1.5. Relationen, Abbildungen und Flächen

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1 .5. Relationen, Abbildungen und Flächen In Verallgemeinerung der reellen Situation nennt man jede Teilmenge F eines kartesischen Produkts A B eine Relation zwischen A und B, und man spricht von einer Abbildung von A in B, geschrieben F : A B, falls es zu jedem aus A genau ein y aus B gibt, so daß (,y) zu F gehört. In diesem Fall heißt y wieder das Bild von und wird mit F() bezeichnet. Rotationen (Drehungen) Wir haben zuvor schon Figuren rotieren lassen. Wie geht das mathematisch? Eine Drehung in der Ebene ist interpretierbar als Abbildung von nach, die jedem Punkt den durch die Drehung entstehenden neuen Punkt zuordnet. Bei einer Drehung um den Winkel (im Gegenuhrzeigersinn) bewegt man, 0 nach ( cos, sin ) 0, y nach ( y sin, y cos ) und folglich, y nach ( cos y sin, sin y cos ). Die Drehung um wird daher beschrieben durch die Abbildung D von nach mit D (,y) = ( cos y sin, sin y cos ). Beispiel : Drehspuren auf dem Radarschirm y 0

2 Beispiel : Drehung des großen Wagens am Firmament 0 Koordinatentransformationen entstehen, wenn man statt einzelnen Punkten das ganze Koordinatensystem dreht. Sind und y die Koordinaten im neuen (um α gedrehten) Koordinatensystem, so sind ' = cos y sin y' = sin y cos die Koordinaten im ursprünglichen System (denn das Koordinatensystem dreht sich relativ zu einem Punkt in umgekehrter Richtung wie dieser Punkt relativ zum Koordinatensystem). Flächen werden fast immer durch Gleichungen oder Ungleichungen festgelegt. Aber auch bei Flächen sind Parameterdarstellungen möglich. Man braucht dann zwei statt eines Parameters. So beschreibt man eine ebene Fläche durch eine Abbildung F : A B, F(r, t) = (F r, t, F r, t ) mit geeigneten Intervallen A und B. Beispiel 3: Der Einheitskreis Die abgeschlossene Kreisscheibe K = { (, y) : y } hat z. B. die Parameterdarstellung K = {(r cos t, r sin t ) : 0 r, 0 t < }.

3 Ihre Randkurve (die Peripherie) P = { (, y) : y = } hat die Parameterdarstellung P = {(cos t, sin t ) : 0 t < }, und ihr Inneres (die offene Kreisscheibe) I = { (, y) : y } hat die Parameterdarstellung I = {(r cos t, r sin t ) : 0 r <, 0 t < }. Schließlich wird das vom Kreis in die Ebene gestanzte Loch L = {(, y) : y } durch die Parameterdarstellung L = {(r cos t, r sin t ) : < r, 0 t < } beschrieben. Keine dieser Relationen ist eine Funktion. Nur die zweite beschreibt eine Kurve (Gleichung!), die anderen drei dagegen Flächen. Beispiel : Ein Halbkreis hat eine Randkurve, die z. B. folgendermaßen beschrieben werden kann: H = {(,y) :, y = }. Hier handelt es sich im Gegensatz zu Beispiel 3 um eine Funktion!

4 Neben der obigen "kartesischen Parameterdarstellung" und vielen weiteren hat man die polare Parameterdarstellung H = {(cos t, sin t ) : 0 t }. Die Halbkreisfläche F = {(,y) :, 0 y, y } ist dagegen natürlich keine Funktion. Beispiel 5: Raute, Astroide und Variationen Wir "verbiegen" den Kreis durch Potenzieren der Koordinaten mit einem Eponenten p: p y p =. Für eine bequeme Parameterdarstellung benutzen wir die Signum-Funktion s mit s() = - für < 0 s() = 0 für = 0 s() = für > 0 die mit dem Absolutbetrag über die Gleichung = s zusammenhängt. 0 Zur Abkürzung setzen wir q = p und erhalten "gequetschte Kreise": Abgeschlossene Fläche: K(p) = { (, y) : p y p } = {(u s cos t cos t q, u s sin t sin t q ) : 0 u <, 0 t < } Rand(kurve): R(p) = { (, y) : p y p = } = { s cos t cos t q, s sin t sin t q : 0 t < }

5 Restmenge (Loch): L(p) = {(, y) : p y p } = {(u s cos t cos t q, u s sin t sin t q ) : u, 0 t < } Raute: p =, q = Kreis: p =, q = Astroide: p =, q =

6 Beispiel 6: Hyperbeln Wir betrachten für feste reelle Zahlen a die Relationen H(a) = { (,y) : y = a}. Da sie durch Gleichungen beschrieben werden, handelt es sich um Kurven. Wir zeichnen H() und H(-) in ein gemeinsames Bild: 0 Die "symmetrisierte" Menge H = { (, y) : y a und ma, y b } beschreibt eine Fläche zwischen den vier Hyperbel-Ästen, die folgendermaßen aussieht: 0 a = 0., b = 3 Drehen um den Winkel liefert weitere Hyperbeln, z. B. für = bzw. = : y = bzw. y =

7 3 3 Und jetzt eine ganze Schar gedrehter Hyperbeln: 3 3 Beispiel 7: Ein Achsenkreuz ergibt sich für H(a) = { (,y) : y = a}, falls a = 0 : y = 0 = 0 oder y = 0 bzw. nach einer Drehung um t cos t y sin t sin t y cos t = 0 y = cot t oder y = tan t 0