Besondere Leistungsfeststellung Mathematik - E R S T T E R M I N -

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1 Sächsisches Staatsministerium für Kultus Schuljahr 006/007 Geltungsbereich: Schüler der Klassenstufe 10 an allgemein bildenden Gymnasien ohne Realschulabschluss Besondere Leistungsfeststellung Mathematik - E R S T T E R M I N - Material für Schüler llgemeine rbeitshinweise Die besondere Leistungsfeststellung besteht aus den Teilen und B, die innerhalb von 90 Minuten zu bearbeiten sind. Teil : Die ufgaben im Teil sind auf dem rbeitsblatt zu lösen. Die rbeitszeit für Teil beträgt maimal 5 Minuten. Für die Bearbeitung der ufgaben im Teil sind ausschließlich Zeichengeräte und Zeichenhilfsmittel als Hilfsmittel zugelassen. Im Teil sind 15 BE (Bewertungseinheiten) zu erreichen. Der Teil wird 5 Minuten nach rbeitsbeginn eingesammelt. nschließend sind weitere Hilfsmittel zugelassen. Teil B: Für die Bearbeitung der ufgaben im Teil B sind ausschließlich folgende Hilfsmittel zugelassen: - Tabellen- und Formelsammlung ohne ausführliche Musterbeispiele sowie ohne Wissensspeicheranhang, - beliebiger Taschenrechner, - Zeichengeräte und Zeichenhilfsmittel. Im Teil B sind 30 BE zu erreichen. In den Teilen und B muss die Lösungsdarstellung nachvollziehbar sein. Bei mehreren wesentlichen Verstößen gegen die Kriterien einer mathematisch einwandfreien Form wird eine Bewertungseinheit abgezogen. Erfolgen außerdem wesentliche Verstöße gegen die äußere Form, so wird eine weitere Bewertungseinheit abgezogen. Name, Vorname: Klasse: Erreichte BE-nzahl: Note: Besondere Leistungsfeststellung Gymnasium, Klassenstufe 10, Mathematik, Ersttermin 006/07 - ufgaben Seite 1 von 6

2 Teil rbeitsblatt (ohne Nutzung von Tabellen- und Formelsammlung sowie Taschenrechner) In den ufgaben 1 bis 6 ist von den jeweils fünf uswahlmöglichkeiten genau eine ntwort richtig. Kreuzen Sie das jeweilige Feld an. 1. Es sind zwei gleichseitige Dreiecke mit den Seitenlängen a und a gegeben (siehe bbildung). In welchem Verhältnis stehen die Flächeninhalte der beiden Dreiecke zueinander? a a 1:10 1: 5 1: 4 1: 3 1:. Welche der durch die Gleichungen gegebenen Funktionen ergibt für,5,5 und,5 y,5 den dargestellten Graphen? y O f() = f() = f() = 1 f() = f() = tan 3. uf einen Würfel mit der Kantenlänge cm wird eine gerade quadratische Pyramide mit der Höhe c m und der Grundkantenlänge 1c m so aufgesetzt, dass die Mittelpunkte der Grundfläche der Pyramide und der Deckfläche des Würfels übereinander liegen. Der entstehende zusammengesetzte Körper besitzt dann genau 0 Kanten, 0 Kanten, 16 Kanten, 16 Kanten, 0 Kanten, 13 Ecken und 13 Ecken und 9 Ecken und 9 Ecken und 9 Ecken und 10 Flächen. 13 Flächen. 9 Flächen. 8 Flächen. 10 Flächen. Seite von 6 Besondere Leistungsfeststellung Gymnasium, Klassenstufe 10, Mathematik, Ersttermin 006/07 - ufgaben

3 4. Ein Fotoapparat kostet 300,00. Der Preis wird zunächst um 10 % gesenkt und später um 10 % heraufgesetzt. Wie teuer ist das Gerät nach diesen beiden Preisänderungen? In einer Urne befinden sich nur 18 schwarze Kugeln. Wie viele rote Kugeln müssen hinzugefügt werden, damit beim einmaligen Ziehen genau einer Kugel die Wahrscheinlichkeit für das Erhalten einer roten Kugel 3 beträgt? Die Gleichung a + b = c besitzt für alle a R; b R; c R; a 0 im Bereich der reellen Zahlen genau eine genau zwei mindestens zwei höchstens zwei höchstens eine Lösung. Lösungen. Lösungen. Lösungen. Lösung. Für 1. bis 6. erreichbare BE-nzahl: 6 7. Lösen Sie die folgende Gleichung für R : + = 4 Erreichbare BE-nzahl: 8. Geben Sie die Größe des Winkels α an. Nennen Sie mindestens einen mathematischen Satz, den Sie bei Ihren Überlegungen verwendet haben α Erreichbare BE-nzahl: Besondere Leistungsfeststellung Gymnasium, Klassenstufe 10, Mathematik, Ersttermin 006/07 - ufgaben Seite 3 von 6

4 9. Der abgebildete quaderförmige Behälter BCDEFGH mit B = 10 cm, BC = 10cm und BF = 30cm wird über einen Zulauf mit Wasser gefüllt. Dabei fließt gleichmäßig pro Minute 1 Liter Wasser in den Behälter. Im Diagramm ist die Füllhöhe h in bhängigkeit von der Füllzeit t dargestellt. H G h in cm E F D C B t voll t in Minuten a) Begründen Sie, warum der Zusammenhang zwischen h und t direkt proportional ist. Erreichbare BE-nzahl: b) Ermitteln Sie die Zeit t voll. Erreichbare BE-nzahl: c) Der Behälter wird so gedreht, dass er auf der Seitenfläche BCGF liegt und erneut über den gleichen Zulauf wie oben mit Wasser gefüllt wird. Zeichnen Sie in obiges Koordinatensystem den Füllgraphen für diese Füllung ein. Erreichbare BE-nzahl:1 Seite 4 von 6 Besondere Leistungsfeststellung Gymnasium, Klassenstufe 10, Mathematik, Ersttermin 006/07 - ufgaben

5 Teil B 1. Gegeben ist die Funktion f durch die Gleichung + y = f() = 1 ( D f ). a) Geben Sie den Definitionsbereich, den Wertebereich und die Nullstelle der Funktion f an. Erreichbare BE-nzahl: 3 b) Der Punkt ( 4; y ) liegt auf dem Graphen von f. Geben Sie die fehlende Koordinate y an. Ermitteln Sie das rgument zum Funktionswert 63. c) Eine Funktion g mit = = + b y g() a ( g ) Ihr Graph verläuft durch den Punkt P (3;14). Ermitteln Sie a und b. Erreichbare BE-nzahl: 3 a R; b R; D hat die Nullstelle = 0. Erreichbare BE-nzahl: 3 N. Ein Schotterhaufen ist als gerader Kreiskegel aufgeschüttet (siehe bbildung). Der Umfang des Grundkreises ist 9,00 m lang und der Schüttwinkel α beträgt 100. Der Schotter soll vollständig in den quaderförmigen Laderaum eines Transporters (Länge 1,80 m, Breite 1,40 m und Höhe 1,10 m) umgeladen werden. a) Berechnen Sie, wie viele Kubikmeter Schotter umgeladen werden sollen. Erreichbare BE-nzahl: 4 b) Ermitteln Sie, wie hoch der Laderaum des Transporters mit Schotter gefüllt ist, wenn er dort überall gleich hoch liegt. Erreichbare BE-nzahl: α 3. Die Punkte, B, C und D liegen auf einem Kreis k (siehe bbildung). Ermitteln Sie die Länge der Strecke C für DB = 60, CB = 80 und B = 4,cm. D C k B Erreichbare BE-nzahl: 3 Besondere Leistungsfeststellung Gymnasium, Klassenstufe 10, Mathematik, Ersttermin 006/07 - ufgaben Seite 5 von 6

6 4. Die bei einer Fahrt mit der chterbahn im bschnitt zwischen den Punkten und D erreichte Höhe kann durch die Graphen der Funktionen f 1 und f mit f1 ( ) = 5 sin + 8 ( R,0 40 π) und f ( ) =,5 sin beschrieben werden (1 Einheit entspricht 1,0m ). ( R,40π 55π ) y B C D E F 40π a) Zeigen Sie, dass die Funktionswerte der Funktionen f1 und f an der Stelle = 40π übereinstimmen. Erreichbare BE-nzahl: b) Der Punkt B ist der höchste Punkt dieses chterbahnabschnitts. Begründen Sie, dass der Punkt B die Koordinaten ( 10 π ;13) hat. Erreichbare BE-nzahl: c) usgehend von den Punkten E (5 π; 0) und F (15 π; 0) verlaufen Stützen EB und FB an den Punkt B der chterbahn. Berechnen Sie die Länge einer Stütze und die Größe des Winkels FEB. Erreichbare BE-nzahl: 4 d) Für die Besucher dieser chterbahn stehen Wagen in den Farben rot, grün und blau zur Verfügung. Genau 9 Wagen sind rot, 15 grün und 1 blau. Für einen Zug werden aus diesen 45 Wagen genau 3 Wagen zufällig ausgewählt. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse: Ereignis : Der Zug enthält drei gleichfarbige Wagen. Ereignis B: Der Zug enthält mindestens zwei grüne Wagen. Erreichbare BE-nzahl: 4 Seite 6 von 6 Besondere Leistungsfeststellung Gymnasium, Klassenstufe 10, Mathematik, Ersttermin 006/07 - ufgaben