Mathematik für die Sekundarstufe 1

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1 Hans Walser Mathematik für die Sekundarstufe 1 Modul 406 Fraktale Lernumgebung

2 Hans Walser: Modul 406, Fraktale. Lernumgebung ii Inhalt 1 Die Kochsche Schneeflocke Weißt du wie viel Würfel stehen? T-Fraktal Dreifachgabelung Dreifachgabelung Die Cantor-Menge Asymmetrische Cantor-Menge Quadratfrakal in der Ebene Asymmetrisches Quadratfraktal Sierpinski-Teppich Asymmetrischer Sierpinski-Teppich Würfelfraktal im Raum Das Luftkissen Fraktal aus Quadraten Fraktal aus Kreisen Fraktal aus Sechsecken Dynamisches Fraktal Verallgemeinerung der Kochschen Schneeflocke Rechtwinklig gleichschenkliges Pythagoras-Fraktal Pythagoras-Fraktal Modul 406 für die Vorlesung: Mathematik für die Sekundarstufe 1 Sommer 2006 Probeausgabe Frühjahr 2008 MathType. Fehlerkorrekturen. Erweiterungen Frühjahr 2010 Keine Änderung last modified: 6. Juni 2014 Hans Walser

3 Hans Walser: Modul 406, Fraktale. Lernumgebung 1 1 Die Kochsche Schneeflocke Die folgende Figur zeigt die Genesis der Kochschen Schneeflocke Entstehung der Kochschen Schneeflocke a) Wie groß ist der Umfang der Kochschen Schneeflocke? b) Wie groß ist der Flächeninhalt der Kochschen Schneeflocke? Wir nehmen an, dass das Ausgangsdreieck (Generation 0) die Seitenlänge 1 und damit den Umfang P 0 = 3 und den Flächeninhalt A 0 = hat. a) Nach n Schritten haben wir dann eine Figur mit dem Umfang P n = lim n ( ) = ; die Kochsche Schneeflocke hat keinen endlichen Umfang. P n ( ) n. Somit ist

4 Hans Walser: Modul 406, Fraktale. Lernumgebung 2 b) Nach n Schritten haben wir eine Figur mit dem Flächeninhalt: A n = n k=0 ( ) k Für den Flächeninhalt A der Kochschen Schneeflocke erhalten wir daraus: 2 Weißt du wie viel Würfel stehen? A = lim ( A n ) = n Wie viele Würfel sind es für n = 0, 1, 2,? Wie groß ist jeweils das Gesamtvolumen? Ergebnis Anzahl der Würfel n Würfelbeigen = = = = 121 n n 3 k k=0 Anzahl Würfel = 3n+1 1 2

5 Hans Walser: Modul 406, Fraktale. Lernumgebung 3 Zur Berechnung des Volumens nehmen wir an, dass der erste Würfel der Einheitswürfel ist. Es ist 3 = 8 5 = 1.6. k=0 ( ) k 8 3 T-Fraktal n 0 1 Volumen = = n n 3 8 k=0 ( ) k = ( ) n+1 Wie groß ist der Verkleinerungsfaktor bei folgendem Fraktal? Wie groß ist seine fraktale Dimension? 8 T-Fraktal Für den Verkleinerungsfaktor f erhalten wir: f = f 3 + f 5 + f 7 +! 1 = f 2 + f 4 + f 6 +! = f 2 1 f 2 1 f 2 = f 2 f = ± 1 2 Da f positiv sein muss, ergibt sich f = daraus: 1 2. Für die Fraktale Dimension D erhalten wir

6 Hans Walser: Modul 406, Fraktale. Lernumgebung 4 D = ln( 2) ln = ln( 2) ln( 2 ) = 2 Bemerkung: Die ersten Generationen dieses T-Fraktals lassen sich auf dem Faltraster eines mehrfach gefalteten DIN A4-Papiers einzeichnen. 4 Dreifachgabelung Wie groß ist der Verkleinerungsfaktor bei folgendem Fraktal? Wie groß ist seine fraktale Dimension? Fraktal mit Dreifachgabelung Für den Verkleinerungsfaktor f erhalten wir: f = f 2 + f 3 + f 4 +! 1 = f + f 2 + f 3 +! = f 1 f 1 f = f f = 1 2 Für die Fraktale Dimension D erhalten wir daraus: D = ln( 3) ln = ln 3 ln 2 ( ) ( ) 1.585

7 Hans Walser: Modul 406, Fraktale. Lernumgebung 5 5 Dreifachgabelung Wie groß ist der Verkleinerungsfaktor bei folgendem Fraktal? Wie groß ist seine fraktale Dimension? Fraktal mit Dreifachgabelung Für den Verkleinerungsfaktor f erhalten wir: f = f 2 + f 3 + f 4 +! 1 = f + f 2 + f 3 +! = f 1 f 1 f = f f = 1 2 Für die Fraktale Dimension D erhalten wir daraus: D = ln( 3) ln = ln 3 ln 2 ( ) ( ) 1.585

8 Hans Walser: Modul 406, Fraktale. Lernumgebung 6 6 Die Cantor-Menge Welche fraktale Dimension hat das durch die Figur angedeutete Fraktal? Dieses Fraktal heißt Cantor-Menge. In einem Intervall wird das mittlere Drittel entfernt. In den beiden verbleibenden Intervallen wird wieder das mittlere Drittel entfernt. Und so weiter. Cantor-Menge Bei Reduzierung auf einen Drittel erhalten wir zwei Kopien. Für die fraktale Dimension D gilt daher: 3 D = 2 D = ln( 2) ln( 3) Bemerkung: Wir erhalten bei Reduzierung auf einen Drittel zwei Kopien. Das ist die Anzahl der Endpunkte der Strecke. 7 Asymmetrische Cantor-Menge In der üblichen Cantormenge wird jeweils das mittlere Drittel ausgespart. Dadurch entsteht eine symmetrische Figur. Was erhalten wir, wenn wie asymmetrisch aussparen? Welche fraktale Dimension gehört dazu? Im folgenden Beispiel unterteilen wir im Verhältnis 2 :1:1 und sparen jeweils das zweite Teil aus. Damit erhalten wir:

9 Hans Walser: Modul 406, Fraktale. Lernumgebung 7 Asymmetrische Cantor-Menge Für die Dimension überlegen wir wie folgt. Bei Reduzierung auf einen Viertel erhalten wir drei Kopien. Für die fraktale Dimension D gilt daher: 4 D = 3 D = ln( 3) ln( 4) Allgemein gilt: Beim Unterteilen im Verhältnis a :b : c und Weglassen des zweiten Teils erhalten wir bei Reduzierung auf Dimension D gilt daher: 1 a+b+c ( a + b + c) D = a + c ln a+c D = ( ) ln( a+b+c) insgesamt a + c Kopien. Für die fraktale

10 Hans Walser: Modul 406, Fraktale. Lernumgebung 8 8 Quadratfrakal in der Ebene Welche fraktale Dimension hat das durch die Figur angedeutete Fraktal? Fraktal Bei Reduzierung auf einen Drittel erhalten wir vier Kopien. Für die fraktale Dimension D gilt daher: 3 D = 4 D = ln( 4) ln( 3) Bemerkung: Wir erhalten bei Reduzierung auf einen Drittel vier Kopien. Das ist die Anzahl der Eckpunkte des Quadrates.

11 Hans Walser: Modul 406, Fraktale. Lernumgebung 9 9 Asymmetrisches Quadratfraktal Welche Dimension hat das durch die Figurenreihe angedeutete Fraktal? Dünner Teppich Bei Reduzierung auf einen Viertel erhalten wir neun Kopien. Für die fraktale Dimension D gilt daher: 4 D = 9 D = ln( 9) ln( 4) Allgemein gilt: Beim Unterteilen im Verhältnis a :b : c und Beibehalten nur der Eckteile erhalten wir bei Reduzierung auf a+b+c insgesamt a2 + 2ac + c 2 = a + c Für die fraktale Dimension D gilt daher: ( a + b + c) D = ( a + c) 2 1 ( ( ) )2 D = ln a+c ln = 2 ( a+c ) ln( a+b+c) ln( a+b+c) ( ) 2 Kopien. Die Dimension ist das Doppelte der Dimension der asymmetrischen Cantormenge

12 Hans Walser: Modul 406, Fraktale. Lernumgebung Sierpinski-Teppich Welche fraktale Dimension hat das durch die Figur angedeutete Fraktal? Dieses Fraktal heißt Sierpinski-Teppich. Sierpinski-Teppich Bei Reduzierung auf einen Drittel erhalten wir acht Kopien. Für die fraktale Dimension D gilt daher: 3 D = 8 D = ln( 8) ln( 3) Bemerkung: Wir erhalten bei Reduzierung auf einen Drittel acht Kopien. Das ist die Summe der Anzahlen der Eckpunkte und der Kanten des Quadrates.

13 Hans Walser: Modul 406, Fraktale. Lernumgebung Asymmetrischer Sierpinski-Teppich Welche Dimension hat das durch die Figurenreihe angedeutete Fraktal? Asymmetrischer Sierpinski-Teppich Bei Reduzierung auf einen Viertel erhalten wir 15 Kopien. Für die fraktale Dimension D gilt daher: 4 D = 15 ln 15 D = ( ) ln( 4) Allgemein gilt: Beim Unterteilen im Verhältnis a : b : c und Weglassen des jeweils innersten Teils erhalten wir bei Reduzierung auf 1 a+b+c insgesamt a 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc = ( a + b + c) 2 b 2 Kopien. Für die fraktale Dimension D gilt daher: ( a + b + c) D = ( a + b + c) 2 b 2 D = ln ( ( a+b+c)2 b 2 ) ln a+b+c ( )

14 Hans Walser: Modul 406, Fraktale. Lernumgebung Würfelfraktal im Raum Welche fraktale Dimension hat das durch die Figur angedeutete Fraktal? Würfelfraktal Bei Reduzierung auf einen Drittel erhalten wir acht Kopien. Für die fraktale Dimension D gilt daher: 3 D = 8 D = ln( 8) ln( 3) Bemerkung: Wir erhalten bei Reduzierung auf einen Drittel acht Kopien. Das ist die Anzahl der Eckpunkte des Würfels.

15 Hans Walser: Modul 406, Fraktale. Lernumgebung Das Luftkissen Welche Fraktale Dimension hat das Fraktal, bei dem ein Interationsschritt in Grund-, Auf- und Seitenriss wie folgt dargestellt werden kann, wobei die magenta Linien nicht sichtbare Kanten darstellen. Die entstehenden Löcher sind also wie beim Emmentaler von außen nicht sichtbar; man müsste den Emmentaler aufschneiden. z z x y y x Iterationsschritt Bei Reduzierung auf einen Drittel erhalten wir 26 Kopien. Für die fraktale Dimension D gilt daher: 3 D = 26 ln 26 D = ( ) ln( 3) Bemerkung: Wir erhalten bei Reduzierung auf einen Drittel 26 Kopien. Das ist die Summe der Anzahlen der Eckpunkte, der Kanten und der Seitenflächen des Würfels.

16 Hans Walser: Modul 406, Fraktale. Lernumgebung Fraktal aus Quadraten Welche Dimension hat das durch die Figurenfolge angedeutete Fraktal? Fraktal Bei Reduzierung der Länge auf einen Drittel erhalten wir sechs Kopien. Für die Dimension D gilt daher: 6 = 3 D D = ln( 6) ln( 3)

17 Hans Walser: Modul 406, Fraktale. Lernumgebung Fraktal aus Kreisen Welche Dimension hat das durch die Figurenfolge angedeutete Fraktal? Fraktal Bei Reduzierung der Länge auf einen Drittel erhalten wir sechs Kopien. Für die Dimension D gilt daher: 16 Fraktal aus Sechsecken 6 = 3 D D = ln( 6) ln( 3) Welche Dimension hat das durch die Figurenfolge angedeutete Fraktal? Fraktal

18 Hans Walser: Modul 406, Fraktale. Lernumgebung 16 Der Reduzierungsfaktor ist eine subtile Sache. Hier ein Vorschlag: Der Sechserkranz inklusive Mittensechseck soll das alte Sechseck flächenmäßig ersetzen. Damit erhalten wir für den Reduzierungsfaktor r: 7r 2 = 1 r = % Für die Dimension D gilt dann: 6 = 7 D D = ln( 6) ( ) ln 7 17 Dynamisches Fraktal Auf einer Strecke AB wählen wir einen Punkt C. Wir definieren dass Verhältnis: p = AC AB Dann zeichnen wir einen Streckenzug ACFDB so dass die Teilstrecken AC, CF, FD, DB alle gleich lang sind. Basiskonstruktion

19 Hans Walser: Modul 406, Fraktale. Lernumgebung 17 Nun bauen wir die Sache zum Fraktal aus, wie das die folgende Figur andeutet. Fraktal Nun können wir C bewegen, das heißt, p variieren. a) Welche Werte von p sind sinnvoll? b) Wie hängt die Dimension der Randlinie des Fraktals von p ab? a) p 1 4, 1 2 Das minimale p ist p = 1 ; in diesem Fall erhalten wir eine Strecke. 4 Strecke

20 Hans Walser: Modul 406, Fraktale. Lernumgebung 18 Für p = 1 2 sieht die Sache merkwürdig aus. Merkwürdig Das halbe Quadrat ist überall dicht mit Linien des Fraktals belegt. b) Für die fraktale Dimension D der Randkurve erhalten wir: Also: 1 ( p ) D = 4 ( ) = ln 4 D p ( ) ( ) ln p Der Funktionsgraph von D p ( ) sieht für die relevanten Werte p 1 4, 1 2 so aus: Funktionsgraph Für p = 1 4 ergibt sich eine Strecke. Die fraktale Dimension ist 1. Für p = 1 2 ein ausgefülltes halbes Quadrat; die fraktale Dimension ist 2. ergibt sich

21 Hans Walser: Modul 406, Fraktale. Lernumgebung Verallgemeinerung der Kochschen Schneeflocke Die Kochsche Schneeflocke basiert auf der Sternfigur { 2 6 }. Der rot gezeichnete Teil des Sternes funktioniert als Generator des Fraktals. Lässt sich dies verallgemeinern? Sternfigur { 2 6 }

22 Hans Walser: Modul 406, Fraktale. Lernumgebung 20 Für n = 4 erhalten wir: Die Figur { 2 4 }, ein simples Kreuz Als Schneeflocke ergibt sich ein Quadrat welches überall dicht mit Fraktallinien besetzt ist. Quadrat als Schneeflocke

23 Hans Walser: Modul 406, Fraktale. Lernumgebung 21 Für n = 5 erhalten wir das Pentagramm { 2 5 }. Wir erhalten die folgende Schneeflocke. Pentagramm { 2 5 } Schneeflocke

24 Hans Walser: Modul 406, Fraktale. Lernumgebung 22 Für n = 6 erhalten wir den Stern mit sechs Spitzen und die übliche Kochsche Schneeflocke. Schneeflocke Den Fall n = 7 habe ich übersprungen, weil man das regelmäßige Siebeneck nicht mit Zirkel und Lineal konstruieren kann. Gleichwohl gibt es natürlich eine dazu passende Sternfigur und ein Fraktal.

25 Hans Walser: Modul 406, Fraktale. Lernumgebung 23 Für n = 8 ergibt sich die Sternfigur { 2 8 }. Wir erhalten die folgende Schneeflocke. Sternfigur { 2 8 } Schneeflocke

26 Hans Walser: Modul 406, Fraktale. Lernumgebung 24 Für die fraktale Dimension D( n) der Randkurve erhalten wir nach einiger Rechung: ( ) = ln 4 ln( p( n) ) = ln 4 D n ( ) Die Figur zeigt den Funktionsgraphen für n ( ) ( ( )) 2 ln tan π n D( n) = Insbesondere ist D( 4) = 2 und lim ( D( n) ) = 1. Für n wird das Fraktal zum Umkreis. n ln( 4) ( ( )) 2 ln tan π n 19 Rechtwinklig gleichschenkliges Pythagoras-Fraktal Welche Dimension hat das durch die folgende Figur angedeutete Fraktal? Pythagoras-Fraktal Bei der Reduzierung auf 12 erhalten wir zwei Kopien. Daher gilt für die fraktale Dimension D:

27 Hans Walser: Modul 406, Fraktale. Lernumgebung Pythagoras-Fraktal 2 D = 2 D = 2 Das Ausgangsdreieck hat die Seiten a, b und c mit a 2 + b 2 = c 2. Welche Dimension hat das durch die Figur angedeutete Fraktal? Pythagoras-Fraktal Bei der Reduzierung auf a c erhalten wir rechts eine Kopie, bei der Reduzierung auf b c erhalten wir links eine Kopie. Wenn wir nun rechts auf 1 c reduzieren, erhalten wir flächenmäßig a 2 Kopien. Wenn wir links auf 1 c Kopien. reduzieren, erhalten wir flächenmäßig b2 Bei der Reduzierung auf 1 c erhalten wir also a2 + b 2 = c 2 Kopien. Daher gilt für die fraktale Dimension D: c D = a 2 + b 2 = c 2 D = 2 Jedes Pythagoras-Fraktal hat die fraktale Dimension 2.