Hans Walser. Raumgeometrie. Modul 4 Die Ebene

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Wilfried Sachs
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1 Hans Walser Raumgeometrie Modul 4 Die Ebene

2 Hans Walser: Modul 4, Die Ebene ii Modul 4 für die Lehrveranstaltung Raumgeometrie Sommer 2000 Erstausgabe Sommer 2002 Überarbeitung Sommer 2003 Fehlerkorrekturen, kleine Ergänzungen Sommer 2004 Grafische Überarbeitung, kleine Umstellungen Sommer 2005 Kürzungen. Fehlerkorrekturen Sommer 2006 Geändertes Layout. Formel-Editor revidiert. Grafische Überarbeitung Sommer 2007 MathType. Frühjahr 2008 Geändertes Layout Frühjahr 2010 Erweiterung last modified: 10. Mai 2014 Hans Walser Mathematisches Institut, Uni Basel

3 Hans Walser: Modul 4, Die Ebene iii Inhalt 1 Ebenendarstellungen Spurgeraden einer Ebene Ebene durch drei Punkte Ebene durch einen Punkt und eine Gerade Ebene durch zwei Geraden Ebene durch zwei Hauptgeraden Punkte und Ebene Schrägbild Ebene mit Spuren Aufriss eines Punktes gesucht Ebene durch zwei Geraden Abstand Spezielle Ebenen Hauptebenen Projizierende Ebenen Fallgeraden und Normalen Definition der Fallgeraden Fallgeraden auf einer Ebene Normale zu einer Ebene Relative Lage und Schnitte Sichtbarkeit Schnitt einer Ebene mit einer Geraden Lösungsidee Erstes Beispiel Zweites Beispiel Spiegelpunkt Spiegeln eines Würfels Schnitt zweier Ebenen Im Schrägbild Erstes Beispiel Zweites Beispiel Zusammenfassung Ebene Punkt und Ebene Spezielle Lage von Ebenen Fallgeraden und Normale Schnitt einer Ebene mit einer Gerade... 23

4 Hans Walser: Modul 4, Die Ebene 1 1 Ebenendarstellungen 1.1 Spurgeraden einer Ebene Unter den Spurgeraden oder kürzer Spuren s 1, s 2, s 3 einer Ebene verstehen wir die Schnittgeraden der Ebene mit den Rissebenen. Die erste Spur s 1 liegt in der Grundrissebene Π 1, die zweite Spur s 2 in der Aufrissebene Π 2 und die dritte Spur s 3 in der Seitenrissebene Π 3. z s 3 s 2 x s 1 Spurgeraden y z", z"' x"' y',y" x' Spurgeraden in den Rissebenen

5 Hans Walser: Modul 4, Die Ebene Ebene durch drei Punkte Die Ebene ε ist durch A, B und C gegeben. Gesucht sind die Spuren der Ebene. C" B" A" A' C' B' Ebene durch drei Punkte

6 Hans Walser: Modul 4, Die Ebene Ebene durch einen Punkt und eine Gerade Die Ebene ε ist durch den Punkt A und die Gerade g gegeben. Gesucht sind die Spuren der Ebene. A" g" A' g' Ebene durch Punkt und Gerade

7 Hans Walser: Modul 4, Die Ebene Ebene durch zwei Geraden Die Ebene ε ist durch die beiden Geraden p und q gegeben. Gesucht sind die Spuren der Ebene. p" S" q" p' S' Ebene durch zwei sich schneidende Geraden 1.5 Ebene durch zwei Hauptgeraden Die Ebene ε ist durch die beiden Hauptgeraden h und k gegeben. Gesucht sind die Spuren der Ebene. q' k" S" h" S' k' h' Zwei Hauptgeraden

8 Hans Walser: Modul 4, Die Ebene 5 2 Punkte und Ebene 2.1 Schrägbild Liegt der Punkt P auf der Ebene? z s 3 s 2 P x 2.2 Ebene mit Spuren s 1 Liegt der Punkt auf der Ebene? y Aufriss eines Punktes gesucht Der Punkt P liegt auf der Ebene. Gesucht ist P Allgemeiner Weg s 2 " P' Allgemeiner Weg s 1 '

9 Hans Walser: Modul 4, Die Ebene Mit Hauptgeraden s 2 " P' Mit Hauptgeraden s 1 ' 2.3 Ebene durch zwei Geraden Der Punkt P liegt auf der Ebene. Gesucht ist der Aufriss P. p" S" q" P' p' S' q' Gesucht ist der Aufriss

10 Hans Walser: Modul 4, Die Ebene Abstand Die Ebene ε ist durch ihre Spuren gegeben. Der Punkt P liegt nicht in der Ebene ε. Gesucht ist der Abstand des Punktes P von der Ebene ε. Wie groß ist der Neigungswinkel der Ebene ε gegenüber der Grundrissebene Π 1? P" s 2 " P' s 1 ' Abstand gesucht

11 Hans Walser: Modul 4, Die Ebene 8 3 Spezielle Ebenen Für Ebenen, welche eine spezielle Lage im Koordinatensystem haben, gibt es eigene Bezeichnungen. 3.1 Hauptebenen Hauptebenen sind parallel zu den Rissebenen. z z z x y x y x y 1. Hauptebene parallel zur Grundrissebene s 2 " Hauptebenen

12 Hans Walser: Modul 4, Die Ebene Projizierende Ebenen Projizierende Ebenen stehen senkrecht auf den Rissebenen. z z z x y x y x y Erstprojizierende Ebene senkrecht zur Grundrissebene s 2 " s 1 ' Projizierende Ebenen

13 Hans Walser: Modul 4, Die Ebene 10 4 Fallgeraden und Normalen 4.1 Definition der Fallgeraden z s 2 s 3 f 1 P f 2 x s 1 Fallgeraden y Erste Fallgeraden sind senkrecht zu ersten Hauptgeraden, zweite Fallgeraden sind senkrecht zu zweiten Hauptgeraden, dritte Fallgeraden sind senkrecht zu dritten Hauptgeraden. 4.2 Fallgeraden auf einer Ebene Die Ebene ε ist durch die beiden Spuren gegeben. P liegt auf ε. Gesucht sind die beiden Fallgeraden f 1 und f 2 durch P. s 2 " P' Erste Fallgerade s 1 '

14 Hans Walser: Modul 4, Die Ebene 11 s 2 " P' Zweite Fallgerade s 1 '

15 Hans Walser: Modul 4, Die Ebene Normale zu einer Ebene Die Ebene ε ist durch die beiden Spuren gegeben. P liegt auf ε. Gesucht ist die Normale zu ε durch P. s 2 " P' Normale gesucht s 1 '

16 Hans Walser: Modul 4, Die Ebene 13 5 Relative Lage und Schnitte 5.1 Sichtbarkeit Gesucht sind die Sichtbarkeitsverhältnisse in beiden Rissen. b" a" b' a' Sichtbarkeit?

17 Hans Walser: Modul 4, Die Ebene Schnitt einer Ebene mit einer Geraden Der Schnittpunkt einer Ebene mit einer Geraden wird oft als Durchstoßpunkt bezeichnet Lösungsidee Wir legen eine Hilfsebene durch die Gerade g und schneiden zunächst die beiden Ebenen. Die Schnittgerade h schneiden wir dann mit der Geraden g. z g Ebene ErstprojizierendeHilfsebene durch g h D g'=h' y x Durchstoßpunkt

18 Hans Walser: Modul 4, Die Ebene Erstes Beispiel Schnitt der Geraden g mit der Ebene ε, welche durch Spuren gegeben ist. s 2 " g" g' s 1 ' Durchstoßpunkt?

19 Hans Walser: Modul 4, Die Ebene Zweites Beispiel Schnitt der Geraden g mit der Ebene ε, die durch die Geraden a und b gegeben ist. g" " a" b" a' ' g' Durchstoßpunkt? b'

20 Hans Walser: Modul 4, Die Ebene Spiegelpunkt Die Ebene ε ist durch die beiden Spuren gegeben. Gesucht ist der Spiegelpunkt von P bei Spiegelung an ε. s 2 " P" P' Spiegelpunkt? s 1 '

21 Hans Walser: Modul 4, Die Ebene Spiegeln eines Würfels s 2 E = H F = G A = D D = H B = C C = G A = E B = F Ausgangslage Wir spiegeln einige Ecken an der Ebene. Da Parallelitäten erhalten bleiben, genügen ein Punkt und seine drei benachbarten Punkte. s 1

22 Hans Walser: Modul 4, Die Ebene 19 s 2 A! A E = H A = D D = H F = G B = C C = G A = E B = F A A! s 1 Der Würfel und sein Spiegelbild Die blaue Figur besteht aus den Schnittpunkten der Normalen mit der Spiegelebene. Die blaue Figur ist also flach. Sie ist die Normalprojektion des Würfels auf die Spiegelebene.

23 Hans Walser: Modul 4, Die Ebene Schnitt zweier Ebenen Im Schrägbild z y x Schnittgerade

24 Hans Walser: Modul 4, Die Ebene Erstes Beispiel Beide Ebenen sind durch ihre Spuren gegeben. Gesucht ist die Schnittgerade. t 2 " s 2 " t 1 ' s 1 ' Schnittgerade?

25 Hans Walser: Modul 4, Die Ebene Zweites Beispiel Die Ebene λ ist durch Spuren gegeben, die Ebene ε ist durch die Geraden a und b gegeben. b" a" s 2 " b' a' s 1 ' Schnittgerade?

26 Hans Walser: Modul 4, Die Ebene 23 6 Zusammenfassung 6.1 Ebene Eine Ebene ist gegeben durch drei Punkte, eine Gerade und einen Punkt, zwei sich schneidende oder parallele Geraden. Es ist praktisch, wenn die beiden Geraden Hauptgeraden sind. In den meisten Fällen ist es sinnvoll, zunächst die Spurgeraden der Ebene zu konstruieren. 6.2 Punkt und Ebene Ist von einem Punkt, der in der Ebene liegen soll, nur ein Riss gegeben, so kann eine Gerade durch diesen Punkt gelegt werden, welche auch in der Ebene liegen soll. Der andere Riss dieser Geraden liefert dann auch den anderen Riss des Punktes. Liegt der Punkt nicht in der Ebene, kann durch Umlegen der Abstand des Punktes von der Ebene bestimmt werden. 6.3 Spezielle Lage von Ebenen Hauptebenen sind parallel, projizierende Ebenen senkrecht zu einer Rissebene. Nummerierung gemäß dieser Rissebene. 6.4 Fallgeraden und Normale Fallgeraden sind rechtwinklig zu den Hauptgeraden, insbesondere zu den Spurgeraden mit entsprechender Nummer. Im entsprechenden Riss ist diese Orthogonalität sichtbar. Die Ebenennormale ist in jedem Riss rechtwinklig zu den entsprechenden Hauptgeraden. 6.5 Schnitt einer Ebene mit einer Gerade Die Gerade wird in eine Hilfsebene, oft eine erstprojizierende Ebene, eingebettet. Die Schnittgerade dieser Hilfsebene mit der Ebene führt zum Schnittpunkt (Durchstosspunkt) der Geraden mit der Ebene.

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