Kombinatorik. Matthias Wirth Matthias Wirth Kombinatorik / 46

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1 Kombinatorik Matthias Wirth Matthias Wirth Kombinatorik / 46

2 Überblick Grundlagen Zahlenfolgen Fibonacci Catalan Euler Stirling Integer-Partitionen Anwendungsbeispiele jeweils zu den Themen Matthias Wirth Kombinatorik / 46

3 Was ist Kombinatorik In diesem Vortrag hauptsächlich abzählende Kombinatorik Bestimmung der Anzahl möglicher Auswahlen oder Anordnungen aus einer Menge von Objekten Mehrfachverwendung von Objekten: Wiederholung Anordnung: Beachtung der Reihenfolge Auswahl: ohne Beachtung der Reihenfolge Matthias Wirth Kombinatorik / 46

4 Permutationen ohne Wiederholung Problem: Zahl der möglichen Anordnungen einer Menge von n Objekten n Objekte auf n Plätze verteilen erstes Objekt n Möglichkeiten zweites Objekt n-1 Möglichkeiten usw. n! mögliche Anordnungen Matthias Wirth Kombinatorik / 46

5 Permutationen mit Wiederholung Wiederholung: Objekte können mehrfach in der Anordnung vorkommen Problem: Zahl der möglichen Anordnungen einer Menge von n Objekten von denen k identisch sind angenommen es gibt x=4 mögliche Anordnungen: 1,1,1,4; 1,1,4,1; 1,4,1,1; 4,1,1,1 zu jeder der x Anordnungen würde es bei Unterscheidbarkeit der identischen Objekte k! Permutationen geben also x k! = n! Es gibt somit x = n!/k! Permutationen (4 = 4!/3! = 24/6) Matthias Wirth Kombinatorik / 46

6 Definition: Variation Eine Variation ist eine Anordnung von k Objekten aus einer Menge von n Objekten mit k n Permutation ist Spezialfall mit k = n Wiederholung: Objekte können mehrfach auftreten Urnenmodell: ohne Wiederholung = ohne zurücklegen Urnenmodell: mit Wiederholung = mit zurücklegen Reihenfolge des Ziehens ist relevant Matthias Wirth Kombinatorik / 46

7 Variationen ohne Wiederholung Problem: k von n Objekten auf k Stellen anordnen n Möglichkeiten die erste Stelle zu belegen, n-1 die zweite Stelle zu belegen usw. n k + 1 Möglichkeiten die letzte Stelle zu belegen n! (n k)! Variationen Matthias Wirth Kombinatorik / 46

8 Variationen mit Wiederholung Problem: k von n Objekten auf k Stellen anordnen wobei Objekte beliebig oft vorkommen dürfen n Möglichkeiten die erste Stelle zu belegen, n die zweite Stelle zu belegen usw. n k Variationen Matthias Wirth Kombinatorik / 46

9 Definition: Kombination Eine Kombination ist eine Auswahl von k Objekten aus einer Menge von n Objekten mit k n Wiederholung: Objekte können mehrfach auftreten Urnenmodell: ohne Wiederholung = ohne zurücklegen Urnenmodell: mit Wiederholung = mit zurücklegen Reihenfolge des Ziehens spielt bei der Kombination keine Rolle Matthias Wirth Kombinatorik / 46

10 Kombinationen ohne Wiederholung Problem: k aus n Objekten auswählen ohne Objekte mehrfach zu verwenden (z.b. 6 aus 49) n! wie Variationen ((n k)!) wobei die Reihenfolge keine Rolle spielt, somit muss noch durch k! geteilt werden n! (n k)!k! = ( ) n k Matthias Wirth Kombinatorik / 46

11 Binomialkoeffizient ( n ) k = n! (n k)!k! gesprochen k aus n oder n über k long long binom ( int n, int k) { long long bin = 1; if (k > n-k) k = n-k; for ( int i = 1; i <= k; i ++) { bin *= n --; bin /= i; } return bin ; } Matthias Wirth Kombinatorik / 46

12 Pascal sches Dreieck ( n+1 ( k+1) = n ) ( k + n ) k+1 rekursive Berechnung der Binomialkoeffizienten durch Addition werden viele Binomialkoeffizienten benötigt lohnt diese rekursive Berechnung mit DP Matthias Wirth Kombinatorik / 46

13 Kombinationen mit Wiederholung Problem: k aus n Objekten auswählen mit der Option Objekte mehrfach zu verwenden Urne: Ziehen mit zurücklegen, Reihenfolge irrelevant Da die Reihenfolge irrelevant ist sortieren wir nach der Ziehung nach Objektart(z.B. Farbe) Darstellung des Ergebnisses mit / und * / trennt jeweils Farben (n-1 mal vorhanden) * ist jeweils ein gezogenes Objekt (k mal vorhanden) */**/* insgesamt n-1+k Zeichen von den n-1+k Zeichen werden k ausgewählt (Kombination ohne Wiederholung) ( n+k 1 k ) = (n+k 1)! (n 1)!k! Matthias Wirth Kombinatorik / 46

14 Beispielproblem TwoLotteryGames Wähle k verschiedene Zahlen von 1 bis n Die Lotterie wählt zufällig nach der gleichen Vorgabe Wie hoch ist die Gewinnchance? Alternative Formulierung: 1/(Anzahl an Möglichkeiten k verschiedene Zahlen aus einer Menge mit n Zahlen zu ziehen) ( n ) k Kombinationen Matthias Wirth Kombinatorik / 46

15 TwoLotteryGames v2 Yesterday, when you were passing by the newsstand near your home, you saw an advertisement for lottery games. The advertisement said Choose m different numbers between 1 and n, inclusive. We will also randomly pick m different numbers between 1 and n, inclusive, and if you have at least k numbers in common with us, you win! You want to know the probability of winning this lottery game. You are given three integers n, m, and k as described above. Return the probability of winning the game. Matthias Wirth Kombinatorik / 46

16 Fibonacci F 0 = 0 F 1 = 1 F n = F n 1 + F n 2 lim n F n+1 F n = ( ) n = ( ) Fn+1 F n F n F n 1 Berechnung mit Fast Exponentiation Matthias Wirth Kombinatorik / 46

17 Fibonaccispirale /numbers/images/fibonacci-spiral.gif Matthias Wirth Kombinatorik / 46

18 Stirling-Zahlen zweiter Art Definition S n,k ist die Anzahl der k-elementigen Partitionen einer n-elementigen Menge Matthias Wirth Kombinatorik / 46

19 Stirling-Zahlen zweiter Art Menge {a, b, c, d} mit n = 4 Elementen Zerlegung in k=2 nichtleere disjunkte Teilmengen {{a, b}, {c, d}}, {{a, c}}, {b, d}, {{a, d}, {b, c}}, {{a, b, c}, {d}}, {{a, b, d}, {d}}, {{a, c, d}, {b}}, {{b, c, d}, {a}} S 4,2 = 7 Matthias Wirth Kombinatorik / 46

20 Rekursionsgleichung S n,n = 1 Es gibt immer genau eine Möglichkeit n Elemente in n Partitionen aufzuteilen S n,0 = 0 n mit n > 0 Nullelementige Partitionen gibt es nicht S n,k = 0 n, k mit n < k n Elemente können nicht in mehr als k > n Partitionen aufgeteilt werden Matthias Wirth Kombinatorik / 46

21 Rekursionsgleichung S n+1,k = S n,k 1 + k S n,k Entweder das n+1-te Objekt ist eine eigene Teilmenge: S n,k 1 oder es ist in einer der k anderen Teilmengenen enthalten: k S n,k Matthias Wirth Kombinatorik / 46

22 Stirling-Zahlen erster Art Definition s n,k ist die Anzahl der Permutationen einer n-elementigen Menge, die genau k zyklische Permutationen haben Matthias Wirth Kombinatorik / 46

23 Zyklische Permutation π = ( π = (1243)(5)(67) ) (1234) = (2341) = (3412) = (4123) Matthias Wirth Kombinatorik / 46

24 Stirling-Zahlen erster Art Menge {a, b, c, d} mit n = 4 Elementen Permutationen mit k = 2 Zyklen gesucht (abc)(d), (acb)(d), (abd)(c), (adb)(c), (acd)(b), (adc)(b), (bcd)(a), (bdc)(a), (ab)(cd), (ac)(bd), (ad)(bc) s 4,2 = 11 Matthias Wirth Kombinatorik / 46

25 Rekursionsgleichung s n,n = 1 nur 1-Zyklen s n,0 = 0 n mit n > 0 es kann nicht keine Zyklen geben s n,k = 0 n, k mit n < k es kann nicht mehr Zyklen als Elemente geben Matthias Wirth Kombinatorik / 46

26 Rekursionsgleichung s n+1,k = s n,k 1 + n s n,k Entweder das n+1-te Element hat einen eigenen Zyklus: s n,k 1 oder ist Teil eines der anderen n Zyklen: n s n,k Matthias Wirth Kombinatorik / 46

27 Dyck-Wörter Ein Dyck-Wort ist ein String bestehend aus zwei verschiedenen Zeichen hier X und Y jedes Dyck-Wort hat gleich viele X und Y (jeweils n) jeder Teilstring der mit dem ersten Zeichen beginnt enthält mindestens so viele X wie Y wie viele Dyck-Wörter mit 2n Zeichen gibt es? Matthias Wirth Kombinatorik / 46

28 Dyck-Wörter Grapische Darstellung des Problems: X = Schritt nach rechts Y = Schritt nach oben Linie von A nach B darf nicht überschritten werden Matthias Wirth Kombinatorik / 46

29 Dyck-Wörter Zahl der Pfade von A nach B 2n Segmente insgesamt n( von 2n Segmente gehen nach oben 2n ) n mögliche Pfade Matthias Wirth Kombinatorik / 46

30 Dyck-Wörter Zahl der inkorrekten Pfade inkorrekte Pfade haben Punkte auf CD sei E der erste Punkt des inkorrekten Pfades auf CD der Teil AE des inkorrekten Pfades wird an CD gespiegelt zu jedem möglichen Pfad FB gibt es unter Spiegelung der Sektion FE genau einen inkorrekten Pfad AB die Zahl der möglichen Pfade FB ist ( 2n n 1) da nur n-1 Segmente nach oben gehen Matthias Wirth Kombinatorik / 46

31 Dyck-Wörter Zahl der Dyck-Wörter = Zahl aller Pfade - Zahl inkorrekter Pfade ( 2n ) ( n 2n ) n 1 = (2n)! n! n! (2n)! (n 1)! (n+1)! = (2n n ) n+1 n-te Catalan-Zahl Matthias Wirth Kombinatorik / 46

32 Catalan-Zahlen C n = n+1( 1 2n ) n 1,1,2,5,14,42,132,429,1430,4862,16796 C 0 = 1 C 0 = 1 C n+1 = n i=0 C ic n i C n+1 = 2(2n+1) n+2 C n Matthias Wirth Kombinatorik / 46

33 Catalan-Zahlen Entdeckung C n 2 ist die Anzahl verschiedener Unterteilungen eines konvexen n-ecks durch Diagonalen in Dreiecke (hier C 5 2 = 5) Catalan_number_triangulation.png Matthias Wirth Kombinatorik / 46

34 Catalan-Zahlen Vorkommen C n ist die Anzahl der möglichen Konfigurationen von n Paaren korrekt gepaarter Klammern 3 Klammerpaare : 5 Konfigurationen ((())) ()(()) ()()() (())() (()()) Matthias Wirth Kombinatorik / 46

35 Catalan-Zahlen Vorkommen C n ist die Anzahl voller Binärbäume mit n+1 Blättern (hier 3+1 Blätter somit C 3 = 5) Catalan_number_binary_tree_example.png Matthias Wirth Kombinatorik / 46

36 C n ist die Anzahl von monotonen Pfaden entlang der Kanten eines Gitters mit n mal n Zellen unterhalb der Diagonalen (hier C 4 = 14) Ein monotoner Pfad beginnt in der linken unteren Ecke, hat nur Kanten die nach rechts oder oben zeigen und in der oberen rechten Ecke endet Catalan_number_4x4_grid_example.svg Matthias Wirth Kombinatorik / 46

37 Euler-Zahlen Definition A n,k ist die Anzahl der Permutationen der ganzen Zahlen von 1 bis n, in denen genau k Elemente grösser als der unmittelbare Vorgänger sind. Matthias Wirth Kombinatorik / 46

38 Euler-Zahlen Zahlen von 1 bis n = 3 Anzahl der Permutationen mit k = 1 Anstiegen zwischen Nachbarn 132, 213, 312, 231 A 3,1 = 4 Matthias Wirth Kombinatorik / 46

39 Rekursionsgleichung A n,0 = 1 n mit n > 0 Absteigende Ordnung der Zahlen A n,k = 0 n, k mit n k es gibt nicht mehr als n-1 Anstiege zwischen Nachbarn Matthias Wirth Kombinatorik / 46

40 Rekursionsgleichung A n,k = (n k)a n 1,k 1 + (k + 1)A n 1,k Entweder die Zahl n ist so eingefügt dass ohne Sie ein Anstieg weniger vorhanden ist, zwischen einen der n-k Nichtanstiege oder am Ende: (n k)a n 1,k 1 oder ohne die Zahl sind genauso viele Anstiege vorhanden, eingefügt in einen der Anstiege oder am Anfang (k + 1)A n 1,k Matthias Wirth Kombinatorik / 46

41 Integer-Partitionen Definition p(n) ist die Anzahl der sich nicht nur durch die Reihenfolge unterscheidenden Möglichkeiten die natürliche Zahl n als Summe von Zahlen x i > 0 darzustellen. Matthias Wirth Kombinatorik / 46

42 Integer-Partitionen p(4) =? 4, 3+1, 2+2, 2+1+1, p(4) = 5 Matthias Wirth Kombinatorik / 46

43 Rekursive Berechnung Hilfsfunktion p(k, n) gibt die Zahl der Partitionen von n unter Verwendung von Summanden k p(n) = p(1, n) p(k, n) = 0 k > n p(k, n) = 1 if k = n p(k, n) = p(k + 1, n) + p(k, n k) Matthias Wirth Kombinatorik / 46

44 Rekursive Berechnung p(k, n) = p(k + 1, n) + p(k, n k) entweder ist der kleinste Summand grösser als k, berechenbar mitp(k + 1, n) oder der kleinste Summand ist k, berechenbar mit p(k, n k) der kleinste Summand wird von n abgezogen und die Partitionen der so enstandenen Zahl betrachtet, wiederum mit Summanden k Matthias Wirth Kombinatorik / 46

45 ICPC Hinweise einfache Rekursion führt meist zu Timelimit also DP verwenden Worst Case: lokal auf Geschwindigkeit und Glaubwürdigkeit (Overflow) testen mindestens 64bit Datentyp und falls notwendig BigInteger verwenden oft ist nach dem Ergebnis modulo x gefragt, siehe modulo-rechenregeln vom letzten Vortrag Matthias Wirth Kombinatorik / 46

46 Literatur Kombinatorik (number_theory) Static&d1=tutorials&d2=combinatorics Graham, Knuth, Patashnik: Concrete Mathematics Second Edition Hallo Welt!-Vorträge von Tanja Fischer und Matthias Bayerlein Matthias Wirth Kombinatorik / 46