Wahrscheinlichkeitstheorie Aufgaben mit Lösungen. Jörg Gayler, Lubov Vassilevskaya

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1 Wahrscheinlichkeitstheorie Aufgaben mit Lösungen Jörg Gayler, Lubov Vassilevskaya i

2 Inhaltsverzeichnis Kombinatorisches Rechnen. Formelsammlung Fakultät : Definition, Beispiele Permutationen: Aufgaben Rechnen mit Binomialkoeffizienten: Aufgaben Lösungen 6. Fakultät: Lösungen Permutationen: Lösungen Rechnen mit Binomialkoeffizienten: Lösungen ii

3 Kapitel Kombinatorisches Rechnen. Formelsammlung. n-fakultät: Die Fakultät einer natürlichen Zahl n ist das Produkt aller natürlichen Zahlen von bis n, falls n 0 und n (n ) n, n N. 2. Permutation (a) Permutation mit n verschiedenen Elementen: Eine Anordnung von n verschiedenen Elementen in einer bestimmten Reihenfolge heißt eine Permutation P (n) dieser n Elemente. Die Anzahl der möglichen Reihenfolgen von n verschiedenen Elementen, Permutationen ohne Wiederholung, ist: P (n) n (n ) (n 2)... 2 (.) (b) Permutation mit n Elementen, k davon sind gleich: Die Anzahl der Permutationen von n Elementen, von denen k gleich sind, ist P(n, k) k! (.2) Die Anzahl der Permutationen von n Elementen, von denen jeweils k, k 2,..., k r gleich sind, ist P(n, k, k 2,..., k r ) k! k 2!... k r!, k + k k r n. (.3) 3. Binomialkoeffizienten Unter dem Binomialkoeffizienten Cn k ( ) n k (gesprochen: n über k) versteht man den folgenden Ausdruck: ( ) n Cn k n (n ) (n 2)... (n (k )) n (n ) (n 2)... (n (k )), k k k! ( ) ( ) ( ) n n n, n, mit n, k N, n k. (.4) 0 n

4 Die Definition eines Binomialkoeffizienten kann mithilfe der Fakultätsschreibweise in einer anderen Form geschrieben werden, indem wir den Zähler und Nenner von von (.4) mit (n k)! multiplizieren. C k n ( n k ) n (n ) (n 2)... (n (k )) (n k)! k (n k)! k! (n k)! (.5) 2

5 2. Fakultät : Definition, Beispiele Definition : n Fakultät (gesprochen n Fakultät) ist eine Funktion, die einer natürlichen Zahl n das Produkt dieser Zahl mit allen kleineren natürlichen Zahlen zuordnet. Sie wird durch ein dem Argument nachgestelltes Ausrufezeichen (! ) abgekürzt. Definition 2: n Fakultät (n ) n, n N. (.6) Die Fakultät einer natürlichen Zahl n ist das Produkt aller natürlichen Zahlen von bis n, falls n 0 und n. Die Notation der Fakultät wurde erstmals 808 von Mathematiker Christian Kramp ( ) verwendet, der um 798 auch die Bezeichnung Fähigkeit dafür einführte. Eigenschaften: Für die Zahlen 0 und wird ihr Fakultät festgelegt. Einige Beispiele sind: (n )! n, 0!,!. (.7) 2!! 2 2, 3! 2! , 4! 3! , 0! , 5! , 20! Man sieht, dass die Fakultäten sehr schnell ansteigen. Bei 60! versagen bereits die meistens Taschenrechner. Fakultät: Aufgaben A Berechnen Sie 5! und 7!. A 2 9! Berechnen Sie 0!. A 3 Schreiben Sie in Form einer Fakultät auf 7! 8 9, 2! 3 4 5, 5! 7, 6! 9, 9! A 4 Berechnen Sie 3! + 4!, 2! + 5!,! + 2! + 3! + 4! + 5! A 5 Berechnen Sie (2 + 3)!, (7 4)!, ( 9)! 3

6 A 6 Berechnen Sie 7! 5!, 0! 8!, 9! 8!, 6! 2! 4!, 9! 4! 6!, 2! 0! 2!, 7! 4! 3!. A 7 Richtig oder falsch? Beweisen Sie. A 8 Berechnen Sie a) 6! 3! ( ) 6!, b) 0! 3 5! ( ) 0! 5 3! 3!, 4! 0!, 5! 0!, 0! 0!. A 9 Schreiben Sie folgende Produkte durch Fakultät auf , A 0 Berechnen Sie a) b) (n + 2)!, (n + 2)! (n + )!, (n + 2)! (n )!, (n )! (n + )!, (n + 2)! n (n 2)!, n (n + )! (n )!, (n 2)! (n + )! () 2. A Drucken Sie folgende Terme durch n-fakultät aus A 2 Berechnen Sie a) (n + )!, (n + 3)!, (n )!, (n 3)!, b) (n + )!, (n )!, n (n 2)!, (n )! (n + )!. (n m )! (n m), (n m 3)! (n m 2). A 3 Ändere den Bruch so, dass im Zähler eine steht A 4 Berechnen Sie 6 6!, 9 9!, m (m )!, n m (n m)!. 9! 7! 7! 6!, (n 2)! (n 2)! (n 3)!. 4

7 3. Permutationen: Aufgaben A 5 Auf wie viele Arten können sich 3 Menschen hintereinander aufstellen? A 6 Wie viele verschiedene fünfstellige Zahlen kann man mit 2 Vieren und 3 Sechsen zusammensetzen? Bestimmen Sie die Anzahl der Permutationen mit Hilfe der Formel (.3) und bestätigen Sie das Ergebnis, indem Sie alle Permutationen aufschreiben. A 7 Eine Mutter hat zwei Äpfel, zwei Birnen und eine Nektarine. An allen 5 Wochentagen gibt sie dem Kind eine Frucht in die Schule mit. Auf wie viele Arten kann sie das machen? A 8 Auf wie viele Arten kann man die Buchstaben des Wortes rennen zu Folgen von 6 Buchstaben anordnen? A 9 Auf wie viele Arten kann man die Buchstaben des Wortes Schifffahrt zu Folgen von Buchstaben anordnen? A 20 Auf wie viele Arten kann man die Buchstaben des Wortes Schneeeule zu Folgen von 0 Buchstaben anordnen? A 2 Auf wie viele Arten kann man jeweils die Buchstaben der Wörter Mississippi, Flusssenke, Kontrolllampe, Seeelephant, Wettturnier anordnen? 4. Rechnen mit Binomialkoeffizienten: Aufgaben A 22 Bestimmen Sie folgende Binomialkoeffizienten ( ) ( ) ( ) 7 7 9,,, ( 6 0 ), ( ) 2, 7 ( ) A 23 Zeigen Sie, dass ( ) 4 2 ( ) 3 + ( ) 3. 2 A 24 Berechnen Sie Binomialkoeffizienten der zehnten Zeile: ( ) ( ) ( ) ( ) ,,,, A 25 Entwickeln Sie a) (a + b) 7, b) (x y) 8, c) (x + 2) 5. A 26 Zeigen Sie, dass a) C k n C k n + Ck n und b) Ck n C k+ n+ Ck+ n. A 27 Zeigen Sie, dass k C k n n C k n. A 28 Zeigen Sie, dass folgende Rekursionsformel (innerhalb einer Zeile) gilt: ( ) n n k + ( ) n. k k k 5

8 Kapitel 2 Lösungen. Fakultät: Lösungen L 5! , 7! L 2 Da n (n ), ist 0! 9! L 3 L 4 L 5 7! !, 2! !, 5! 7 5! ! ! ! 24 20! 24 7! 7 8, 6! 9 6! ! ! ! + 4! , 2! + 5! , 9! 7 8, 24! ! + 2! + 3! + 4! + 5!! + 2! + 5! + (3! + 4!) (2 + 3)! 5! 20, (7 4)! 3! 6, ( 9)! 2!02. L 6 7! 5! , 0! 8! , 9! 8! 9, 6! 2! 4! 5, 9! 4! 6! 2, 2! 2 7! 66, 0! 2! 2 4! 3!

9 L 7 a) 6! 3! , 2 3 ( ) 6! 6 3!! falsch, 3 ( ) 6! (3)! 3! 2 3 6, 20 6, 3 0! 5! , ( ) ( ) 0 0! 0! (5)! , , 5 5!! falsch. 5 L 8 3! 3! , 4! 0! 4! 24, 5! 0! 5! 20, 0! 0!. L ! 2! 7! 2, ! 7!. L 0 a) b) (n + 2)! (n + ) (n + 2) (n + ) (n + 2), (n + 2)! (n + )! (n + 2) n + 2, (n + )! (n + )! (n + 2)! (n )! n (n + ) (n + 2) n (n + ) (n + 2), (n )! (n )! (n )! (n + )! (n )! (n )! n (n + ) n (n + ), (n + 2)! (n 2)! (n ) n (n + ) (n + 2) (n ) (n + ) (n + 2), n (n 2)! n (n 2)! n (n + )! (n )! n (n )! n (n + ) (n )! n 2 (n + ), (n 2)! (n + )! (n 2)! (n + )! () 2 (n 2)! (n + ) n + (n 2)! (n ) n n (n ). L Um die gegebenen Terme durch n-fakultät auszudrucken, werden wir die Eigenschaft (.7) be- 7

10 nutzen: a) (n + )! (n + ), (n + 3)! (n + ) (n + 2) (n + 3), b) (n )! (n )! n (n )! n n n n, (n 3)! (n 3)! (n 2) (n ) n (n 3)! (n 2) (n ) n (n 2) (n ) n (n 2) (n ) n (n + )! (n + ), (n )! n n (n )! n, n (n 2)! n (n ) n (n 2)! (n ) n n2 (n ), (n )! (n + )! n (n + ) ( n ) n + n n + n (n ) (n 2), L 2 (n m )! (n m) (n m)! (n m 3)! (n m 2) (n m 2)! L 3 L 4 6 6! !, 9 9! !, m (m )! m (m 3) (m 2) (m ) (m 3) (m 2) (m 2)!, n m (n m)! (n m )!. 9! 7! 6! ! 7 6! 7 (8 9 ) 7 (8 9 ) 497 7! 6! 6! 7 6! 6! (7 ) , (n 2)! (n 3)! (n 2) (n ) n (n 3)! (n 2) (n 2)! (n 3)! (n 3)! (n 2) (n 3)! (n 3)! ((n 2) (n ) n (n 2)) (n 3)! (n 2 ) (n 2) (n2 n ). n 3 (n 3)! (n 2) ((n ) n ) (n 3)! (n 3) 2. Permutationen: Lösungen L 5 Auf 3! Arten können sich 3 Menschen hintereinander aufstellen. 8

11 L 6 Aus fünf Zahlen (n 5), wovon zwei und drei gleich sind (k 2, k 2 3), kann man 0 Zahlen zusammensetzen. P(n, k, k 2 ) 5! P(5, 2, 3) n5, k 2, k 2 3 2! 3! ( 2) ( 2 3) Diese zehn Zahlen sind 44666, 46466, 46646, 46664, 64466, 64646, 64664, 66446, 66464, L 7 Von fünf Früchten, n 5, sind zwei Äpfel, k 2, und zwei Birnen, k 2 2. Die Anzahl der Permutationen mit Wiederholung ist somit P (n, k, k 2 ) n5, k 2, k 2 2 5! P (5, 2, 2) 2! 2! L 8 Das Wort rennen hat 5 Buchstaben n 5, die man auf 5! Möglichkeiten anordnen kann. Das Wort enthält aber zwei gleiche Buchstaben e, k 2, und zwei gleiche Buchstaben n, k n 2. Die Anzahl der Permutationen mit Wiederholung ist somit P(n, k, k 2 ) n5, k 2, k 2 2 5! P(5, 2, 2) 2! 2! L 9 Unter den n Buchstaben des Wortes Schifffahrt sind zwei h, k 2, und drei f, k 2 3. Die Anzahl der Permutationen mit Wiederholung ist somit P (n, k, k 2 ) n, k 2, k ! P (, 2, 3) 2! 3! 2 L 20 Das Wort Schneeeule hat insgesamt 0 Buchstaben n 0, davon aber vier gleiche Buchstaben e, k 4. Die Anzahl der Permutation mit Wiederholung ist somit P (n, k ) n0, k 4 P (0, 4) 0! 4! L 2 3. Rechnen mit Binomialkoeffizienten: Lösungen L 22 Wir bestimmen die Binomialkoeffizienten mit Hilfe der Formel (.5). ( ) 7 7! ( ) 7 2 2! 5! 2, 7! ( ) 9 5 5! 2! 2, 9! 9 0! 9!, ( ) 6 6! ( ) 2 0 0! 6!, 2! ( ) ! 7! 792, 22! 9 3! 9! 540. L 23 ( ) 3 + ( ) 3 3! 2! 2! + 3! 2!! 2 3!! 2! !! 2! 4 3! 2! 2! 4! 2! 2! ( )

12 L 24 ( ) ( ) 0 0, 0 0 ( ) ( ) , 3 7 ( ) ( ) 0 0 0, 9 ( ) ( ) , 4 6 ( ) ( ) , 2 8 ( ) L 25 a) (a + b) 7 a 7 + 7a 6 b + 2 a 5 b a 4 b a 3 b a 2 b 5 + 7a b 6 + b 7, b) (x y) 8 x 8 8 x 7 y + 28 x 6 y 2 56 x 5 y x 4 y 4 56 x 3 y x 2 y 6 8 xy 7 + y 8, c) (x + 2) 5 x 5 + 0x x x x L 26 ( ) ( ) ( ) n n n a) Cn k Cn k + Ck n +, k k k ( ) ( ) n n (n )! + k k k! (n k)! + (n )! (k )! (n (k ))! ( ) (n )! k! (n k)! + (k )! (n (k ))! ( ) (n )! n (n k) n k! (n k)! (n k) + k k (k )! (n k)! ( ) n k n k! (n k)! + k ( ) k! (n k)! n n k! (n k)! n k! (n k)!. k b) Cn k Cn+ k+ Ck+ n ( ) n k ( ) ( n + k + n k + ), L 27 Um die Gleichung zu beweisen, werden wir die linke Seite auf die Form der rechten Seite bringen ( ) ( ) n n k Cn k n Cn k k n, k k L 28 k ( ) n k k n k! (n k)! k (n )! n (k )! k (n k)! (n )! n (k )! (n k)! (n )! (k )! (n k)! n (n )! (k )! ((n ) (k ))! n ( ) n. k 0