Hallo Welt für Fortgeschrittene

Transkript

1 Hallo Welt für Fortgeschrittene Kombinatorik Tanja Fischer Informatik 2 Programmiersysteme Martensstraße Erlangen

2 Einstieg Die Wahrscheinlichkeit, dass bei 57 Personen, 2 am gleichen Tag Geburtstag haben, beträgt über 99%. Ein Zauberwürfel mit 26 Elementen kann auf rund 43 Trillionen Arten kombiniert werden. Beispiele für kombinatorische Explosion Hallo Welt für Fortgeschrittene Kombinatorik Tanja Fischer Folie 2

3 Überblick Definition/Motivation Grundlagen aus der Schule Spezielle Zahlenfolgen Beispiele Zusammenfassung Literatur Hallo Welt für Fortgeschrittene Kombinatorik Tanja Fischer Folie 3

4 Definition Kombinatorik ist ein Teilgebiet der Mathematik, das sich mit der Bestimmung der Anzahl möglicher Anordnungen oder Auswahlen von - unterscheidbaren oder nicht unterscheidbaren Objekten - mit oder ohne Beachtung der Reihenfolge beschäftigt Hallo Welt für Fortgeschrittene Kombinatorik Tanja Fischer Folie 4

5 Motivation Wozu brauchen wir überhaupt Kombinatorik? Effiziente Berechnung der Auswahlmöglichkeiten Denn: Naives Ausprobieren ist extrem langsam (meist exponentielles Wachstum der Möglichkeiten) Hallo Welt für Fortgeschrittene Kombinatorik Tanja Fischer Folie 5

6 Überblick Grundlagen aus der Schule - Permutationen - Kombinationen - Variationen - Binomialkoeffizient - Pascalsches Dreieck Hallo Welt für Fortgeschrittene Kombinatorik Tanja Fischer Folie 6

7 Permutation - Definition Die Veränderung der Anordnung einer Menge durch Vertauschen ihrer Elemente alle Elemente werden dabei verwendet Mathematisch: Eine bijektive Abbildung einer Menge Ω auf sich selbst Hallo Welt für Fortgeschrittene Kombinatorik Tanja Fischer Folie 7

8 Beispiele Wie viele Möglichkeiten gibt es, n unterscheidbare Elemente in beliebiger Reihenfolge nebeneinander anzuordnen? Lösung: n! z.b. n = 4. Kugel: 4 Möglichkeiten 2. Kugel: 3 Möglichkeiten... Gesamt: 4*3*2* Möglichkeiten = 4! = 24 Hallo Welt für Fortgeschrittene Kombinatorik Tanja Fischer Folie 8

9 Beispiele Wie viele Möglichkeiten gibt es, n Elemente in beliebiger Reihenfolge nebeneinander anzuordnen, wobei k Elemente gleich sind? (k n) Lösung: n! k! Mississippi-Problem: Anzahl der Anordnungsmöglichkeiten, wobei es nun mehrere Gruppen gleicher Elemente (a,b,c,...) gibt (a,b,c... disjunkt) Lösung: n! a! b! c! Hallo Welt für Fortgeschrittene Kombinatorik Tanja Fischer Folie 9

10 Spezialfall Wie viele Möglichkeiten gibt es, n (unterscheidbare) Elemente im Kreis anzuordnen, wobei nur bezüglich der benachbarten Elemente unterschieden wird? Lösung: n! 2 n Erläuterung zum Nenner: Faktor n: für jede Belegung ergeben sich durch Rotation n identische Belegungen, z.b. (23)=(23)=(32) Faktor 2: bei jeder Belegung kann eine Spiegelung an einer Achse durch die Mitte vorgenommen werden, ohne dass sich die Nachbarn ändern Hallo Welt für Fortgeschrittene Kombinatorik Tanja Fischer Folie 0

11 Variation-Definition Auswählen von k Elementen aus einer Menge mit Kardinalität n mit Beachtung der Reihenfolge mit oder ohne Zurücklegen Hallo Welt für Fortgeschrittene Kombinatorik Tanja Fischer Folie

12 Variation-Definition Auswählen mit Beachtung der Reihenfolge Wie viele Möglichkeiten gibt es, auf k Plätze n Objekte zu verteilen? ( k n ) Ohne Zurücklegen ( Wettlaufproblem ) Lösung n! n k! = k n k! Mit Zurücklegen ( Zahlenschlossproblem ) Lösung: n k Hallo Welt für Fortgeschrittene Kombinatorik Tanja Fischer Folie 2

13 Beispiel Wie viele Möglichkeiten muss man für ein 5-stelliges Zahlenschloss (0-9) höchstens durchprobieren, wenn man weiß, dass die Zahl 3 einmal, die 5 zweimal vorkommt, und die 2. Position die 8 ist? Lösung: Wie kommt man darauf? Faktor : Möglichkeit für die 2. Position 4 Faktor 3 : 3 von 4 übrig gebliebenen Plätzen für die Zahlen 3,5,5 Faktor 3: 3 Möglichkeiten, 3 Zahlen beliebig anzuordnen, wobei 2 Zahlen gleich sind (Mississippi-Problem) Faktor 0: 0 Möglichkeiten für den letzten verbliebenen Platz Hallo Welt für Fortgeschrittene Kombinatorik Tanja Fischer Folie 3

14 Kombination-Definition Ähnlich wie Variation, jedoch ohne Beachtung der Reihenfolge mit oder ohne Zurücklegen es gibt immer weniger Kombinationen als Variationen Hallo Welt für Fortgeschrittene Kombinatorik Tanja Fischer Folie 4

15 Kombination Definition Auswählen ohne Beachtung der Reihenfolge Wie viele Möglichkeiten gibt es, aus einer Menge mit n Elementen k Objekte auszuwählen? (k n) Ohne Zurücklegen ( Lottoproblem ) Lösung: n k Mit Zurücklegen Lösung: n k = n k! k! n! k Hallo Welt für Fortgeschrittene Kombinatorik Tanja Fischer Folie 5

16 Beispiel Wie viele Möglichkeiten gibt es, aus einem Topf mit 0 unterschiedlich gefärbten Kugeln 4 Kugeln auszuwählen, wobei die Kugel nach jedem Ziehen wieder zurückgelegt wird. Lösung: 0 4! 3! = =75 4! 0! 4! 9! Hallo Welt für Fortgeschrittene Kombinatorik Tanja Fischer Folie 6

17 Der Binomialkoeffizient n! n = k! n k! k n = n k n k n = n n k k k n = n = n 0 n =n Definition Auswahl der Komplementärmenge Rekursionsgleichung Basisfall Basisfall Hallo Welt für Fortgeschrittene Kombinatorik Tanja Fischer Folie 7

18 Implementierung in JAVA public static long binom(int n, int k){ int min = ( k < n-k? k : n-k); long result = ; for(int i = ; i <= min; i++){ result = result * n; //Division geht exakt auf result = result/i; n = n - ; } return result; } Hallo Welt für Fortgeschrittene Kombinatorik Tanja Fischer Folie 8

19 Pascalsches Dreieck kann effizient mit Bottom-Up DP berechnet werden Hallo Welt für Fortgeschrittene Kombinatorik Tanja Fischer Folie 9

20 Überblick Spezielle Zahlenfolgen - Fibonacci Zahlen - Catalan Zahlen - Stirling Zahlen (I. & II. Art) - Euler Zahlen - Integer Partitionen Hallo Welt für Fortgeschrittene Kombinatorik Tanja Fischer Folie 20

21 Fibonacci Zahlen 0,,,2,3,5,8,3,2,34,55,89,44,233,377,60,987 Rekursive Definition: f n = f n f n 2 (für n>) Basisfälle: f 0 =0 f = Hallo Welt für Fortgeschrittene Kombinatorik Tanja Fischer Folie 2

22 Implementierung Naive Implementierung der Definition führt sehr schnell zu endlosen Rekursionsschritten und damit zu Timelimit Besser: Lösung mittels schneller Exponentiation von Matrizen n f n f n = 0 f n f n Aufwand zur Berechnung von fib(n) damit O(log n) Hallo Welt für Fortgeschrittene Kombinatorik Tanja Fischer Folie 22

23 Implementierung in Java int[][] M = {{,}{0,}}; int fib(int n){ matpow(n - ); return M[0][0]; } void matpow(int n){ if(n > ){ matpow(n/2); M = M * M; //Pseudocode } if(n%2!= 0) M = M* {{,}{0,}}; } Hallo Welt für Fortgeschrittene Kombinatorik Tanja Fischer Folie 23

24 Catalan Zahlen,,2,5,4,42,32,429,430,4862,6796,58786, Anzahl der Möglichkeiten, ein konvexes n-eck durch Diagonalen in Dreiecke zu zerteilen - Anzahl der wohlgeformten Klammerausdrücke - Anzahl der möglichen Binärbäume Hallo Welt für Fortgeschrittene Kombinatorik Tanja Fischer Folie 24

25 Definition Definition: C n = 2n n n n Rekursive Definition: C n = C k C n k k =0 z.b. C 3=C 0 C 2 C C C 2 C 0 Hallo Welt für Fortgeschrittene Kombinatorik Tanja Fischer Folie 25

26 Beispiel Cn+ entspricht der Anzahl der Klammerausdrücke eines Produkts mit 3 Multiplikationen (also 4 Klammern/Faktoren) (x * x2) * (x3 * x4) (x * (x2 * x3)) * x4 x * ((x2 * x3) * x4) ((x * x2) * x3) * x4 x * (x2 * (x3 * x4)) C3 = 5 Hallo Welt für Fortgeschrittene Kombinatorik Tanja Fischer Folie 26

27 Implementierung in Java static int NMAX; static long[] nums = new long[nmax+] public static void catalan(){ Arrays.fill(nums, 0); nums[0] = ; nums[] = ; for(int i = ; i< NMAX; i++){ for(int j = 0; j < i; j++){ nums[i+] += nums[j] * nums[i - j]; } } } Hallo Welt für Fortgeschrittene Kombinatorik Tanja Fischer Folie 27

28 Stirling-Zahl I. Art Anzahl der Möglichkeiten, eine Permutation mit n Elementen in k Zyklen zu zerlegen. Schreibweise: [] s n, k = n k 0 k n Rekursive Definition: [][ ] [ ] n = n n n k k k Hallo Welt für Fortgeschrittene Kombinatorik Tanja Fischer Folie 28

29 Beispiel Anzahl der Möglichkeiten, die Menge M = {a,b,c} mit Kardinalität n = 4 in jeweils 3 (nichtleere) Zyklen (k = 3) zu zerlegen: ()(2)(3,4) ()(3)(2,4) ()(4)(2,3) (2)(3)(,4) (2)(4)(,3) (3)(4)(,2) s(4,3)=6 Hallo Welt für Fortgeschrittene Kombinatorik Tanja Fischer Folie 29

30 Stirling-Dreieck I n [] [] [] [] [] [] [] n [][ ] n n n 3 n 4 n [ ] n = n n n k k k n 6 n=4 k=2 s(4,2) = 2+3*3= Hallo Welt für Fortgeschrittene Kombinatorik Tanja Fischer Folie 30

31 Implementierung in JAVA static int NMAX; long[][] nums = new long[nmax][nmax]; public static void stirling(){ Arrays.fill(nums, 0); nums[0][0] = ; for(int i = ; i < NMAX; i++){ for(int j = ; j <= i; j++){ nums[i][j] = nums[i ][j ] + (n ) * nums[n - ][k]; } } } Hallo Welt für Fortgeschrittene Kombinatorik Tanja Fischer Folie 3

32 Stirling-Zahl II. Art Anzahl der Möglichkeiten, aus einer Menge mit n Elementen r nichtleere, disjunkte Teilmengen zu bilden (Partition von n mit r Teilmengen) {r } Schreibweise: S n, r =S nr = n r Iterative Definition: S n, r = Rekursive Definition: j r r j n r! j=0 j {} { } { } n = n r n r r r Hallo Welt für Fortgeschrittene Kombinatorik Tanja Fischer Folie 32

33 Beispiel Anzahl der Möglichkeiten, die Menge M = {a,b,c,d} mit Kardinalität n = 4 in r = 2 nichtleere, disjunkte Teilmengen zu zerlegen: {a,b} {c,d} {a,c} {b,d} {a,d} {b,c} {a,b,c} {d} {a,b,d} {c} {b,c,d} {a} {a,c,d} {b} S(4,2) = 7 Hallo Welt für Fortgeschrittene Kombinatorik Tanja Fischer Folie 33

34 Stirling-Dreieck II n n 0 n n 2 n 3 {} {} {} {} n 4 n 5 {} {} {} {} { } { } n = n r n r r r n 6 n=5 r=2 S(5,2) = + 2*7 = 5 Hallo Welt für Fortgeschrittene Kombinatorik Tanja Fischer Folie 34

35 Implementierung in Java (iterativ) public static int stirling2(int n, int r){ int sum = 0, int tmpsum = 0; int fak = ; for(int i = 0; i <= r; i++){ tmpsum = fastexp(r i, n); tmpsum = binom(r, i); if((n%2) == ) sum -= tmpsum; else sum += tmpsum fak = fak * i; } return sum/fak; } Hallo Welt für Fortgeschrittene Kombinatorik Tanja Fischer Folie 35

36 Implementierung in Java (rekursiv) static int NMAX; static long[][] nums = new long[nmax][nmax]; public static void stirling2(){ Arrays.fill(nums, 0); nums[0][0] = ; for(int i = ; i < NMAX; i++){ for(int j = ; j <= i; j++){ nums[i][j] = nums[i ][j - ] + j * nums[i - ][j]; } } } Hallo Welt für Fortgeschrittene Kombinatorik Tanja Fischer Folie 36

37 Euler-Zahlen Anzahl der Permutationen von n Elementen, die genau k aufsteigende Teilfolgen haben Schreibweise: n k Iterative Definition: Rekursive Definition: k n = j n k j n k j j =0 n =k n n k n k k k 0 k n Hallo Welt für Fortgeschrittene Kombinatorik Tanja Fischer Folie 37

38 Beispiel Anzahl der Permutationen von n=3 Elementen mit genau k=2 aufsteigenden Teilfolgen entspricht den Kriterien nicht, da es nur eine aufsteigende Teilfolge gibt 32 hat beispielsweise 3 aufsteigende Teilfolgen Hallo Welt für Fortgeschrittene Kombinatorik Tanja Fischer Folie 38

39 Implementierung in Java (iterativ) public static int euler(int n, int k){ int sum = 0; int tmpsum = 0; for(int i = 0; i <= k; i++){ tmpsum = fastexp(k i +, n); tmpsum *= binom(n +, i); if((n%2)!= 0) sum -= tmpsum; else sum += tmpsum; } return sum; } Hallo Welt für Fortgeschrittene Kombinatorik Tanja Fischer Folie 39

40 Implementierung in Java (rekursiv) static int NMAX; static long[][] nums = new long[nmax][nmax]; public static void euler(){ Arrays.fill(nums, 0); nums[0][0] = ; for(int i = 0; i < NMAX; i++){ for(int j = 0; j <= i; j++){ nums[i][j] = j * nums[i - ][j] + (n k + ) * nums[n ][k - ]; } } } Hallo Welt für Fortgeschrittene Kombinatorik Tanja Fischer Folie 40

41 Integer-Partitionen Eine Integer-Partition n nennt man eine Menge von natürlichen Zahlen, deren Summe n ergibt. f(n,k) soll alle möglichen Zusammensetzungen von n aus Zahlen <= k liefern f(n,n) entspricht der Integer-Partition von n Beispiele: f(,) = {} f(2,2) = 2 {{,},{2}} f(3,2) = 2 {{,2},{,,}} f(5,3) = 5 {{,,,,},{,,,2},{,2,2},{,,3},{2,3}} Hallo Welt für Fortgeschrittene Kombinatorik Tanja Fischer Folie 4

42 Integer-Partitionen Die rekursive Funktion addiert dann alle Möglichkeiten, in denen k vorkommt und alle mit k- f n, k = f n k, k f n, k Basifälle: f n,0 =0 f 0, k = f n, k =0, n 0 Hallo Welt für Fortgeschrittene Kombinatorik Tanja Fischer Folie 42

43 How Many Trees? A binary search tree is a binary tree with root k such that any node v in the left subtree of k has label (v) <label (k) and any node w in the right subtree of k has label (w) > label (k). Given a number n, can you tell how many different binary search trees may be constructed with a set of numbers of size n such that each element of the set will be associated to the label of exactly one node in a binary search tree? Input and Output The input will contain a number <= i <= 000 per line representing the number of elements of the set. You have to print a line in the output for each entry with the answer to the previous question. Sample Input 2 3 Sample Output 2 5 Hallo Welt für Fortgeschrittene Kombinatorik Tanja Fischer Folie 43

44 0303 How Many Trees? public class Trees{ static BigInteger[] nums; public static void catalan(){ Arrays.fill(nums, BigInteger.ZERO); nums[0] = BigInteger.ONE; nums[] = BigInteger.ONE; for(int i = ; i< 000; i++) for(int j = 0; j <= i; j++) nums[i+] = nums[i+].add(nums[j].multiply(nums[i - j])); } public static void main(string[] args){ nums = new BigInteger[00]; Scanner sc = new Scanner(System.in); catalan(); while(sc.hasnextint()) System.out.println(nums[sc.nextInt()]); }} Hallo Welt für Fortgeschrittene Kombinatorik Tanja Fischer Folie 44

45 098 - Counting Gustavo knows how to count, but he is now learning how write numbers. As he is a very good student, he already learned, 2, 3 and 4. But he didn't realize yet that 4 is different than, so he thinks that 4 is another way to write. 234 = = 9 (remember that 4 = ) Gustavo now wants to know how much numbers he can create such that their sum is a number n. For instance, for n = 2 he noticed that he can make 5 numbers:, 4, 4, 44 and 2. Input and Output For each number <= n <= 000., you must output another number stating how much numbers Gustavo can make such that the sum of their digits is equal to the given number. Sample Input 2 3 Sample Output 5 3 Hallo Welt für Fortgeschrittene Kombinatorik Tanja Fischer Folie 45

46 098 - Counting public class Counting { public static void main(string[] args) { Scanner sc = new Scanner(System.in); BigInteger[] count = new BigInteger[00]; count[] = BigInteger.valueOf(2); count[2] = BigInteger.valueOf(5); count[3] = BigInteger.valueOf(3); for(int i=4 ; i<=000 ; i++) { count[i] = BigInteger.valueOf(0); count[i] = count[i].add(count[i-]); count[i] = count[i].add(count[i-]); count[i] = count[i].add(count[i-2]); count[i] = count[i].add(count[i-3]); } while(sc.hasnext()) System.out.println(count[sc.nextInt()]); }} Hallo Welt für Fortgeschrittene Kombinatorik Tanja Fischer Folie 46

47 Zusammenfassung Wichtige ICPC Hinweise: Implementierung der Zahlenfolgen: meist rekursive Formel + DP erforderlich, einfache Rekursion führt fast immer zu Timelimit Zahlenwerte steigen oft SEHR schnell: in JAVA daher BigInteger verwenden, in C/C++ long long verwenden oder bigint selbst implementieren =) Hallo Welt für Fortgeschrittene Kombinatorik Tanja Fischer Folie 47

48 Literatur Hallo Welt-Vorträge von Johannes Simon, Thomas Ritscher und Tilmann Spiegelhauer Programming Challenges: Skiena, Revilla Hallo Welt für Fortgeschrittene Kombinatorik Tanja Fischer Folie 48