Differentialgeometrie I (Kurventheorie) SS 2013

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1 Differentialgeometrie I (Kurventheorie) SS 2013 Lektion Juni 2013 c Daria Apushkinskaya 2013 () Kurventheorie: Lektion Juni / 17

2 9. Globale Eigenschaften ebener Kurven (Fortsetzung) 9. Globale Eigenschaften ebener Kurven (Fortsetzung) c Daria Apushkinskaya 2013 () Kurventheorie: Lektion Juni / 17

3 9. Globale Eigenschaften ebener Kurven (Fortsetzung) Satz 9.2 Eine weitere, einfache globale Aussage ist Satz 9.2 Sei α eine nach der Länge parametrisierte geschlossene Kurve in R 2. Dann gilt 1 max κ α diam (Spur α). Hierbei ist diam (Spur α) = max α(s 1) α(s 2 ) der Durchmesser s 1,s 2 [a,b] der Menge Spur α, wobei wir annehmen, das [a, b] das Parameterintervall ist. c Daria Apushkinskaya 2013 () Kurventheorie: Lektion Juni / 17

4 9. Globale Eigenschaften ebener Kurven (Fortsetzung) Satz 9.2 Beweis von Satz 9.2 Da die Spur von α : [a, b] R 2 kompakt ist, können wir Spur α in eine abgeschlossene Kreisscheibe { } D := ξ R 2 : ξ ξ 0 R legen. Wählen wir hier R minimal, so berührt Spur α den Rand D in mindestens einem Punkt p (sonst könnte man R verkleinen). Nach geeigneter Drehung und Verschiebung können wir p auf die obere y-achse bringen, so dass α lokal bei p als Graph einer Funktion f : ( ε, ε) R geschrieben werden kann, p = (0, f (0)). c Daria Apushkinskaya 2013 () Kurventheorie: Lektion Juni / 17

5 9. Globale Eigenschaften ebener Kurven (Fortsetzung) Satz 9.2 Beweis von Satz 9.2 Für D haben wir dann die Darstellung als Graph von g(x) := R 2 x 2. Für die weitere Rechnung beachte man a) f ist in 0 maximal, also f (0) = 0; (entsprechend für g), b) 0 ist Minimum von g f und g f 0 auf ( ε, ε). c Daria Apushkinskaya 2013 () Kurventheorie: Lektion Juni / 17

6 9. Globale Eigenschaften ebener Kurven (Fortsetzung) Satz 9.2 Beweis von Satz 9.2 Die Formel für die orientierte Krümmung im Graphenfall ergibt sodann: (p = α(s 0 )) κ α (s 0 ) = f (0) ( 1 + f (0) 2) 3/2 = f (0) = f (0) = g (0) f (0) g (0) g (0) }{{} 0 = g g (0) (0) = (1 + g (0) ) 3/2 = κ Kreis = 1 R c Daria Apushkinskaya 2013 () Kurventheorie: Lektion Juni / 17

7 9. Globale Eigenschaften ebener Kurven (Fortsetzung) Satz 9.2 Beweis von Satz 9.2 Also ist Wegen max κ α 1 R. diam (Spur α) R (sonst passt Spur α in einen Kreis mit Rad. < R) folgt die Behauptung. c Daria Apushkinskaya 2013 () Kurventheorie: Lektion Juni / 17

8 Als nächstes wollen wir den Rotationsindex für geschlossene Kurven α : [0, L] R 2 definieren, wobei wir wie immer Parametrisierung nach der Länge annehmen. Dann ist natürlich L = Länge Spur α. Sei ab jetzt α : [0, L] R 2 geschlossene Kurve mit Tangentenabbildung t = α : [0, L] S 1 R 2. Mit α ist auch t eine geschlossene Kurve mit Spur in der Kreislinie S 1. c Daria Apushkinskaya 2013 () Kurventheorie: Lektion Juni / 17

9 Definition (Rotationsindex) Man stellt sich aschaulich vor: Wird Spur α durchlaufen, so durchläuft t den Einheitskreis einfach oder mehrfach. Diese Zahl der Durchläufe (mit Vorzeichen versehen) nennt man den Rotationsindex von α. c Daria Apushkinskaya 2013 () Kurventheorie: Lektion Juni / 17

10 Sei θ(s) [0, 2π) der eindeutig bestimmte Winkel zwischen dem Tangentenvektor t(s) und der positiven x-achse gemessen gegen den Uhrzeigersinn. θ(s) ist der orientierte Winkel, der angibt, wie weit man die positive x-achse gegen den Uhrzigersinn drehen muss, damit man t(s) bekommt. Die Funktion θ ist i.a. unstetig, denn ist θ(s 0 ) = 0 und dreht sich t gegen den Uhrzeigersinn, so hat man für s > s 0 nahe s 0 sehr kleine θ-werte, wogegen für s = s 0 ε nahezu der Wert 2π vorliegt. c Daria Apushkinskaya 2013 () Kurventheorie: Lektion Juni / 17

11 Das unangenehme Verhalten von θ wird beseitigt durch Lemma 9.3 Es gibt eine stetige Funktion θ : [0, L] R mit θ(s) θ(s) mod (2π). (9.3) Die Funktion θ(s) erfüllt gemäß (9.3) also die Beziehung 1 [ θ(s) 2π θ(s) ] Z. c Daria Apushkinskaya 2013 () Kurventheorie: Lektion Juni / 17

12 Beweis von Lemma 9.3 Die Tangentenabbildung t : [0, L] S 1 ist auf dem kompakten Intervall [0, L] gleichmäßig stetig, zu ε > 0 gibt es daher δ > 0 mit s 1 s 2 < δ t(s 1 ) t(s 2 ) < ε. Speziell kann man für ε > 0 klein genug erreichen, dass t(s 1 ), t(s 2 ) im Fall s 1 s 2 < δ in einer offenen Halbebene liegen. Man zerlegt [0, L] in der Form 0 = s 0 < s 1 < < s l = L mit Teilpunkten s j, für die s j s j 1 < δ gilt. Wir definieren θ stetig und mit (9.3) zunächst auf [s 0, s 1 ], danach wiederholt man diesen Prozess induktiv und hat die Aussage des Lemmas. c Daria Apushkinskaya 2013 () Kurventheorie: Lektion Juni / 17

13 Beweis von Lemma θ(s 0 ) = 0 ( t(s 0 ) = (1, 0)) (kritische Lage!) Dann sei für s [s 0, s 1 ] { θ(s), falls y Koordinate von t(s) 0 θ(s) := θ(s) 2π, falls y Koordinate von t(s) < 0 2. θ(s 0 ) (0, 2π) Für ε passend ist dann θ(s) > 0 auf [s 0, s 1 ] und man kann θ := θ auf [s 0, s 1 ] definieren. Nun argumentiere man entsprechend auf [s 1, s 2 ] usw. c Daria Apushkinskaya 2013 () Kurventheorie: Lektion Juni / 17

14 Insbesonder ist (wegen θ(0) = θ(l)!) I := 1 [θ(l) θ(0)] Z. 2π Es handelt sich bei dieser ganzen Zahl um eine Invariante, die nicht von der speziellen Hilfsfunktion θ des Lemmas 9.3 abhängt. Ist θ eine zweite Funktion (also stetig und mit (9.3)), so gilt ( ) θ (s) θ(s) = θ (s) θ(s) θ(s) θ(s) mit Funktionen n, n : [0, L] Z. = 2π [n (s) + n(s)] =: 2πm(s) Die Funktion θ θ ist stetig, das geht aber nur, wenn m(s) m für ein m Z ist. Es folgt θ = θ + 2πm, also θ (L) θ (0) = θ(l) θ(0). c Daria Apushkinskaya 2013 () Kurventheorie: Lektion Juni / 17

15 Das rechtfertigt Definition-2 (Rotationsindex) Es sei α : [0, L] R 2 eine geschlossene, nach der Länge parametrisierte Kurve. Ist θ wie im Lemma 9.3, so heißt der Rotationsindex der Kurve α. I α := 1 [θ(l) θ(0)] Z 2π c Daria Apushkinskaya 2013 () Kurventheorie: Lektion Juni / 17

16 Zum Beweis der Existenz der Funktion θ wurde lediglich benutzt, dass die Tangentenabbildung t(s) stetig ist mit t(0) = t(l). Wegen (9.3) aus dem Lemma 9.3 und gemäß der Definition von θ(s) gilt t(s) = (cos θ(s), sin θ(s)) n(s) = ( sin θ(s), cos θ(s)) also t (s) = θ (s)n(s), d.h. nach Definition der Krümmung κ(s) = θ (s). c Daria Apushkinskaya 2013 () Kurventheorie: Lektion Juni / 17

17 Wir erhalten daraus die Integraldarstellung des Rotationsindex von α 2πI α = θ(l) θ(0) = L 0 κ(s)ds. (9.4) Hier steht, dass 1 L κ(s)ds eine ganze Zahl ist, was apriori nicht 2π 0 klar ist. Viele Autoren benutzen die Gleichung (9.4) auch zur Definition von I α. c Daria Apushkinskaya 2013 () Kurventheorie: Lektion Juni / 17