Mathe K2 Stochastik Sj. 16/17

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Caroline Lenz
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1 Mathe K2 Stochastik Sj. 16/17 Bernoulli-Kette 1

$Galtonbrett\Galton.$ exe Zufallsexperiment: Eine Kugel fallen lassen und den Weg notieren.

2 Galtonbrett 1 Wir lassen eine Kugel auf ein Nagelbrett fallen: Galtonbrett\Galton.exe Zufallsexperiment: Eine Kugel fallen lassen und den Weg notieren. Ein Element aus S: (li,li, re, re, li)=llrrl Bei zwei Nagelreihen: S 2 =4 Bei drei Nagelreihen: Bei vier Nagelreihen 2 3 S S4 2 16

3 Galtonbrett 2 Zufallsvariable X: Bestimme für jeden Weg den Topf, in den die Kugel fällt. Bei 1 Nagelreihe: 2 Töpfe mit der Nummer 0, 1 Bei 2 Nagelreihen: 3 Töpfe mit der Nummer 0, 1 Bei 3 Nagelreihen: 4 Töpfe mit den Nummern 0,1,2,3 Bei 8 Nagelreihen: 9 Töpfe mit den Nummern 0,1,2,3,4,5,6,8 Etwa: X(lll)=0, X(rll)=X(lrl)=X(llr)= P(X=0)= 1 8 P(X=1)= 3 8 P(X=2)=3 8 P(X=3)=1 8 3

4 Bernoulli-Experiment Ein Bernoulli-Experiment ist ein Zufallsexperiment mit genau zwei Ausgängen: S={r,f}={richtig, falsch}={t,n}={treffer, Niete} Ein BE muss kein Laplace-Experiment sein, es ist sogar meinst keines. P(r) = p und P(f)=q=1-p Zufallsvariable XE eines BE: Einem Treffer wird die Zahl 1 zugeordnet, einer Niete die Zahl 0. Verteilung: P(XE=1)=p P(XE=0)=q=1-p 4

5 Bernoulli-Kette Wenn man ein Bernoulli-Experiment genau n mal wiederholt, erhält man eine Bernoulli-Kette der Länge n. Die Zufallsvariable X der Bernoulli-Kette der Länge n ist: Zähle die Anzahl der Treffer. Eine Bernoulli-Kette der Länge n kann die (n+1)- Ausgänge haben: 0, 1, 2,, n Treffer. Gesucht ist die Verteilung, d.h. die Werte von P(X=r). Also: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es genau r Treffer gibt, wenn man ein Bernoulli-Experiment n mal wiederholt. 5

6 Galtonbrett ist Bernoulli-Kette. Immer wenn die Kugel auf einen Nagel trifft, wird ein Bernoulli-Experiment durchgeführt links: Niete, rechts Treffer Ein Galtonbrett mit n Reihen von Nägeln ist eine Bernoulli-Kette der Länge n Bei einem Galtonbrett ist P(rechts)=0,5 Bei einem beliebigen Bernoulli-Exp. P(Treffer) = p Die Wahrscheinlichkeit eines jeden Weges der Länge n mit genau r Treffern ist P( ) = p r (1 p) n r Beim Galtonbrett: P = 1 2 r n r 1n = 2 6

7 Galton: Wege zur Urne n Galtonbrett mit n Nagelreihen und n+1 Urnen 0, 1, n Zur Urne 0 gibt es stets nur einen Weg (nie nach rechts), ebenso zur Urne n (immer rechts) Zur Urne 1 gibt es n Wege, ebenso zur Urne n-1. Verteilung: Wie viele Kugeln sammeln sich in jeder Urne? Idee: Anzahl der Wege rekursiv mit dem Pascalschen Dreieck bestimmen: k = Urnennummer, n = Nummer der Nagelreihe Zur Urne k = r geht man genau r mal nach rechts. 7

8 Ziehen ohne Zurücklegen, ohne Reihenfolge 1 Frage: Wie viele Wege führen zur k-ten Urne des Galtonbrettes? Das erfordert ein paar komplexere Überlegungen Wenn wir zur k-ten Urne wollen, müssen wir bei n Weggabelungen genau k-mal nach rechts gehen. Das Nach-Rechts-Gehen simulieren wir mit Ziehen von Kugeln Schritt 1: Gegeben ist eine Urne mit n unterscheidbaren Kugeln (etwa eine Urne mit den Zahlen 1 bis n) Es gibt n Möglichkeiten genau eine Kugel zu ziehen. Legt man sie nicht zurück, sind in der Urne noch (n-1). Beim nächsten Ziehen hat man also (n-1) Möglichkeiten. Zieht man k Kugeln ohne Zurücklegen, hat man n n 1 n 2 n k 1 Möglichkeiten. 8

9 Ziehen ohne Zurücklegen, ohne Reihenfolge 2 Wichtig: Die gezogenen Kugeln haben eine Reihenfolge. Schritt 2: Bei den Entscheidungen an den Weggabelungen kommt es nicht darauf an, wann man nach rechts geht, die Reihenfolge spielt keine Rolle. Übertragen auf die Kugeln: Um die Reihenfolge los zu werden, wirft man alle Kugelfolgen mit denselben Kugeln in einen Topf (oder man ordnet sie, siehe z.b. Lotto) Um zu bestimmen, wie viele verschiedene Kugelfolgen man in einen Topf wirft, geht man den umgekehrten Weg: Wie viele Möglichkeiten gibt es, die k Kugeln in einem Topf anzuordnen. Für die erste Kugel gibt es k, für die letzte 1 also insgesamt k k 1 k Möglichkeiten. 9

10 Ziehen ohne Zurücklegen, ohne Reihenfolge 3 Alle diese Anordnungen liefern denselben Topf. Damit können wir aus einer Urne n n 1 n 2 n k 1 k! = n n 1 n 2 n k 1 k k 1 k n n 1 n 2 1 n! k! n k! = k! n k! verschiedene Töpfe mit k Kugeln bilden. n Abkürzungen k = n! und n! = 1 2 n k! n k! sprich: n über k oder k aus n n-fakultät Zurück zur Frage: Wie viele Wege führen zur k-ten Urne des Galtonbrettes? = Es führen n k verschiedene Wege zur k-ten Urne. 10

11 k aus n - Binomialkoeffizient n k = n! = n n 1 n 3 n+k+1 k! n k! k n k = n n k n + 1 k + 1 = n k + n k + 1 n n n n n n n x y x x y x y xy y x y n 1 n k n n n n n n n k k k 0 11

12 Verteilung des Galtonbrettes Wenn man in einem Galton-Brett die Urne r treffen will, muss man genau r mal nach rechts gehen, (sonst nach links). n Es gibt r nach rechts zu gehen. Möglichkeiten, bei n Wegen genau r mal Jeder der Wege hat die Wegwahrscheinlichkeit P( ein Weg) = p r (1 p) n r Die Summenregel sagt nun, die Wahrscheinlichkeit, die Urne r zu treffen ist P X = r = n r pr 1 p n r (Anzahl der Wege mal Wahrscheinlichkeit für einen Weg) 12

13 GTR-Funktionen Mit OPTN F6] - [PROB] kommt man in das Auswahlmenü für die Funktionen, die man zum Berechnen von Wahrscheinlichkeiten benötigt. n! mit [x!], z.b. 9! = 9 [x!] (n) r = n (n 1) (n r + 1) mit [npr], etwa (6) 2 = 6[nPr]2 n mit [ncr], etwa 7 r 2 = 7[nCr]2 C: Combination P: Permutation P X = r : Mit OPTN [STAT] [DIST] [BINM] kommt man in das Auswahlmenü für die Binomialverteilung. Genau ein Punkt: (GTR-Zus) (Klettinfo) Bpd, d.h P(X = r) = BinomalPD (r,n,p) Cumulative Distribution: Summe von 0 bis r (einschließlich): BCD, d.h. P X r = BinomalCD (r,n,p) 13

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