Modul 205: Binomialverteilung!
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- Leopold Färber
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1 Modul 20: Binomialverteilung!
2 Kurzzug durch die Kombinatorik 2
3 Kurzzug durch die Kombinatorik # Wörter mit {A, M, O}? 3
4 Kurzzug durch die Kombinatorik # Wörter mit {A, M, O}? A.. M.. O.. 3 4
5 Kurzzug durch die Kombinatorik # Wörter mit {A, M, O}? A.. AM. AO. M.. O.. 3
6 Kurzzug durch die Kombinatorik # Wörter mit {A, M, O}? A.. M.. O.. AM. AO. MA. MO. OA. OM. 3 * 2
7 Kurzzug durch die Kombinatorik # Wörter mit {A, M, O}? A.. M.. O.. AM. AO. MA. MO. OA. OM. AMO AOM MAO MOA OAM OMA 3 * 2 * = 3! = 7
8 Kurzzug durch die Kombinatorik n Elemente können auf n! Arten in eine Reihenfolge gebracht werden. Es gibt n! Permutationen von n Elementen 8
9 9 Kurzzug durch die Kombinatorik n! n n! n
10 0 Kurzzug durch die Kombinatorik n! n n! n Tabelle Seite
11 Wer die Wahl hat, hat die Qual Drei aus {A, M, O, R, E} und anordnen.
12 Wer die Wahl hat, hat die Qual Drei aus {A, M, O, R, E} und anordnen. 4 2
13 Wer die Wahl hat, hat die Qual Drei aus {A, M, O, R, E} und anordnen
14 Wer die Wahl hat, hat die Qual Drei aus {A, M, O, R, E} und anordnen = =! )! = 20 2 = 0 2! =! 3 4
15 Wer die Wahl hat, hat die Qual Drei aus {A, M, O, R, E} und anordnen = =! )! = 20 2 = 0 2! =! 3
16 Wer die Wahl hat, hat die Qual Drei aus {A, M, O, R, E} und anordnen = =! )! = 20 2 = 0 2! =! 3
17 Wer die Wahl hat, hat die Qual Drei aus {A, M, O, R, E} und anordnen = =! )! = 20 2 = 0 2! =! 3 7
18 Wer die Wahl hat, hat die Qual Drei aus {A, M, O, R, E} und anordnen = =! )! = 20 2 = 0 2! =! 3 8
19 Wer die Wahl hat, hat die Qual Auswählen und anordnen k Plätze... n n n k + Auswählen und anordnen # Möglichkeiten n n ) n k + ) = n! n k)! 9
20 Wer die Wahl hat, hat die Qual Drei aus {A, M, O, R, E} und anordnen = =! )! = 20 2 = 0 2! =! 3 Es gibt 3! = Anordnungsmöglichkeiten. 20
21 Wer die Wahl hat, hat die Qual Drei aus {A, M, O, R, E} und anordnen = =! )! = 20 2 = 0 2! =! 3 Es gibt 3! = Anordnungsmöglichkeiten. Verzicht auf Ordnung: Durch 3!= dividieren 0 Auswahlmöglichkeiten 2
22 Wer die Wahl hat, hat die Qual Drei aus {A, M, O, R, E} ohne anordnen = =! 3! 2! =! 3! 3 )! = 20 2 = 0 Es gibt 3! = Anordnungsmöglichkeiten. Verzicht auf Ordnung: Durch 3!= dividieren 0 Auswahlmöglichkeiten 22
23 Wer die Wahl hat, hat die Qual Aus n deren k auswählen: n n ) n k+ 2 k ) = n! k! n k)! n ) k = n! n k )! k! = n! k! n k)! " n tief k " " n choose k " 23
24 n ) k = n! n k )! k! = n! k! n k)! Tabelle Seite 2 n \ k ) 3 = 0 24
25 n ) k = n! n k )! k! = n! k! n k)! Binomische Formel a + b) 0 = a + b) =a +b a + b) 2 =a 2 + 2ab +b 2 a + b) 3 =a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 +b 3 a + b) 4 =a 4 + 4a 3 b + a 2 b 2 + 4ab 3 +b 4 a + b) =a + a 4 b +0a 3 b 2 +0a 2 b 3 + ab 4 +b a + b) =a + a b +a 4 b a 3 b 3 +a 2 b 4 + ab +b a + b) n = k n n )a n k b k k=0 2
26 n ) k = n! n k )! k! = n! k! n k)! Binomische Formel a + b) 0 = a + b) =a +b a + b) 2 =a 2 + 2ab +b 2 a + b) 3 =a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 +b 3 a + b) 4 =a 4 + 4a 3 b + a 2 b 2 + 4ab 3 +b 4 a + b) =a + a 4 b +0a 3 b 2 +0a 2 b 3 + ab 4 +b a + b) =a + a b +a 4 b a 3 b 3 +a 2 b 4 + ab +b a + b) n = k n n )a n k b k k=0 2
27 n ) k = n! n k )! k! = n! k! n k)! Binomische Formel a + b) 0 = a + b) =a +b a + b) 2 =a 2 + 2ab +b 2 a + b) 3 =a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 +b 3 a + b) 4 =a 4 + 4a 3 b + a 2 b 2 + 4ab 3 +b 4 a + b) =a + a 4 b +0a 3 b 2 +0a 2 b 3 + ab 4 +b a + b) =a + a b +a 4 b a 3 b 3 +a 2 b 4 + ab +b a + b) n = k n n )a n k b k k=0 27
28 n ) k = n! n k )! k! = n! k! n k)! Pascalsches Dreieck Blaise Pascal,
29 Kopf oder Zahl Erfolg oder Misserfolg Mädchen oder Knabe To be or not to be oder 0 Er liebt mich / liebt mich nicht 29
30 Genau zwei möglichen Ausgänge: Bernoulli-Experiment 30
31 Jacob Bernoulli,
32 Original in der Aula des Museums der Kulturen Jacob Bernoulli,
33 Bernoulli Nicolaus Jacob I 4-70 Nicolaus 2-7 Johann I Nicolaus I Nicolaus II 9-72 Daniel Johann II Johann III Jacob II
34 Genau zwei möglichen Ausgänge: Bernoulli-Experiment Beispiel: Würfelwurf: Fünf oder nicht fünf 34
35 Genau zwei möglichen Ausgänge: Bernoulli-Experiment Beispiel: Würfelwurf: Fünf oder nicht fünf p = P Erfolg) = 3
36 Bernoulli-Kette: Folge von gleichen Bernoulli-Experimenten. 3
37 Beispiel: Wir werfen einen Würfel vier Mal hintereinander. Erfolg ist jeweils die Augenzahl fünf. p = P Erfolg) = 37
38 Binärer Baum Erfolg Start Misserfolg 38
39 Binärer Baum Erfolg Start Misserfolg 39
40 Binärer Baum Erfolg Start Misserfolg 40
41 Binärer Baum ) 4 Vier mal Erfolg Erfolg Start Misserfolg 4
42 Binärer Baum ) 4 ) 3 Drei mal Erfolg, ein Misserfolg Erfolg Start Misserfolg 42
43 Binärer Baum ) 4 3 ) 3 Erfolg ) 3 Start ) 3 Misserfolg 43
44 Binärer Baum Erfolg ) 4 3 ) 3 ) 2 ) 2 ) 3 Start ) 3 Misserfolg 44
45 Binärer Baum Erfolg Start Misserfolg ) 4 3 ) 3 ) 2 ) 2 ) ) 2 ) 2 ) ) 2 ) 2 ) 2 ) 2 4
46 Binärer Baum Erfolg Start Misserfolg ) 4 3 ) 3 ) 2 ) 2 ) ) 2 ) 2 ) ) 2 ) 2 ) 2 ) 2 ) 3 4
47 Binärer Baum Erfolg Start Misserfolg ) 4 3 ) 3 ) 2 ) 2 ) ) 2 ) 2 ) ) 2 ) 2 ) 2 ) 2 ) 3 ) 3 ) 3 ) 3 47
48 Binärer Baum Erfolg Start Misserfolg ) 4 3 ) 3 ) 2 ) 2 ) ) 2 ) 2 ) ) 2 ) 2 ) 2 ) 2 ) 3 ) 3 ) 3 ) 3 ) 4 48
49 Binärer Baum Erfolg Start Misserfolg ) 4 3 ) 3 ) 2 ) 2 ) ) 2 ) 2 ) ) 2 ) 2 ) 2 ) 2 ) 3 ) 3 ) 3 ) 3 ) 4 Verteilung:
50 Binärer Baum Erfolg Start Misserfolg Verteilung: 4 4 0
51 k= #Erfolge # Fälle P 4 k )
52 k= #Erfolge # Fälle P 4 k )
53 k= #Erfolge # Fälle P 4 k ) 0 )
54 k= #Erfolge # Fälle P 4 k ) ) 4 ) 3 ) 2 ) ) 3 ) 4 4
55 Binomialverteilung P 4 k) = 4 ) k ) k ) 4 k
56 Binomialverteilung P 4 k) = 4 ) k ) k ) 4 k Anzahl Versuche
57 Binomialverteilung Anzahl Erfolge P 4 k) = 4 ) k ) k ) 4 k Anzahl Versuche 7
58 Binomialverteilung Anzahl Erfolge P 4 k) = 4 ) k ) k ) 4 k Anzahl Versuche Binomialkoeffizient 8
59 Binomialverteilung Anzahl Erfolge Erfolgswahrscheinlichkeit im Einzelversuch P 4 k) = 4 ) k ) k ) 4 k Anzahl Versuche Binomialkoeffizient 9
60 Binomialverteilung Anzahl Erfolge Erfolgswahrscheinlichkeit im Einzelversuch P 4 k) = 4 ) k ) k ) 4 k Anzahl Versuche Binomialkoeffizient Misserfolgswahrscheinlichkeit im Einzelversuch 0
61 k= #Erfolge # Fälle P 4 k ) ) 4 ) 3 ) 2 ) ) 3 ) 4
62 k= #Erfolge # Fälle P 4 k ) ) ) ) 2 ) ) )
63 k= #Erfolge # Fälle P 4 k ) Tabelle Seite 4 0 ) ) ) 2 ) ) )
64 k= #Erfolge # Fälle P 4 k ) ) ) ) 2 ) ) ) Summe
65 k= #Erfolge # Fälle P 4 k ) ) ) ) 2 ) ) ) Summe =
66 P 4 k) Histogramm p = k = # Fünfer
67 P 4 k) Histogramm p = k = # Fünfer 7
68 P 4 k) Histogramm p = k = # Fünfer 8
69 P 4 k) Histogramm p = k = # Fünfer 9
70 0.482 Histogramm Simulation mit 000 Viererwürfen Anteile: Null Fünfer: Ein Fünfer: Zwei Fünfer: 0.47 Drei Fünfer: Vier Fünfer:
71 Binomialverteilung allgemein 7
72 Binomialverteilung Anzahl Erfolge Erfolgswahrscheinlichkeit im Einzelversuch P n k) = n ) k p k q n k Anzahl Versuche Binomialkoeffizient Misserfolgswahrscheinlichkeit im Einzelversuch q = p 72
73 Beispiel Münzenwurf. Erfolg = Kopf. n = 4. p = q = 2 73
74 Beispiel Tabelle Seite 4 Münzenwurf. Erfolg = Kopf. n = 4. p = q = 2 n p k
75 P 4 k) 0.4 p = q = k = # Köpfe 7
76 P 4 k) 0.4 p = q = k = # Köpfe 7
77 Summative Binomialverteilung: Mit welcher Wahrscheinlichkeit haben wir höchstens x Erfolge auf n Versuche? 77
78 Summative Binomialverteilung: Mit welcher Wahrscheinlichkeit haben wir höchstens x Erfolge auf n Versuche? P n k x) = P n 0) + P n ) + + P n x x k =0 ) = P n k) 78
79 Eine Münze wird 8-mal geworfen. n = 8, p = q = 2 P - mal Kopf) = P 8 ) = P höchstens - mal Kopf ) = P 8 k ) = P mindestens - mal Kopf) = P 8 k ) = P 8 3 k ) = 79
80 Eine Münze wird 8-mal geworfen. n = 8, p = q = 2 P - mal Kopf) = P 8 ) = 0.29 nicht summativ!) Tabelle Seite P höchstens - mal Kopf ) = P 8 k ) = P mindestens - mal Kopf) = P 8 k ) = P 8 3 k ) = 80
81 Eine Münze wird 8-mal geworfen. n = 8, p = q = 2 P - mal Kopf) = P 8 ) = 0.29 nicht summativ!) Tabelle Seite P höchstens - mal Kopf ) = P 8 k ) = 0.8 summativ) Tabelle Seite 8 P mindestens - mal Kopf) = P 8 k ) = P 8 3 k ) = 8
82 Eine Münze wird 8-mal geworfen. n = 8, p = q = 2 P - mal Kopf) = P 8 ) = 0.29 nicht summativ!) Tabelle Seite P höchstens - mal Kopf ) = P 8 k ) = 0.8 summativ) Tabelle Seite 8 P mindestens - mal Kopf) = P 8 k ) = = 0.33 P 8 3 k ) = 82
83 Eine Münze wird 8-mal geworfen. n = 8, p = q = 2 P - mal Kopf) = P 8 ) = 0.29 nicht summativ!) Tabelle Seite P höchstens - mal Kopf ) = P 8 k ) = 0.8 summativ) Tabelle Seite 8 P mindestens - mal Kopf) = P 8 k ) = = 0.33 P 8 3 k ) = =
84 Ein Würfel wird -mal geworfen. Erfolg ist das Werfen der Augenzahl. n =, p = P 4 - mal Augenzahl fünf) = P 4) = P mindestens 3 - mal Augenzahl fünf) = P 3 k) = P 2 k ) = 84
85 Ein Würfel wird -mal geworfen. Erfolg ist das Werfen der Augenzahl. n =, p = P 4 - mal Augenzahl fünf) = P 4) = 0.42 Tabelle Seite P mindestens 3 - mal Augenzahl fünf) = P 3 k) = P 2 k ) = 8
86 Ein Würfel wird -mal geworfen. Erfolg ist das Werfen der Augenzahl. n =, p = P 4 - mal Augenzahl fünf) = P 4) = 0.42 Tabelle Seite P mindestens 3 - mal Augenzahl fünf) = P 3 k) = 0.48 Tabelle Seite 9, umrechnen P 2 k ) = 8
87 Ein Würfel wird -mal geworfen. Erfolg ist das Werfen der Augenzahl. n =, p = P 4 - mal Augenzahl fünf) = P 4) = 0.42 Tabelle Seite P mindestens 3 - mal Augenzahl fünf) = P 3 k) = 0.48 Tabelle Seite 9, umrechnen P 2 k ) = = 0.73 Tabelle Seite 9 87
88 Glücksrad mit Problem p = P = 3 4 Nicht in Tabelle 88
89 Erfolg und Misserfolg uminterpretieren 89
90 Erwartungswert und Varianz 90
91 X i = Anzahl Erfolge beim i-ten Versuch x 0 w i x) q p 9
92 X i = Anzahl Erfolge beim i-ten Versuch x 0 w i x) q p E X i ) = 0 q + p = p 92
93 Varianz x p) 2 0 p) 2 p) 2 w i x) q p 93
94 Varianz x p) 2 0 p) 2 p) 2 w i x) q p Var X i ) = q 0 p ) 2 + p p )2 =q ) = p 2 q + pq 2 = pq p + q = pq = 94
95 Varianz x p) 2 0 p) 2 p) 2 w i x) q p Var X i ) = q 0 p ) 2 + p p )2 =q ) = p 2 q + pq 2 = pq p + q = pq = 9
96 Nun sei X die Anzahl Erfolge bei n Versuchen ) = np ) = npq ) = npq E X Var X σ X 9
97 Eine Münze wird n-mal geworfen. p = q = 2 n = 0 µ = σ = n = 00 µ = σ = n = 0000 µ = σ = 97
98 Eine Münze wird n-mal geworfen. p = q = 2 n = 0 µ = σ = n = 00 µ = σ = n = 0000 µ = σ = 98
99 Eine Münze wird n-mal geworfen. p = q = 2 n = 0 µ = σ =.8 n = 00 µ = σ = n = 0000 µ = σ = 99
100 Eine Münze wird n-mal geworfen. p = q = 2 n = 0 µ = σ =.8 n = 00 µ = 0 σ = n = 0000 µ = σ = 00
101 Eine Münze wird n-mal geworfen. p = q = 2 n = 0 µ = σ =.8 n = 00 µ = 0 σ = n = 0000 µ = σ = 0
102 Eine Münze wird n-mal geworfen. p = q = 2 n = 0 µ = σ =.8 n = 00 µ = 0 σ = n = 0000 µ = 000 σ = 02
103 Eine Münze wird n-mal geworfen. p = q = 2 n = 0 µ = σ =.8 n = 00 µ = 0 σ = n = 0000 µ = 000 σ = 0 03
104 Eine Münze wird n-mal geworfen. p = q = 2 n = 0 µ = σ =.8 n = 00 µ = 0 σ = n = 0000 µ = 000 σ = 0 Die Streuung wird relativ immer kleiner 04
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