Cauchysche Integralformel

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1 Aus der komplexen Differenzierbarkeit folgt somit die Existenz und Stetigkeit von Ableitungen beliebiger Ordnung. auchysche Integralformel 1-1 auchysche Integralformel Für ein beschränktes Gebiet D, das durch entgegen dem Uhrzeigersinn orientierte (Gebiet liegt links ) stückweise stetig differenzierbare Kurven k berandet wird, und eine in D analytische und in D stetige Funktion f gilt für alle z D. f (z) = 1 2πi f (w) w z dw, = k k, Durch Differenzieren unter dem Integral erhält man eine Darstellung für die Ableitungen: f (n) (z) = n! 2πi f (w) w z dw, z D.

2 Beweis: schneide aus dem Gebiet D eine Kreisscheibe D r um z mit Radius r aus auchysche Integralformel 2-1

3 Beweis: schneide aus dem Gebiet D eine Kreisscheibe D r um z mit Radius r aus Mit r dem entgegen dem Uhrzeigersinn orientierten Rand von D r berandet r das Teilgebiet D\D r (korrekte Orientierung des Randes: D\D r liegt links von r ). auchysche Integralformel 2-2

4 Beweis: schneide aus dem Gebiet D eine Kreisscheibe D r um z mit Radius r aus Mit r dem entgegen dem Uhrzeigersinn orientierten Rand von D r berandet r das Teilgebiet D\D r (korrekte Orientierung des Randes: D\D r liegt links von r ). auchys Theorem = 0 = r f (w) w z dz denn der Integrand ist auf D\D r analytisch... =... r auchysche Integralformel 2-3

5 Beweis: schneide aus dem Gebiet D eine Kreisscheibe D r um z mit Radius r aus Mit r dem entgegen dem Uhrzeigersinn orientierten Rand von D r berandet r das Teilgebiet D\D r (korrekte Orientierung des Randes: D\D r liegt links von r ). auchys Theorem = 0 = r f (w) w z dz denn der Integrand ist auf D\D r analytisch berechne das Integral über r... =... r auchysche Integralformel 2-4

6 Beweis: schneide aus dem Gebiet D eine Kreisscheibe D r um z mit Radius r aus Mit r dem entgegen dem Uhrzeigersinn orientierten Rand von D r berandet r das Teilgebiet D\D r (korrekte Orientierung des Randes: D\D r liegt links von r ). auchys Theorem = 0 = r f (w) w z dz... =... r denn der Integrand ist auf D\D r analytisch berechne das Integral über r Stetigkeit von f = u + iu 2π f (z + re it )... = r 0 re it ire it dt = 2πi ( u(z + re is ) + iv(z + re i s ) ) für s, s [0, 2π] nach dem Mittelwertsatz der Integralrechnung auchysche Integralformel 2-5

7 Beweis: schneide aus dem Gebiet D eine Kreisscheibe D r um z mit Radius r aus Mit r dem entgegen dem Uhrzeigersinn orientierten Rand von D r berandet r das Teilgebiet D\D r (korrekte Orientierung des Randes: D\D r liegt links von r ). auchys Theorem = 0 = r f (w) w z dz... =... r denn der Integrand ist auf D\D r analytisch berechne das Integral über r Stetigkeit von f = u + iu 2π f (z + re it )... = r 0 re it ire it dt = 2πi ( u(z + re is ) + iv(z + re i s ) ) für s, s [0, 2π] nach dem Mittelwertsatz der Integralrechnung r... 2πif (z) für r 0 = behauptete Integralformel auchysche Integralformel 2-6

8 f (z) = e z, : t e it, 0 t 2π auchysche Integralformel 3-1

9 f (z) = e z, : t e it, 0 t 2π auchysche Integralformel für einen Kreis = e z z dz = 2πi e0 = 2πi auchysche Integralformel 3-2

10 f (z) = e z, : t e it, 0 t 2π auchysche Integralformel für einen Kreis = e z z dz = 2πi e0 = 2πi Versuch der direkten Berechnung: auchysche Integralformel 3-3

11 f (z) = e z, : t e it, 0 t 2π auchysche Integralformel für einen Kreis = e z z dz = 2πi e0 = 2πi Versuch der direkten Berechnung: dz = i e it dt 2π 0 e eit e it ieit dt = i 2π 0 e eit dt auchysche Integralformel 3-4

12 f (z) = e z, : t e it, 0 t 2π auchysche Integralformel für einen Kreis = e z z dz = 2πi e0 = 2πi Versuch der direkten Berechnung: dz = i e it dt kein Erfolg! 2π 0 e eit e it ieit dt = i 2π 0 e eit dt auchysche Integralformel 3-5

13 f (w) = a k (w z) k, : t z + re it, 0 t 2π auchysche Integralformel 4-1

14 f (w) = a k (w z) k, Integraldarstellung für Ableitungen = 2πi f (n) (z) f (w) = dw = a n! (w z) n+1 k : t z + re it, 0 t 2π (w z) k n 1 dw auchysche Integralformel 4-2

15 f (w) = a k (w z) k, Integraldarstellung für Ableitungen = 2πi f (n) (z) f (w) = dw = a n! (w z) n+1 k : t z + re it, 0 t 2π (w z) k n 1 dw k n: Stammfunktion für die Monome (w z) k n 1 und... = 0 auchysche Integralformel 4-3

16 f (w) = a k (w z) k, Integraldarstellung für Ableitungen = 2πi f (n) (z) f (w) = dw = a n! (w z) n+1 k : t z + re it, 0 t 2π (w z) k n 1 dw k n: Stammfunktion für die Monome (w z) k n 1 und... = 0 = [ ] = 0 für m < n und für m n gilt dw [ ] = a n w z = a n (2πi) n(, z) = 2πi a }{{} n Umlaufzahl auchysche Integralformel 4-4

17 f (w) = a k (w z) k, Integraldarstellung für Ableitungen = 2πi f (n) (z) f (w) = dw = a n! (w z) n+1 k : t z + re it, 0 t 2π (w z) k n 1 dw k n: Stammfunktion für die Monome (w z) k n 1 und... = 0 = [ ] = 0 für m < n und für m n gilt dw [ ] = a n w z = a n (2πi) n(, z) = 2πi a }{{} n Umlaufzahl konsistent mit der direkten Berechnung der Ableitung auchysche Integralformel 4-5