Mathematik 2 für Naturwissenschaften

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1 Hans Walser Mathematik 2 für Naturwissenschaften k Binomialverteilung Normalverteilung Modul 206 Verteilungen

2 Hans Walser: Modul 206, Verteilungen ii Inhalt Normalverteilung.... Approximation der Binomialverteilung..... Beispiel Asymmetrisches Beispiel Lokaler Grenzwertsatz von de Moivre und Laplace Bemerkungen Etwas Analysis Anwendung der Tabelle Standardisierung Transformationsregel Gebrauch der Tabelle Merkregeln Große Zahlen Der kontinuierliche Fall Die Poisson-Verteilung Beispiel: Rote Blutkörperchen Allgemein Vergleich mit Binomialverteilung Zusammenfassung Normalverteilung Approximation der Binomialverteilung Wahrscheinlichkeitsdichte Standardisierung Poisson-Verteilung... 9 Modul 206 für die Lehrveranstaltung Mathematik 2 für Naturwissenschaften Sommer 2006 Probeausgabe. MathType Sommer 2007 Ergänzung und Kürzungen Frühjahr 2009 Fehlerkorrekturen, leichte Umstellungen der Kapitelreihenfolge Frühjahr 200 Fehlerkorrekturen Frühjahr 20 Fehlerkorrekturen Frühjahr 204 Überarbeitung last modified: 7. März 204 Hans Walser Mathematisches Institut, Rheinsprung 2, 405 Basel

3 Hans Walser: Modul 206, Verteilungen Normalverteilung. Approximation der Binomialverteilung.. Beispiel Wir werfen eine Münze 20 Mal. Erfolg sei Kopf. Also n = 20, p = q = 2. Die Figur zeigt das Histogramm der Binomialverteilung; zusätzlich ist die Funktion f ( k) = 2πnpq e ( k np) 2 2npq der Normalverteilung eingezeichnet. Wir sehen, dass sich die Funktionskurve recht gut dem Histogramm anpasst. Wegen µ = np und = npq kann diese Funktion auch in der Form geschrieben werden. f ( k) = 2π e 2 ( ) k Binomialverteilung Normalverteilung Diagramm

4 Hans Walser: Modul 206, Verteilungen 2 Wie groß ist nun die Wahrscheinlichkeit, auf 20 Würfe zwischen 2 und 5 Mal Kopf zu erhalten? P 20 2 k 5 ( ) =? Die Binomialverteilung liefert (summative Tabelle): P 20 ( 2 k 5) = 5 20 k 2 k=2 ( ) k ( ) 20 k = = Die Figur zeigt den passenden Ausschnitt aus dem Histogramm k Binomialverteilung Normalverteilung Von 2 bis 5 Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist die Fläche der vier roten Rechtecke im Diagramm. Diese haben die Breite und die Höhe der jeweiligen Wahrscheinlichkeit gemäß Binomialverteilung. Diese rote Fläche können wir nun approximieren durch das Integral der Normalverteilung mit den Grenzen.5 und 5.5. Die halben Grenzen kommen daher, dass 2 für die Mitte des ersten roten Rechteckes steht. Wir müssen daher um ein Halbes zurück. Entsprechend ist 5 die Mitte des letzten roten Rechteckes, wir müssen hier in Halbes dazugeben. Kontrolle: Die Differenz der beiden Grenzen muss 4 ergeben, wir haben 4 Rechtecke. Für dieses Integral erhalten wir (MuPAD): n:=20: p:=/2: q:=-p: mu:=n*p: sigma:=sqrt(n*p*q): g:=k->/sigma/sqrt(2*pi)*exp(-/2*((k-mu)/sigma)^2): P:=float(int(g(k),k= )): print(unquoted, "Wahrscheinlichkeit = ". P); Wahrscheinlichkeit =

5 Hans Walser: Modul 206, Verteilungen 3 Oder grafisch: k Approximation Die Approximation ist für kleine n mäßig gut, für große n wird sie immer besser. Mathematisch gesehen ist die Normalverteilung der Limes der Binomialverteilung für n. Sie ist auch speziell für große Zahlen n entwickelt worden, für welche die Binomialverteilung nicht mehr gut zu handhaben ist (fehlende Tabellen, Probleme bei n!). Unser Beispiel ist wegen p = q = 2 symmetrisch...2 Asymmetrisches Beispiel Die Normalverteilung funktioniert aber auch im asymmetrischen Fall. Die Figur zeigt die Situation für n = 20, p = 0.2, µ = k Binomialverteilung Normalverteilung Asymmetrisches Beispiel

6 Hans Walser: Modul 206, Verteilungen 4.2 Lokaler Grenzwertsatz von de Moivre und Laplace Die Wahrscheinlichkeit P n ( k) auf n Versuche k Erfolge (mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p im Einzelversuch) zu haben, kann wie folgt approximiert werden: P n ( k) 2πnpq e Dabei ist q = p, µ = np und = npq. ( k np) 2 2npq = 2π e 2 ( ) 2 Faustregel: Die Approximation liefert brauchbare Werte für 2 = npq > 9. Anwendung auf das Einstiegsbeispiel: P 20 ( 2 k 5) = 5 20 k 2 k=2 Und wie finden wir dieses Integral?.2. Bemerkungen ( ) k ( ) 20 k π e ( ) 2 dk Abraham de Moivre, Pierre-Simon Laplace, Grenzkorrekturen: P n a k b b+ 2 ( ) a 2 2π e 2 ( ) 2 Bei sehr großen Werten von n können die Grenzkorrekturen weggelassen werden. 2. Die Funktion f ( k) = Computer oder Tabellen. 2π e 2 dk ( ) 2 lässt sich nicht einfach integrieren. Praxis:

7 Hans Walser: Modul 206, Verteilungen 5 3. Der Funktionsgraf von f ( k) = ( ) 2 wird als Glockenkurve oder Gaußsche Glockenkurve bezeichnet. 2π e 2 4. Der Satz geht auf de Moivre ( ), Laplace ( ) und Gauß ( ) zurück..2.2 Etwas Analysis Johann Carl Friedrich Gauß, Die Glockenkurve hat offensichtlich ein Maximum und zwei Wendepunkte. Wo sind diese?.2.2. Maximum Wendepunkte

8 Hans Walser: Modul 206, Verteilungen 6.3 Anwendung der Tabelle.3. Standardisierung In der Normalverteilung kommen die beiden Parameter µ und vor; man müsste also für jedes mögliche Parameterpaar eine Funktionstabelle geben. Dies ist ein hoffnungsloses Unterfangen. Tatsächlich kommen wir mit einer einzigen, standardisierten Version aus und können die anderen Fälle entsprechend umrechnen. Der Vergleich von zeigt: f ( k) = 2π e 2 ( ) 2 mit ϕ x ( ) = 2π e 2 x2 Der Parameter µ bewirkt eine horizontale Verschiebung. Für das Integral hat das keine Bedeutung, wenn die Integrationsgrenzen entsprechend mit verschoben werden. Der Parameter kommt zweimal vor. Außen bewirkt er eine Verzerrung in der senkrechten Richtung um den Faktor ; innen bewirkt der eine Verzerrung in der horizontalen Richtung um den Kehrwert dieses Faktors. Die beiden Verzerrung ändern zwar die Form, nicht aber den Flächeninhalt, da sie sich gegenseitig kompensieren. Die Funktion ϕ ( x) = 2π e 2 x2 heißt die standardisierte Normalverteilung. In dieser standardisierten Normalverteilung ist µ = 0 und =. Die Kurve ist symmetrisch zur senkrechten Achse und hat die Wendepunkte bei ±. Die Einheiten auf den beiden Achsen sind ungleich, damit eine schöne Form der Glockenkurve entsteht x Standardisierte Normalverteilung mit Maximum und Wendepunkten Der Fall µ = 0 macht für unsere Anwendung als Approximation der Normalverteilung mit µ = np vorerst keinen Sinn und ist als rein rechnerische Standardisierung zu verste-

9 Hans Walser: Modul 206, Verteilungen 7 hen. Wir werden später allerdings Anwendungen der Normalverteilung finden, wo auch µ = 0 vorkommen kann..3.2 Transformationsregel ( ) P n a k b b+ 2 a 2 2π e 2 ( ) 2 b+ 2 µ a 2 µ dk = 2π e 2 x2 dx.3.3 Gebrauch der Tabelle.3.3. Simpler Fall Problemstellung: b+ 2 P = 2 dk = a 2 () Umrechnen der Grenzen: 2π e ( ) 2 b+ 2 µ a 2 µ 2π e 2 x2 dx Nun ist: u b = b+ 2 µ u a = a 2 µ (2) Die Tabelle liefert: b+ 2 µ P = 2π e 2 x2 dx = a 2 µ Φ u u ( ) = u b u a 2π e 2 x2 2π e 2 x2 dx dx

10 Hans Walser: Modul 206, Verteilungen 8 Tabellenwert: (3) Bestimmung des Integrals u b P = u a u =.5 Was die Tabelle liefert 2π e 2 x2 dx = Φ( u b ) Φ( u a ) Beispiel: n = 20, p = q =. Erinnerung: Summative Binomialverteilung 2 P 20 ( 2 k 5) = Anwendung der Normalverteilung: () Umrechnen der Grenzen: (2) Die Tabelle liefert: 5 20 k 2 k=2 ( ) k ( ) 20 k = = µ = np = 0 = npq = 5 u b = b+ 2 µ = = u a = a 2 µ =.5 0 = u ( ) = Φ( ) = ( ) = Φ( ) = Φ u b Φ u a 2

11 Hans Walser: Modul 206, Verteilungen 9 (3) Berechnung des Integrals u b P = u a 2π e 2 x Skalenanpassung dx = Φ( u b ) Φ( u a ) = = Statt die Funktionen zu transformieren, können wir auch die Kurve belassen und die Skalen anpassen. Die Einheit auf der horizontalen Achse ist im standardisierten Fall durch die Lage der Wendepunkte gegeben k Originalkurve x Skalenanpassung

12 Hans Walser: Modul 206, Verteilungen Negatives u ( ) = Φ( 0.7) = = Φ 0.7 nicht in Tabelle: Merkregeln u = 0.7 u negativ Die Merkregeln beziehen sich auf symmetrische ( zweiseitige ) Situationen. Wie können sie aus der Tabelle herausgelesen werden? x Bereich µ ± etwa 68%, grob zwei Drittel

13 Hans Walser: Modul 206, Verteilungen x Bereich µ ± 2 etwa 95.45%, grob 95% Aus der Tabelle der Normalverteilung können wir präziser sehen (wie?): Umgekehrt gilt: Bereich µ ± µ ± 2 µ ± 3 µ ± 4 Abdeckung ~ in % % 95.45% 99.73% ~ 00% Abdeckung 50% 90% 95% 99% Bereich µ ± µ ±.645 µ ±.96 µ ± Diese Zahlen werden beim zweiseitigen Testen von Hypothesen eine Rolle spielen. Ferner ist: 2π e 2 x2 dx = x Die Gesamtfläche ist

14 Hans Walser: Modul 206, Verteilungen 2.5 Große Zahlen n = 20,60,00,40,, p = 2 a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit trifft man exakt den Mittelwert? P n ( k = µ ) =? b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit kommt man in eine 0%-Umgebung des Mittelwertes? P n 0.9µ k.µ ( ) =? c) Kommentar zu den Resultaten? k.6 Der kontinuierliche Fall n = 20, 60, 00, 40 Bei der Binomialverteilung ist die Anzahl der Erfolge eine natürliche Zahl, eine Stückzahl also. Die Normalverteilung kann aber auch im kontinuierlichen Fall von Messwerten verwendet werden; wir sprechen dann von einer Wahrscheinlichkeitsdichte. Beispiel: Bei einem Getränkehersteller werden Literflaschen maschinell abgefüllt. Die Füllmenge ist eine kontinuierliche Größe; es wird ja nicht mit dem Tropfenzähler abgefüllt. Die Abfüllmaschine hat eine technische Streuung, welche bekannt ist. Die Sollmenge µ kann an der Maschine eingestellt werden. Wie muss µ gewählt werden, damit bei einem gegebenen = 0.02 Liter mindestens 95% der Flaschen genügend gefüllt sind? Die Figur zeigt die Situation im standardisierten Fall. Das Problem ist einseitig, zu viel in der Flasche stört die Kunden nicht.

15 Hans Walser: Modul 206, Verteilungen u = % erfüllen die Minimalanforderung Aus der Tabelle lesen wir ab (inverses Ablesen, von rechts nach links): Φ(.645) = 0.95 = 95% Daraus ergibt sich Φ(.645) = 0.05 = 5%, das ist der Ausschuss. Es muss die Bedingung µ.645 = Liter erfüllt sein. Wegen = 0.02 Liter ergibt sich daraus µ = =.033

16 Hans Walser: Modul 206, Verteilungen 4 2 Die Poisson-Verteilung 2. Beispiel: Rote Blutkörperchen Siméon-Denis Poisson, Zufällig verteilte Erythrozyten (rote Blutkörperchen) und Zählfenster Für die Zufallsgröße Anzahl k der Erythrozyten innerhalb eines zufällig platzierten Zählfensters benützen wir folgende Modellannahmen: die Aufenthaltswahrscheinlichkeit der Erythrozyten ist im ganzen Feld überall gleich. die Lokalisation eines (jeden) Erythrozyts ist unabhängig von der Lage der anderen Erythrozyten.

17 Hans Walser: Modul 206, Verteilungen 5 Gelten diese Annahmen, so folgt die Zufallsgröße k einer Poisson-Verteilung. In der Situation entsprechend obiger Darstellung (Poisson-Parameter λ = 2.7) ergibt sich beispielsweise folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsgröße k: P( k) = 2.7k k! e P(k) k Poisson-Verteilung für λ = 2.7 Formel für die Wahrscheinlichkeiten P( k) bei beliebigem Poisson-Parameter λ: P( k) = λk k! e λ P( k) gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit wir genau k Erythrozyten im Zählfenster finden. Da der Nenner k! stärker wächst als der Zähler λ k, strebt P( k) für wachsendes k gegen Null. Welche Bedeutung hat aber λ? Dazu folgendes Experiment: Für verschiedene Werte von λ (auch halbzahligen Werten, um zu unterstreichen, dass λ nicht ganzzahlig zu sein braucht) berechnen wir den Erwartungswert µ: ( ) µ = k P k k=0 Damit berechnen wir dann die Streuung : = k µ k=0 ( ) 2 P( k)

18 Hans Walser: Modul 206, Verteilungen 6 In der Praxis summieren wir allerdings nicht bis, sondern nur bis zum Beispiel 000. Maple Programm: restart: for lam from 0 to 20 do end do: lambda:=evalf(lam/2): for k from 0 to 000 do p[k]:=evalf(lambda^k/k!*exp(-lambda)): end do: mu:=0: for k from 0 to 000 do mu:=mu+k*p[k]: end do: var:=0: Das liefert: Offenbar gilt: for k from 0 to 000 do var:=var+(k-mu)^2*p[k]:end do: sigma:=sqrt(var): print(lambda, mu, sigma); λ µ µ = λ = λ

19 Hans Walser: Modul 206, Verteilungen Allgemein Die Poisson-Verteilung ist dann angesagt, wenn wir zwar etwas über den Erwartungswert wissen, aber im Unterschied zur Binomialverteilung und zur Normalverteilung keine Informationen über n und p haben. Typisches Beispiel sind die seltenen Ereignisse. Beispiel: In einer Großstadt ereignen sich auf Grund einer langjährigen Statistik im Mittel.2 Selbstmorde pro Tag. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ereignen sich morgen genau 3 Selbstmorde? Wir haben eine Information über den Erwartungswert: µ =.2. Damit ist auch λ =.2. Hingegen wissen wir nicht, wie groß die Anzahl n der Personen ist, welche schwerwiegende Probleme haben, noch wissen wir etwas über die Erfolgs -Wahrscheinlichkeit p, dass die Probleme einen Suizid zur Folge haben. Wir können aber die Frage mit der Poisson-Verteilung beantworten: Aus ergibt sich für λ =.2 und k = 3: P( k) = λk k! e λ 2.3 Vergleich mit Binomialverteilung P( 3) =.23 3! e Beispiel: p = 0.02 = 2% ( seltenes Ereignis ), n =00. Es ist dann µ = np = 2, also auch λ = 2. Mit welcher Wahrscheinlichkeit haben wir k = 3 Erfolge? Berechnung mit Binomialverteilung: P 00 3 ( ) = 00 Berechnung mit Poisson-Verteilung: = P( 3) = 23 3! e 2 = 8 6 e Für kleine Wahrscheinlichkeiten ist die Poisson-Verteilung eine gute Näherung für die Binomialverteilung.

20 Hans Walser: Modul 206, Verteilungen 8 3 Zusammenfassung 3. Normalverteilung f ( k) = 2π e 2 ( ) 2 Funktionsgraph (Glockenkurve): Maximum bei k = µ. Wendepunkte bei k = µ ± 3.. Approximation der Binomialverteilung P n ( k) 2πnpq e P n a k b b+ 2 ( k np) 2 ( ) a 2 2npq = 2π e 2 2π e 2 ( ) 2 ( ) 2 Für große n kann die -Korrektur weggelassen werden. 2 dk 3..2 Wahrscheinlichkeitsdichte Die Normalverteilung wird auch im kontinuierlichen Fall von Messwerten verwendet; wir sprechen dann von einer Wahrscheinlichkeitsdichte. Merkregeln Bereich gegeben: Bereich µ ± µ ± 2 µ ± 3 µ ± 4 Abdeckung ~ Abdeckung gegeben: in % % 95.45% 99.73% ~ 00% Abdeckung 50% 90% 95% 99% Bereich µ ± µ ±.645 µ ±.96 µ ± Standardisierung Für den Gebrauch der Tabelle: µ = 0, = ϕ ( x) = 2π e 2 x2

21 Hans Walser: Modul 206, Verteilungen 9 Transformation: b 2π e 2 a () Umrechnen der Grenzen: Nun ist: u b = b µ u a = a µ b µ a µ ( ) 2 b µ a µ dk = 2π e 2 x2 (2) Tabelle liefert: Φ u u b dx = u a ( ) = Tabellenwert: u 2π e 2 x2 2π e 2 x2 0.4 dx 2π e 2 x2 dx dx (3) Bestimmung des Integrals: 3.2 Poisson-Verteilung - Seltene Ereignisse - n und p unbekannt, n groß, p klein - µ bekannt u =.5 Was die Tabelle liefert u b u a 2π e 2 x2 dx = Φ( u b ) Φ( u a ) Setzen λ = µ. Für die Wahrscheinlichkeit von genau k Erfolgen gilt: P( k) = λk k! e λ Ferner ist µ = λ und = λ.