Kombinatorik. Simon Rainer 21. Juli Simon Kombinatorik 21. Juli / 51
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- Berndt Joseph Baumann
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1 Kombinatorik Simon Rainer 21. Juli 2015 Simon Kombinatorik 21. Juli / 51
2 Was ist Kombinatorik? Teilgebiet der diskreten Mathematik Endliche oder abzählbar unendliche Strukturen Simon Kombinatorik 21. Juli / 51
3 Was ist Kombinatorik? Teilgebiet der diskreten Mathematik Endliche oder abzählbar unendliche Strukturen Im ICPC oft Wie viele verschiedene Kombinationen / Möglichkeiten / Anordnungen etc. gibt es von X Simon Rainersr@mail25.de Kombinatorik 21. Juli / 51
4 Was ist Kombinatorik? Teilgebiet der diskreten Mathematik Endliche oder abzählbar unendliche Strukturen Im ICPC oft Wie viele verschiedene Kombinationen / Möglichkeiten / Anordnungen etc. gibt es von X Aber auch nützlich für Aufwandsabschätzung Simon Rainersr@mail25.de Kombinatorik 21. Juli / 51
5 Inhaltsverzeichnis 1 Einführung 2 Grundlagen 3 Wichtige Zahlenfolgen Fibonacci-Zahlen Catalan-Zahlen Stirling-Zahlen Euler-Zahlen Integer-Partitionen 4 Quellen Simon Rainersr@mail25.de Kombinatorik 21. Juli / 51
6 Table of Contents 1 Einführung 2 Grundlagen 3 Wichtige Zahlenfolgen Fibonacci-Zahlen Catalan-Zahlen Stirling-Zahlen Euler-Zahlen Integer-Partitionen 4 Quellen Simon Rainersr@mail25.de Kombinatorik 21. Juli / 51
7 Auswahl von Objekten Auswahl von Objekten (Bsp.: {,, }) Simon Kombinatorik 21. Juli / 51
8 Auswahl von Objekten Auswahl von Objekten (Bsp.: {,, }) 1 Teilmenge oder alle Elemente? (,, ) oder (, ) Simon Rainersr@mail25.de Kombinatorik 21. Juli / 51
9 Auswahl von Objekten Auswahl von Objekten (Bsp.: {,, }) 1 Teilmenge oder alle Elemente? (,, ) oder (, ) 2 Reihenfolge relevant? (, )? = (, ) Simon Rainersr@mail25.de Kombinatorik 21. Juli / 51
10 Nomenklatur! Reihenfolge Alle Elemente Teilmenge Ja Permutation Variation Nein 1 Kombination Simon Rainersr@mail25.de Kombinatorik 21. Juli / 51
11 Nomenklatur! Reihenfolge Alle Elemente Teilmenge Ja Permutation Variation Nein 1 Kombination Noch jeweils eine weitere Unterscheidung, ob Wiederholungen vorkommen dürfen Bsp.: {,, } möglich? Simon Rainersr@mail25.de Kombinatorik 21. Juli / 51
12 Permutation Definition Eine Permutation ist eine vollständige und geordnete Auswahl Notation (1 ) = ( ) ( 3 4 ) Gesucht: Anzahl Permutationen einer Menge Ω Simon Rainersr@mail25.de Kombinatorik 21. Juli / 51
13 Super tolle Grafik {,, } {,, } {,, } {,, } {,, } {,, } Simon Rainersr@mail25.de Kombinatorik 21. Juli / 51
14 Super tolle Grafik {,, } {,, } {,, } {,, } {,, } {,, } n! Anordnungen für n unterschiedliche Elemente Simon Rainersr@mail25.de Kombinatorik 21. Juli / 51
15 Super tolle Grafik {,, } {,, } {,, } {,, } {,, } {,, } n! Anordnungen für n unterschiedliche Elemente {,, } {,, } {,, } {,, } {,, } {,, } Simon Rainersr@mail25.de Kombinatorik 21. Juli / 51
16 Identische Elemente Was passiert bei mehrfachen identischen Elementen? Simon Kombinatorik 21. Juli / 51
17 Identische Elemente Was passiert bei mehrfachen identischen Elementen? Beispiel Wie viele Möglichkeiten gibt es die Buchstaben von HALLO WELT anzuordnen? Simon Kombinatorik 21. Juli / 51
18 Identische Elemente HALLO WELT HALLO WELT, HALLO WELT, HALLO WELT, HALLO WELT, HALLO WELT, HALLO WELT Simon Kombinatorik 21. Juli / 51
19 Identische Elemente HALLO WELT HALLO WELT, HALLO WELT, HALLO WELT, HALLO WELT, HALLO WELT, HALLO WELT AWHELOLL T, AWHELOLL T, AWHELOLL T AWHELOLL T, AWHELOLL T, AWHELOLL T, AWHELOLL T Simon Rainersr@mail25.de Kombinatorik 21. Juli / 51
20 Identische Elemente Jeweils 3! äquivalente Versionen 10! 3! Simon Kombinatorik 21. Juli / 51
21 Allgemein Definition Multinomialkoeffizient n! i (k i!) Mögliche Interpretationen: Es gibt i Gruppen von Elementen die jeweils k i gleiche Elemente enthalten n Objekte werden auf Schachteln aufgeteilt wobei die ite Schachtel genau k Objekte enthalten soll Simon Rainersr@mail25.de Kombinatorik 21. Juli / 51
22 Beispiel Wie viel Möglichkeiten gibt es 52 Pokerkarten auf 8 Spieler mit jeweils 2 Karten und 5 Karten auf den Tisch zu verteilen? Simon Rainersr@mail25.de Kombinatorik 21. Juli / 51
23 Beispiel Wie viel Möglichkeiten gibt es 52 Pokerkarten auf 8 Spieler mit jeweils 2 Karten und 5 Karten auf den Tisch zu verteilen? 52! (2!) 8 5! 31! Simon Rainersr@mail25.de Kombinatorik 21. Juli / 51
24 Beispiel Wie viel Möglichkeiten gibt es 52 Pokerkarten auf 8 Spieler mit jeweils 2 Karten und 5 Karten auf den Tisch zu verteilen? 52! (2!) 8 5! 31! = Simon Rainersr@mail25.de Kombinatorik 21. Juli / 51
25 Spezialfall runder Tisch Nachbarn Wie viele Möglichkeiten gibt es an einem Tisch n Leute mit unterschiedlichen Nachbarn anzuordnen? Simon Rainersr@mail25.de Kombinatorik 21. Juli / 51
26 Spezialfall runder Tisch Nachbarn Wie viele Möglichkeiten gibt es an einem Tisch n Leute mit unterschiedlichen Nachbarn anzuordnen? n! Permutationen Simon Rainersr@mail25.de Kombinatorik 21. Juli / 51
27 Spezialfall runder Tisch Nachbarn Wie viele Möglichkeiten gibt es an einem Tisch n Leute mit unterschiedlichen Nachbarn anzuordnen? n! Permutationen Jeweils n Rotationen n! n Simon Rainersr@mail25.de Kombinatorik 21. Juli / 51
28 Spezialfall runder Tisch Nachbarn Wie viele Möglichkeiten gibt es an einem Tisch n Leute mit unterschiedlichen Nachbarn anzuordnen? n! Permutationen Jeweils n Rotationen Jeweils 2 Spiegelungen n! n n! 2n Simon Rainersr@mail25.de Kombinatorik 21. Juli / 51
29 Variation Definition Eine Variation ist eine unvollständige und geordnete Auswahl Simon Kombinatorik 21. Juli / 51
30 Variation Definition Eine Variation ist eine unvollständige und geordnete Auswahl Ohne Zurücklegen n k = n! (n k)! = n(n 1)(n 2)... (n k + 1) }{{} k Faktoren Simon Rainersr@mail25.de Kombinatorik 21. Juli / 51
31 Variation Definition Eine Variation ist eine unvollständige und geordnete Auswahl Ohne Zurücklegen n k = n! (n k)! = n(n 1)(n 2)... (n k + 1) }{{} k Faktoren Mit Zurücklegen n k Simon Rainersr@mail25.de Kombinatorik 21. Juli / 51
32 Kombination Definition Eine Kombination ist eine unvollständige und ungeordnete Auswahl Simon Kombinatorik 21. Juli / 51
33 Kombination Definition Eine Kombination ist eine unvollständige und ungeordnete Auswahl Ohne Zurücklegen (n ) = k n! k!(n k)! Simon Rainersr@mail25.de Kombinatorik 21. Juli / 51
34 Kombination Definition Eine Kombination ist eine unvollständige und ungeordnete Auswahl Ohne Zurücklegen (n ) = k n! k!(n k)! Mit Zurücklegen (( )) ( ) n n + k 1 = = k k (n + k 1)! k! (n 1)! Simon Rainersr@mail25.de Kombinatorik 21. Juli / 51
35 Kombination mit Zurücklegen Woher kommt ( ) n + k 1 = k? (n + k 1)! k! (n 1)! Simon Rainersr@mail25.de Kombinatorik 21. Juli / 51
36 Kombination mit Zurücklegen 1 Darstellung als stars and bars mit k Sternen und n 1 Strichen n + k 1 mögliche Positionen 2 Nur die Positionen von Sternen wird ausgewählt Simon Rainersr@mail25.de Kombinatorik 21. Juli / 51
37 Binomialkoeffizient Definition: Rekursion: ( ) n = k ( ) n = k n! k! (n k)! ( ) n 1 + k ( ) n 1 k 1 Basisfälle: ( ) n = 1 n ( ) n = 1 0 ( ) n = n 1 Simon Rainersr@mail25.de Kombinatorik 21. Juli / 51
38 Binomialkoeffizient ausrechnen Berechnung in O(k) mit n! k! (n k)! = nk k! = k i=1 n + 1 i i Simon Rainersr@mail25.de Kombinatorik 21. Juli / 51
39 Code! k i=1 n + 1 i i 1 l o n g l o n g binom ( i n t n, i n t k ) { 2 l o n g l o n g b i n = 1 ; 3 i f ( k > n k ) k = n k ; 4 f o r ( i n t i = 1 ; i <= k ; i ++) { 5 b i n = n ; 6 b i n /= i ; 7 } 8 r e t u r n b i n ; 9 } Simon Rainersr@mail25.de Kombinatorik 21. Juli / 51
40 Geht das auch immer auf? Simon Kombinatorik 21. Juli / 51
41 Geht das auch immer auf? k i=1 n + 1 i i Ja das geht auch immer auf: n 1 Simon Rainersr@mail25.de Kombinatorik 21. Juli / 51
42 Geht das auch immer auf? k i=1 n + 1 i i Ja das geht auch immer auf: n (n 1) 1 2 Simon Rainersr@mail25.de Kombinatorik 21. Juli / 51
43 Geht das auch immer auf? k i=1 n + 1 i i Ja das geht auch immer auf: n (n 1) (n 2) Simon Rainersr@mail25.de Kombinatorik 21. Juli / 51
44 Geht das auch immer auf? k i=1 n + 1 i i Ja das geht auch immer auf: n (n 1) (n 2) (n 3) Simon Rainersr@mail25.de Kombinatorik 21. Juli / 51
45 Geht das auch immer auf? k i=1 n + 1 i i Ja das geht auch immer auf: n (n 1) (n 2) (n 3) Simon Rainersr@mail25.de Kombinatorik 21. Juli / 51
46 Allgemeine Hinweise zum Rechnen Meistens wird mit großen Zahlen gerechnet 32 bit ! bit ! bit ! Für Zwischenergebnissen ggf. größeren Datentyp verwenden Oder BigInteger/Python Simon Rainersr@mail25.de Kombinatorik 21. Juli / 51
47 Table of Contents 1 Einführung 2 Grundlagen 3 Wichtige Zahlenfolgen Fibonacci-Zahlen Catalan-Zahlen Stirling-Zahlen Euler-Zahlen Integer-Partitionen 4 Quellen Simon Rainersr@mail25.de Kombinatorik 21. Juli / 51
48 Fibonacci-Zahlen
49 Fibonacci-Zahlen
50 Klammern zählen Gesucht: Anzahl C n von wohlgeformter Klammerausdrücke mit n Klammerpaaren C n n 1 1 () 2 2 ()(), (()) 3 5 ()()(), ()(()), (())(), (()()), ((())) 4 14 ()()()(), ()()(()), ()(())(), ()(()()), ()()()()(), ()()()(()), ()()(())(), ()()(()()), Simon Rainersr@mail25.de Kombinatorik 21. Juli / 51
51 Klammern zählen 2 Es seien A und B wolhgeformte oder leere Klammerausdrücke Dann beschreibt (A)B jeden Klammerausdruck eindeutig Simon Rainersr@mail25.de Kombinatorik 21. Juli / 51
52 Klammern zählen 2 Es seien A und B wolhgeformte oder leere Klammerausdrücke Dann beschreibt (A)B jeden Klammerausdruck eindeutig Für Länge n gibt es n 1 Zerlegungen: n 1 C(n) = C(k) C(n 1 k) k=0 Simon Rainersr@mail25.de Kombinatorik 21. Juli / 51
53 Catalan-Zahlen Definition C(n) = 1 n + 1 Rekursion ( ) ( ) 2 n 2 n = n n n 1 C(n) = C(k) C(n 1 k) k=0 ( ) 2 n n + 1 Basisfälle C(0) = 1 Simon Rainersr@mail25.de Kombinatorik 21. Juli / 51
54 Weitere Interpretationen Anzahl möglicher Klammerungen von n + 1 Faktoren, sodass immer genau zwei Faktoren multipliziert werden ((ab)c)d, (a(bc))d, (ab)(cd), a((bc)d), a(b(cd)) Anzahl entsprechender Binärbäume Möglichkeiten ein konvexes Polygon mit n + 2 Seiten in Dreiecke zu teilen Simon Rainersr@mail25.de Kombinatorik 21. Juli / 51
55 Teilmengen zählen Problem Justus, Peter und Bob haben ein ICPC Team gebildet. Um sich optimal auf den anstehenden Contest vorzubereiten wollen die Drei alle verschiedenen Möglichkeiten die 10 Aufgaben aufzuteilen durchprobieren. (Jeder sollte mindestens eine Aufgabe abbekommen) Wie lange werden sie beschäftigt sein? 1 10 Aufgaben Ω = {A, B, C,..., J} in drei Teilmengen aufteilen 2 Die 3 Teilmengen auf Justus, Peter und Bob verteilen Simon Rainersr@mail25.de Kombinatorik 21. Juli / 51
56 Teilmengen zählen Wir wählen ein beliebiges Element aus Ω Es gibt nun zwei Möglichkeiten: Simon Kombinatorik 21. Juli / 51
57 Teilmengen zählen Wir wählen ein beliebiges Element aus Ω Es gibt nun zwei Möglichkeiten: 1 Das Element wird eine Teilmenge abschließen n n 1 k k 1 Simon Rainersr@mail25.de Kombinatorik 21. Juli / 51
58 Teilmengen zählen Wir wählen ein beliebiges Element aus Ω Es gibt nun zwei Möglichkeiten: 1 Das Element wird eine Teilmenge abschließen n n 1 k k 1 2 Das Element wird zu einer der k Teilmengen hinzugefügt n n 1 k k Simon Rainersr@mail25.de Kombinatorik 21. Juli / 51
59 Stirling-Zahlen zweiter Art Rekursion { n S n,k = = S k} n 1,k 1 + k S n 1,k Basisfälle s n,n = 1 s n,k = 0 für k = 0 < n n < k Simon Rainersr@mail25.de Kombinatorik 21. Juli / 51
60 Ergebnis S 10,3 = 9330 Simon Rainersr@mail25.de Kombinatorik 21. Juli / 51
61 Ergebnis S 10,3 = ! 5h 32Jahre Die Drei sind eine Zeit lang beschäftigt Simon Rainersr@mail25.de Kombinatorik 21. Juli / 51
62 Stirling-Zahlen erster Art Gesucht: Anzahl mögliche Aufteilungen in k Zyklen Simon Rainersr@mail25.de Kombinatorik 21. Juli / 51
63 Stirling-Zahlen erster Art Gesucht: Anzahl mögliche Aufteilungen in k Zyklen Beispiel mit n = 4 und k = 2 (1, 2, 3)(4), (1, 2, 4)(3), (1, 3, 4)(2), (2, 3, 4)(1) (1, 3, 2)(4), (1, 4, 2)(3), (1, 4, 3)(2), (2, 4, 3)(1) (1, 2)(3, 4), (1, 3)(2, 4), (1, 4)(2, 3) Simon Rainersr@mail25.de Kombinatorik 21. Juli / 51
64 Zyklen Es gibt j Möglichkeiten aus einem j-zyklus einen j + 1-Zyklus zu machen (1, 2, 3) Simon Rainersr@mail25.de Kombinatorik 21. Juli / 51
65 Zyklen Es gibt j Möglichkeiten aus einem j-zyklus einen j + 1-Zyklus zu machen (1, 2, 3) {(1, 4, 2, 3), Simon Rainersr@mail25.de Kombinatorik 21. Juli / 51
66 Zyklen Es gibt j Möglichkeiten aus einem j-zyklus einen j + 1-Zyklus zu machen (1, 2, 3) {(1, 4, 2, 3), (1, 2, 4, 3), Simon Rainersr@mail25.de Kombinatorik 21. Juli / 51
67 Zyklen Es gibt j Möglichkeiten aus einem j-zyklus einen j + 1-Zyklus zu machen (1, 2, 3) {(1, 4, 2, 3), (1, 2, 4, 3), (1, 2, 3, 4)} Simon Rainersr@mail25.de Kombinatorik 21. Juli / 51
68 Zyklen Es gibt j Möglichkeiten aus einem j-zyklus einen j + 1-Zyklus zu machen (1, 2, 3) {(1, 4, 2, 3), (1, 2, 4, 3), (1, 2, 3, 4)} Simon Rainersr@mail25.de Kombinatorik 21. Juli / 51
69 Teilmengen Zyklen zählen Wir wählen ein beliebiges Element aus Ω Es gibt nun zwei Möglichkeiten: Simon Kombinatorik 21. Juli / 51
70 Teilmengen Zyklen zählen Wir wählen ein beliebiges Element aus Ω Es gibt nun zwei Möglichkeiten: 1 Das Element wird einen Zyklus abschließen n n 1 k k 1 Simon Rainersr@mail25.de Kombinatorik 21. Juli / 51
71 Teilmengen Zyklen zählen Wir wählen ein beliebiges Element aus Ω Es gibt nun zwei Möglichkeiten: 1 Das Element wird einen Zyklus abschließen n n 1 k k 1 2 Das Element wird zu einem der k Zyklen hinzugefügt n n 1 k k Simon Rainersr@mail25.de Kombinatorik 21. Juli / 51
72 Teilmengen Zyklen zählen Wir wählen ein beliebiges Element aus Ω Es gibt nun zwei Möglichkeiten: 1 Das Element wird einen Zyklus abschließen n n 1 k k 1 2 Das Element wird zu einem der k Zyklen hinzugefügt n n 1 k k Bei 2 gibt es nun n 1 statt k Möglichkeiten Simon Rainersr@mail25.de Kombinatorik 21. Juli / 51
73 Stirling-Zahlen erster Art Rekursion [ n s n,k = = s k] n 1,k 1 + (n 1) s n 1,k Basisfälle s n,n = 1 s n,k = 0 für k = 0 < n n < k Simon Rainersr@mail25.de Kombinatorik 21. Juli / 51
74 Wir bauen eine Achterbahn! Problem Es soll eine Achterbahn aus n = 4 verschieden hohen Türmen gebaut werden die beliebig miteinander verbunden werden können. Dabei soll es genau k = 2 mal bergauf und n k 1 mal bergab gehen. (Die Achterbahn fährt nicht im Kreis) Simon Rainersr@mail25.de Kombinatorik 21. Juli / 51
75 Wir bauen eine Achterbahn! 1 Zuerst mal formalisieren: Jeder Turm wird einfach als Zahl dargestellt Beispiele: (1, 3,2, 4) (2, 3,1, 4) (3,1, 2, 4) Simon Rainersr@mail25.de Kombinatorik 21. Juli / 51
76 Wir bauen eine Achterbahn! 1 Zuerst mal formalisieren: Jeder Turm wird einfach als Zahl dargestellt Beispiele: (1, 3,2, 4) (2, 3,1, 4) (3,1, 2, 4) Welche Möglichkeiten gäbe es die 5 hinzuzufügen? Simon Rainersr@mail25.de Kombinatorik 21. Juli / 51
77 Wir bauen eine Achterbahn! (2, 3,1, 4) (5, 2, 3, 1, 4) (2, 5, 3, 1, 4) (2, 3, 1, 5, 4) (2, 3, 5, 1, 4) (2, 3, 1, 4, 5) Man kann das neue Element immer am Anfang einfügen Oder an den k Stellen nach einer Erhöhung Oder and den n k anderen Stellen Simon Rainersr@mail25.de Kombinatorik 21. Juli / 51
78 Euler-Zahlen Rekursion n k = (k + 1) n 1 + (n k) k n 1 k 1 Basisfälle 0 = = 1 k Simon Rainersr@mail25.de Kombinatorik 21. Juli / 51
79 Euler-Zahlen Definition Die Euler-Zahlen n k geben die Anzahl der Permutationen von n Elementen an, bei denen an genau k Stellen eine größere Zahl auf eine kleiner Zahl folgt Simon Rainersr@mail25.de Kombinatorik 21. Juli / 51
80 Problem Problem Justus, Peter und Bob wollen nun doch lieber nur durchprobieren wie viele Möglichkeiten es gibt, dass jeder jeweils unterschiedlich viele Aufgaben bearbeitet. (Jeder sollte mindestens eine Aufgabe abbekommen) Wie lange werden werden sie beschäftigt sein? Simon Kombinatorik 21. Juli / 51
81 Integer-Partitionen Defintion Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es eine Zahl n in genau k Summanden zu zerlegen? Simon Rainersr@mail25.de Kombinatorik 21. Juli / 51
82 Integer-Partitionen Defintion Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es eine Zahl n in genau k Summanden zu zerlegen? Beispiel n = 10 k = 3: Simon Rainersr@mail25.de Kombinatorik 21. Juli / 51
83 Simon Rainersr@mail25.de Kombinatorik 21. Juli / Beispiel
84 Integer-Partitionen Rekursion Basisfälle n k = P n,k = P n k,k + P n 1,k 1 P 0,0 = 1 P n,k = 0 für n <= 0 k <= 0 Simon Rainersr@mail25.de Kombinatorik 21. Juli / 51
85 Integer-Partitionen ! 5h = 8 6 5h = 10 Tage Simon Rainersr@mail25.de Kombinatorik 21. Juli / 51
86 Worauf kommt es an? 1 Problem modellieren Reduktion auf Grundbausteine Herleiten einer Rekursionsformel 2 Lösung implementieren 1 Grenzfälle und Kleinigkeiten beachten 2 Zwischenergebnisse klein halten oder BigInteger/Python 3 Dynamische Programmierung Simon Rainersr@mail25.de Kombinatorik 21. Juli / 51
87 Fragen? Fragen! Simon Kombinatorik 21. Juli / 51
88 Quellen Kombinatorik Vortrag, Andreas Siegling SS2014 Kombinatorik Vortrag, Matthias Bayerlein SS2010 Simon Kombinatorik 21. Juli / 51
89 Richtige Quellen Ronald Graham, Donald Knuth Concrete Mathematics. Addison-Wesley Professional, Donald Knuth The Art Of Computer Programming Volume 4, Fascicle 3. Addison-Wesley Professional, Donald Knuth Two Notes On Notation. Amer. Math. Monthly 99, no. 5, , Simon Kombinatorik 21. Juli / 51
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