Neun Punkte auf dem Einheitskreis ( ( )). In der

Transkript

1 Hans Walser, [ a] Radlinien als Enveloppen Anregung: J. W., B.-M. 1 Sehnen im Kreisraster Wir wählen eine Modulzahl m! und zeichnen auf dem Einheitskreis m Punkte P n in regelmäßigen Abständen. Diese Punkte nummerieren wir von 0 bis m 1. Die Abbildung zeigt die Situation für m = 9. Mit ϕ n = n 2π m Neun Punkte auf dem Einheitskreis ( ( )). In der haben die Punkte P n die Koordinaten P n cos( ϕ n ), sin ϕ n Gaußschen Ebene der komplexen Zahlen können wir die Form P n = e iϕ n verwenden. Wir wählen nun einen Faktor f 2, f! und zeichnen die Sehne vom Punkt mit der Nummer n zum Punkt mit der Nummer fnmod m, also die Sehne P n P fn mod m. In komplexer Schreibweise ist P fn mod m = e ifϕ n ; da e it in t die Periode 2π hat, wird das Rechnen mit dem Modul m automatisch erledigt. Die folgenden Abbildungen zeigen links zum Modul m = 9 der Reihe nach die Situationen für f = 2,,9. Rechts ist die Sehne P n P fn mod m ersetzt durch den Vektor von P n nach P fn mod m. Wir sehen, welcher Punkt wohin zielt. f = 2 Der Punkt P 0 erscheint isoliert, weil er auf sich selber zielt. Zwischen den Punkten P 3 und P 6 haben wir einen Doppelpfeil, da P 3 nach P 6 zielt und umgekehrt.

2 Hans Walser: Radlinien als Enveloppen 2/16 f = 3 P 0 erscheint als schwarzes Loch, in das nur Pfeile einmünden. f = 4 P 0, P 3 und P 6 zielen je auf sich selber, erscheinen daher isoliert. Im Übrigen haben wir zwei gleichseitige Dreiecke, das eine positiv orientiert und das andere negativ. f = 5 Im Vergleich zu f = 2 laufen die Pfeile in der Gegenrichtung.

3 Hans Walser: Radlinien als Enveloppen 3/16 f = 6 f = 7 Im Vergleich zu f = 4 laufen die Pfeile in der Gegenrichtung. f = 8 f = 9 P 0 erscheint als schwarzes Loch, in das nur Pfeile einmünden.

4 Hans Walser: Radlinien als Enveloppen 4/16 Sämtliche Figuren haben eine horizontale Symmetrieachse. Soweit so gut. Nun versuchen wir es einmal mit m = 144. Für f = 2 ergibt sich: m = 144, f = 2 Aus Platzgründen ist nur jeder zweite Punkt nummeriert, und es sind nur die Nummern angegeben. Wir sehen eine Kurve, welche an die Kardioide (Herzkurve) erinnert. Wir werden später sehen, dass die Enveloppe der Sehnen tatsächlich die Kardioide ist.

5 Hans Walser: Radlinien als Enveloppen 5/16 Mit f = 3 ergibt sich eine Kurve mit zwei Spitzen nach innen. f = 3

6 Hans Walser: Radlinien als Enveloppen 6/16 Bei f = 4 ergeben sich drei Spitzen nach innen. f = 4 Wir vermuten, dass wir jeweils f 1 Spitzen nach innen erhalten.

7 Hans Walser: Radlinien als Enveloppen 7/16 Tatsächlich ist nur f für das Aussehen der Kurve relevant. Für m = 97 und immer noch f = 4 sieht das einfach ein bisschen dünner aus, ist aber immer noch dieselbe Kurve. Anderes m, gleiches f 2 Radlinien Eine Radlinien entsteht, indem wir ein Rad auf einer Unterlage abrollen lassen und die Bahnkurve eines Punktes auf der Peripherie des Rades verfolgen. Das einfachste Beispiel ist die Zykloide; diese entsteht durch Abrollen auf einer Geraden. Wird ein Rad auf einem Kreis mit gleichem Radius abgerollt, entsteht die Kardioide. Hat das Rad halb so großen Radius wie der Kreis, ergibt sich eine Radlinie mit zwei Spitzen nach innen. Ist der Radradius 1 k des Kreisradius, ergeben sich k Spitzen nach innen. Die folgende Abbildung zeigt die Radlinie für 1 3, also mit 3 Spitzen. Der als Unterlage dienende Kreis ist magenta, die Radlinie blau gezeichnet. Das Rad dreht bei einem Umlauf nicht etwa drei Mal, sondern vier Mal, weil es auch noch die Gesamtkrümmung des magenta Unterlage-Kreises bewältigen muss.

8 Hans Walser: Radlinien als Enveloppen 8/16 Radlinie Wir bezeichnen im Folgenden mit r 1 den Radius des Unterlage-Kreises und mit r 2 den Radradius. Die Radlinie kann als Überlagerung zweier Kreisbewegungen gesehen werden: Die Radnabe bewegt sich auf einem Kreis mit Radius r 1 + r 2. Dazu kommt die Radbewegung selber. Bei einer Radlinie mit f 1 Spitzen muss sich dass Rad f Mal drehen pro Umlauf. Damit kann die Radlinie in der Gaußschen Zahlenebene parametrisiert werden: z( t) = ( r 1 + r 2 )e it + r 2 e ift, t [ 0, 2π] Zur Berechnung der Radien r 1 und r 2 überlegen wir wie folgt: Zunächst ist: r 2 = r 1 1 f 1 Da in unserem Kontext die Figur in den Einheitskreis passen muss, haben wir: r 1 + 2r 2 = 1 Aus diesen beiden Gleichungen ergibt sich: r 1 = f 1 f +1 r 1 + r 2 =, r 2 = 1 f +1 f f +1 Für die Parametrisierung der Radlinie erhalten wir daraus: z( t) = ( r 1 + r 2 )e it + r 2 e ift = f f +1 eit + 1 f +1 eift, t [ 0, 2π] Die folgende Abbildung zeigt im Fall m = 144, f = 5 sowohl die Sehnen wie auch die Radlinie.

9 Hans Walser: Radlinien als Enveloppen 9/16 Sehnen und Radlinie Offensichtlich ist die Radlinie die Enveloppe der Sehnen. Die Punkte 0, 36, 72 und 108 sind isoliert, von ihnen geht keine Sehne aus, weil die Punkte je mit sich selber verbunden sind. Diese Punkte sind aber auch die äußersten Punkte der Radlinie. Der Punkt 18 ist mit dem Punkt 90 durch einen Durchmesser verbunden und umgekehrt. Dasselbe gilt auch für die Punkte 54 und 124. Auf diesen Durchmessern liegen die Spitzen der Radlinie. 3 Beweis 3.1 Vorbereitung Zur Vorbereitung des Beweises zeichnen wir im Beispiel m = 9, f = 2 zusätzlich die ( ) ein. Das sind diejenigen Punkte auf der Radlinie (in unserem Bei- Punkte KP n = z ϕ n spiel auf der Kardioide), welche zu den Parameterwerten t = ϕ n gehören.

10 Hans Walser: Radlinien als Enveloppen 10/16 Kissing Points Die Figur führt zu folgenden Vermutungen: Die Sehnen sind tangential an die Radlinie. Die Punkte KP n = z( ϕ n ) liegen auf der Sehne mit den Endpunkten P n und P fn mod m und sind die Berührpunkte. Für den Beweis benötigen wir den Tangentialvektor der Radlinie, in komplexer Schreibweise: 3.2 Analyse des Beweises d dt z( t) = if f +1 eit + if f +1 eift = if f +1( eift + e it ) Die Behauptung ist nun folgende: Für e iϕ e ifϕ ist die Gerade durch e iϕ und e ifϕ Tangente an die Radlinie z t Beweis in zwei Schritten: ( ) mit Berührpunkt z( ϕ). 1) z( ϕ) liegt auf der Geraden durch e iϕ und e ifϕ. 2) z ( ϕ) ist parallel zur Geraden durch e iϕ und e ifϕ.

11 Hans Walser: Radlinien als Enveloppen 11/ Erster Schritt Zu zeigen ist: Also: s = z( ϕ) eiϕ = e ifϕ e iϕ Bemerkung z( ϕ) = e iϕ + s( e ifϕ e iϕ ) mit s! f f +1 eiϕ + 1 f +1 eifϕ e iϕ = 1 e ifϕ e iϕ f +1 Es ist s = r 2. Der Berührpunkt KP n = z ϕ n ( ) teilt die Sehne P n P fn mod m immer im gleichen Verhältnis. 3.4 Zweiter Schritt Zu zeigen ist: Also: f +1 iϕ Erweitern mit e 2 liefert: Bemerkungen a) Für ϕ f 1 2 λ = if f +1 fe iϕ +e ifϕ ( f +1)e iϕ = 1 e ifϕ e iϕ e ifϕ e iϕ f +1 = 1 e ifϕ e iϕ f +1! d dt z( ϕ) = λ ( eifϕ e iϕ ) mit λ! λ = ( ) d dt z ϕ if = e ifϕ iϕ e f +1 f 1 f 1 iϕ iϕ e 2 +e 2 f 1 f 1 iϕ iϕ e 2 e 2 = f f +1 e ifϕ +e iϕ e ifϕ e iϕ ( ) ( )! cos ϕ f 1 2 sin ϕ f 1 2 = kπ, k! wird der Sinus im Nenner null, λ existiert nicht oder ist, intuitiv gesprochen, unendlich. Aus ϕ f 1 = kπ, k! folgt: ϕ = 2kπ, aus Periodizitätsgründen ist nur k = 1, 2,, f 1 relevant. Weiter 2 f 1 ist: fϕ = f 2kπ f 1 = ( f 1+ 1) 2kπ = 2kπ + 2kπ f 1 f 1 = 2kπ + ϕ e ifϕ = e iϕ Wir haben es also mit Kreispunkten zu tun, die auf sich selber abgebildet werden. Die Sehne mit den Endpunkten e iϕ und e ifϕ degeneriert zu einem Punkt und hat keine Richtung. Die Abbildung zeigt den Fall f = 4. Die kritischen Punkte (hellblau) sind die extremen Punkte der Radlinie.

12 Hans Walser: Radlinien als Enveloppen 12/16 b) Für ϕ f 1 + kπ, k! werden der Kosinus im Zähler und damit λ null. Wir erhalten: 2 = π 2 ϕ f 1 2 = π 2 + kπ Extreme Punkte ( ) ϕ = 1 f 1 π + 2kπ ( ) 1 fϕ = f ( ) = π + 2kπ + 1 f 1 π + 2kπ e ifϕ = e i( π+2kπ+ϕ ) = e iϕ ( ) = π + 2kπ + ϕ f 1 π + 2kπ Die Sehne mit den Endpunkten e iϕ und e ifϕ ist ein Durchmesser. Die Abbildung zeigt den Fall f = 4. Die kritischen Punkte sind die Spitzen der Radlinie. Hier verschwindet der Tangentialvektor. Spitzen 3.5 Optische Sonderfälle Die Enveloppe ist nicht immer sichtbar. Die Tangentialeigenschaft gilt aber trotzdem. Dazu zwei Beispiele.

13 Hans Walser: Radlinien als Enveloppen 13/16 Für m = 9, f = 8 ergibt sich: m = 9, f = 8

14 Hans Walser: Radlinien als Enveloppen 14/16 Für m = 9, f = 9 erhalten wir: m = 9, f = 9

15 Hans Walser: Radlinien als Enveloppen 15/16 4 Ausstieg aus dem Kreisraster Wir haben gesehen, dass der Modul m für das Aussehen der Radlinie irrelevant ist, auch im Beweis kam m nirgends vor. Wir verzichten daher auf die m gleichmäßig verteilten Startpunkte P n und machen folgendes. Wir beginnen mit einem beliebigen von null verschiedenen Winkel ϕ und definieren auf dem Einheitskreis die Punkte Q j = e if j ϕ. Dann zeichnen wir den Polygonzug Q 0 Q 1 Q 2. Physikalisch kann man sich einen reflektierenden Kreis (runder Billard-Tisch) vorstellen, der so reflektiert, dass der Abgangswinkel das f-fache des Auftreffwinkels modulo π ist. Für ϕ = 1 2 aus: (irrational zu π, wir kommen nie mehr zurück) und f = 4 sieht der Start so Start

16 Hans Walser: Radlinien als Enveloppen 16/16 Bei 500 Strecken des Polygonzuges ist die Radlinie sichtbar. Die Figur als Ganzes ist aber unregelmäßig. Radlinie