Wiederholung: Laplace scher W.-Raum
|
|
- Herta Sachs
- vor 6 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 1 Wiederholung: Laplace scher W.-Raum Sei Ω = {ω 1,ω 2,...,ω s } eine s-elementige Menge von Elementarereignissen und gelte p(ω) = 1/s für alle ω Ω. Dann nennen wir (Ω,P ) einen Laplace schen W-Raum. Problem: s ist normalerweise nicht bekannt und muss daher berechnet werden. => Kombinatorik
2 2 KAPITEL 2 KOMBINATORIK
3 3 Gliederung Einleitung Elementare Zählprobleme Geburtstagsproblem (Paradoxon der ersten Kollision) Formel des Ein- und Ausschließens
4 4 Einleitung Die Kombinatorik wird auch als die Kunst des geschickten Zählens bezeichnet. Im Folgenden geht es im Prinzip auch um nichts anderes, als irgendetwas mit möglichst geringem Aufwand abzuzählen. Die beiden typischen Fragestellungen in der Kombinatorik lauten: (1)Wie viele Möglichkeiten gibt es, k Objekte aus einer Menge von n Objekten auszuwählen? => Kombinationen (2)Wie viele Möglichkeiten gibt es, n Objekte in verschiedenen Reihenfolgen anzuordnen? => Permutationen
5 5 Permutation oder Kombination? Führt die Vertauschung von zwei Elementen eines Ergebnisses zu einer anderen inhaltlichen Interpretation oder liegt eine Nummerierung der Auswahlprozesse vor? Ja => Permutation Nein => Kombination Händeschütteln Nein Jemanden besuchen Ja Lottozahlen Nein Totozahlen Ja Gerichte an Personen verteilen Ja
6 6 Beispiel 1 In einem Restaurant gibt es 4 Vorspeisen, 4 Suppen und 5 Hauptgänge. Wie viele Möglichkeiten der Menüwahl gibt es, wenn man aus jeder Kategorie eine Speise wählt?
7 7 Beispiel 2 Wie viele verschiedene Autokennzeichen für Saarbrücken sind möglich, wenn nach dem Städtekürzel SB zwei Buchstaben und drei Ziffern folgen?
8 8 Fundamentalprinzip des Zählens 1) Sind A und B endliche Mengen mit A = n und B = m. Dann hat das kartesische Produkt n m Elemente. Kurz: A x B = n m. 2) Sind A 1, A 2,,A k endliche Mengen mit A i = n i für i = 1,, k. Dann: A 1 x A 2 x x A k = n 1 n 2 n k. Dieses Fundamentalprinzip lässt sich in Situationen anwenden, in denen aus mehreren Auswahlmengen je genau ein Element gewählt wird. Menü: Auswahlmengen Vorspeisen, Suppen, Hauptgänge Autokennzeichen: Auswahlmengen 1. Buchstabe, 2. Buchstabe, 1. Ziffer, 2. Ziffer, 3. Ziffer
9 9 Elementare Zählprobleme Es gibt vier elementare Zählprobleme: (1) Reihenfolge wichtig, Wiederholung möglich. Beispiele: Buchstaben in Wort, Ziffern in Telefonnummer (2) Reihenfolge wichtig, keine Wiederholung möglich. Beispiele: Ziehung der Auftrittsfolge bei Konzert (3) Reihenfolge unwichtig, keine Wiederholung. Beispiele: Lottozahlen, Verteilung der Karten bei einem Kartenspiel (4) Reihenfolge unwichtig, Wiederholung möglich. Beispiele: Nicht unterscheidbare Äpfel an Kinder verteilen.
10 10 Urnenmodelle Die vier elementaren Zählprobleme werden in der Literatur oft als Urnenmodelle bezeichnet. Diesem Begriff liegt die Vorstellung zugrunde, dass Kugeln aus einer Wahlurne gezogen werden. Probleme (1) und (2) werden dann als geordnetes Ziehen mit bzw. ohne Zurücklegen bezeichnet; Probleme (3) und (4) entsprechend als ungeordnetes Ziehen mit bzw. ohne Zurücklegen. Wir verwenden im Anschluss an Behrens den Begriff der elementaren Zählprobleme, da dieser die zugrundeliegende Prozesse besser beschreibt als der historische Begriff Urnenmodelle.
11 11 Zählproblem 1: Reihenfolge wichtig, Wiederholung möglich Beispiel: Wörter mit 4 Buchstaben n = 26 Buchstaben (Wahlmöglichkeiten) k = 4 Auswahlprozesse Hier lässt sich direkt das Fundamentalprinzip anwenden: Jede Auswahlmenge enthält 26 Buchstaben. Somit gibt es 26 4 = Wörter mit 4 Buchstaben (wobei aber nicht alle sinnvolle Wörter sind). Allgemein: Für die Auswahl von k Elementen aus einer n-elementigen Menge gibt es n k Möglichkeiten, wenn Elemente wiederholt ausgewählt werden dürfen und die Reihenfolge wichtig ist.
12 12 Zählproblem 2: Reihenfolge wichtig, keine Wiederholung Beispiel: Wörter mit drei verschiedenen Buchstaben n = 26 Buchstaben k = 3 Auswahlprozesse 1. Buchstabe: 26 Wahlmöglichkeiten 2. Buchstabe: 25 Wahlmöglichkeiten (1. Buchstabe darf nicht mehr vorkommen) 3. Buchstabe: 24 Wahlmöglichkeiten (erste beide Buchstaben dürfen nicht mehr vorkommen. Somit gibt es 26 * 25 * 24 = Möglichkeiten. Allgemein: Für die Auswahl von k Elementen aus einer n-elementigen Menge gibt es n * (n-1) * (n-2) * * (n-k+1) Möglichkeiten, wenn Elemente nicht mehrfach ausgewählt werden dürfen und die Reihenfolge wichtig ist.
13 13 Spezialfall zu Problem 2 k = n: Es gibt n * (n-1) * (n-2) * * 1 = n! Möglichkeiten.
14 14 Zählproblem 3: Reihenfolge unwichtig, keine Wiederholung Beispiel: Lotto 6 aus 49 n = 49 Kugeln (Wahlmöglichkeiten) k = 6 Ziehungen (Auswahlprozesse) Würde die Reihenfolge eine Rolle spielen, so gäbe es Möglichkeiten. 49 * 48 * 47 * 46 * 45 * 44 Seien die gezogenen Zahlen a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, a 6. Für die Reihenfolge dieser Zahlen gibt es 6! Möglichkeiten (Zählproblem 2 mit k = n). D. h.: Diese 6! Möglichkeiten sind identisch, wenn die Reihenfolge egal ist. Somit gibt es 49 * 48 * 47 * 46 * 45 * 44 / 6! = Möglichkeiten.
15 15 Zählproblem 3: Reihenfolge unwichtig, keine Wiederholung Allgemein: n Wahlmöglichkeiten k Auswahlprozesse Für die Auswahl von k Elementen aus einer n-elementigen Menge gibt es n * (n-1) * (n-2) * * (n-k+1) / k! Möglichkeiten, wenn Elemente nicht mehrfach ausgewählt werden dürfen und die Reihenfolge unwichtig ist.
16 16 Bemerkung zu Zählproblem 3 Die Anzahl der Möglichkeiten ist gleich dem Binomialkoeffizienten. n über k. Wenn man n * (n-1) * (n-2) * * (n-k+1) / k! mit (n-k)! erweitert, erhält man die klassische Formel n n! = k n k! k!
17 17 Zählproblem 4: Reihenfolge unwichtig, Wiederholung möglich Typische Situation: n unterscheidbare Kästen k identisch aussehende Kugeln Auf wie viele Weisen können die Kugeln in den Kästen platziert werden? Wir veranschaulichen die Problemstellung wie folgt: (i) Wir fügen n-1 Trennstriche zwischen den Kästen hinzu => k+n-1 Elemente (ii) Die Verteilung der Kugeln auf die Kästen ist durch die Anordnung der n-1 Trennstriche festgelegt. (iii)umgekehrt führt jede unterschiedliche Anordnung der Trennstriche zu einer unterschiedlichen Anordnung der Kugeln in den Kästen. Somit ist das Problem analog zur Auswahl von n-1 Elementen aus einer (n-1+k)- elementigen Menge ohne Wiederholung und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge.
18 18 Anwendung: Gummibärchen-Orakel Aus einer vollen Tüte mit Gummibärchen in 5 Farben werden 5 Stück gezogen. Dann ist n = 5 und k = 5. Somit gibt es = 126 = verschiedene Kombinationen. Das Orakel online:
19 19 Verallgemeinerung von Problem 2 Permutationen ohne Whd. - für den Fall k = n Bei Problem 2 sind wir davon ausgegangen, dass die einzelnen Auswahlelemente voneinander unterscheidbar sind. Nun nehmen wir an, dass wir nur bestimmte Gruppen unterscheiden können; innerhalb der Gruppe gibt es keine Unterschiede zwischen den Elementen. Beispiele: (1)Schwarze, weiße und rote Kugeln (2)Äpfel, Bananen, Orangen und Birnen (3)Fußball: Torwart, Verteidiger, Mittelfeldspieler, Stürmer
20 20 Verallgemeinerung Problem 2 - Fortsetzung Sei r die Anzahl der Gruppen mit n i Elementen in Gruppe i. Dann ist n 1 + n n r = n. (1)Für die Anordnung der n Elemente gibt es n! Möglichkeiten. (2)Für die Anordnung der n i Elemente aus Gruppe i gibt es n i! Möglichkeiten, die nicht unterscheidbar sind. (3)Jede Anordnung für eine Gruppe kann mit jeder Anordnung einer anderen Gruppe frei kombiniert werden. => Fundamentalregel: Es gibt insgesamt n 1! * n 2! * * n r! Anordnungen, die nicht voneinander unterscheidbar sind. Somit gibt es n! n 1! n 2! n r! unterscheidbare Anordnungen.
21 21 Bemerkung n! n 1! n 2! n r! heißt Multinomialkoeffizient. Im Fall r = 2 entspricht der Multinomialkoeffizient dem Binomialkoeffizienten.
22 22 Beispiel 45 Bälle in verschiedenen Farben 10 rot 15 blau 12 grün 8 gelb. Fragestellung 1: Wie viele unterscheidbare Anordnungen der Bälle gibt es? Lösung: Multinomialkoeffizient mit n = 45, n 1 = 10, n 2 = 15, n 3 = 12, n 4 = 8 Fragestellung 2: 10 Bälle werden gezogen Lösung: (1) Für jede Farbe richten wir ein eigenes Fach ein und ziehen 3 Trennstriche zwischen den Fächern => Auswahl von 3 Elementen aus 13 Elementen = (2) Aber: Es gibt nur 8 gelbe Bälle => Kombinationen mit 9 oder 10 gelben Bällen müssen ausgeschlossen werden. 10 gelbe: Eindeutig. 9 gelbe: Zehnter Ball dann rot oder blau oder grün. Also müssen insgesamt 4 Kombinationen abgezogen werden.
23 23 Schritte bei der Lösung von Zählproblemen 1) Identifikation des Problemtyps: Permutation oder Kombination? Bei Permutationen spielt die Reihenfolge eine Rolle. Dies setzt voraus, dass - unterscheidbare Auswahlelemente vorhanden sind - die Reihenfolge für die Fragestellung einen Unterschied macht (Ziehungsreihenfolge bei Lotto unwichtig / wenn nacheinander verschiedene Gewinne gezogen werden, ist die Reihenfolge hingegen sehr wohl entscheidend) 2) Was ist k und n?
24 24 Übung 3 1) 10 Leute verabschieden sich per Händedruck voneinander. a) Wie viele Händedrücke gibt es, wenn alle sich die Hand geben? b) Zwei Leute sind erkältet und geben deshalb den anderen nicht die Hand. Wie viele Händedrücke bleiben? 2) Die HTW veranstaltet einen Jahresabschlussfeier, zu der 6 Professoren und 3 wissenschaftliche Mitarbeiter erscheinen. a) Wie viele Möglichkeiten gibt es, dass sich alle Teilnehmer zur gleichen Zeit in einer Reihe hintereinander an das Buffet anstellen? b) Die Professoren stehen in einer Reihe in der Schlange vor einer Reihe der wissenschaftlichen Mitarbeiter. Wie viele Möglichkeiten gibt es unter dieser Nebenbedingung? c) Am Buffet gibt es 8 verschiedene Gerichte, die jeweils in unbegrenzter Menge zur Verfügung stehen. Wie viele Möglichkeiten gibt es, die Gerichte auf die Gäste zu verteilen, wenn jeder Gast ein Gericht erhält? d) Nun steht Gericht A zweimal, B viermal und C dreimal zur Verfügung. Wie viele Möglichkeiten gibt es, diese Auswahl unter den Mitarbeitern zu verteilen? Es spielt keine Rolle, in welcher Reihenfolge die Gäste ihr Gericht erhalten. 3) Sie spielen TOTO und tippen für jedes Spiel eines Spieltages der Fußball-Bundesliga (9 Spiele), ob die Heimmannschaft (1) bzw. die Gastmannschaft (2) siegt, oder ob es ein Remis (0) gibt. Bestimmen Sie die Anzahl der möglichen Tippreihen und die der komplett falschen Tippreihen (in diesem Fall wird nicht ein einziges Spielergebnis korrekt vorhergesagt).
25 25 Übung 3/1 10 Leute verabschieden sich per Händedruck voneinander. a)wie viele Händedrücke gibt es, wenn alle sich die Hand geben? b)zwei Leute sind erkältet und geben deshalb den anderen nicht die Hand. Wie viele Händedrücke bleiben?
26 26 Übung 3/2 Die HTW veranstaltet einen Jahresabschlussfeier, zu der 6 Professoren und 3 wissenschaftliche Mitarbeiter erscheinen. a) Wie viele Möglichkeiten gibt es, dass sich alle Teilnehmer zur gleichen Zeit in einer Reihe hintereinander an das Buffet anstellen? b) Die Professoren stehen in einer Reihe in der Schlange vor einer Reihe der wissenschaftlichen Mitarbeiter. Wie viele Möglichkeiten gibt es unter dieser Nebenbedingung? c) Am Buffet gibt es 8 verschiedene Gerichte, die jeweils in unbegrenzter Menge zur Verfügung stehen. Wie viele Möglichkeiten gibt es, die Gerichte auf die Gäste zu verteilen, wenn jeder Gast ein Gericht erhält? d) Nun steht Gericht A zweimal, B viermal und C dreimal zur Verfügung. Wie viele Möglichkeiten gibt es, diese Auswahl unter den Mitarbeitern zu verteilen? Es spielt keine Rolle, in welcher Reihenfolge die Gäste ihr Gericht erhalten.
27 27 Übung 3/3 Sie spielen TOTO und tippen für jedes Spiel eines Spieltages der Fußball-Bundesliga (9 Spiele), ob die Heimmannschaft (1) bzw. die Gastmannschaft (2) siegt, oder ob es ein Remis (0) gibt. Bestimmen Sie die Anzahl der möglichen Tippreihen und die der komplett falschen Tippreihen (in diesem Fall wird nicht ein einziges Spielergebnis korrekt vorhergesagt).
28 28 Geburtstagsproblem Auf einer Feier befinden sich n Personen. Wie ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zwei von ihnen am gleichen Tag Geburtstag haben?
29 29 Geburtstagsproblem - Lösungsansatz Oft ist die Berechnung der Wahrscheinlichkeit des komplementären Ereignisses einfacher! Komplementärereignis: Es gibt keine zwei Personen, die am gleichen Tag Geburtstag haben. Modellannahmen: (1)Das Jahr hat 365 Tage. (2)Jeder Tag ist gleichwahrscheinlich.
30 30 Geburtstagsproblem Lösung 1 2 Personen: Für 2. Person bleiben 364 Tage => Wahrscheinlichkeit für unterschiedliche Geburtstage = 364 / 365 = Personen: Für 3. Person bleiben 363 Tage => Wahrscheinlichkeit für unterschiedliche Geburtstage = (364 / 365) * (363 / 365) = Personen: Für 4. Person bleiben 362 Tage Wahrscheinlichkeit für unterschiedliche Geburtstage = (364 / 365) * (363 / 365) * (362 / 365) = => Wahrscheinlichkeit für zwei gleiche Geburtstage = = 0.016
31 31 Geburtstagsproblem Lösung 2 Allgemeine Formel: Herleitung an Tafel! Wahrscheinlichkeiten für ausgewählte Personenanzahlen: n = 10: Wahrscheinlichkeit 11.61% n = 20: Wahrscheinlichkeit 40.62% n = 23: Wahrscheinlichkeit 50.05% n = 30: Wahrscheinlichkeit 69.68% n = 50: Wahrscheinlichkeit 96.53%
32 32 Übung 4 Ein Memoryspiel besteht aus 2N Karten. Leiten Sie die Formel her für die Wahrscheinlichkeit, dass nach dem n-ten Zug zufällig ein Paar aufgedeckt wird! N = 32: Bei 10 aufgedeckten Karten beträgt Wahrscheinlichkeit, ein Paar zu finden, 56,4%. N = 50: Bei 12 Karten Wahrscheinlichkeit > 50%, N = 365: Ab 32 Karten Wahrscheinlichkeit > 50%.
33 33 Paradoxon der ersten Kollision Bei den beiden letzten Beispielen (Geburtstagen, Memorykarten) ging es darum, die Wahrscheinlichkeit zu ermitteln, dass bei einem Zufallsexperiment nach n Durchführungen sich zum ersten Mal ein Ergebnis wiederholt. Die Wahrscheinlichkeiten sind höher als man intuitiv annehmen würde. Dies hängt damit zusammen, dass wir auf irgendeine und nicht auf eine bestimmte Wiederholung warten. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass etwa zwei Personen am 12. Januar Geburtstag haben, ist deutlich geringer (Übung!). Solche Anwendungen fasst man unter dem Begriff des Paradoxon der ersten Kollision zusammen. Siehe dazu Henze, Kapitel 10.
34 34 Formel des Ein- und Ausschließens Siebformel Inklusion-Exklusion-Satz Die Siebformel ist die allgemeine Formel für die Berechnung der Wahrscheinlichkeit der Vereinigung von n nicht disjunkten Ereignissen. Für n = 2 und n = 3 haben wir die Formel bereits bewiesen (Vorlesung bzw. Übung).
35 35 Formel des Ein- und Ausschließens - Siebformel Die Bezeichnung Siebformel kommt von der Vorstellung, dass man zuerst die Wahrscheinlichkeiten jeweils einer Menge betrachtet, dann von jeweils zwei Durchschnitten, dann jeweils drei Durchschnitte usw. Der Beweis erfolgt mit Vollständiger Induktion, indem man im Induktionsschritt A:= A 1 A 2... A n 1 und B:= A n setzt und für A die Formel aus der Induktionsannahme einsetzt.
36 36 Übung 5 Von 1000 repräsentativ befragten Haushalten besitzen 603 einen CD Spieler, 634 einen DVD-Recorder, 478 einen PC, 392 einen CD Spieler und einen DVD-Recorder, 322 einen CD Spieler und einen PC und 297 einen DVD-Recorder und einen PC. 214 Haushalte gaben an, alle drei Geräte zu besitzen. Wie viele der befragten Haushalte besitzen keines der drei Geräte?
37 37 Anwendung: Das Koinzidenz-Paradoxon (Rencontre-Problem) 1 Eine verwirrte Sekretärin steckt n persönliche Briefe in n beschriftete Umschläge. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens ein Brief im richtigen Umschlag landet? Mathematisches Modell: Permutation der Zahlen 1 bis n, die mindestens eine Zahl fest lässt. Sei i = 1,, n und sei A i das Ereignis, dass das ite Element an Position i bleibt. Formal: A i := {(a 1,a 2,...,a n ) Ω : a i = i} mit Ω = Menge der Permutationen der Zahlen 1 bis n, also Ω = n!.
38 38 Das Koinzidenz-Paradoxon 2 Für die Summe der Reihe (s. Tafel) ergibt sich: n=2 0.5 n= n= n= n= Für n 7 ist das Ergebnis bis auf 3 Nachkommastellen gleich und hängt damit nicht mehr von n ab. Euler zeigte als erster, dass die Summe für n -> den Grenzwert 1 1/e = hat.
39 39 Literatur Henze Kapitel 8 11 Behrens
Bestimmen der Wahrscheinlichkeiten mithilfe von Zählstrategien
R. Brinmann http://brinmann-du.de Seite 4.0.2007 Bestimmen der Wahrscheinlicheiten mithilfe von Zählstrategien Die bisherigen Aufgaben zur Wahrscheinlicheitsrechnung onnten im Wesentlichen mit übersichtlichen
MehrAufgaben und Lösungen
Aufgaben und Lösungen Aufgabe Aus einer Schulklasse von 3 Schülern soll eine Abordnung von Schülern zum Direktor geschickt werden. Auf wie viele Arten kann diese Abordnung gebildet werden? ( ) 3 = 33.649
MehrVariationen Permutationen Kombinationen
Variationen Permutationen Kombinationen Mit diesen Rechenregeln lässt sich die Wahrscheinlichkeit bestimmter Ereigniskombinationen von gleichwahrscheinlichen Elementarereignissen ermitteln, und erleichtert
MehrWahrscheinlichkeit Klasse 8 7
7 Wahrscheinlichkeit Klasse 8 Ereignisse Seite 8 a) Ω {Herz 7; Herz 8; Herz 9; Herz 0; Herz Unter; Herz Ober; Herz König; Herz Ass; Eichel 7; Eichel 8; Eichel 9; Eichel 0; Eichel Unter; Eichel Ober; Eichel
Mehr1.5 Folgerungen aus dem Kolmogoroff- Axiomensystem P( ) = 0.
1.5 Folgerungen aus dem Kolmogoroff- Axiomensystem Folg. 2 Sei (Ω, E, P) W.-raum. Seien A, B,A 1,...,A n Ereignisse. Es gelten die folgenden Aussagen: 1. P(A) = 1 P(A). 2. Für das unmögliche Ereignis gilt:
MehrP X =3 = 2 36 P X =5 = 4 P X =6 = 5 36 P X =8 = 5 36 P X =9 = 4 P X =10 = 3 36 P X =11 = 2 36 P X =12 = 1
Übungen zur Stochastik - Lösungen 1. Ein Glücksrad ist in 3 kongruente Segmente aufgeteilt. Jedes Segment wird mit genau einer Zahl beschriftet, zwei Segmente mit der Zahl 0 und ein Segment mit der Zahl
MehrEinführung in die Stochastik
Einführung in die Stochastik Josef G. Steinebach Köln, WS 2009/10 I Wahrscheinlichkeitsrechnung 1 Wahrscheinlichkeitsräume, Urnenmodelle Stochastik : Lehre von den Gesetzmäßigkeiten des Zufalls, Analyse
MehrWS 2008/09. Diskrete Strukturen
WS 2008/09 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0809
Mehr$ % + 0 sonst. " p für X =1 $
31 617 Spezielle Verteilungen 6171 Bernoulli Verteilung Wir beschreiben zunächst drei diskrete Verteilungen und beginnen mit einem Zufallsexperiment, indem wir uns für das Eintreffen eines bestimmten Ereignisses
MehrÜbungen zur Mathematik für Pharmazeuten
Blatt 1 Aufgabe 1. Wir betrachten den Ereignisraum Ω = {(i,j) 1 i,j 6} zum Zufallsexperiment des zweimaligem Würfelns. Sei A Ω das Ereignis Pasch, und B Ω das Ereignis, daß der erste Wurf eine gerade Augenzahl
MehrGrundlagen. Wozu Wahrscheinlichkeitsrechnung? Definition und Begriff der Wahrscheinlichkeit. Berechnung von Laplace-Wahrscheinlichkeiten
Teil 2: Wahrscheinlichkeitsrechnung 326 Grundlagen Wozu Wahrscheinlichkeitsrechnung? Definition und egriff der Wahrscheinlichkeit erechnung von Laplace-Wahrscheinlichkeiten Rechnen mit einfachem Mengenkalkül
Mehr1.) Wie viele verschiedene Anordnungen mit drei unterschiedlichen Buchstaben lassen sich aus acht verschiedenen Buchstaben bilden?
Aufgaben zur Kombinatorik, Nr. 1 1.) Wie viele verschiedene Anordnungen mit drei unterschiedlichen Buchstaben lassen sich aus acht verschiedenen Buchstaben bilden? 2.) Jemand hat 10 verschiedene Bonbons
Mehry 1 2 3 4 5 6 P (Y = y) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
Fachhochschule Köln Fakultät für Wirtschaftswissenschaften Prof. Dr. Arrenberg Raum 221, Tel. 39 14 jutta.arrenberg@fh-koeln.de Übungen zur Statistik für Prüfungskandidaten und Prüfungskandidatinnen Unabhängigkeit
MehrÜbungsaufgaben Wahrscheinlichkeit
Übungsaufgaben Wahrscheinlichkeit Aufgabe 1 (mdb500405): In einer Urne befinden sich gelbe (g), rote (r), blaue (b) und weiße (w) Kugel (s. Bild). Ohne Hinsehen sollen aus der Urne in einem Zug Kugeln
MehrMaristengymnasium Fürstenzell zuletzt geändert am 10.03.2001 Aufgaben zur Kombinatorik (mit Lösungen)
Maristengymnasium Fürstenzell zuletzt geändert am 0.0.00 Aufgaben zur Kombinatorik (mit Lösungen) 0.. Wieviele Möglichkeiten gibt es für Kinder, sich auf einen Schlitten zu setzen, wenn ihn nur davon steuern
MehrGesucht: wie viele Mitarbeiter sind max. durch Ziffernfolge unterscheidbar. Lösung: Möglichkeiten; Reihenfolge und MIT Zurücklegen- also = = 6561
1 Bettina Kietzmann Februar 2013 Numerische Aufgaben Statistik 1D 1. Kombinatorik Für die Lösung dieser Aufgaben ist die Tabelle der Formelsammlung S. 10 relevant. Geht es darum Möglichkeiten zu errechnen
MehrSystem- Infos für TOTO
Merkblatt für Systeme Staatliche Toto-Lotto GmbH Baden-Württemberg System- Infos für TOTO er-tipp Spielteilnahme ab 8 Jahren. Glücksspiel kann süchtig machen. Nähere Informationen bei LOTTO und unter www.lotto.de.
MehrWahrscheinlichkeitstheorie. Zapper und
Diskrete Wahrscheinlichkeitsräume Slide 1 Wahrscheinlichkeitstheorie die Wissenschaft der Zapper und Zocker Diskrete Wahrscheinlichkeitsräume Slide 2 Münzwürfe, Zufallsbits Elementarereignisse mit Wahrscheinlichkeiten
MehrModul: Stochastik. Zufallsexperimente oder Wahrscheinlichkeit relative Häufigkeit Variation Permutation Kombinationen Binomialverteilung
Modul: Stochastik Ablauf Vorstellung der Themen Lernen Spielen Wiederholen Zusammenfassen Zufallsexperimente oder Wahrscheinlichkeit relative Häufigkeit Variation Permutation Kombinationen Binomialverteilung
MehrWie löst man Mathematikaufgaben?
Wie löst man Mathematikaufgaben? Manfred Dobrowolski Universität Würzburg Wie löst man Mathematikaufgaben? 1 Das Schubfachprinzip 2 Das Invarianzprinzip 3 Das Extremalprinzip Das Schubfachprinzip Verteilt
MehrAnalysis I für Studierende der Ingenieurwissenschaften
Fachbereich Mathematik der Universität Hamburg WiSe 2015/16 Prof. Dr. M. Hinze Dr. P. Kiani Analysis I für Studierende der Ingenieurwissenschaften Lösungshinweise zu Blatt 2 Aufgabe 1: (12 Punkte) a) Beweisen
Mehr6.1 Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung 6.1.1 Definitionen und Beispiele Beispiel 1 Zufallsexperiment 1,2,3,4,5,6 Elementarereignis
1 6.1 Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung 6.1.1 Definitionen und Beispiele Spiele aus dem Alltagsleben: Würfel, Münzen, Karten,... u.s.w. sind gut geeignet die Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Mehr3.2. Prüfungsaufgaben zur bedingten Wahrscheinlichkeit
3.2. Prüfungsaufgaben zur bedingten Wahrscheinlichkeit Aufgabe : Summenregel und bedingte Wahrscheinlichkeit Eine Statistik hat folgende Ergebnisse zutage gebracht: 52 % der Bevölkerung sind weiblich.
Mehr3.7 Wahrscheinlichkeitsrechnung II
3.7 Wahrscheinlichkeitsrechnung II Inhaltsverzeichnis 1 bedingte Wahrscheinlichkeiten 2 2 unabhängige Ereignisse 5 3 mehrstufige Zufallsversuche 7 1 Wahrscheinlichkeitsrechnung II 28.02.2010 Theorie und
Mehr(für Grund- und Leistungskurse Mathematik) 26W55DLQHU0DUWLQ(KUHQE UJ*\PQDVLXP)RUFKKHLP
.RPELQDWRULN (für Grund- und Leistungsurse Mathemati) 6W55DLQHU0DUWLQ(KUHQE UJ*\PQDVLXP)RUFKKHLP Nach dem Studium dieses Sripts sollten folgende Begriffe beannt sein: n-menge, Kreuzprodut, n-tupel Zählprinzip
MehrGrundkursabitur 2011 Stochastik Aufgabe III
Grundkursabitur 011 Stochastik Aufgabe III An einem Musikwettbewerb, der aus einer Messehalle bundesweit live im Fernsehen übertragenwird, nehmen zwölf Nachwuchsbands aus ganz Deutschland teil. Genau zwei
MehrInformationsblatt Induktionsbeweis
Sommer 015 Informationsblatt Induktionsbeweis 31. März 015 Motivation Die vollständige Induktion ist ein wichtiges Beweisverfahren in der Informatik. Sie wird häufig dazu gebraucht, um mathematische Formeln
MehrDie Binomialverteilung
Fachseminar zur Stochastik Die Binomialverteilung 23.11.2015 Referenten: Carolin Labrzycki und Caroline Kemper Gliederung Einstieg Definition der Binomialverteilung Herleitung der Formel an einem Beispiel
MehrBei vielen Zufallsexperimenten interessiert man sich lediglich für das Eintreten bzw. das Nichteintreten eines bestimmten Ereignisses.
XI. Binomialverteilung ================================================================== 11.1 Definitionen -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
MehrÜbungsaufgaben - Kombinatorik. Übungsaufgaben - Kombinatorik. Aufgabe 1 Schwierigkeit: X. Aufgabe 3 Schwierigkeit: X
Aufgabe 1 Schwierigkeit: X Aufgabe 3 Schwierigkeit: X Einer Gruppe von 15 Schülern werden 3 Theaterkarten angeboten. Auf wie viele Arten können die Karten verteilt werden, wenn sich die Karten auf nummerierte
MehrAnleitung Basisspiel (ohne App)
Anleitung Basisspiel (ohne App) Autor: Projekt Team III, Michael Schacht Design: Felix Harnickell, KniffDesign, DE Ravensburger Illustration: Franz Vohwinkel, Torsten Wolber Anleitung: DE Ravensburger
Mehr6 Mehrstufige zufällige Vorgänge Lösungshinweise
6 Mehrstufige zufällige Vorgänge Lösungshinweise Aufgabe 6.: Begründen Sie, warum die stochastische Unabhängigkeit zweier Ereignisse bzw. zufälliger Vorgänge nur ein Modell der Realität darstellen kann.
MehrDas Kugel-Fächer-Modell - Arbeitsblätter rür den Unterricht
38 Das Kugel-Fächer-Modell - Arbeitsblätter rür den Unterricht Heinz Klaus Strick, Leverkusen In (Strick 1994) wurde dargestellt, wie Aufgaben vom Typ "Geburtstagsproblem", "Rosinenproblem", "Problem der
MehrTOTO-System. Sonderteilnahmebedingungen zum Systemspiel
TOTO-System Spiel-Erklärung Sonderteilnahmebedingungen zum Systemspiel Die Teilnahme am Spielangebot von WestLotto ist Personen unter 18 Jahren gesetzlich verboten. Glücksspiel kann süchtig machen! Hilfe
MehrComic Life 2.x. Fortbildung zum Mediencurriculum
Comic Life 2.x Fortbildung zum Mediencurriculum - 1 - Comic Life Eine kurze Einführung in die Bedienung von Comic Life 2.x. - 2 - Starten von Comic Life Bitte starte das Programm Comic Life. Es befindet
MehrEine der Aktien hat immer einen höheren Gewinn als die andere Aktie. Ihre Aufgabe ist es diese auszuwählen.
Instruktionen am Anfang von Experiment 1 (auf Papier ausgeteilt: grünmarkierte Textstellen zeigen den Instruktionstext in der jeweiligen Bedingung an; Kommentare sind gelb markiert.) Stellen Sie sich vor,
MehrMah Jongg - Ein Spiel für 4 Spieler
Mah Jongg - Ein Spiel für 4 Spieler Nein! Es ist nicht eine der vielen Patience-Varianten, die auf Computern zu finden sind, gemeint. Wir spielen in fester Runde seit nunmehr über 10 Jahren das Spiel,
MehrAufgabe 2.1. Ergebnis, Ergebnismenge, Ereignis
Aufgabe 2. Ergebnis, Ergebnismenge, Ereignis Ergebnis und Ergebnismenge Vorgänge mit zufälligem Ergebnis, oft Zufallsexperiment genannt Bei der Beschreibung der Ergebnisse wird stets ein bestimmtes Merkmal
MehrMathematik-Dossier 5 Wahrscheinlichkeit Regelmässigkeit des Zufalls (angepasst an das Lehrmittel Mathematik 1)
Name: Mathematik-Dossier 5 Wahrscheinlichkeit Regelmässigkeit des Zufalls (angepasst an das Lehrmittel Mathematik 1) Inhalt: Absolute und relative Häufigkeit Wahrscheinlichkeit Voraussagen mit Wahrscheinlichkeit
MehrDie Banane ist weiß. Eigentlich sind Bananen gelb.
In der zehnten Lektion werden die Themen Mode und Geschmack behandelt. Man lernt Farben zu benennen, über Geschmack zu diskutieren, Personen und Dinge zu beschreiben, hört von kleineren Katastrophen, beschreibt
MehrDie druckfähige pdf-version ist zu laden von lernelesen.com/bedienungsanleitung.htm
1 Die druckfähige pdf-version ist zu laden von lernelesen.com/bedienungsanleitung.htm Anleitung LeLe_S1 ------------------- Diese App ist inhaltlich gleich mit LeLe_1. Nur die Darstellung und der Zugriff
MehrBeispiel 48. 4.3.2 Zusammengesetzte Zufallsvariablen
4.3.2 Zusammengesetzte Zufallsvariablen Beispiel 48 Ein Würfel werde zweimal geworfen. X bzw. Y bezeichne die Augenzahl im ersten bzw. zweiten Wurf. Sei Z := X + Y die Summe der gewürfelten Augenzahlen.
Mehr1. Man schreibe die folgenden Aussagen jeweils in einen normalen Satz um. Zum Beispiel kann man die Aussage:
Zählen und Zahlbereiche Übungsblatt 1 1. Man schreibe die folgenden Aussagen jeweils in einen normalen Satz um. Zum Beispiel kann man die Aussage: Für alle m, n N gilt m + n = n + m. in den Satz umschreiben:
MehrBeim stummen "h" musst du immer auf den Selbstlaut achten. Wird der Selbstlaut lang gesprochen, so gilt folgende Regel:
Das stumme "h" Beim stummen "h" musst du immer auf den Selbstlaut achten. Wird der Selbstlaut lang gesprochen, so gilt folgende Regel: Das stumme "h" steht meistens vor l, m, n, r. z. B. fehlen, nehmen,
MehrAbituraufgabe zur Stochastik, Hessen 2009, Grundkurs (TR)
Abituraufgabe zur Stochastik, Hessen 2009, Grundkurs (TR) Eine Firma stellt USB-Sticks her. Sie werden in der Fabrik ungeprüft in Packungen zu je 20 Stück verpackt und an Händler ausgeliefert. 1 Ein Händler
MehrStatistik I für Betriebswirte Vorlesung 5
Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 5 PD Dr. Frank Heyde TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik 07. Mai 2015 PD Dr. Frank Heyde Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 5 1 Klassische Wahrscheinlichkeitsdefinition
MehrEinführung in die Statistik für Biologen. Jörg Witte
Einführung in die Statistik für Biologen Jörg Witte 1997 Inhaltsverzeichnis 1 Endliche Wahrscheinlichkeitstheorie 3 1.1 Grundbegriffe........................ 3 1.2 Zufallsgrößen und Verteilungsfunktionen.........
MehrMengensysteme, Wahrscheinlichkeitsmaße
Kapitel 1 Mengensysteme, Wahrscheinlichkeitsmaße Der Großteil der folgenden fundamentalen Begriffe sind schon aus der Vorlesung Stochastische Modellbildung bekannt: Definition 1.1 Eine Familie A von Teilmengen
MehrStatistik 1: Einführung
Seite Stat- Statistik : Einführung Die mathematische Disziplin der Stochastik, die die Teilgebiete Wahrscheinlichkeitstheorie und mathematische Statistik umfaßt, beschäftigt sich mit der Beobachtung, Aufzeichnung
MehrEssen und Trinken Teilen und Zusammenfügen. Schokoladentafeln haben unterschiedlich viele Stückchen.
Essen und Trinken Teilen und Zusammenfügen Vertiefen Brüche im Alltag zu Aufgabe Schulbuch, Seite 06 Schokoladenstücke Schokoladentafeln haben unterschiedlich viele Stückchen. a) Till will von jeder Tafel
MehrIm Original veränderbare Word-Dateien
Binärsystem Im Original veränderbare Word-Dateien Prinzipien der Datenverarbeitung Wie du weißt, führen wir normalerweise Berechnungen mit dem Dezimalsystem durch. Das Dezimalsystem verwendet die Grundzahl
MehrÖffnen Sie die Albelli Gestaltungssoftware
In 10 Schritten zu Ihrem ersten Fotobuch Anleitung Ab Windowsversion 7.4 1 Wählen Sie Ihre besten Fotos aus. Wenn Sie wissen, welche Fotos Sie verwenden möchten, speichern Sie sie am besten in einem Ordner
MehrLösungen zur Vorrundenprüfung 2006
Lösungen zur Vorrundenprüfung 2006 Zuerst einige Bemerkungen zum Punkteschema. Eine vollständige und korrekte Lösung einer Aufgabe ist jeweils 7 Punkte wert. Für komplette Lösungen mit kleineren Fehlern
Mehr2.11 Kontextfreie Grammatiken und Parsebäume
2.11 Kontextfreie Grammatiken und Parsebäume Beispiel: Beispiel (Teil 3): Beweis für L(G) L: Alle Strings aus L der Länge 0 und 2 sind auch in L(G). Als Induktionsannahme gehen wir davon aus, dass alle
Mehr6. Bayes-Klassifikation. (Schukat-Talamazzini 2002)
6. Bayes-Klassifikation (Schukat-Talamazzini 2002) (Böhm 2003) (Klawonn 2004) Der Satz von Bayes: Beweis: Klassifikation mittels des Satzes von Bayes (Klawonn 2004) Allgemeine Definition: Davon zu unterscheiden
Mehr3 Quellencodierung. 3.1 Einleitung
Source coding is what Alice uses to save money on her telephone bills. It is usually used for data compression, in other words, to make messages shorter. John Gordon 3 Quellencodierung 3. Einleitung Im
Mehra n + 2 1 auf Konvergenz. Berechnen der ersten paar Folgenglieder liefert:
Beispiel: Wir untersuchen die rekursiv definierte Folge a 0 + auf Konvergenz. Berechnen der ersten paar Folgenglieder liefert: ( ) (,, 7, 5,...) Wir können also vermuten, dass die Folge monoton fallend
MehrRekursionen (Teschl/Teschl 8.1-8.2)
Rekursionen (Teschl/Teschl 8.1-8.2) Eine Rekursion kter Ordnung für k N ist eine Folge x 1, x 2, x 3,... deniert durch eine Rekursionsvorschrift x n = f n (x n 1,..., x n k ) für n > k, d. h. jedes Folgenglied
MehrHandy-leicht-gemacht! SAGEM MY X-6
telecomputer marketing Handy-leicht-gemacht! für SAGEM MY X-6 Eine Handy-Kurzanleitung mit bis zu 14 Kapiteln auf 10 Seiten. Handy SAGEM MY X-6, einschalten Handy SAGEM MY X-6, erster Anruf Telefon-Nummer
Mehr1 Das Lemma von Burnside und seine Anwendungen
Das Lemma von Burnside und seine Anwendungen Mit dem Lemma von Burnside lassen sich Zählprobleme lösen, bei denen Symmetrien eine Rolle spielen. Betrachten wir als einführendes Beispiel die Anzahl der
MehrESLC Leitfaden Testwerkzeug für Schüler [DE]
ESLC Leitfaden Testwerkzeug für Schüler [DE] Inhalt 1 EINFÜHRUNG... 3 2 DURCHFÜHRUNG DER TESTS... 3 2.1 Anmeldung... 3 2.2 Audiokontrolle für den Hörtest... 5 2.3 Testdurchführung... 5 3 INFORMATIONEN
MehrFreitag Version 42. ein Spiel für (2)3-5 SpielerInnen von Friedemann Friese
Freitag Version 42 ein Spiel für (2)3-5 SpielerInnen von Friedemann Friese Spielmaterial: 5 Aktiensorten mit je 25 Markern (grün, rot, blau, gelb, lila) 5 andere Marker in den gleichen Farben als Aktienpreise.
MehrTrainingsaufgaben zur Klausurvorbereitung in Statistik I und II Thema: Satz von Bayes
Trainingsaufgaben zur Klausurvorbereitung in Statistik I und II Thema: Satz von Bayes Aufgabe 1: Wetterbericht Im Mittel sagt der Wetterbericht für den kommenden Tag zu 60 % schönes und zu 40% schlechtes
MehrRezeptverwaltungs-Software: Kurzanleitung
Rezeptverwaltungs-Software: Kurzanleitung Die CD des Medienpakets Restaurant & Gast enthält u. a. eine Rezepte-Software inkl. vielen Rezepten des Buches. Die Software berechnet Nährwerte auf Grundlage
Mehr2. Stunde: Farben, Ziffern, Zahlen
2. Stunde: Farben, Ziffern, Zahlen Inhalte Vorbereiten Farben, Ziffern, Zahlen, Formen und einfache Begriffe. Spiele wiederholen, Unsinnssätze, Tastspiel. Faltarbeit: Besuch auf der Wiese Ball, Tuch, Gegenstände,
MehrEingangstest Mathematik Musterlösungen
Fakultät für Technik Eingangstest Mathematik Musterlösungen 00 Fakultät für Technik DHBW Mannheim . Arithmetik.. (4 Punkte) Vereinfachen Sie folgende Ausdrücke durch Ausklammern, Ausmultiplizieren und
MehrBedingte Wahrscheinlichkeit
Bedingte Wahrscheinlichkeit In einem Laden ist eine Alarmanlage eingebaut. Bei Einbruch gibt sie mit 99%-iger Wahrscheinlichkeit Alarm. Wenn in einer bestimmten Nacht kein Einbruch stattfindet, gibt sie
Mehr1 C H R I S T O P H D R Ö S S E R D E R M A T H E M A T I K V E R F Ü H R E R
C H R I S T O P H D R Ö S S E R D E R M A T H E M A T I K V E R F Ü H R E R L Ö S U N G E N Seite 7 n Wenn vier Menschen auf einem Quadratmeter stehen, dann hat jeder eine Fläche von 50 mal 50 Zentimeter
MehrINFOS, FAKTEN, GEWINNTABELLEN.
Ausgabe Mai 201 INFOS, FAKTEN, GEWINNTABELLEN. Spielteilnahme erst ab 18 Jahren. Glücksspiel kann süchtig machen. Infos und Hilfe unter www.bzga.de und unter 0800/1 72 700 (kostenlos). Bedenken Sie, dass
MehrMathematik. Zentrale schriftliche Abiturprüfung 2015. Grundkurs mit CAS Aufgabenvorschlag. Aufgabenstellung 1. Aufgabenstellung 2. Aufgabenstellung 3
Senatsverwaltung für Bildung, Jugend und Wissenschaft Zentrale schriftliche Abiturprüfung 2015 Aufgabenvorschlag Hilfsmittel: Gesamtbearbeitungszeit: Nachschlagewerk zur Rechtschreibung der deutschen Sprache
MehrSpielerklärung. Die Systemwetten. von ODDSET
Spielerklärung Die Systemwetten von ODDSET Inhalt Mehr Vielfalt S. 4 Die Spielquittung S. 5 So spielen Sie mit S. 6 Die Systemwetten im Überblick S. 10 Systemwette 2 aus 3 S. 12 Systemwette 2 aus 4 S.
MehrWahrscheinlichkeitsrechnung
a.: Du bearbeitest die Aufgabe in Einzelarbeit. Lies dir die Aufgabe genau durch und überlege dir einen Lösungsansatz. Danach versuche eine Lösung zu erarbeiten. Für diese Phase hast du 10 Minuten Zeit.
MehrAlso kann nur A ist roter Südler und B ist grüner Nordler gelten.
Aufgabe 1.1: (4 Punkte) Der Planet Og wird von zwei verschiedenen Rassen bewohnt - dem grünen und dem roten Volk. Desweiteren sind die Leute, die auf der nördlichen Halbkugel geboren wurden von denen auf
MehrMädchen Jungen Smartphone 42 52 Computer 77 87 Fernsehgerät 54 65 feste Spielkonsole 37 62
Unabhängigkeit ================================================================== 1. Im Rahmen der sogenannten JIM-Studie wurde in Deutschland im Jahr 2012 der Umgang von Jugendlichen im Alter von 12 bis
Mehr5. Schließende Statistik. 5.1. Einführung
5. Schließende Statistik 5.1. Einführung Sollen auf der Basis von empirischen Untersuchungen (Daten) Erkenntnisse gewonnen und Entscheidungen gefällt werden, sind die Methoden der Statistik einzusetzen.
MehrKugel-Fächer-Modell. 1fach. 3fach. Für die Einzelkugel gibt es 3 Möglichkeiten. 6fach. 3! Möglichkeiten
Kugel-Fächer-Modell n Kugeln (Rosinen) sollen auf m Fächer (Brötchen) verteilt werden, zunächst 3 Kugeln auf 3 Fächer. 1fach 3fach Für die Einzelkugel gibt es 3 Möglichkeiten } 6fach 3! Möglichkeiten Es
MehrDiskrete Mathematik für Informatiker
Diskrete Mathematik für Informatiker Markus Lohrey Universität Siegen Wintersemester 2014/2015 Lohrey (Universität Siegen) Diskrete Mathematik Wintersem. 2014/2015 1 / 344 Organisatorisches zur Vorlesung
Mehr6. Bilder. 6.1 Bilder Stufe 1. Bildname. Hände. Bildreferenz. A Schwarzlicht. Motivreihe. Stufe. Bilder 57
Bilder 57 6. Bilder 6.1 Bilder Stufe 1 Stufe Motivreihe 1 A Schwarzlicht 2011 BORGMANN MEDIA B 9420 Beigel et al. Alle Rechte vorbehalten! Bildname Hände 58 Bilder Stufe Motivreihe 1 B Tafelbilder 2011
MehrMehr Chancen zu gewinnen!
Spielanleitung Mehr Chancen zu gewinnen! Anteilsschein Spielanleitung Der Lotto Anteilsschein! Der Anteilsschein bietet Ihnen mehr Chancen zu gewinnen ganz einfach durch die Möglichkeit Anteile an einer
MehrStochastik Boris Boor 2010
Stochastik Boris Boor 010 Inhaltsverzeichnis S.1 Grundbegriffe... S.1.1 Ergebnisse und Ereignisse... S.1. Relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit...4 S.1.3 Wahrscheinlichkeitsverteilung...5 S.1.4 Mehrstufige
MehrSeminar Text- und Datamining Datamining-Grundlagen
Seminar Text- und Datamining Datamining-Grundlagen Martin Hacker Richard Schaller Künstliche Intelligenz Department Informatik FAU Erlangen-Nürnberg 23.05.2013 Gliederung 1 Klassifikationsprobleme 2 Evaluation
MehrZahlenformat bei der Eingabe
Zahlenformat bei der Eingabe Excel stellt Zahlen oft nicht so dar wie sie eingegeben werden, es verwendet zur Anzeige das eingestellte Zahlenformat. Ist für eine Zelle noch kein Zahlenformat festgelegt
MehrCodierungstheorie Rudolf Scharlau, SoSe 2006 9
Codierungstheorie Rudolf Scharlau, SoSe 2006 9 2 Optimale Codes Optimalität bezieht sich auf eine gegebene Quelle, d.h. eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf den Symbolen s 1,..., s q des Quellalphabets
MehrZahlenoptimierung Herr Clever spielt optimierte Zahlen
system oder Zahlenoptimierung unabhängig. Keines von beiden wird durch die Wahrscheinlichkeit bevorzugt. An ein gutes System der Zahlenoptimierung ist die Bedingung geknüpft, dass bei geringstmöglichem
MehrPrüfung zu Modul 26 (BA Bw) bzw. 10 (BA IB) (Wirtschaftsstatistik)
2 3 Klausur-Nr = Sitzplatz-Nr Prüfung zu Modul 26 (BA Bw) bzw. 10 (BA IB) (Wirtschaftsstatistik) Klausurteil 1: Beschreibende Statistik BeStat-1 (7 ) n = 400 Personen wurden gefragt, wie viele Stück eines
MehrAuflistung der gesprochenen Sätze aus Komm zu Wort! 2 Hör-Bilder-Buch (3082)
Auflistung der gesprochenen Sätze aus Komm zu Wort! 2 Hör-Bilder-Buch (3082) Seite 8 In der Schule Die Kinder arbeiten am Computer. Zwei Mädchen beobachten die Fische im Aquarium. Das Mädchen schreibt
MehrRegelmäßigkeit (Erkennen von Mustern und Zusammenhängen) versus Zufall
Wahrscheinlichkeitstheorie Was will die Sozialwissenschaft damit? Regelmäßigkeit (Erkennen von Mustern und Zusammenhängen) versus Zufall Auch im Alltagsleben arbeiten wir mit Wahrscheinlichkeiten, besteigen
MehrVorlesung 13.11.2006: Wahrscheinlichkeitsbegriff, Laplace-Wahrscheinlichkeit und ihre Berechnung
Letzte Vorlesung : Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung, Wahrscheinlichkeitsbegriff Vorlesung 13.11.2006: Wahrscheinlichkeitsbegriff, Laplace-Wahrscheinlichkeit und ihre Berechnung kombinatorische
MehrModellierungskonzepte 2
Modellierungskonzepte 2 Elke Warmuth Humboldt-Universität Berlin WS 2008/09 1 / 50 1 Pfadregeln 2 Begriff Umbewertung von Chancen Bayessche Formel 3 Verwechslungsgefahr Implizite Lotterien 2 / 50 mehrstufige
MehrMusteraufgaben für das Fach Mathematik
Musteraufgaben für das Fach Mathematik zur Vorbereitung der Einführung länderübergreifender gemeinsamer Aufgabenteile in den Abiturprüfungen ab dem Schuljahr 013/14 Impressum Das vorliegende Material wurde
MehrZufallsgrößen. Vorlesung Statistik für KW 29.04.2008 Helmut Küchenhoff
Zufallsgrößen 2.5 Zufallsgrößen 2.5.1 Verteilungsfunktion einer Zufallsgröße 2.5.2 Wahrscheinlichkeits- und Dichtefunktion Wahrscheinlichkeitsfunktion einer diskreten Zufallsgröße Dichtefunktion einer
MehrRisiko und Versicherung - Übung
Sommer 2009 Risiko und Versicherung - Übung Entscheidungstheoretische Grundlagen Renate Bodenstaff Vera Brinkmann r.bodenstaff@uni-hohenheim.de vera.brinkmann@uni-hohenheim.de https://insurance.uni-hohenheim.de
MehrInhalt. Spielidee. von Wolfgang Kramer Spieler: 2-7 Personen Alter: ab 8 Jahren Dauer: ca. 45 Minuten. 7 Agentenfiguren. 1 Tresor.
von Wolfgang Kramer Spieler: 2-7 Personen Alter: ab 8 Jahren Dauer: ca. 45 Minuten 7 Agentenfiguren Inhalt 1 Tresor 7 Wertungssteine 7 Agentenkarten 1 Würfel 1 Spielplan 26 Top Secret-Karten Spielidee
MehrVorlesung - Medizinische Biometrie
Vorlesung - Medizinische Biometrie Stefan Wagenpfeil Institut für Medizinische Biometrie, Epidemiologie und Medizinische Informatik Universität des Saarlandes, Homburg / Saar Vorlesung - Medizinische Biometrie
Mehr, dt. $+ f(x) = , - + < x < +, " > 0. " 2# Für die zugehörige Verteilungsfunktion F(x) ergibt sich dann: F(x) =
38 6..7.4 Normalverteilung Die Gauß-Verteilung oder Normal-Verteilung ist eine stetige Verteilung, d.h. ihre Zufallsvariablen können beliebige reelle Zahlenwerte annehmen. Wir definieren sie durch die
MehrExcel-Kurs: Handout Schülervertretung [Name der Schule]
Schülervertretung 1.0 Wann benötigt man Excel? Zur Berechnung von Funktionen Darstellung von Funktionen mit Diagrammen Abhängigkeiten darstellen Daten sortieren und vieles mehr! 2.0 Arbeitsoberfläche Bearbeitungszeile
Mehr22. Algorithmus der Woche Partnerschaftsvermittlung Drum prüfe, wer sich ewig bindet
22. Algorithmus der Woche Partnerschaftsvermittlung Drum prüfe, wer sich ewig bindet Autor Volker Claus, Universität Stuttgart Volker Diekert, Universität Stuttgart Holger Petersen, Universität Stuttgart
MehrHoffmann s Lotto-Experte
Hoffmann s Lotto-Experte das Original von Anwenderdokumentation Alle Rechte bei Jörg Hoffmann Software & Service Eppendorf 1/1 INHALT 1 WAS KANN HOFFMANN S LOTTO-EXPERTE?...3 2 INSTALLATION/DEINSTALLATION...3
MehrTechnical Support Knowledge Base
Seite 1 von 6 Hello, Alois : Germany search Advanced Search Home» Support» Technical Support» Technical Support Knowledge Base Technical Support Knowledge Base Ist dies das von Ihnen gesuchte Dokument?
MehrAutor. Inhalt. Für 2 6 Spieler ab 10 Jahren. Michael Feldkötter
Ein GEOGRAPHIESPIEL um ZUGEHÖRIGKEITEN UND KENNGRÖSSEN Für 2 6 Spieler ab 10 Jahren Autor Michael Feldkötter Inhalt } 192 Länder-Karten (alle UN-Mitgliedstaaten) } 13 Kategorie-Karten 5 Kontinent-Karten
Mehr