Musterlösung zur Probeklausur zur Kombinatorik

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1 UNIVERSITÄT ULM Institut für Zahlentheorie und Wahrscheinlichkeitstheorie Musterlösung zur Probeklausur zur Kombinatorik Prof. Dr. Helmut Maier, Hans- Peter Reck Gesamtpunktzahl: 00 Punkte Freitag,. Dezember 2009, 2:00 Uhr. Wieviele Möglichkeiten gibt es, die Buchstaben der folgenden Wörter umzuordnen? (a) MEMMINGEN Das Wort Memmingen hat neun Buchstaben, also gibt es grundsätzlich 9! Umordnungen. Da aber der Buchstabe m dreimal, e und n zweimal und i und g je einmal auftreten, reduzieren sich die Umordnungen um diejenigen Weisen, wo dieselben Buchstaben lediglich vertauscht werden. Insgesamt ergeben sich (b) MAMMAMIA 9! 3! 2! 2!!! = 9! = 520 Anordnungen. 24 Hier haben wir ein Wort mit acht Buchstaben, das mit dem Buchstaben m viermal enthält, den Buchstaben a dreimal und einmal i. Also haben wir (c) MISSISSIPPI 8! 4! 3!! = 8! = 280 Anordnungen In diesem Wort kommen vier s, vier i zwei p und ein m vor. Insgesamt liegen damit! 4! 4! 2!! =! 56 = Anordnungen vor. (9 Punkte) 2. Eine ID- Nummer (Identifikationsnummer) bestehe aus einer Folge von drei Buchstaben, die dem Alphabet A,..., Z und einer Folge von fünf Ziffern, die der Menge {0,,..., 9} entnommen werden. Wieveiel Möglichkeiten gibt es, wenn für die Ziffern Wiederholungen zulässig sind, für die Buchstaben aber nicht?

2 Für die drei Buchstaben sind keine Wiederholungen zulässig, also gibt es für den ersten Buchstaben 26 Möglichkeiten, für den zweiten noch 25 und den dritten 24. Bei den Buchstaben haben wir keine Einschränkung, also immer 0 Möglichkeiten. Insgesamt sind es = Variationen. (5 Punkte) 3. Auf einem Regal sollen drei rote und drei schwarze (unterscheidbare) Bücher aufgestellt werden. Wieviel Möglichkeiten gibt es, wenn (a) keine Einschränkungen über die Anordnung gemacht werden? Wenn es keine Einschränkungen gibt, dann bleiben für das erste Buch sechs Plätze zur Auswahl, für das zweite fünf, usw.: es gibt also 6! = 720 Anordnungen. (b) die schwarzen Bücher nebeneinander stehen sollen? Stehen die schwarzen nebeneinander, haben wir hier 3! Anordnungen innerhalb des schwarzen Blocks. Betrachten wir das linke Buch dieses Blocks, gibt es vier Möglichkeiten, dieses zu platzieren, damit der schwarze Block zusammen bleibt. Für die roten gibt es dann entsprechend 3! Möglichkeiten. Insgesamt ergeben sich hier 4 3! 3! = 44 Anordnungen. (c) rote und schwarze Bücher einander abwechseln sollen? In diesem Fall haben wir ein festgelegtes Farbmuster, abhängig nur von der Frage mit welcher Farbe man links beginnt (Faktor zwei). Für das linke Buch gibt es drei Möglichkeiten (Anzahl der Bücher der gewählten Farbe), für das nächste drei (Anzahl der andersfarbigen), das nächste zwei (verbleibende Anzahl der erstgewählten Farbe),..., die letzten beiden sind dann festgelegt. Wir erhalten: 2 3! 3! = 72 Anordnungen. (2 Punkte) 4. Aus 35 Teilnehmern einer Tombola sollen sieben Gewinner ausgewählt werden. Auf wieviele Arten ist dies möglich? Aus 35 Teilnehmern werden sieben ohne Zurücklegen und ohne Reihenfolge ausgewählt. Wir nutzen den Binomialkoeffizienten und erhalten ( ) = = ! verschiedene Arten. (5 Punkte) 5. Von einer Gruppe von 25 Studenten sprechen 20 englisch, 2 französisch und drei Latein. Dabei sprechen englisch und französisch, zwei englisch und Latein, einer französisch und Latein und ein Student spricht alle drei Fremdsprachen. Wie viele Studenten gibt es, 2

3 die keine dieser drei Fremdsprachen sprechen? Nach dem Einschluß- Auschluß- Prinzip berechnen wir N(EF L) = 25 E F L = 25 ( E + F + L E F E L F L + E F L ) = 25 ( ) = = 3 Drei Studenten sprechen keine dieser Fremdsprachen. (0 Punkte) 6. Es sei (a n ) mit 0 n < eine Folge kompleer Zahlen. Gib an, welcher der folgenden Ausdrücke (a) die erzeugende Funktion bzw. Die erzeugende Funktion wird durch den Ausdruck a n n dargestellt. (b) die eponentielle erzeugende Funktion Die eponentiell erzeugende Funktion stellt der Ausdruck k=0 a k k k! dar. der Folge (a n ) darstellt? sin(a n ) a n n k=0 a k k k! e an. (6 Punkte) 7. In einer Geldkasse befinden sich 5 Ein- Euro- Münzen und acht Zwei- Euro- Münzen. es sei a n die Anzahl der Möglichkeiten, einen Betrag von n Euro zusammenzusetzen. (a) Gib die erzeugende Funktion der Folge (a n ) an. Die erzeugende Reihe, um einen Betrag von n Euro aus den Ein- Euro- Münzen zusammenzustellen, beträgt A() = Für die Zwei- Euro- Münzen ergibt sich B() = Damit gilt für die erzeugende Reihe für eine Zusammenstellung aus allen vorhandenen Münzen C() = A()B() = ( ) ( ) =

4 (b) Auf wieviele Weisen kann ein Betrag von sieben Euro zusammengesetzt werden? Anhand des Koeffizienten von 7 sehen wir sofort, daß es vier Möglichkeiten gibt. Dies entspricht den Kombinationen , , und schließlich mit sieben einzelnen Euro- Stücken. (2 Punkte) 8. Eine Folge liegt in folgender Rekursionsdarstellung vor: a 0 =, a = 2 und a n = 2a n a n 2. (a) Gib die erzeugende Funktion der Folge (a n ) und einen geschlossenen Ausdruck für a n an. Zur Untersuchung dieser Folge betrachten wir die erzeugende Reihe f() von a n : Mit den Anfangswerten a 0 = und a = 2 und der Rekursionsformel a n = 2a n a n 2 erhalten wir: f() = a n n = a n n = (2a n a n 2 ) n = a n n a n 2 n = = a n n 2 a n n 2 n= a n n a n 2 n 2 = (f() ) + 2 f() = + 2 f() 2 f(), also Wir wissen, daß f() = = ( ) 2. = n und daß ( ) = ist. Somit muß auch ( ) n = ( ) 2 ( ) = ( ) 2 4

5 gelten. Die Summe läßt sich gliedweise differenzieren und wir erhalten ( ) n = n n = (n + ) n. n= (b) Bestimme a 280. Damit gilt a n = n + und somit a 280 = 28. (7 Punkte) 9. Gib zu jeder der folgenden Partitionen die konjugierte Partition an. Welche der Partitionen ist selbstkonjugiert? (a) 2 = Das Ferrers- Diagramm dieser Partition hat folgende Gestalt: Konjugiert ergibt dies folgendes Diagramm und damit die Partition 2 = (b) 7 = In diesem Fall haben wir folgendes Ferrers- Diagramm: Dies ist symmetrisch, und damit ist diese Partition selbstkonjugiert. (c) 23 = Nun liegt folgendes Ferrers- Diagramm vor: 5

6 Gespiegelt ergibt es also die Partition 23 = (2 Punkte) 0. Wie heißt der Satz vom Ramsey? Es seien p, q, r natürliche Zahlen mit r, p r und q r. Dann eistiert die Ramseyzahl R(p, q, r). Unter der Ramseyzahl R(p, q, r) versteht man die natürliche Zahl mit der folgenden Eigenschaft: Es sei N R(p, q, r) und S eine Menge mit S = N. Die Menge aller r- elementigen Teilmengen von S werde in zwei Klassen α und β geteilt. Dann gibt es eine monochromatische Teilmenge S α von der Farbe α mit S α = p oder eine monochromatische Teilmenge S β von der Farbe β mit S β = q. Man sagt: S hat die Ramseyeigenschaft. Es sei N < R(p, q, r). Dann gibt es eine Menge S mit S = N und eine Einteilung der Menge der r- elementigen Teilmengen von S in Klassen α und β, so daß es weder eine monochromatische p- elementige Teilmenge von S von der Farbe α, noch eine monochromatische q- elementige Teilmenge von der Farbe β gibt. (2 Punkte) Viel Erfolg!