Normalverteilung und Standardisierung

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Ulrich Martin
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1 Normalverteilung und Standardisierung N(0,1) z 0 z N(µ,) }{{}}{{} µ µ z z z µ+z Die Normalverteilungen N(µ, ) ergeben sich aus der Standardnormalverteilung N(0, 1) (Gaussche Glockenkurve) durch strecken und stauchen um und verschieben um µ. Das Intervall [ z,z] geht dabei in die z-umgebung [µ z, µ+z] von µ über. Einem z-wert von N(0,1) entspricht k = µ+z von N(µ,). Umgekehrt wird dann einem k-wert von N(µ,) der Wert z = k µ zugeordnet. Dies führt zu P(a X b) = Φ( b µ P(X k) }{{} β Falls β gegeben ist, folgt k µ µ = Φ(k ) = Φ 1 (β) ) Φ( a µ Dieses kann je nach Fragestellung nach k, µ oder umgestellt werden. ) bei Approximation der Binomialverteilung wäre korrekter. GTR Φ 1 (β)= invnorm(β) 1

2 0,8 0,6 y P(X z) = Φ(z) = normalcdf( 10, z) 0,4 ϕ(x) µ = 0 = z x Φ(x) = x ϕ(t) dt ist eine monoton wachsende Integralfunktion. Somit existiert die Umkehrfunktion Φ 1 (x) = invnorm(y) für die Standardnormalverteilung, bzw. invnorm(y, µ, ) für beliebige Normalverteilungen, um zu gegebener Wahrscheinlichkeit y, 0 < y < 1, den z-wert zu ermitteln. 0,8 0,6 y Φ µ, (x) P(X a) = Φ( a µ ) = normalcdf( 10, a, µ, ) 0,4 ϕ µ, (x) µ = 1 = 0,6-1 1 a x Aus a = µ+z folgt z = a µ. Der Inhalt der Fläche unter ϕ µ, (x) bis zur rechten Grenze a ist daher Φ µ, (a) = Φ( a µ ). y 0,8 0,6 Φ µ, (x) P(X a) = Φ( a µ ) = normalcdf( 10, a, µ, ) 0,4 ϕ µ, (x) µ = 2 = 0,4 1 2 a 3 4 x 2

3 z-umgebung }{{}}{{} µ µ z z z µ+z P(a X b) = Φ( b µ ) Φ( a µ ) P(µ z X µ+z) = Φ(z) Φ( z) = 2Φ(z) 1 Erläutere die letzte Zeile. N(0,1) z 0 z N(0,1) Φ(z) 0 z 3

4 a) Sei P(X 15) = 20%, µ = 25 gesucht b) Sei P(X 20) = 10%, = 5 gesucht µ c) P(X 30) = 70% P(X 24) = 10% µ, =? 4

5 a) Sei P(X 15) = 20%, µ = 25 gesucht Lösung Φ( 15 µ )= 15 µ =Φ 1 () = 15 µ Φ 1 () = 11,9 b) Sei P(X 20) = 10%, = 5 gesucht µ Lösung Φ( 20 µ )= 0,1 20 µ =Φ 1 (0,1) µ = 20 Φ 1 (0,1)= 26,4 c) P(X 30) = 70% P(X 24) = 10% µ, =? Lösung P(Y 30) = Φ( 30 µ P(Y 24) = Φ( 24 µ Φ 1 (0,70)= 0,524 Φ 1 (0,10)= 1,282 µ = 28,3 = 3,3 ) = 70% ) = 10% 5

6 Normalverteilung, GTR a) P(X b) = 80%, µ = 50, = 3 (in g) gesucht b b) Sei P(1 X 2) = 20%, = 0,5 gesucht µ c) Sei P(X 20) = 15%, = 5 (in g) gesucht µ d) Sei P(X 40) = 80%, µ = 36 (in g) gesucht e) P(X 34) = 12% (X in g) P(X 44) = 5% µ, =? Wenn die Einheit z.b. Gramm ist, wird X 0 vorausgesetzt. Die Verwendung der Normalverteilung impliziert dann P(0 X µ) = 0,5. Die linke Grenze für X in P(X a) ist in diesem Fall also 0. 6

7 Normalverteilung, GTR a) P(X b) = 80%, µ = 50, = 3 (in g) gesucht b 0,8 0,6 y Schnittstelle von \Y 1 = normalcdf(0,x,50,3) \Y 2 = 0,8 b = 52,52 0, x Jedoch geht es einfacher mit b = invnorm(0.8,50,3). b) Sei P(1 X 2) = 20%, = 0,5 gesucht µ y Nullstellen von \Y 1 = 0.2 normalcdf(1,2,x,0.5) µ 1 = 0,583 µ 2 = 2, , x c) Sei P(X 20) = 15%, = 5 (in g) gesucht µ y Nullstelle von \Y 1 = 0.15 normalcdf(0,x,5) µ = 25, ,4-0,6-0, x 7

8 Normalverteilung, GTR d) Sei P(X 40) = 80%, µ = 36 (in g) gesucht 0,1 y Nullstelle von \Y 1 = 0.80 normalcdf(0,40,36,x) = 4,753-0, x e) P(X 34) = 12% (X in g) P(X 44) = 5% µ, =? P(Y 34) = Φ( 34 µ P(Y 44) = 1 Φ( 44 µ ) = 12% = µ = 34 Φ 1 (0,12) ) = 5% = µ = 44 Φ 1 (0,95) Schnittpunkt µ = 38,167 = 3, µ Nur b) muss grafisch-numerisch bearbeitet werden. Für a), c) und d) führt die Verwendung von Φ 1 zur Lösung, in e) auch ein LGS. 8

9 Standardisierte Normalverteilung Um das Verhalten von Binomialverteilungen für n zu untersuchen (hier für p = 1 2 dargestellt), werden die k-werte in ihrer relativen Lage zum Erwartungswert µ betrachtet. n = k 0 t k = µ+t k µ = t t = k µ Der t-wert gibt an, um welches Vielfache von k vom Erwartungswert µ abweicht. Für n braucht man nur kleine t-werte zu berücksichtigen. Um über der t-achse ein Histogramm aufzutragen, werden die Rechtecksbreiten durch dividiert. Damit die Flächeninhalte gleich bleiben, müssen die Höhen mit multipliziert werden. n = t Nun ist absehbar, was sich für n ergibt. Die standardisierten Verteilungen werden durch die Gausssche Glockenkurve ϕ(x) approximiert. Deren Verteilungsfunktion Φ(z) gibt den Flächeninhalt unter der Kurve von bis z an. Wir erhalten: P(a X b) Φ( b µ ) Φ( a µ ) (ohne Stetigkeitskorrektur) 0 z ϕ(x) = 1 2π e 1 2 x2 9

10 -Umgebung N(µ,) µ µ µ+ Wie groß ist? Antwort: N(µ,) geht aus N(0,1) durch Verschieben, Strecken und Stauchen hervor. 0 geht in µ über, 1 in µ, 1 in µ+. N(0,1) = normalcdf( 1,1) = 68,3% Weiter erhalten wir: P(2-Umgebung) = normalcdf( 2, 2) = 95,4% P(3-Umgebung) = normalcdf( 3, 3) = 99,7% Sei für eine Binomialverteilung n = 5000, p = 0,5 gegeben. Welche Trefferzahlen sind mit 95,4%iger Wahrscheinlichkeit zu erwarten? (Der Bereich heißt auch Schwankungsintervall.) 10

11 Sei für eine Binomialverteilung n = 5000, p = 0,5 gegeben. Welche Trefferzahlen sind mit 95,4%iger Wahrscheinlichkeit zu erwarten? (Der Bereich heißt auch Schwankungsintervall.) [2430; 2570] 11

12 z-umgebung N(µ,) }{{}}{{} µ µ z z z µ+z = 90% (z.b.) gegeben, z gesucht N(0,1) z 0 z Begründe: z = } invnorm {{} ( )= invnorm(1+ 2 ) Φ 1 12

13 µ, ermitteln N(µ,) k µ µ µ+ P(X 235) = 9%, µ = 250 gesucht N(0,1) z Welcher Zusammenhang besteht zwischen k und z? Antwort: k µ = z (Setze für k µ, bzw. µ+ ein.) normalcdf }{{} (k µ )= P(X k)... Φ = 11,2 Φ 1 13

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