Kombinatorik. Matthias Bayerlein Matthias Bayerlein Kombinatorik / 34

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Jacob Werner Braun
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1 Kombinatorik Matthias Bayerlein Matthias Bayerlein Kombinatorik / 34

2 Überblick Grundlagen aus der Schule Spezielle Zahlenfolgen Zusammenfassung Matthias Bayerlein Kombinatorik / 34

3 Definition Kombinatorik ist das Teilgebit der Mathematik in dem es um die Anzahl der Anordnungen, oder Auswahlen von unterscheidbaren, oder gleichen Objekten unter Berücksichtigung, oder Vernachlässigung der Reihenfolge geht. Matthias Bayerlein Kombinatorik / 34

4 Grundlagen aus der Schule Grundlagen aus der Schule Permutationen Kombinationen Variationen Binomialkoeffizient Pascal sches Dreieck Matthias Bayerlein Kombinatorik / 34

5 Definition Permutation Eine Permutation ist eine Vertauschung von Elementen einer Menge. Also: Eine Permutation ist eine bijektive Abbildung einer Menge Ω auf sich selbst Matthias Bayerlein Kombinatorik / 34

6 Permutationen Ω = n Anzahl Permutationen auf Ω ist n! ( ) Notation: = (1 3 2)(4) = (1 3 2) Matthias Bayerlein Kombinatorik / 34

7 Beispiele Anzahl der Anordnungen von n Elementen, wobei k Elemente nicht unterschieden werden können: n! k! Anzahl der Anordnungen von n Elementen in einem Kreis, wobei nur die Nachbarn Unterscheidungskriterium sind: n! 2 n Matthias Bayerlein Kombinatorik / 34

8 Definition Variation Als Variation bezeichnet man das Auswählen von k Elementen aus einer Menge mit Mächtigkeit n unter Berücksichtigung der Reihenfolge (k n) Matthias Bayerlein Kombinatorik / 34

9 Beispiele Möglichkeiten ohne Zurücklegen n! (n k)! Möglichkeiten mit Zurücklegen n k Matthias Bayerlein Kombinatorik / 34

10 Definition Kombination Eine Kombination ist eine Variation, bei der die Reihenfolge vernachlässigt wird (# Kombinationen < # Variationen) Matthias Bayerlein Kombinatorik / 34

11 Beispiele Möglichkeiten ohne Zurücklegen ( ) n := k n! k!(n k)! Möglichkeiten mit Zurücklegen ( ) n + k 1 (n + k 1)! = k k! (n 1)! Matthias Bayerlein Kombinatorik / 34

12 Binomialkoeffizient Definition: ( ) n := k n! k! (n k)! Rekursionsgleichung: ( ) ( ) n n 1 = + k k Basisfälle: ( n n) = ( n 0) = 1 und ( n 1) = n ( ) n 1 k 1 Matthias Bayerlein Kombinatorik / 34

13 Pascal sches Dreieck n ( ( n n ( n ( n ( n ( n ( n n ( n ) 0) 1) 2) 3) 4) 5) 6) i=0 i Berechnung mit DP! Matthias Bayerlein Kombinatorik / 34

14 Binomialkoeffizient Wenn nur eine kleine Anzahl an Binomialkoeffizienten gebraucht wird ist Pascal sches Dreieck overkill Alternative: ( n k O(n) ) = n! (n k)!k! = n i=1 i k! n k i=1 i = n i=n k+1 i k! Matthias Bayerlein Kombinatorik / 34

15 Spezielle Zahlenfolgen Spezielle Zahlenfolgen Fibonacci-Zahlen Catalan-Zahlen Stirling Zahlen (1. und 2. Art) Euler Zahlen Integerpartitionen Matthias Bayerlein Kombinatorik / 34

16 Fibonacci-Zahlen Definition: Basisfälle: f 0 = 0 und f 1 = 1 Rekursion: f n = f n 1 + f n 2 Daraus ergibt sich: f n = 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, Schnellere Berechnung mit Fastexponentiation: ( ) n ( ) 1 1 fn+1 f = n 1 0 f n f n 1 Matthias Bayerlein Kombinatorik / 34

17 Catalan-Zahlen Definition: C n = 1 ( ) 2n 1 + n n Das ergibt die Folge 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429,... Rekursion: Basisfall: C 0 = 1 C n+1 = n C k C n k k=0 Matthias Bayerlein Kombinatorik / 34

18 Anwendungen Catalan-Zahlen Anzahl wohlgeformter Klammerausdrücke mit n Klammerpaaren Anzahl der möglichen Binärbäume Anzahl der Möglichkeiten ein konvexes n + 1-Eck in Dreiecke zu unterteilen Matthias Bayerlein Kombinatorik / 34

19 Beispiel Warum gibt die Catalan-Zahl die Anzahl der möglichen Klammerausdrücke? Beispiel C 3 = 5 C 3 = (C 0 ) C 2 ( ) ()() + ( ) (()) (C 1 ) C 1 ( () ) () + ( ()() ) (C 2 ) C 0 ( (()) ) Matthias Bayerlein Kombinatorik / 34

20 Stirling-Zahlen 1.Art [ n Die ersten Stirling-Zahlen s n,k = geben die Anzahl k] der Möglichkeiten auf einer Menge mit Mächtigkeit n Permutationen mit genau k Zyklen zu erzeugen. Beispiel: n = 4 und k = 3 s n,k = 6 (1)(2)(3 4) (1)(3)(2 4) (1)(4)(2 3) (2)(3)(1 4) (2)(4)(1 3) (3)(4)(1 2) Matthias Bayerlein Kombinatorik / 34

21 Definition Rekursionsgleichung: [ n Basisfälle: = 1 und n] [ n = 0 n > 0 0] [ n = k] [ ] n 1 + (n 1) k 1 [ ] n 1 k Matthias Bayerlein Kombinatorik / 34

22 Stirling-Dreieck 1.Art n [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ n n n n n n n ] Matthias Bayerlein Kombinatorik / 34

23 Stirling-Zahlen 2.Art { Definition: S n,k = S n (k) n = k} ist die Anzahl der Möglichkeiten aus einer Menge mit n Elementen k nichtleere, disjunkte Teilmengen zu bilden Iterative Berechnung: S (n,k) = 1 k! k ( k ( 1) j j j=0 ) (r l) n Matthias Bayerlein Kombinatorik / 34

24 Beispiel Anzahl der Möglichkeiten die Menge M := {a, b, c, d} in genau 2 nicht leere Teilmengen zu zerlegen {a, b}{c, d} {a, c}{b, d} {a, d}{b, c} {a, b, c}{d} {a, b, d}{c} {a, c, d}{b} {b, c, d}{a} S (4,2) = 7 Matthias Bayerlein Kombinatorik / 34

25 Stirling-Dreieck 2.Art Rekursive Berechnung: S (n,k) = S (n 1,k 1) + k S (n 1,k) { } { } { } { } { } { } { n n n n n n n n } Matthias Bayerlein Kombinatorik / 34

26 Euler-Zahlen Definition: Die Euler-Zahlen n k geben die Anzahl der Permutationen von n Elementen, die genau k aufsteigende Teilfolgen haben Rekursive Formel: n = k k n 1 k + (n k + 1) n 1 k 1 Matthias Bayerlein Kombinatorik / 34

27 Beispiel Anzahl der Permutationen aus 3 Elementen mit genau 2 aufsteigenden Teilfolgen = ist nicht enthalten, da nur eine aufsteigende Teilfolge und 321 nicht, da 3 aufsteigende Teilfolgen Matthias Bayerlein Kombinatorik / 34

28 Integerpartitionen Als Integerpartition einer Zahl n wird eine Menge von natürlichen Zahlen bezeichnet, deren Summe n ergibt. Sei f (n, k) eine Funktion, die die Anzahl aller Zusammensetzungen von n aus Zahlen kleiner, oder gleich k liefert Die gesuchte Größe ist f (n, n) Beispiele: f (1, 1) = 1, {1} f (2, 2) = 2, {{1, 1}, {2}} Matthias Bayerlein Kombinatorik / 34

29 Integerpartitionen Für die Rekursionsgleichung stellt man nun fest, dass die Zahl k entweder in einer Partition vorkommt (f (n k, k)), oder nicht (f (n, k 1)) f (n, k) = f (n k, k) + f (n, k 1) Basisfälle: f (0, k) = 1 f (n, 0) = 0 f (n, k) = 0 n < 0 Matthias Bayerlein Kombinatorik / 34

30 Beispiele Die Türme von Hanoi Gegeben sind drei Stangen, auf der linken sind n unterschiedlich große Scheiben. Ziel ist es diese mit möglichst wenigen Zügen auf die rechte Stange zu stapeln, wobei nie eine Größere auf einer Kleineren liegen darf. Matthias Bayerlein Kombinatorik / 34

31 Beispiele Die Türme von Hanoi Gegeben sind drei Stangen, auf der linken sind n unterschiedlich große Scheiben. Ziel ist es diese mit möglichst wenigen Zügen auf die rechte Stange zu stapeln, wobei nie eine Größere auf einer Kleineren liegen darf. Lösung: Die Mersenne-Zahlen : m n = 2 n 1 Matthias Bayerlein Kombinatorik / 34

32 Beispiele Aufgabe: n Dominosteine sollen auf ein 2 n Grid gelegt werden. Wie viele verschiedene Möglichkeiten existieren? Matthias Bayerlein Kombinatorik / 34

33 Beispiele Aufgabe: n Dominosteine sollen auf ein 2 n Grid gelegt werden. Wie viele verschiedene Möglichkeiten existieren? Lösung: Die n-te Fibonaccizahl f n Matthias Bayerlein Kombinatorik / 34

34 Beispiele Aufgabe: Auf wie viele verschiedene Arten können n Pferde bei einem Rennen ins Ziel kommen, wenn mehrere Pferde auch gleichzeitig ankommen können? Matthias Bayerlein Kombinatorik / 34

35 Beispiele Aufgabe: Auf wie viele verschiedene Arten können n Pferde bei einem Rennen ins Ziel kommen, wenn mehrere Pferde auch gleichzeitig ankommen können? Lösung: n k=1 { n k} k! Matthias Bayerlein Kombinatorik / 34

36 Beispiele Türme von Hanoi 2 Problem wie oben, allerdings mit 4 Stangen Matthias Bayerlein Kombinatorik / 34

37 Beispiele Türme von Hanoi 2 Problem wie oben, allerdings mit 4 Stangen Lösung: mit a n+1 = a n + 2 x 8n 7 1 x := 2 Matthias Bayerlein Kombinatorik / 34

38 Literatur Hallo Welt! - Vorträge von Tilmann Spiegelhauer (2004) und Tanja Fischer (2010) njas/sequences R.L. Graham, D.E. Knuth, O. Patashnik: Concrete Mathmatics, Addison-Wesley Matthias Bayerlein Kombinatorik / 34

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