Differentialgeometrie I (Kurventheorie) SS 2013

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1 Differentialgeometrie I (Kurventheorie) SS 2013 Lektion April 2013 c Daria Apushkinskaya 2013 () Kurventheorie: Lektion April / 23

2 Organisatorisches Allgemeines Dozentin: Dr. Darya Apushkinskaya Geb. E2 4, Zi. 433 Sprechstunde: Mo Uhr oder nach Vereinbarung Übungsleiterin: Tina Rohrbacher Informationen zur Vorlesung: c Daria Apushkinskaya 2013 () Kurventheorie: Lektion April / 23

3 Organisatorisches Übungsbetrieb Übungsbetrieb: Übungsblätter: mittwochs auf der Vorlesungswebseite (ab dem ) Abgabe: 1 Woche später mittwochs vor der Vorlesung Abgabe in Teams bis zu 2 Personen Übungen werden korrigiert und mit Punkten bewertet c Daria Apushkinskaya 2013 () Kurventheorie: Lektion April / 23

4 Organisatorisches Klausurzulassung Voraussetzungen für die Klausurzulassung: 50% der Übungspunkte maximal zwei Blätter weniger als 25 % aktive Teilnahme an den Übungen c Daria Apushkinskaya 2013 () Kurventheorie: Lektion April / 23

5 Organisatorisches Klausuren Klausuren: Je nach Teilnehmerzahl werden eine mündliche Prüfung oder eine Abschlussklausur angeboten. c Daria Apushkinskaya 2013 () Kurventheorie: Lektion April / 23

6 Organisatorisches Vorlesungsthemen Vorlesungsthemen: 1 Grundlegende Begriffe für Kurven in R n ; 2 Lokale Kurventheorie im R 3 ; 3 Konstruktion von Raumkurven; 4 Globale Sätze über ebene Kurven (isoperimetrische Ungleichung, vier-scheitel-satz, etc.). c Daria Apushkinskaya 2013 () Kurventheorie: Lektion April / 23

7 Organisatorisches Script Script: Es ist geplant, ein Script im Nachgang zur Vorlesung online bereit zu stellen. Dies ist keine Fernstudiumsveranstaltung!!! Script und Webseite ersetzen nicht den Vorlesungsbesuch!!! In der Vorlesung und in den Übungen können jederzeit zusätzliche wesentliche Informationen gegeben werden, die nicht online abrufbar sind. Es ist in Ihre Verantwortung gestellt, sich diese Informationen zu verschaffen. c Daria Apushkinskaya 2013 () Kurventheorie: Lektion April / 23

8 Organisatorisches Maple Maple: Gelegentlich wird es sich anbieten, Beispiele und Übungsaufgaben mit dem Computeralgebrasystem MAPLE anzusehen und zu bearbeiten. Auf den Rechnern des CIP-Pools läuft neuerdings die aktuelle Version MAPLE 17. Die Campuslizenz der Universität für MAPLE erlaubt seit kurzem auch Studierenden, kostenlos MAPLE zu beziehen und auf ihren persönlichen Computern zu installieren. Informationen hierzu erhalten hier c Daria Apushkinskaya 2013 () Kurventheorie: Lektion April / 23

9 Organisatorisches Literatur Literatur: Manfredo P. do Carmo, Differentialgeometrie von Kurven und Flächen. Braunschweig; Wiesbaden : Vieweg, Cristian Bär, Elementare Differentialgeometrie. de Gruyter, Jost-Hinrich Eschenburg und Jürgen Jost, Differentialgeometrie und Minimalflächen. Springer, Berlin ; Heidelberg [u.a.], c Daria Apushkinskaya 2013 () Kurventheorie: Lektion April / 23

10 1. Einleitung 1. Einleitung c Daria Apushkinskaya 2013 () Kurventheorie: Lektion April / 23

11 1. Einleitung Geometrie Differentialgeometrie Geometrie ist das Studium von Figuren. Beispiele: Dreiecke, Vierecke, Kreise, Geraden, Ebenen, lineare oder affine Unterräume eines Vektorraums Die klassische Differentialgeometrie untersucht lokale Eigenschaften von Kurven und Flächen. Beispiele: Kurven, Flächen Mathematische Methoden: Differentialrechnung, + lineare Algebra c Daria Apushkinskaya 2013 () Kurventheorie: Lektion April / 23

12 1. Einleitung Die klassische Differentialgeometrie befasst sich mit Kurven und Flächen. Diese Objekte sind meist durch eine Abbildung oder Parametrisierung gegeben, seltener implizit, d.h. als Nullstellenmenge von Funktionen. Man interessiert sich für Eigenschaften, die nur von der Gestalt der Kurven oder Flächen abhängen. Es geht also um diejenigen Eigenschaften, die unabhängig von den Parametern der speziellen Beschreibung sind. c Daria Apushkinskaya 2013 () Kurventheorie: Lektion April / 23

13 2. Grundbegriffe und Beispiele 2. Grundbegriffe und Beispiele c Daria Apushkinskaya 2013 () Kurventheorie: Lektion April / 23

14 2. Grundbegriffe und Beispiele Definition 2.1 Eine parametrisierte differenzierbare Kurve ist eine beliebig oft differenzierbare Abbildung I R ein (offenes) Intervall, n 2 α : I R n, Definition 2.2 Ist α(t) = (x 1 (t),..., x n (t)), so nennt man α (t) = ( x 1 (t),..., x n(t) ) (oft auch α(t)) den Tangentenvektor (oder Geschwindigkeitsvektor) der Kurve α bei t. c Daria Apushkinskaya 2013 () Kurventheorie: Lektion April / 23

15 2. Grundbegriffe und Beispiele Definition 2.3 Spur α := {α(t) : t I} R n Bemerkungen Eine Kurve α ist nicht zu verwechseln mit Spur α. Die Spur repräsentiert den Verlauf der Kurve optisch, man hat aber keinerlei Information, wo (= α(t)) man sich zur Zeit t I mit welcher Geschwindigkeit (= α (t)) bewegt. Die Parametrisierung ist ein Fahrplan für Spur α. c Daria Apushkinskaya 2013 () Kurventheorie: Lektion April / 23

16 2. Grundbegriffe und Beispiele α : R R 2, α(t) := (t, t ) α ist keine differenzierbare Kurve!!!! c Daria Apushkinskaya 2013 () Kurventheorie: Lektion April / 23

17 2. Grundbegriffe und Beispiele Neil sche Parabel α : R R 2, α(t) := (t 2, at 3 ) c Daria Apushkinskaya 2013 () Kurventheorie: Lektion April / 23

18 2. Grundbegriffe und Beispiele Traktrix α(t) = ( [ sin t, cos t + log tan t ]) 2 c Daria Apushkinskaya 2013 () Kurventheorie: Lektion April / 23

19 2. Grundbegriffe und Beispiele Traktrix Traktrix nennt man auch Schleppkurve, Ziehkurve, Zugkurve, Treidelkurve. Der Name erklärt sich daraus, dass diese Kurve von einem Massenpunkt beschrieben wird, der an einer Stange gezogen wird. Mit Hilfe der Schleppkurve kann das Fahrverhalten von Fahrzeugen modelliert werden. Insbesondere der benötigte Platz bei Kurvenfahrten, aber auch das Verhalten bei Rückwärts-Fahrten sowie beim Abschleppen eines zweiten Fahrzeugs. c Daria Apushkinskaya 2013 () Kurventheorie: Lektion April / 23

20 2. Grundbegriffe und Beispiele Logarithmische Spirale α(t) = ( ae bt cos(t), ae bt sin(t) ) Schnitt einer Nautilus-Schale Whirlpool-Galaxie, Tiefdruckwirbel über Island eine typische Spiralgalaxie im Sep c Daria Apushkinskaya 2013 () Kurventheorie: Lektion April / 23

21 2. Grundbegriffe und Beispiele Helix (Schraubenlinie) α : R R 3, α(t) = (a cos t, a sin t, bt) c Daria Apushkinskaya 2013 () Kurventheorie: Lektion April / 23

22 2. Grundbegriffe und Beispiele Definition 2.4 Sei t 0 I und α (t 0 ) 0. Dann beschreibt R t α (t 0 )(t t 0 ) + α(t 0 ) eine Gerade mit Richtung α (t 0 ) R n, die zur Zeit t 0 durch den Punkt α(t 0 ) geht. Man nennt diese Gerade die Tangente an die Kurve α in t 0. Ist t 0 I ein singulärer Punkt von α, d.h. per Definition α (t 0 ) = 0, so degegeneriert obige Abbildung zur Konstanten Funktion t α(t 0 ); Die geometrische Vorstellung einer Tangente als Gerade geht verloren. c Daria Apushkinskaya 2013 () Kurventheorie: Lektion April / 23

23 2. Grundbegriffe und Beispiele Deshalb betrachtet man in der Differentialgeometrie meist nur folgende Klasse von Kurven: Definition 2.5 Eine Kurve (natürlich differenzierbar!!!) α : I R n heißt regulär, falls gilt: α (t) 0 t I. Bemerkung Für reguläre Kurve misst man, wie schnell die Tangente lokal bei t 0 ihre Lage variiert und nimmt dies als Maß dafür, wie stark die Kurve bei t 0 gekrümmt ist. c Daria Apushkinskaya 2013 () Kurventheorie: Lektion April / 23