonnummern mit lauter verschiedenen Ziffern lassen sich mit denziffern1,2,3,4... 9bilden? V 6 9 = 9! (9 6)! = = Beachte: V n n =P n 2) Wieviele dreistellige Zahlen kann man mit den ungeraden Ziffern bilden, wenn jede Ziffer höchstens einmal auftritt? n=5, k=3 Variationen ohne Wiederholungen 2.4 Kombinationen Fragestellung: V k n = (n k)! V 3 5 = 5! 2! =60 Wieviele Möglichkeiten gibt es, aus n verschiedenen Elementen eine Gruppe vom Umfang k herauszuziehen(auf die Reihenfolge der Elemente innerhalb der Gruppe soll es dabei nicht ankommen)? 177

5 Beispiel: Elementa,b,c,d,e; k=3; n=5. Gruppen: (Kombinationen) abc acd ade bcd bde cde abd ace bce abe (10 Kombinationen) Wir hätten diese Zahl auch auf folgendem Umweg finden können: Vonden60VariationenimBeispiel desabschnittes 2.3gebenje3! = 6 Anlasszueinund derselben Kombination. z. B. } abd bad dab Kombination abd adb bda dba allgemein: Von den (n k)! Variationen von n verschiedenen Elementen zu je k geben jeweils k! Anlass zur selben Kombination (nämlich alle diejenigen, die nur Permutationen derselben Elemente darstellen). Folgerung: Satz 3: Die Anzahl Kombinationen von n Elementen zu je k wird nach folgender Formel berechnet: Cn= k k!(n k)! Schreibweise: FürCn k wirdeineabkürzungeingeführt: ( ) n k!(n k)! = k heisst Binomialkoeffizient und wird als"n tief k" gelesen. 178

6 Beachte: ( n 1) ( n 0) = = 1!(n 1)! =n 0!(n 0)! = 1 =1 Beispiele 1) Aus einem Spiel Jasskarten (36 Karten) werden 9 gezogen. Wieviele verschiedene Ergebnisse dieses Versuches sind denkbar? ( ) 36 = 36! = = ! 27! ) Eine Gruppe von 9 Personen erhält 5 Freikarten für ein Konzert. Auf wieviele Arten kann man die Karten verteilen? n=9,k=5 Kombinationen C k n = C 5 9 = k!(n k)! 9! 5! 4! =126 Zusammenfassung: Anordnungen aller Elemente: Permutationen. Anzahl: n verschiedene Elemente Anordnungen von je k Elementen:(k<n) Variationen. Anzahl: (n k)! Gruppierungen je k Elementen: (k<n) Kombinationen. Anzahl: ( n k) = k!(n k)! Insbesondere bei Anordnungsproblemen, aber gelegentlich auch bei Kombinationen, kann die Situation auftreten, dass Wiederholungen zugelassen sind. 179

7 2.5 Permutationen mit Wiederholungen Beispiel: Wieviele verschiedene Permutationen können mit den Buchstaben MISSISSIPPI gebildet werden? Man beachte: Von den 11! Permutationen der 11 Buchstaben unterscheiden sich je 4! nicht, welche nur auf Vertauschungen der verschiedenen Buchstaben S zurückzuführen sind;ebensosindje4!gleich,diedurchvertauschungderi zustandekommen,undje2 sind gleich, die durch Vertauschen der beiden P entstehen. Folgerung: Anzahl verschiedener Permutationen = 11! 4! 4! 2! = Allgemein: Satz 4: Die Anzahl Permutationen von n Elementen, wovon n 1 der 1. Art, n 2 der 2. Art,... n r derr-tenartsind,ist Beispiele P n;n1,n 2,...,n r = n 1!n 2!...n r! ; (n 1+n n r =n) 1) Wieviele Möglichkeiten gibt es, 4 rote, 3 blaue und 2 gelbe Perlen aneinanderzureihen? Permutationen: n = 9 n 1 =4 n 2 =3 n 3 =2 Lösung: P = 9! 4! 3! 2! =1260 2) Eine Gesellschaft von 10 Personen will eine Bootsfahrt unternehmen, wobei 3 Boote zur Verfügung stehen. Boot A fasst 3, Boot B 2 und Boot C 5 Personen. Wieviele Möglichkeiten gibt es, die Gesellschaft auf die Boote aufzuteilen? 180

8 Personen: einemöglicheaufteilung: A B B C C C A C A C Jede mögliche Aufteilung entspricht einer Permutation der Buchstaben AAABBCC- CCC. Lösung: 10! 3!2!5! =2520Möglichkeiten 2.6 Variationen mit Wiederholungen Fragestellung: Gegeben seien n verschiedene Elemente. Wieviele Möglichkeiten gibt es, k Elemente unter Berücksichtigung der Reihenfolge anzuordnen, wenn jedes Element beliebig oft, aber höchstens k mal, wiederholt werden darf? (Beachte: kkannauchgrösseralsnsein) Beispiel: Elementea,b;k=4,n=2 Variationen: aaaa 16 Variationen aaab aaba abaa baaa aabb abab abba baba bbaa baab abbb babb bbab bbba bbbb Allgemein: Jede der k Positionen kann mit jedem der n Elemente besetzt werden: Folgerung: Satz 5: DieAnzahlVariationenmitWiederholungenvonnElementenzujekistn k. 181

9 Beispiele 1) Wieviele 6-ziffrige Telephonnummern können mit den Zahlen 1, 2, 3,..., 9 gebildet werden? Lösung: 9 6 = ) Aus einer Urne, welche die Kugeln R, E, M enthält, wird viermal eine Kugel mit Zurücklegen gezogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit entsteht das Wort"MEER"? a) Günstige Ereignisse: 1 b) MöglicheEreignisse: n=3,k=4,v =3 4 =81 c) P = 1 81 = Kombinationen mit Wiederholungen Beispiel: 2 nicht unterscheidbare Kugeln sollen auf 4 Zellen verteilt werden. Wieviele Zuordnungen sind möglich, falls Doppelbelegungen zugelassen werden? Jeder Zuordnung entspricht genau eine Kombination mit Wiederholungen. Dies überlegt man sich wie folgt: Die Anzahl der möglichen Zuordnungen der 2 Kugeln auf die 4 Zellen ist offenbar gleich deranzahlderpermutationender5innerenelemente mitwiederholungen,also nachsatz4s

10 P 5;2,3 = 5! 2!3! = ( ) 5 =10 2 Allgemein: Auf wieviele Arten kann man aus n verschiedenen Elementen deren k herausgreifen, wenn Wiederholungen gestattet sind und die Reihenfolge innerhalb der Anordnung nicht relevant ist? Äquivalente Formulierung: k"kugeln" auf n"zellen" verteilen. n-1trennstriche, kkugeln AnzahlElemente: n+k 1 Anzahl Möglichkeiten = Anzahl Permutationen der n+k-1 Elemente, wovon je k bzw. n-1 gleich sind. Somit folgt nach Satz 4: Satz 6: Die Anzahl Kombinationen von n Elementen zur k-ten Klasse mit Wiederholungen beträgt (n+k 1)! k!(n 1)! ( ) n+k 1 = k Beispiele: 1) Ein Dominospiel umfasst jede mögliche Zweier-Kombination von genau ein Mal(Wiederholungen zugelassen). Wieviele Steine enthält ein Spiel? 183

11 Lösung: Den Augenzahlen 0,...,6 werden n = 7 Zellen zugeordnet. Nun geht es darum, herauszufinden auf wieviele Arten die beiden Hälften eines Dominosteines(k = 2) auf die n=7zellenverteiltwerdenkönnen. ( ) n+k 1 n=7, k=2, = k ( ) 8 = =28 2) IneinerUrnebefindensich4Kugeln,nummeriertvon1bis4. EineersteKugelwird gezogen, die Nummer notiert und die Kugel wieder zurückgelegt. Anschliessend wird eine zweite Kugel gezogen. Wieviele verschiedene Zweier-Stichproben sind möglich, wenn die Reihenfolge in der Zweiergruppe nicht relevant ist? Lösung: 11, 12, 13, 14 22, 23, 24 33, ( ) n+k 1 n=4,k=2, = k 2.8 Der binomische Lehrsatz 10 Fälle ( ) 5 =10 2 BestimmtmandurchAusmultiplizierendieKoeffizientenbeidenTermen(a+b) 0,(a+b) 1, (a+b) 2,(a+b) 3,...,soerhältmandasPascal schedreieck. k = 0 n = 0 1 k = 1 n = k = 2 n = k = 3 n = k = 4 n = k = 5 n =

12 Bildungsgesetz: Die Summe zweier benachbarter Zahlen ergibt die dazwischenstehende Zahl der nächsten Zeile. Behauptung In der n-ten Zeile und k-ten Diagonale steht gerade ( n k), d.h. derkoeffizientvona k b n k inderentwicklungvon(a+b) n ist Nachweis ( n k). Löstmanin(a+b) n =(a+b) (a+b) (a+b)...(a+b)dieklammerndurchausmultiplizieren auf, so enthalten die entstehenden Summanden aus jeder Klammer entweder einen Faktor aoderfaktorb. DieAnzahlSummandenmitkFaktorenaundsomit(n-k)Faktorenb (=Koeffizientvona k b n k )istgleichderanzahlkombinationenvonnelementenzuje ( n k, also. k) Folgerung: Satz 7: (a+b) n = n k=0 ( ) n a k b n k k Bemerkung: Binomischer Lehrsatz Das Bildungsgesetz im Pascal schen Dreieck kann nun wie folgt formuliert werden: ( ) ( ) ( ) n n n+1 + = k k+1 k+1 Fernergilt: ( ) ( ) n n = k n k Symmetrie Spezialfall: a=b=1:(1+1) n =2 n = ( ) n + 0 ( ) n + 1 ( ) n ( ) n n 185

13 Zusammenfassendes Lösungsschema ja Werden alle Elemente verwendet? nein Spielt die Reihenfolge eine Rolle? ja Spielt die Reihenfolge eine Rolle? ja nein Permutationen Variationen Kombinationen Sind Wiederholungen zugelassen? Sind Wiederholungen zugelassen? Sind Wiederholungen zugelassen? ja nein ja nein ja nein n! k n ( n k)! k+ n 1 k n k 186

14 Beispiele, Anwendungen 1) EineUrneenthält5weisseKugeln,diemitdenZahlen1bis5nummeriertsind,und6 rotekugeln,diemit1bis6beschriftetsind. 3 Kugeln werden gezogen und nebeneinandergelegt. a) Wieviele unterschiedliche Anordnungen bezüglich der Farbe sind denkbar? b) Wieviele Anordnungen sind denkbar, wenn Farbe und Zahl berücksichtigt werden? c) Wieviele unterschiedliche dreiziffrige Zahlen können so entstehen? Lösung: a)8 b)990 c) 195, nämlich 60 Zahlen ohne"6", ohne Wiederholung 60 Zahlen ohne"6", mit Wiederholung 60 Zahlen mit"6", ohne Wiederholung 15 Zahlen mit"6", mit Wiederholung 2) Ein Restaurant präsentiert folgende Speisekarte Entrée Suppe, Orangen- oder Grapefruitsaft Hauptgericht Rindsbraten, Poulet, Schnitzel Beilagen Reis, Nudeln, Spaghetti, Pommes frites Gemüse Bohnen, Tomaten, Karotten Dessert Glace, Apfelkuchen Wieviele verschiedene fünfgängige Menues lassen sich aus diesem Angebot zusammenstellen? Lösung: Anordnungen =

15 3) Wieviele Möglichkeiten gibt es, von 4 verschiedenen Feldern je eines mit den Farben rot,grün,gelboderblauzufärben? Lösung: =4!=24 4) Wieviele Möglichkeiten gibt es a) 8 verschiedenfarbige Perlen, b) 4 rote, 2 weisse und 2 grüne Perlen aneinanderzureihen? Lösung: a) Permutationen: b) Permutationen mit Wiederholungen: 420 5) An einem Wettkampf nehmen 10 Personen teil. Wieviele verschiedene Ranglisten sind theoretisch möglich? Lösung: Permutationen: ) EinGewichtssatzbestehtausdenGewichten10,20,50,100,500und1000g. Wieviele verschiedene Zusammenstellungen der Gewichte sind möglich? Lösung: 63 7) Die Blindenschrift nach Braille verwendet ein Schema mit folgenden 6 Positionen. Jede Position kann mit einer Ausbuchtung versehen werden. Wieviele verschiedene Zeichen sind möglich? Lösung: n=2 k=6 Variationen mit Wiederholungen V =n k =2 6 =64 188

16 8) Wieviele Personen befinden sich in einer Gesellschaft, wenn beim Anstossen 253 mal die Gläser klingen? Lösung: Kombinationen: 23 9) Eine Menge enthält 20 Elemente. Wieviele verschiedene Teilmengen mit 7 Elementen gibt es? Lösung: Kombinationen: ) Auf wieviele verschiedene Arten können 7 Kugeln auf 20 Schachteln aufgeteilt werden, wenn keine Schachtel mehr als eine Kugel enthalten kann? Lösung: Kombinationen: )Wieviele verschiedene 6-ziffrige Zahlen lassen sich mit den Ziffern 1, 1, 3, 3, 3, 7 schreiben? Lösung: Permutationen mit Wiederholungen: 60 12)DasMorsealphabetbestehtaus2Zeichen: " "und" ". Wieviele Worte können mit mindestens einem aber höchstens fünf Zeichen geschrieben werden? Lösung: 62 13) Wieviele unterschiedliche Anordnungen der Buchstaben des Wortes a) PFEFFER b) SANDSTRAND gibt es? Lösung: a)420 b)