Mathematik 2 für Naturwissenschaften

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1 Hans Walser Mathematik 2 für Naturwissenschaften Modul 205 Binomialverteilung Lernumgebung

2 Hans Walser: Modul 205, Binomialverteilung. Lernumgebung ii Inhalt Kaspar, Melchior und Balthasar... 2 Ungerade und gerade Binomialkoeffizienten... 3 Fußball Delegation Harmonisches Dreieck... 3 Rochefort Kürzeste Wege auf dem Schachbrett Würfelwürfe... 9 Lauter Lügen Leiterlispiel... 8 Gebrauch der Tabelle... 2 Gebrauch der Tabelle?... 3 Familie mit Kindern Familie mit Kindern Familie mit Kindern... 3 Familie mit Kindern Familie mit Kindern Familie mit Kindern Bernoulli-Kette Bernoulli-Kette Trinomische Verteilung Verschiedene Lösungswege SARS... 7 Modul 205 für die Lehrveranstaltung Mathematik 2 für Naturwissenschaften Sommer 200 Probeausgabe. MathType Sommer 2007 Erweiterungen Frühjahr 2009 Geändertrs Layout Frühjahr 200 Erweiterung Frühjahr 204 Überarbeitung, Kürzung und Erweiterung last modified: 7. November 203 Hans Walser Mathematisches Institut, Rheinsprung 2, 405 Basel

3 Hans Walser: Modul 205, Binomialverteilung. Lernumgebung Kaspar, Melchior und Balthasar Auf wie viele Arten können Kaspar, Melchior und Balthasar auf drei Stühlen Platz nehmen? Spielen Sie das Problem mit drei Personen und drei Stühlen durch. 3! = 2 Ungerade und gerade Binomialkoeffizienten Markieren Sie im Pascal-Dreieck die ungeraden beziehungsweise geraden Binomialkoeffizienten mit zwei verschiedenen Farben. Gerade und ungerade Binomialkoeffizienten

4 Hans Walser: Modul 205, Binomialverteilung. Lernumgebung 2 Pascal-Dreieck 3 Fußball Aus einem Mann umfassenden Fußballverein soll ein Team aus zehn Feldspielern und einem Torhüter zusammengestellt werden. Auf wie viele Arten geht das, wenn sich im Verein genau drei Torhüter befinden? Torhüter spielen nicht im Feld und Feldspieler hüten nicht das Tor. Lösung 3 ( 0 ) ( 3 ) = Delegation Aus einer Schulklasse mit 4 Mädchen und 9 Knaben soll eine Delegation total von 5 Personen mit genau 3 Mädchen und 2 Knaben ausgewählt werden. Auf wie viele Arten geht das?

5 Hans Walser: Modul 205, Binomialverteilung. Lernumgebung 3 Bearbeitung 4 ( 3 )( 2 9 ) = Harmonisches Dreieck Harmonisches Dreieck Bearbeitung Wir nummerieren gleich wie beim Pascal-Dreieck der Binomialkoeffizienten, die Nummerierung beginnt jeweils bei Null. Es sei h n,k das Element in der Zeile n an der Position k. Beispiel: h 4, = 20. Feststellungen: Das Dreieck ist symmetrisch: Link mit Binomialkoeffizienten: h n,k = h n,n k h n,k = n ( n+) k ( )!k! ( n+)! ( ) = n k Jedes Element ist die Summe der beiden darunter liegenden Elemente (also gerade umgekehrt wie beim Pascal-Dreieck): h n,k = h n+,k + h n+,k+ Jedes Element ist die Differenz des Elementes links oben und links: h n,k = h n,k + h n,k Aus Symmetriegründen gilt dann auch: Jedes Element ist die Differenz des Elementes rechts oben und rechts: h n,k = h n,k + h n,k+ Das harmonische Dreieck soll auf Leibniz (4-7) gehen.

6 Hans Walser: Modul 205, Binomialverteilung. Lernumgebung 4 Gottfried Wilhelm Leibniz Rochefort Unter Ludwig XIV. gründete der französische Staatsmann Jean Baptiste Colbert (9-83) die Stadt Rochefort nahe der Charente-Mündung. Dabei wurde ein regelmäßiger Plan für die Stadtmitte gewählt. Rue Victor Hugo Rue Louis Thiers Rue Jean-Jaurès Av. la Fayette Plan de ville Jemand will von der Ecke der Strassen Rue Thiers und Av. la Fayette zur Ecke der Strassen Rue Jean-Jaurès und Rue Victor Hugo gehen. Wie viele verschiedene (kürzeste) Wege gibt es? 70

7 Hans Walser: Modul 205, Binomialverteilung. Lernumgebung 5 7 Kürzeste Wege auf dem Schachbrett B A Schachbrett Gesucht ist jeweils die Anzahl der kürzesten Wege von A nach B a) für einen Turm b) für einen Läufer c) für die Dame d) für einen Springer Lösungen ( ) = 20, Länge = 0 ( ) = 2, Länge = ( ) = 35, Länge = a) 0 3 b) 2 7 c) 3 7 d) 4! = 2, Länge = !!!

8 Hans Walser: Modul 205, Binomialverteilung. Lernumgebung 3 2 B2 2 3 A 2 Rösselsprünge 8 Würfelwürfe a) Xanthippe wirft Würfel gleichzeitig. Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält sie genau eine Augenzahl? b) Yvette wirft 2 Würfel gleichzeitig. Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält sie genau zweimal die Augenzahl? c) Zora wirft 8 Würfel gleichzeitig. Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält sie genau dreimal die Augenzahl? d) Allgemein Bearbeitung a) P = ( ) ( ) 5 ( ) 5 = ( 5 ) b) P = ( 2 )( ) 2 5 ( ) c) P = ( 3 )( ) 3 5 ( ) d) Wir werfen n Würfel gleichzeitig und fragen nach der Wahrscheinlichkeit, genau n mal die Augenzahl zu erhalten. P = n ( n ) ( ) n 5 ( ) 5n

9 Hans Walser: Modul 205, Binomialverteilung. Lernumgebung 7 Tabelle: n n P n n P Lauter Lügen Eine Schülerin oder ein Schüler belügt den Lehrer mit der Wahrscheinlichkeit p = Ein Lehrer befragt 0 Schülerinnen und Schüler über einen Vorfall. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als die Hälfte der 0 Schülerinnen und Schüler den Lehrer nicht belügen? b) Wie viele Schülerinnen oder Schüler muss der Lehrer mindestens befragen, damit die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einer die Wahrheit sagt, größer als 99.99% ist? a).04% b) n = 38

10 Hans Walser: Modul 205, Binomialverteilung. Lernumgebung 8 0 Leiterlispiel Spielregeln: Würfeln, Vorrücken gemäß Augenzahl. Allenfalls leiterliuf oder leiterliab. Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind wir nach zwei Spielzügen wo? Ziel vorwärts Start Spielbrett Ziel 2 vorwärts 2 Start Wahrscheinlichkeitsverteilung

11 Hans Walser: Modul 205, Binomialverteilung. Lernumgebung 9 Bearbeitung Erster Lösungsweg Wir denken uns = 2 fiktive Spieler am Start. Ziel vorwärts Start Spieler am Start Nach dem ersten Spielzug ergibt sich die folgende Verteilung (die Farben dienen zur Orientierung für den nachfolgenden zweiten Spielzug): Ziel vorwärts Start Situation nach dem ersten Spielzug

12 Hans Walser: Modul 205, Binomialverteilung. Lernumgebung 0 Nach dem zweiten Spielzug ergibt sich: Ziel vorwärts Start Situation nach dem zweiten Spielzug Auszählen ergibt die anteilmäßige Verteilung des ses. Zweiter Lösungsweg Wir nummerieren die Felder des Leiterlispieles: Ziel vorwärts 2 Start Nummerierung der Felder

13 Hans Walser: Modul 205, Binomialverteilung. Lernumgebung In zwei Würfen gibt es mögliche Wurfbilder. Wir geben in einer -Matrix an, wohin jedes Wurfbild führt. Zweiter Wurf Erster Wurf Auszählen ergibt die gesuchte Wahrscheinlichkeitsverteilung. Gebrauch der Tabelle Eine Laplace-Münze wird 7 Mal geworfen. a) P(genau 3 Mal Kopf ) =? b) P(höchstens 3 Mal Kopf ) =? c) P(mindestens 3 Mal Kopf ) =? d) P(Anzahl der Köpfe zwischen 4 und ) =? a) b) 0.5 c) d) Gebrauch der Tabelle? Eine ideale Münze wird 3 Mal geworfen. a) P(genau 3 Mal Kopf ) =? b) P(höchstens 3 Mal Kopf ) =? c) P(mindestens 3 Mal Kopf ) =? d) P(Anzahl der Köpfe zwischen 4 und ) =?

14 Hans Walser: Modul 205, Binomialverteilung. Lernumgebung 2 a) b) c) d) Familie mit Kindern Eine Familie hat zwei Kinder. Das jüngste heißt Barbara. Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind beide Kinder Mädchen? Bei dieser Aufgabe wird angenommen, dass eine Mädchengeburt und eine Knabengeburt gleich wahrscheinlich sind. 2 4 Familie mit Kindern Eine Familie hat zwei Kinder. Eines davon heißt Barbara. Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind beide Kinder Mädchen? Bei dieser Aufgabe wird angenommen, dass eine Mädchengeburt und eine Knabengeburt gleich wahrscheinlich sind. 3 Bearbeitung Für eine Familie mit zwei Kindern sind grundsätzlich folgende 4 Fälle gleichwahrscheinlich: MM KM MK KK Wegen der Zusatzinformation, dass eines der Kinder Barbara heißt, fällt KK weg. MM tritt in einem Drittel der verbleibenden Fälle ein. Der Fall von einem Mädchen und einem Knaben ist doppelt so wahrscheinlich wie der Fall von zwei Mädchen (Binomialverteilung).

15 Hans Walser: Modul 205, Binomialverteilung. Lernumgebung 3 5 Familie mit Kindern Eine Familie hat drei Kinder. Das jüngste heißt Barbara. Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind a) alle drei Kinder Mädchen? b) zwei der drei Kinder Mädchen? a) 4 b) P( Genau zwei der drei Kinder Mädchen) = 2 4 = 2 P( Mindestens zwei der drei Kinder Mädchen) = 3 4 Bearbeitung Bei dieser Aufgabe wird angenommen, dass eine Mädchengeburt und eine Knabengeburt gleich wahrscheinlich sind. Auflistung aller Fälle Mädchen/Knaben: MMM, MMK, MKM, MKK, KMM, KMK, KKM, KKK Da das jüngste ein Mädchen ist, kommen nur in Frage: MMM, MKM, KMM, KKM Familie mit Kindern Eine Familie hat drei Kinder. Eines davon heißt Barbara. Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind a) alle drei Kinder Mädchen? b) zwei der drei Kinder Mädchen? a) 7 b) P( Genau zwei der drei Kinder Mädchen ) = 3 7 P( Mindestens zwei der drei Kinder Mädchen ) = 4 7

16 Hans Walser: Modul 205, Binomialverteilung. Lernumgebung 4 Bearbeitung Bei dieser Aufgabe wird angenommen, dass eine Mädchengeburt und eine Knabengeburt gleich wahrscheinlich sind. Auflistung aller Fälle Mädchen/Knaben: MMM, MMK, MKM, MKK, KMM, KMK, KKM, KKK Da mindestens ein Mädchen dabei ist, kommt nur in Frage: MMM, MMK, MKM, MKK, KMM, KMK, KKM 7 Familie mit Kindern Eine Familie hat n Kinder. Die ältesten m Kinder sind Mädchen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind alle Kinder Mädchen? Bearbeitung Bei dieser Aufgabe wird angenommen, dass eine Mädchengeburt und eine Knabengeburt gleich wahrscheinlich sind. Es ist dann: P( alles Mädchen) = ( 2 ) n m 8 Familie mit Kindern Eine Familie hat n Kinder. m dieser Kinder sind Mädchen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind alle Kinder Mädchen? Bearbeitung Bei dieser Aufgabe wird angenommen, dass eine Mädchengeburt und eine Knabengeburt gleich wahrscheinlich sind. Es ist dann: P( alles Mädchen) = n j=m ( 2 ) n n ( j )( 2 ) j ( 2 ) n j = n n ( j ) j=m 9 Bernoulli-Kette Ein Versuch mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p im Einzelversuch wir n Mal wiederholt. Die ersten m Male haben wir Erfolg. Mit welcher Wahrscheinlichkeit haben wir durchgehend Erfolg? p n m

17 Hans Walser: Modul 205, Binomialverteilung. Lernumgebung 5 20 Bernoulli-Kette Ein Versuch mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p im Einzelversuch wir n Mal wiederholt. Vor Beginn der Versuchskette sagt uns ein Hellseher, wir würden mindestens m Mal Erfolg haben. Mit welcher Wahrscheinlichkeit haben wir durchgehend Erfolg? P( durchgehend Erfolg) = p n n n ( j )p j p j=m ( ) n j 2 Trinomische Verteilung Es werden 7 Laplace-Würfel geworfen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ergibt sich genau zwei Mal die Augenzahl sechs sowie genau drei Mal die Augenzahl fünf (und zwei Mal andere Augenzahlen)?.2% Lösungsweg Genau genommen handelt es sich nicht um ein Problem der Binomialverteilung, sondern um ein Problem der erweiterten Form der Trinomialverteilung. Die Trinomialkoeffizienten können wie folgt definiert werden: Es gilt dann zum Beispiel: n ( p,q,r ) = n! p!q!r!, wobei p + q + r = n ( ) ( a + b + c) n n = p,q,r p+q+r=n p,q,r 0 a p b q c r Entsprechend können allgemein m-nomialkoeffizienten definiert werden. Die üblichen Binomialkoeffizienten sollten eigentlich wie folgt symmetrisch geschrieben werden: ( p,q n ) = n! p!q! mit p + q = n Es macht aber wenig Sinn und stiftet nur Verwirrung, eine traditionelle Schreibweise abzuändern. Für unser Problem gilt: 7 P = ( 2,3,2 ) ( ) 2 ( ) 3 4 ( ) Das Problem kann aber auch rekursiv mit der Binomialverteilung allein gelöst werden. Im ersten Durchgang sei Erfolg die Augenzahl sechs und Misserfolg alles andere. Dafür gilt die Wahrscheinlichkeit:

18 Hans Walser: Modul 205, Binomialverteilung. Lernumgebung ( 2 7 )( ) 2 5 ( ) 5 Nun machen wir einen zweiten Durchgang unter den fünf Misserfolgen des ersten Durchganges. Erfolg sei nun die Augenzahl fünf. Dies hat im Einzelfall eine Wahrscheinlichkeit (wir sind ja unter lauter Misserfolgen des ersten Durchganges). Für 5 diesen zweiten Durchgang ergibt sich für drei Erfolge : 5 ( 3 )( 5 ) 3 4 ( 5 ) 2 Für die beiden Durchgänge in Serie ergibt sich die Wahrscheinlichkeit: ( 2 7 )( ) 2 5 ( ) 5 ( 5 3 )( 5 ) 3 4 ( 5 ) 2 Dies ist aber dasselbe wie die Lösung mit dem Trinomialkoeffizienten. 22 Verschiedene Lösungswege Es werden 2 Laplace-Würfel geworfen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ergibt sich genau sechs Mal die Augenzahl sechs, fünf Mal die Augenzahl fünf, vier Mal die Augenzahl vier, drei Mal die Augenzahl drei, zwei Mal die Augenzahl zwei und ein Mal die Augenzahl eins? P Erster Lösungsweg Es gibt 2!!5!4!3!2!! günstige und 2 mögliche Fälle. Zweiter Lösungsweg ( ) 2 P =,5,4,3,2, ( ) ( ) 5 ( ) 4 ( ) 3 ( ) 2 ( ) Dritter Lösungsweg Mehrfache Anwendung der Binomialverteilung. In einem ersten Durchgang sei Erfolg die Augenzahl sechs und Misserfolg alles andere. Die Wahrscheinlichkeit für sechs Erfolge auf 2 Versuche ist:

19 Hans Walser: Modul 205, Binomialverteilung. Lernumgebung 7 2 ( )( ) 5 ( ) 5 Nun machen wir einen zweiten Durchgang unter den 5 Misserfolgen des ersten Durchganges. Erfolg sei nun die Augenzahl fünf. Dies hat im Einzelfall eine Wahrscheinlichkeit (wir sind ja unter lauter Misserfolgen des ersten Durchganges). Für diesen 5 zweiten Durchgang ergibt sich für fünf Erfolge : 5 ( 5 )( 5 ) 5 4 ( 5 ) 0 Nun folgt ein dritter Durchgang unter den zehn Misserfolgen des zweiten Durchganges. Erfolg sei nun die Augenzahl vier. Dies hat im Einzelfall eine Wahrscheinlichkeit 4 (wir sind ja unter lauter Misserfolgen des ersten wie des zweiten Durchganges). Für diesen dritten Durchgang ergibt sich für vier Erfolge : 0 ( 4 )( 4 ) 4 3 ( 4 ) Die Weiterführung dieser Überlegung liefert insgesamt die Wahrscheinlichkeit: 2 P = ( )( ) 5 ( ) 5 ( 5 5 )( 5 ) 5 4 ( 5 ) 0 ( 0 4 )( 4 ) 4 3 ( 4 ) ( 3 )( 3) 3 2 ( 3) 3 ( 2 3 )( 2 ) 2 ( 2 ) ( )( ) 23 SARS An SARS erkrankte Personen werden zu 90% wieder gesund, 0% sterben. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von 0 SARS-Kranken genau 9 wieder gesund werden? b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von 0 SARS-Kranken alle wieder gesund werden? a) ( 0 9 ) = b)