Elemente der Stochastik (SoSe 2016) 4. Übungsblatt

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1 Dr. M. Weimar Elemente der Stochastik (SoSe 2016) 4. Übungsblatt Aufgabe 1 (1+1+2=4 Punkte) Eine Autofahrerin verursacht einen Unfall und begeht Fahrerflucht. Ein Zeuge will sich die Nummer des PKWs merken. Doch als er bei der Polizei aussagen will, weiß er mit Sicherheit nur noch, dass das Ortskennzeichen SI war und dass ferner in dem Kennzeichen ein zweistelliges Wort und eine dreistellige Zahl vorkamen. Wie viele Wagen muss die Polizei mit den gegebenen Zusatzinformationen in den Fällen a), b) und c) jeweils überprüfen? a) Er ist sicher, dass die Buchstaben K und G und die Ziffern 6, 7 und 8 je genau einmal auftraten. Er weiß aber weder bei den Buchstaben noch bei den Ziffern die Reihenfolge. b) Er ist sicher, dass die Buchstaben K und G je genau einmal auftraten. Die dreistellige Zahl besteht mit Sicherheit aus den Ziffern 6, 7 und 8, wobei diese mehrfach vorkommen könnten. Er weiß allerdings weder bei den Buchstaben noch bei den Ziffern die Reihenfolge. c) Er erinnert sich nur an den Buchstaben K und die Ziffern 1, 2 und 5. Der zweite Buchstabe bleibt ungewiss, wobei die Umlaute und ß nicht in Frage kommen. Er ist sicher, dass jeder der zwei Buchstaben und jede der drei Ziffern genau einmal auftraten. Er weiß aber weder bei den Buchstaben noch bei den Ziffern die Reihenfolge. Aufgabe 2 (4 Punkte) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei fünf zufällig ausgewählten Personen mindestens zwei davon am gleichen Tag Geburtstag haben? (Schaltjahre werden außer Acht gelassen und es sei vorausgesetzt, dass kein Geburtsdatum bevorzugt vorkommt.) Aufgabe 3 (4 Punkte) Sie bestellen bei einem Eisverkäufer drei Kugeln Eis. Beschreiben sie ihre Bestellung mit Hilfe eines Baumdiagramms unter der Voraussetzung, dass alle Kugeln unabhängig voneinander nach dem folgenden Schema ausgesucht werden: Vanille ist ihre bevorzugte Geschmacksrichtung. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sie diese Eissorte wählen, beträgt 1/2. Sie mögen außerdem Schokolade. Die W-keit für diese Sorte betrage 1/3. Außerdem bietet der Verkäufer Erdbeer- und Bananeneis an. Für sie kommt nur Erdbeereis in Frage. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sie diese Geschmacksrichtung auswählen beträgt 1/6. Geben sie im Baum jeweils auch die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten an! bitte wenden

2 Aufgabe 4 (3 Punkte) Bestimmen sie die Anzahl der möglichen Teiler der Zahl Hinweis: Für jede natürliche Zahl n existiert eine eindeutig bestimmte Primfaktorzerlegung n = p e 1 1 pe pem m = wobei m, e 1,..., e m N und p 1,..., p m 2 prim. m k=1 p e k k, Aufgabe 5 (3 Punkte) Wieviele verschiedene Auswahlen sind in Aufgabe 3 möglich, wenn a) die Reihenfolge der Auswahl beachtet wird b) die Reihenfolge keine Rolle spielt und Wiederholungen zugelassen sind? Abgabe (freiwillig): In den Tutorien während der Vorlesungswoche ( )

3 Musterlösung zum 4. Übungsblatt Elemente der Stochastik (SoSe 2016) Aufgabe 1. a) Es gibt 2 1 = 2 Möglichkeiten die Buchstaben anzuordnen und = 6 Möglichkeiten für eine Ziffernreihenfolge. Damit kommen insgesamt 12 Kennzeichen in Frage. b) Es gibt wieder 2 1 = 2 Möglichkeiten die Buchstaben anzuordnen und diesmal 3 3 = 27 Möglichkeiten für eine Ziffernreihenfolge. Damit kommen insgesamt 54 Kennzeichen in Frage. c) Für den fehlenden Buchstaben gibt es 25 Möglichkeiten. Analog zu a) können die Buchstaben wieder auf 2 Weisen angeordnet werden und für die Ziffern kommen 6 mögliche Reihenfolgen in Frage. Insgesamt gibt es also = 300 solche Kennzeichen. Aufgabe 2. Für jede der fünf Personen kommen 365 Tage in Frage, insgesamt gibt es daher Kombinationen. Wir berechnen die Gegenwahrscheinlichkeit, also die W-keit dafür, dass alle fünf Personen an verschiedenen Tagen geboren sind. Dazu zählen wir die dafür günstigen Möglichkeiten. Für die erste Person gibt es 365 Wahlmöglichkeiten, für die zweite Person 364 Möglichkeiten, für die dritte Person noch 363 Wahlmöglichkeiten, für die vierte Person 362 Wahlmöglichkeiten und für die fünfte Person schließlich gibt es 361 Möglichkeiten. Die W-keit, dass alle an verschiedenen Tagen geboren wurden ist also = = Die gesuchte W-keit ist damit also etwa 2.71% = , Aufgabe 3. Siehe nächste Seite! Aufgabe 4. Sukzessives Ausprobieren möglicher (prim) Teiler liefert die Primfaktorzerlegung Alle Teiler von haben daher die Form n = = t = t(j 1, j 2, j 3 ) = 2 j1 3 j2 5 j 3 mit j 1 {0, 1, 2, 3}, j 2 {0, 1, 2, 3, 4} und j 3 {0, 1, 2}. Offensichtlich führen unterschiedliche Auswahlen der Exponenten j k, k = 1, 2, 3, zu jeweils verschiedenen Teilern t, sodass es genügt die Anzahl aller Kombinationsmöglichkeiten der Exponenten zu bestimmen. Für j 1 stehen vier Zahlen zur Auswahl, für j 2 fünf und für j 3 drei. Es gibt also verschiedene Teiler = 60 Aufgabe 5. n = 3 verschiedene Sorten, k = 3 Züge mit Wiederholung: a) Geordnet mit Zurücklegen : n k = 3 3 = 27. (Alle möglichen Pfade im Baumdiagramm zu Aufgabe 3) b) Ungeordnet mit Zurücklegen : ( ) ( n+k 1 k = 5 ) 3 = 5! 3! 2! = 5 4 2! = 5 2 = 10. (Heuristisch: Hier 3 Möglichkeiten dreimal die gleiche Sorte zu wählen + 6 (= 3 2) Möglichkeiten für eine Doppelte und eine Einzelne + 1 Möglichkeit alle Kugeln verschieden zu wählen)

4 Aufgabe 3. Bananeneis werde vernachlässigt, da diese Sorte ohnehin mit W-keit 0 auftritt. Man könnte sie aber in jeder Stufe des Baums mit Kanten-W-keit null einbauen (wird allerdings unübersichtlich).

5 Vorschläge für die Tutorien zum 4. Übungsblatt Elemente der Stochastik (SoSe 2016) Aufgabe 6 Für eine beliebige Menge B bezeichne P(B) die dazugehörige Potenzmenge (Menge aller Teilmengen von B). a) Die Menge A enthalte genau vier Elemente. Wieviele Elemente sind in P(A) bzw. in P(P(A)) enthalten? b) Geben sie die Mengen P({x}) und P(P({elf})) explizit an! a) Allgemein kann gezeigt werden (überlegen sie sich selbst wie!), dass P(B) = 2 B für jede Menge B gilt. Also ist P(A) = 2 A = 2 4 = 16 und P(P(A)) = 2 P(A) = 2 16 = b) P({x}) = {, {x}} und P(P({elf})) = {, { }, {{elf}}, {, {elf}}} Aufgabe 7 (vgl. Kütting/Sauer, Sect , Aufg. 4, S.165) Wie viele Diagonalen (Verbindungen zwischen Eckpunkten, die keine Seiten sind) hat ein regelmäßiges n-eck? Gibt es regelmäßige n-ecke, die genauso viele Diagonalen und Seiten haben? Falls ja, wieviele und welche? Jede Diagonale verbindet zwei Eckpunkte des n-ecks. Für den ersten kommen n Ecken in Frage, für den anderen n 3 (denn der erste Punkt, sowie seine beiden Nachbarn müssen ausgeschlossen werden, wenn es eine Diagonale werden soll). Es gibt also n (n 3) mögliche Eckpunktpaare und damit d(n) = n (n 3)/2 verschiedene Diagonalen (da die Anordnung von Start und Endpunkt vertauscht werden kann ohne die entsprechende Verbindungsstrecke zu ändern). Regelmäßige n-ecke besitzen offensichtlich s(n) = n Seiten. Damit gilt d(n) = s(n) n (n 3) 2 = n n 3 2 = 1 n 3 = 2 n = 5, d.h. einzig und allein das regelmäßige Fünfeck besitzt genauso viele Diagonalen wie Seiten. Aufgabe 8 Buchstaben im Braille-Alphabet: Kütting/Sauer, Sect , Aufg. 9, S.166 Kütting/Sauer, Sect , Aufg. 9, S.381 Aufgabe 9 Zahlenkombinationen: Kütting/Sauer, Sect , Aufg. 8, S.165f Kütting/Sauer, Sect , Aufg. 8, S.381