Regiomontanus - Gymnasium Haßfurt - Grundwissen Mathematik Jahrgangsstufe 10

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1 RMG Haßfurt Grundwissen Mathematik Jahrgangsstufe 0 Regiomontanus - Gymnasium Haßfurt - Grundwissen Mathematik Jahrgangsstufe 0 Wissen und Können. Berechnungen am Kreis Bogenmaß Das Bogenmaß ist das zu ϕ gehörende Verhältnis Bogenlänge, Radius b π also die Zahl = = ϕ r 80 Umrechnungen: ϕ π 4 π π π π π ufgaben, Beispiele, Erläuterungen Das Verhältnis r b ist bei vorgegebenem Winkel ϕ konstant und nur von ϕ abhängig. ϕ b Leicht zu merken: = ( ) 60 rπ Das Bogenmaß ist die Bogenlänge b im Einheitskreis (Kreis mit Radius ). Mit r = ergibt sich aus (* ): ϕ = 60 π Kreisteile Sektorfläche: = Kugel 4 Volumen: V = r Oberflächeninhalt: Bestimme den Flächeninhalt eines Viertelkreises mit r π r einem Radius von 5,0 cm. ϕ bzw. = b 60 = 0,5 (5,0 cm) π = 0 cm π O = 4r π. Sinus und Kosinus am Einheitskreis Für beliebige Punkte P( y) auf dem Einheitskreis gilt: = cos α y = sin α Der Oberflächeninhalt einer Kugel beträgt 6, m. Berechne ihren Radius und ihr Volumen. O = 4r π r = V = wichtige Werte: 4 r π O 6,m = = 0,70 m 4π 4π 4 = (0,70m) π =,5 m α sin α 0 cos α 0 Für die Winkel 80 - α, 80 + α und 60 - α haben die Sinus- und Kosinuswerte den gleichen Betrag wie der spitze Winkel α; die Vorzeichen ergeben sich aus der Lage auf dem Einheitskreis. Daraus folgt z. B. auch: sin 50 = sin (80-50 ) = sin 0 = cos 0 = cos ( ) = - cos 0 = - Bestimme alle Winkel, für die gilt: sin α = sin α = α = 45 ; α = = 5 Beachte: Der Taschenrechner liefert nur eine Lösung! Weiter gilt: sin(-α) = - sin α; cos(-α) = cos α Seite von 6

2 RMG Haßfurt Grundwissen Mathematik Jahrgangsstufe 0. Trigonometrische Funktionen Eine Funktion der Form f : sin() mit R heißt Sinusfunktion. Der Graph ist punktsymmetrisch zu (0 0). Die Graphen lassen sich leichter zeichnen, wenn man für die -chse folgende Skalierung wählt: π cm Eine Funktion der Form f : cos() mit R heißt Kosinusfunktion. Der Graph ist achsensymmetrisch zur y-chse. Bestimme anhand des Funktionsgraphen alle [-π;π], für die gilt: cos( ) = Für beide Funktionen gilt: Die Periodenlänge ist π, die mplitude, die Wertemenge W f = [-;]. Eine Funktion der Form f : a sin[b( + c)] + d mit a, b 0 und R heißt allgemeine Sinusfunktion. Zusammenhang mit dem Graph der Sinusfunktion, Bedeutung der Parameter a: Streckung ( a > ) oder Stauchung (0 < a < ) in y-richtung; a < 0: Spiegelung an der -chse b: Streckung (0 < b < ) oder Stauchung ( b > ) in -Richtung; b < 0: Spiegelung an der y-chse c: Verschiebung nach rechts (c < 0) oder links (c > 0) d: Verschiebung nach oben (d > 0) oder unten (d < 0) Weiter gilt: mplitude: a Wertemenge: W = [- a + d; a - d] π Periodenlänge: b = 5 π π π 5 ; ; ; π Gib zu den vier Graphen jeweils einen passenden Funktionsterm an! schwarzer Graph: z. B. sin() violetter Graph: z. B. sin() roter Graph: z. B. sin() blauer Graph: z. B. cos() 4. Eponentialfunktionen und Logarithmen Lineares Wachstum y = c + a (a R\{0}, c R + ) c heißt nfangswert, a beschreibt die bnahme bzw. den Zuwachs. Erkennungszeichen: Die Differenz aufeinander folgender Werte ist konstant. Eponentielles Wachstum y = c a (a, c R + ; a ) c heißt nfangswert, a beschreibt den Wachstumsfaktor. Erkennungszeichen: Der Quotient aufeinander folgender Werte ist konstant. bnahme (a < 0) Zuwachs (a > 0) y = 0,5 y = + 0,5 bnahme (0 < a < ) Zunahme (a > ) y =,5 0,5 y =,5 Seite von 6

3 RMG Haßfurt Grundwissen Mathematik Jahrgangsstufe 0 Eine Funktion der Form f : c a mit R, a R + ; a ; c R) heißt Eponentialfunktion. c heißt der nfangswert der Funktion; a beschreibt den Wachstumsfaktor. Es gilt: - f() > 0 für alle R - f(0) = c - symptote: -chse Zeichne für f :,5 und g :,5 jeweils den Graphen der Funktion. Was fällt auf? a >, c > 0: 0 < a <, c > 0: Graph steigt Graph fällt Man erhält den Graphen von g durch Spiegelung des Graphen von f an der y-chse und umgekehrt. Der Logarithmus von b zur Basis a, kurz log a b, ist diejenige Hochzahl, mit der man a potenzieren muss, um b zu erhalten; d.h. er löst die Eponentialgleichung a = b mit a, b R + ; a durch = log a b. = 8 = log 8 Rechenregeln für Logarithmen log(a b) = log(a) + log(b) a log = log(a) log(b) b log(a r ) = r log(a) log(6) = log( ) = log() + log() 0 log(5) = log = log(0) log() log(5) = log(5 ) = log(5) Basiswechsel: log c (a) = logb(a) log (c) Eponentialgleichungen sind Gleichungen, in denen die Lösungsvariable im Eponenten auftritt. Eponentialgleichungen löst man durch beidseitiges Logarithmieren. Die Basis des Logarithmus ist dabei beliebig. b log (0) = log0(0) log () 0 = ; 5 + =5 Bestimme die Lösung der Gleichung. - = 5 - log( ) = log(5) ( - ) log() = log(5) - log (5) = log() log (5) = + log() Seite von 6

4 RMG Haßfurt Grundwissen Mathematik Jahrgangsstufe 0 5. Ganzrationale Funktionen Potenzfunktionen mit natürlichen Eponenten Eine Funktion der Form f : a n mit R, a R, n N heißt Potenzfunktion n-ten Grades. Den Graph einer Potenzfunktion mit einem natürlichen Eponenten nennt man Parabel n-ter Ordnung. n gerade n ungerade Ganzrationale Funktion Ein Term der Form a n n + a n- n- + + a + a + a 0 mit a n,, a 0 R, a n 0 heißt Polynom n-ten Grades. Eine Funktion, die ein Polynom n-ten Grades als Funktionsterm hat, heißt ganzrationale Funktion n-ten Grades. Nullstellen Eine ganzrationale Funktion vom Grad n hat höchstens n Nullstellen. Ist 0 eine Nullstelle der ganzrationalen Funktion f mit f : a n n + a n- n- + + a + a + a 0, so gilt: f() = ( 0 ) g(), wobei g eine ganzrationale Funktion vom Grad n - ist. Den Term ( 0 ) nennt man Linearfaktor. Die Funktion g erhält man z.b. durch Polynomdivision. Mehrfache Nullstellen Gilt f() = ( 0 ) r h(), wobei f vom Grad n, h vom Grad n r und h( 0 ) 0 ist, so hat f bei 0 eine r-fache Nullstelle. Ist r gerade, so berührt der Graph dort die -chse, bei ungeradem r schneidet er sie. Für r > hat der Graph dort eine waagrechte Tangente. Berechnung der Nullstellen n = : Lösungsformel für quadratische Gleichungen n = : Eine Nullstelle o wird durch Probieren ermittelt oder ist durch die ufgabenstellung gegeben; anschließend wird der Funktionsterm durch - o dividiert. Mit dem neuen Term werden die weiteren Nullstellen berechnet. n > : Mehrfaches Vorgehen wie für n = f() = + (Grad ) f() = + 5 (Grad ) f() = (Grad 4) f() = (Grad 0) Polynomdivision: ( 8) ( ) : + = (6 4 ) ( 5 0) ( 6 ): ( ) = 0 ( + ) ( ) : = usw. d.h = ( + ) ( + 4-5) r ungerade, r r gerade Bestimme die Nullstellen der Funktion f : leicht zu erkennen: f() = 0, d.h. = ist Nullstelle - Durch Polynomdivision ergibt sich: f() = ( - )( - - ) - Die Lösungsformel angewandt auf - liefert die Nullstellen = und = -. Seite 4 von 6

5 RMG Haßfurt Grundwissen Mathematik Jahrgangsstufe 0 6. Eigenschaften von Funktionen und deren Graphen Maimale Definitionsmenge Sie wird durch den Funktionsterm bestimmt. Einschränkungen ergeben sich z. B. bei Bruchtermen (Nenner nie Null) oder bei Wurzeltermen (Radikand nicht negativ) Symmetrie zum Koordinatensystem f(-) = f() G f ist symmetrisch zur y-chse f(-) = - f() G f ist symmetrisch zum Punkt (0 0) f(-) = f() f(-) = - f() Nullstellen sind die Schnittpunkte des Graphen mit der -chse. Man erhält sie durch Lösen der Gleichung f() = 0. Schnittpunkt mit der y-chse Einsetzen von = 0 in die Funktionsgleichung - lim = 0 (n N n 0 ) ± - Vorgehen bei gebrochen rationalen Funktionen: Betrachte die jeweils höchste Potenz des Zählerund Nennerpolynoms. Quadratische Gleichung: Lösungsformel Eponentialgleichung: Logarithmieren Ganzrationale Funktionen: siehe oben Koordinaten des Schnittpunkts S y (0 y S ) mit y S = f(0) Verhalten im Unendlichen f() = + - lim f() = a bedeutet, dass der Funktionswert f() ± horizontale symptote: y = genügend nahe an der Geraden mit der Gleichung y = a liegt, wenn man genügend groß bzw. klein wählt. Der Graph hat dann y = a als horizontale symptote. lim = ± ( + ) lim = lim 5 ± ( + ± ) 0 = Einfluss von Parametern - g() = f() + d Verschiebung in y-richtung um d - g() = f( + c) Verschiebung in -Richtung um (- c) - g() = f(b ), b > 0 Streckung (b < ) bzw. Stauchung (b > ) in - Richtung mit dem Faktor b - g() = f(- ) Spiegelung an der y-chse - g() = a f(), a > 0 Streckung (a > ) bzw. Stauchung (a < ) in y-richtung mit dem Faktor a - g() = - f() Spiegelung an der -chse f() = sin() - g() = sin() + 5 Verschiebung in y-richtung um +5 - g() = sin(+π/) = sin[( + π/6)] Verschiebung in -Richtung um π/6 und Stauchung in -Richtung mit dem Faktor - g() = sin() Stauchung in -Richtung mit dem Faktor 0,5 - g() = sin(-) Spiegelung an der y-chse - g() = sin() Streckung in y-richtung mit dem Faktor - g() = - sin() Spiegelung an der -chse Seite 5 von 6

6 RMG Haßfurt Grundwissen Mathematik Jahrgangsstufe 0 7. Vierfeldertafeln und bedingte Wahrscheinlichkeit Vierfeldertafel Der Ergebnisraum kann durch zwei Ereignisse und B in vier Teilmengen zerlegt werden. Die nzahlen von Elementen einer Teilmenge oder deren Wahrscheinlichkeiten können in einer Vierfeldertafel veranschaulicht werden. Vierfeldertafel mit nzahlen: B B B B B B B B Ω Vierfeldertafel mit Wahrscheinlichkeiten: B P( B) P( B) P(B) B P( B ) P( B ) P( B ) P() P( ) 00% Mit den Werten der Vierfeldertafel lassen sich leicht Baumdiagramme erstellen. Die jeweilige Fragestellung gibt vor, welches der beiden Ereignisse die erste Stufe des Baumdiagramms bildet. Bedingte Wahrscheinlichkeit ls bedingte Wahrscheinlichkeit P (B) bezeichnet man die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Ereignisses B unter der Bedingung, dass ein Ereignisses desselben Zufallseperiments bereits eingetreten ist. Falls P() 0 gilt: (B) P P( B) = P() n Baumdiagrammen lassen sich bedingte Wahrscheinlichkeiten direkt ablesen. P() P( ) Im Lehrerkollegium einer Schule werden die Merkmale M: Männlich und R: Raucher betrachtet. 60% der Lehrer sind männlich, 6% der Lehrer rauchen und sind männlich, 80% der Kollegen sind Nichtraucher.. Erstelle eine zugehörige Vierfeldertafel.. Erstelle ein zu der Vierfeldertafel passendes Baumdiagramm, das alle Wahrscheinlichkeiten enthält.. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist ein Lehrer Raucher? 4. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist ein Lehrer Nichtraucher und weiblich? 5. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist ein Lehrer männlich, wenn man weiß, dass er Raucher ist? : vollständig ausgefüllte Vierfeldertafel R M 0,06 0,54 0,6 M 0,4 0,6 0,4 R 0, 0,8 : Baumdiagramm (beginnend mit dem Ereignis M) 0,6 0,4 M M : P(R) = 0, = 0% (siehe Vierfeldertafel) 4: P( R M ) = 0,6 = 6% P(M R) 5: P R (M) = = P(R) % 0% R P(M R) = 0,06 R P(M R ) = 0,54 R P( M R) = 0,4 R P( M R ) = 0,6 = 0, = 0% P (B) P ( B ) P (B) P ( B ) B B B B P( B) P( B ) P( B) P( B ) Seite 6 von 6