Mathematik für die Sekundarstufe 1

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1 Hans Walser Mathematik für die Sekundarstufe Modul 205 Schnecken und Spiralen

2 Hans Walser: Modul 205, Schnecken und Spiralen ii Inhalt Radiales Netz... 2 Drehstrecksymmetrie Ein rundes Quadratnetz Zeichnen einer logarithmischen Spirale Eckige logarithmische Spirale Zeichnung Faltmodell Analyse Eckige und runde Spirale Komplexe Zahlen Jacob Bernoulli Spiralentypen Übersicht und Beispiele Archimedische Spirale Logarithmische Spirale Hyperbolische Spirale Baslerstab (Bischofsstab) Weitere Beispiele Pythagoras und eine archimedische Spirale Die Klothoide Spiralen im Raum: Schraubenlinien Schraubenlinien Beispiele Wendelflächen Treppenhaus... 8 Modul 205 für die Lehrveranstaltung Mathematik für die Sekundarstufe Sommer 999 Erste Fassung (Einzelblätter) Sommer 200 Überarbeitung und Erweiterung Sommer 2003 Fehlerkorrektur, Erweiterungen Sommer 2005 Überarbeitung, Straffung und Erweiterung. Geändertes Layout Sommer 2007 Kleine Erweiterung. Grafische Überarbeitung. MathType Frühjahr 2009 Kleine Erweiterung Frühjahr 20 Keine Änderung last modified: 3. Januar 204 Hans Walser

3 Hans Walser: Modul 205, Schnecken und Spiralen Radiales Netz Radiales Netz In diesem Netz nehmen die radialen Abstände gleichmäßig zu. Das hat zur Folge, dass die Netzvierecke gegen außen immer mehr in die Länge gezogen werden. Wenn wir in dieses Netz eine Folge von Diagonalen einzeichnen, erhalten wir eine archimedische Spirale. Archimedische Spirale

4 Hans Walser: Modul 205, Schnecken und Spiralen 2 2 Drehstrecksymmetrie 2. Ein rundes Quadratnetz Ein rundes Quadratnetz Der radiale Abstand wächst exponentiell. Das hat zur Folge, dass die kleinen Vierecke angenähert Quadrate sind. Was ergibt sich hier durch Einzeichnen von Diagonalen? Logarithmische Spirale mit Steigung 9

5 Hans Walser: Modul 205, Schnecken und Spiralen Zeichnen einer logarithmischen Spirale 2.3 Eckige logarithmische Spirale 2.3. Zeichnung y 4 Zeichnen einer logarithmischen Spirale x -4-8 Eckige logarithmische Spirale

6 Hans Walser: Modul 205, Schnecken und Spiralen Faltmodell Wir falten eine Spirale aus einem halben Origami Papier. Faltspirale Analyse Eckennummer Radius Polarwinkel Eckige und runde Spirale Zwischen Radius und Polarwinkel gilt die Beziehung: r( φ) = ( 2 ) φ 45 In kartesischen Koordinaten heißt das (die Funktionen Cosinus und Sinus müssen auf Gradmaß eingestellt sein!):

7 Hans Walser: Modul 205, Schnecken und Spiralen 5 x = ( 2 ) φ 45 cos( φ) und y = ( 2 ) φ 45 sin( φ) Wenn wir das vom Computer mit einer Schrittlänge von 45 für φ zeichnen lassen, erhalten wir die eckige Spirale. Bei einer wesentlich kleineren Schrittlänge ergibt sich eine Spirale, die eigentlich immer noch eckig ist, aber vom Auge als runde Spirale angesehen wird. Der Mensch will betrogen sein. Diese Spiralen haben eine Drehstrecksymmetrie mit dem Streckfaktor Drehwinkel 45. y 4 2 und dem x Komplexe Zahlen -8 Eckige und runde Spirale ( ) n für n { 0,,2,,8} sowie den Betrag Es sei z = + i. Wir berechnen nun z n = + i und das Argument davon und zeichnen die Zahlen in die GAUSSsche Zahlenebene ein. n z n = ( + i) n z n arg( z n ) 0 ( + i)

8 Hans Walser: Modul 205, Schnecken und Spiralen 6 In der GAUSSschen Zahlenebene ergibt das folgende Punkte: y x -4-8 Die Punkte + i In der GAUSSschen Zahlenebene ( ) n mit n { 0,,2,,8} ergeben die Eckpunkte der eckigen Spirale. Für [ ] erhalten wir mit ( + i) t die runde Spirale. einen kontinuierlichen Parameter t 0,8 2.4 Jacob Bernoulli Jacob BERNOULLI, Die Eigenschaft der Drehstrecksymmetrie einer logarithmischen Spirale hat den Basler Mathematiker Jacob BERNOULLI ( ) derart fasziniert, dass er sich eine logarithmische Spirale auf seiner Grabplatte wünschte.

9 Hans Walser: Modul 205, Schnecken und Spiralen 7 Grabplatte von Jacob Bernoulli BERNOULLIs Wunsch wurde allerdings nicht in seinem Sinne ausgeführt, auf seiner Grabplatte ist eine archimedische Spirale zu sehen. Archimedische Spirale

10 Hans Walser: Modul 205, Schnecken und Spiralen 8 3 Spiralentypen 3. Übersicht und Beispiele 3.. Archimedische Spirale r( φ) = aφ + b y 3 2 r x Archimedische Spirale Archimedische Spiralen treffen wir in der Technik, etwa bei Aufwickelprozessen, an. -3

11 Hans Walser: Modul 205, Schnecken und Spiralen Logarithmische Spirale aφ +b r( φ) = e y 4 r x Logarithmische Spirale Logarithmische Spiralen treten in der Natur auf: Schneckenhäuser, Hurrikane -5 Versteinerung in einer Bodenplatte (Kirche Bad Säckingen)

12 Hans Walser: Modul 205, Schnecken und Spiralen Hyperbolische Spirale r( φ) = aφ +b r x -2-3 Hyperbolische Spirale Eine hyperbolische Spirale sehen wir, wenn wir von innen ein eine Wendeltreppe gucken (Beweis später) Baslerstab (Bischofsstab) r( φ) = aφ +b r x Bischofsstab 3.2 Weitere Beispiele 3.2. Pythagoras und eine archimedische Spirale Die Ausgangsfigur Die Figur zeigt eine im Unterricht oft verwendete Figur zur sukzessiven Konstruktion der Quadratwurzeln der natürlichen Zahlen. Dabei beginnen wir mit einem rechtwinklig gleichschenkligen Dreieck der Kathetenlänge und bauen auf der Hypotenuse jeweils das folgende rechtwinklige Dreieck mit der Hypotenuse des vorhergehenden Dreieckes als neuer Kathete und der zweiten Kathete der Länge.

13 Hans Walser: Modul 205, Schnecken und Spiralen Folge von rechtwinkligen Dreiecken Als Außenrand entsteht ein gleichseitiger Polygonzug der Seitenlänge. Die Speichen der Figur haben die Längen 2, 3, 4,. Diese Konstruktion wird gelegentlich Theodoros von Kyrene (um v. Chr.) zugeschrieben Was für eine Spirale entsteht? Bei der Behandlung der Spiralen wurde von einem Studenten die Frage aufgeworfen, was für eine Spirale bei obiger Konstruktion entsteht. Die folgende Figur zeigt die Situation mit den ersten 8 Dreiecken, in der nächsten Figur sind die Speichen weggelassen, hingegen ist die Spirale in ein kartesisches Koordinatensystem eingepasst. Die ersten 8 Dreiecke

14 Hans Walser: Modul 205, Schnecken und Spiralen 2 y x Die Spirale im Koordinatensystem Diese Figuren legen zwei Vermutungen nahe: Der Polygonzug kann durch eine archimedische Spirale approximiert werden. Der Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Durchgängen durch die x-achse ist approximativ die Kreiszahl π. Diese Figuren können von Hand mit DGS (dynamische Geometrie Software wie zum Beispiel Cabri-géomètre oder Euklid) mit Hilfe eines Makros für die iterative Konstruktion des jeweils folgenden rechtwinkligen Dreieckes konstruiert werden. Diese Software gestattet auch, die Abstände zwischen zwei aufeinanderfolgenden Spiraldurchgängen durch die x-achse zu bestimmen. Für den Abstand zwischen dem ersten und dem zweiten Durchgang ergibt sich 3.7, für den folgenden Abstand erhalten wir 3.8 und für den dritten Abstand 3.4. Prinzipiell können diese Konstruktionen auch mit Zirkel und Lineal durchgeführt werden. Damit ergibt sich eine Näherungskonstruktion für die Rektifizierung des Kreisumfanges Eine heuristische Überlegung Wir parametrisieren den Polygonzug mit seiner Länge s, beginnend im Ursprung. Die Ecken des Polygonzuges haben dann die Parameterwerte, 2, 3,, und für den radialen Abstand r dieser Ecken erhalten wir r( s) = s. Nun studieren wir, was janz weit draußen beim Schritt von s auf s + passiert. s+ s = s Verhalten für große s

15 Hans Walser: Modul 205, Schnecken und Spiralen 3 s tan( Δφ). Wegen Δs = ( s +) s = folgt, dass für große s der Aus- ( ) klein wird. Damit wird auch Δφ klein, und wir können die Approximati- ( ) Δφ verwenden. Somit ist Δs s Δφ und weiter: Zunächst ist Δs = druck tan Δφ on tan Δφ Durch Integration ergibt sich also dφ ds Δφ Δs s φ( s) 2 s + C, s = 2 φ + C 2 mit geeigneten Konstanten C und C 2. Wegen r( s) = s ist nun: r( φ) = 2 φ + C 2 Dies ist die Polargleichung einer archimedischen Spirale, welche zwischen zwei aufeinanderfolgenden Durchgängen durch die x-achse den Abstand π aufweist Die Klothoide Ein Kreis ist gleichmäßig gekrümmt. Beim Durchfahren eines Kreises haben wir daher eine konstante Radialbeschleunigung. Wenn wir jedoch von einem geraden Straßenstück abrupt in ein kreisförmiges Straßenstück einschwenken würden, ergäbe sich eine schlagartige Zunahme der Radialbeschleunigung. Um dies zu vermeiden, werden Straßen und Eisenbahntrasses so gebaut, dass die Krümmung und damit die Radialbeschleunigung allmählich zunehmen. Diese immer stärker gekrümmte Kurve heißt Klothoide. Die folgende Figur vergleicht das schrittweise Entstehen eines Kreises mit konstanter Krümmung hier durch regelmäßige konstante Richtungsänderung dargestellt - mit der Klothoide, wo die Richtungsänderung schrittweise zunimmt. Regelmäßige Richtungsänderung ergibt einen Kreis

16 Hans Walser: Modul 205, Schnecken und Spiralen 4 Zunehmende Richtungsänderung ergibt eine Klothoide

17 Hans Walser: Modul 205, Schnecken und Spiralen 5 Die folgende Figur zeigt eine Klothoide: Klothoide 4 Spiralen im Raum: Schraubenlinien 4. Schraubenlinien Eine Schraubenlinie ist eine Kombination einer Kreisbewegung in der x,y-ebene mit einer gleichmäßigen Bewegung in der z-richtung. Daraus ergibt sich die Parameterdarstellung: x t ( ) = r cos(t) r sin(t) pt In dieser Darstellung ist r der Radius und p die reduzierte Ganghöhe. Die tatsächliche Ganghöhe (Höhenunterschied bei einem Umgang) ist bei Verwendung des Bogenmaßes für t der Wert 2πp. Für positives p erhalten wir eine Rechtsschraube, für negatives p eine Linksschraube. Schraubenlinien haben eine Schraubsymmetrie.

18 Hans Walser: Modul 205, Schnecken und Spiralen Beispiele In der folgenden Röhrengrafik ist r =, p = t [ 0,2π ]. Im Schrägbild sehen wir die Schraubenlinie. Im Grundriss (Blick von oben) erscheint die Schraubenlinie als Kreis. Im Aufriss (Blick von vorne) erscheint sie als Schwingungskurve (Graf der Sinusfunktion). Schraubenlinie mit r =, p =, t [ 0,2π] Die Schraubenlinie kriecht auf einem Zylinder mit gleichem Radius mit konstanter Steigung hinauf. Wenn wir den Zylinder mitsamt der Schraubenlinie aufschneiden und in die Ebene abwickeln, erscheint die Schraubenlinie als schräge Gerade. Damit kann die Länge der Schraubenlinie bestimmt werden. Schraubenlinie auf Zylinder, Abwicklung in Ebene

19 Hans Walser: Modul 205, Schnecken und Spiralen 7 Schraubenlinie mit r =, p = 2, t [ 0,2π] 4.2 Wendelflächen Mit der Parameterdarstellung x ( u,v) = ( ) ( ) u cos v u sin v v erhalten wir die folgende Wendelfläche: u [ 5,0], v [ 0,2π] Wendelfläche Wendelflächen kennen wir in Parkhausauffahrten. Wendelflächen haben ebenfalls eine Schraubsymmetrie.

20 Hans Walser: Modul 205, Schnecken und Spiralen Treppenhaus Wenn wir von innen eine Wendeltreppe fotografieren, sehen wir auf der Foto eine hyperbolische Spirale. Dies kann wie folgt eingesehen werden: r fest h variabel h = p h' fest r' variabel Wir fotografieren ein Treppenhaus