Differentialgeometrie

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1 Alfred Gray Differentialgeometrie Klassische Theorie in moderner Darstellung Aus dem Amerikanischen übersetzt und bearbeitet von Hubert Gollek Mit 277 Abbildungen Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg Berlin Oxford

2 t Inhalt 1. Kurven in der Ebene Euklidische Räume Kurven im R" Die Länge einer Kurve Vektorfelder längs Kurven Die Krümmung von ebenen Kurven Der Drehwinkel Die semikubische Parabel Aufgaben Studium von ebenen Kurven mit Mathematica Das Berechnen der Krümmung von ebenen Kurven Das Berechnen der Länge von Kurven Das Füllen von Kurven Beispiele für Kurven im R Das Zeichnen von stückweise definierten Kurven Aufgaben Berühmte ebene Kurven Zykloiden Die Lemniskaten von Bernoulli 37

3 xji Inhalt 3.3 Kardioiden Die Zissoide des Diokles Die Traktrix Klothoiden Aufgaben Andere Methoden zur Darstellung ebener Kurven Implizit definierte Kurven im R Cassinische Kurven Ebene Kurven in Polarkoordinaten Aufgaben Neue Kurven aus alten Evoluten Iterierte Evoluten Die Evolute einer Traktrix ist eine Kettenlinie Evolventen Tangenten und Normalen ebener Kurven Schmiegkreise von ebenen Kurven Parallelkurven Fußpunktkurven Aufgaben Das Bestimmen ebener Kurven aus ihrer Krümmung Euklidische Bewegungen Kurven und Euklidische Bewegungen Natürliche Gleichungen ebener Kurven Das Zeichnen ebener Kurven mit vorgegebener Krümmung Aufgaben 110

4 Raumkurven Vorbereitungen Krümmung und Windung von Kurven der Geschwindigkeit 1 im R Krümmung und Windung von Kurven beliebiger Geschwindigkeit im R Das Berechnen von Krümmung und Windung mit Mathematica Die Schraubenlinie und ihre Verallgemeinerungen Die Vivianische Kurve Der Fundamentalsatz für Raumkurven Das Zeichnen von Raumkurven mit vorgegebener Krümmung Aufgaben 136 Tuben und Knoten Tuben um Kurven Torusknoten Aufgaben 148 Differentialrechnung im Euklidischen Raum Tangentialvektoren des R" Tangentialvektoren als Richtungsableitungen Tangierende Abbildungen Vektorfelder auf dem R" Ableitungen von Vektorfeldern auf dem R" Kurven - nochmals überarbeitet Aufgaben 167 Flächen im Euklidischen Raum Koordinatennetze im R" Koordinatennetze im R 3 177

5 xiv 10.3 Die lokale Gaußabbildung Die Definition einer regulären Fläche im R" Tangentialvektoren regulärer Flächen im R" Flächenabbildungen Niveauflächen im R Aufgaben Beispiele für Flächen Der Graph einer Funktion von zwei Veränderlichen Das Ellipsoid Das stereographische Ellipsoid Tori Das Paraboloid Schnecken Koordinatennetze mit Singularitäten Das Darstellen von implizit gegebenen Flächen Aufgaben Nichtorientierbare Flächen Orientierbarkeit von Flächen Das Beschreiben von nichtorientierbaren Flächen durch Identifizierungen Das Möbiusband Die Kleinsche Flasche Realisierungen der reellen projektiven Ebene Das Färben von Flächen in Mathematica Aufgaben Metriken auf Flächen Anschauliche Vorstellungen vom Abstand auf Flächen 229

6 Inhalt xy 13.2 Isometrien von Flächen Der anschauliche Flächeninhaltsbegriff Programme zum Berechnen von Metriken und Flächeninhalten Beispiele für Metriken Aufgaben Flächen im dreidimensionalen Raum Die Weingartenabbildung Die Normalkrümmung Das Berechnen der Weingartenabbildung Die Eigenwerte der Weingartenabbildung Die Gaußsche und die mittlere Krümmung Die drei Fundamentalformen Beispiele handschriftlicher Krümmungsberechnungen Die Krümmung von implizit definierten Flächen Aufgaben Flächen im dreidimensionalen Raum mit Mathematica Programme zum Berechnen der Weingartenabbildung und der Krümmung Beispiele zur Krümmungsberechnung mit Mathematica Die Gaußabbildung mit Mathematica Aufgaben Asymptotenlinien auf Flächen Asymptotische Kurven Beispiele für asymptotische Kurven Das Ermitteln asymptotischer Kurven mit Mathematica 299

7 xvj Inhalt 16.4 Aufgaben Regelflächen Beispiele für Regelflächen Torsen Nichtzylindrische Regelflächen Beispiele für Kehllinien nichtzylindrischer Regelflächen Ein Programm für Regelflächen Die Normalen- und die Binormalenfläche Aufgaben Rotationsflächen Hauptkrümmungslinien Die Krümmung einer Rotationsfläche Das Erzeugen von Rotationsflächen mit Mathematica Das Katenoid Das Rotationshyperboloid Rotationsflächen von Kurven mit vorgegebener Krümmung Aufgaben Flächen konstanter Gaußscher Krümmung Das elliptische Integral zweiter Art Rotationsflächen konstanter positiver Krümmung Rotationsflächen konstanter negativer Krümmung Die Kuensche Fläche Aufgaben Innere Geometrie der Flächen Formeln für die Gaußsche Krümmung Das Gaußsche Theorema Egregium 361

8 Inhalt xvii 20.3 Die Christoffelsymbole Die Mainardi-Codazzi-Gleichungen Die geodätische Krümmung Aufgaben Hauptkrummungslinien und Nabelpunkte Die Differentialgleichung der Hauptkrummungslinien Nabelpunkte Dreifach orthogonale Flächensysteme Elliptische Koordinaten Parabolische Koordinaten Aufgaben Minimalflächen Variation in Normalenrichtung Beispiele für Minimalflächen Die Gaußabbildung einer Minimalfläche Aufgaben Minimalflächen II Isotherme Koordinaten Minimalflächen und komplexe Funktionentheorie Das Bestimmen konjugierter Minimalflächen Die Enneperfläche vom Grad n Die Weierstraßdarstellung Weierstraßsche Koordinatennetze mit Mathematica Beispiele Weierstraßscher Koordinatennetze Aufgaben 436 i

9 xviii Inhalt 24. Konstruktion von Flächen Parallelflächen Die Weingartenabbildung einer Parallelfläche Fußpunktflächen Verallgemeinerte Wendelflächen Getwistete Flächen Aufgaben Differenzierbare Mannigfaltigkeiten Die Definition der differenzierbaren Mannigfaltigkeit Differenzierbare Funktionen auf differenzierbaren Mannigfaltigkeiten Tangentialvektoren differenzierbarer Mannigfaltigkeiten Induzierte Abbildungen Vektorfelder auf differenzierbaren Mannigfaltigkeiten Tensorfelder auf differenzierbaren Mannigfaltigkeiten Aufgaben Riemannsche Mannigfaltigkeiten Kovariante Ableitungen Indefinite Riemannsche Metriken Die klassische Beschreibung von Metriken Abstrakte Flächen Die Metrik abstrakter Flächen Beispiele abstrakter Flächen Das Berechnen der Krümmung von Metriken abstrakter Flächen Orientierbarkeit einer abstrakten Fläche Die geodätische Krümmung in abstrakten Flächen 515

10 Inhalt xjx 27.6 Aufgaben Geodätische auf Flächen Die Gleichung der Geodätischen Clairautsche Koordinatennetze Beispiele für Clairautsche Koordinatennetze Numerisches Bestimmen von Geodätischen mit Mathematica Aufgaben 531 Anhang 533 A.1 Allgemeine Programme 533 A.2 Ebene Kurven 563 A.3 Raumkurven 575 A.4 Flächen 578 A.5 Metriken 590 A.6 Mathematica für Acrospin 593 Literaturverzeichnis 597 Sachverzeichnis 610